11.2 专题特训（十一）反比例函数系数“k”的几何意义-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

100 专题特训（十一）　反比例函数系数“k”的 几何意义 ▶ “答案与解析”见P49 类型一 已知反比例函数的表达式求面积 1. 如图,函数y= 1 x (x>0)和y= 4 x (x>0)的 图像分别是曲线C1、C2.设点P 在C2 上, PA∥y轴,交C1于点A,PB∥x轴,交C1于 点B,则△PAB 的面积为 ( ) A. 1 B. 4 C. 9 8 D. 3 4 (第1题) (第2题) 2. 如图,A、B 是函数y= 1 x 的图像上关于原 点O 对称的任意两点,AC∥y 轴,交x 轴于 点C,BD∥y 轴,交x 轴于点D.设四边形 ADBC的面积为S,则下列结论中,正确的是 ( ) A. S=1 B. 1<S<2 C. S=2 D. S>2 3. 如图,双曲线y= k x (k<0)的一支经过 Rt△OAB 斜边OA 的中点D,且与直角边 AB 相交于点C,连接OC.若点A 的坐标为 (-6,4),则△AOC 的面积为 . (第3题) (第4题) 4. 如图所示为反比例函数y= 2 x 和y= 4 x 在第 一象限内的图像,直线BC∥y 轴,并分别交 两条曲线于B、C 两点,点A 在y 轴的正半 轴上,连接AC、AB,则S△ABC= . 5. 如图,在△ABC 中,AC=BC=5,AB=8, AB⊥x轴,垂足为A,函数y= k x (x>0)的 图像经过点C,交AB 于点D. (1) 若OA=AB,求k的值. (2) 若 BC=BD,连接 OC,求△OAC 的 面积. (第5题) 类型二 已知面积求反比例函数的表达式 6. 如图,P 是函数y= k x (k≠0,x<0)图像上的 一点,过点P 作PA⊥y轴于点A,B 是点A 关于x 轴的对称点,连接PB.若△PAB 的 面积为18,则k的值为 ( ) (第6题) A. 18 B. 36 C. -18 D. -36 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 101 7. 在平面直角坐标系中,▱OABC 的顶点C 的 坐标为(3,4),边OA 在x 轴的正半轴上,P 为线段AC 上的一点,过点P 分别作DE∥ OC、FG∥OA,交▱OABC 的各边如图所示. 若反比例函数y= k x 在第一象限内的图像经 过点D,四边形BCFG 的面积为8,则k 的 值为 ( ) A. 16 B. 20 C. 24 D. 28 (第7题) (第8题) 8. 如图,一次函数y=ax+8与函数y= k x (x>0)的图像交于M(m,6)和N(n,2)两 点,连 接 OM、ON.若S△MON =8,则k= . 答案讲解 9. 如图,点A、B 在函数y= 1 x (x> 0)的图像上,点C、D 在函数y= k x (k>0,x>0)的图像上,AC∥BD∥y 轴.已 知点A、B 的横坐标分别为2、4,△OAC 的 面积比△ABD 的面积大1,则k 的值为 . (第9题) (第10题) 答案讲解 10. ★如图,点A 在函数y= k x (x> 0)的图像上,AB⊥y轴于点B,点 C 在x轴的正半轴上,且OC=2AB,点E 在线段AC 上,且AE=3EC,D 为OB 的中 点.若△ADE 的面积为3,则k 的值为 . 11. 如图,A、B 是函数y= k x (x>0)的图像上的 两点,A、B 两点的横坐标分别为1、2,线段 AB 的延长线交x 轴于点C,连接OA.若 △AOC 的面积为6,求k的值. (第11题) 12. 如图,在▱ABCD 中,点A 的坐标为(0,2), AD∥x 轴,BC 交y 轴于点E,顶点C 的纵 坐标为-4,▱ABCD 的面积是24,反比例 函数y= k x 的图像经过点B、D.求: (1) 反比例函数的表达式. (2) AB 所在直线对应的函数表达式. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第11章　反比例函数 △ODB 中,∵ ∠ACO = ∠ODB, ∠CAO = ∠DOB,OA = BO, ∴ △ACO≌△ODB.∴ AC=OD, CO=DB.设点B 的坐标为(n,m). ∴ AC=OD=n,CO=DB=m.∴ 点 A 的坐标为(-m,n).∵ 点A 在反比 例函数y=- 2 x 的图像上,∴ n= - 2-m ,即mn=2.∴ 易知点B 所在 反比例函数图像对应的函数表达式为 y= 2 x. (第11题) 12. (1) 将点A 的坐标代入反比例函 数表达式,得m=1×3=3. ∴ 反比例函数的表达式为y2= 3 x. 将点B 的坐标代入反比例函数表达 式,得n=-3. ∴ 点B 的坐标为(-3,-1). 将点A、B 的坐标代入一次函数表达 式,得 k+b=3, -3k+b=-1, 解得 k=1 , b=2. ∴ 一次函数的表达式为y1=x+2. (2) -3<x<0或x>1. (3) 连接AO,设直线AB 与x轴的交 点为M. 将y=0代入y=x+2,得x=-2. ∴ 点M 的坐标为(-2,0). ∴ S△AOB=S△AOM+S△BOM= 1 2×2× 3+12×2×1=4. ∵ 正比例函数图像与反比例函数图 像都是中心对称图形,且坐标原点是 对称中心, ∴ 点 B 与点C 关于点O 成中心 对称. ∴ BO=CO. ∴ S△ABC=2S△AOB=8. 13. (1) 将D(3,1)代入y= k x ,得 1=k3 ,解得k=3. ∴ 这 个 反 比 例 函 数 的 表 达 式 为 y= 3 x. (2) ① ∵ D(3,1)是边BC 的中点, ∠ACB=90°, ∴ 易得点B 的坐标为(3,2). ∴ BC=2,OC=3. ∵ △ABC与△EFG 成中心对称, ∴ △EFG≌△ABC. ∴ EG=AC=1,FG=BC=2, ∠EGF=∠ACB=90°. ∴ 点E 的横坐标为1. 在y= 3 x 中,当x=1时,y= 3 1=3. ∴ 点E 的坐标为(1,3). ∴ OG=3. ∴ OF=OG-FG=3-2=1. ② ∵ OC=3,AC=1, ∴ AO=OC-AC=3-1=2. ∵ FG=AO=2,∠EGF=∠FOA= 90°,GE=OF=1, ∴ △EFG≌△FAO. ∴ FE=AF,∠GEF=∠OFA. ∵ ∠EGF=90°, ∴ ∠GFE+∠GEF=90°. ∴ ∠GFE+∠OFA=90°. ∴ ∠EFA=90°. 同理,得∠FAB=90°. ∴ ∠FAB+∠EFA=180°. ∴ EF∥AB. ∵ △EFG≌△ABC, ∴ EF=AB. ∴ 四边形ABEF 是平行四边形. 又∵ ∠EFA=90°, ∴ 四边形ABEF 是矩形. 又∵ FE=AF, ∴ 四边形ABEF 是正方形. 专题特训（十一）　反比例 函数系数“k”的几何意义 1. C 2. C 3. 9 [解析] ∵ D 为Rt△OAB 斜 边OA 的中 点,且 点 A 的 坐 标 为 (-6,4),∴ 点D 的坐标为(-3,2). 把(-3,2)代入y= k x ,可得k=-6, 即双曲线对应的函数表达式为y= -6x.∵ AB⊥OB,且点A 的坐标为 (-6,4),∴ 点C 的横坐标为-6.将 x=-6代入y=- 6 x ,得y=1,即点 C的坐标为(-6,1).∴ AC=3.又 ∵ OB=6,∴ S△AOC= 1 2AC ·OB= 1 2×3×6=9. 4. 1 [解析] 如图,连接OC、OB,设 直 线 BC 与 x 轴 交 于 点 D. ∵ BC∥y轴,∴ BC⊥x 轴.∴ BC∥ OA.∴ S△BOC=S△ABC.∵ 点B、C 分 别在反比例函数y= 2 x 和y= 4 x 的图 像上,∴ S△COD = 4 2 =2 ,S△BOD = 2 2=1.∴ S△ABC=S△BOC=S△COD- S△BOD=1. (第4题) 5. (1) 如图,过点C作CE⊥AB 于点 E,CF⊥OA于点F,则易得CF=AE. ∵ AB=8,AC=BC,CE⊥AB, ∴ BE=AE=CF=4. ∵ AC=BC=5, ∴ 由勾股定理,易得AF=3. ∵ OA=AB=8, ∴ OF=5. ∴ 点C的坐标为(5,4). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 94 ∵ 点C 在函数y= k x (x>0)的图 像上, ∴ k=20. (2) ∵ BD=BC=5,AB=8, ∴ AD=3. 设点A 的坐标为(m,0),则C、D 两 点的坐标分别为(m-3,4)、(m,3). ∵ 点C、D 在函数y= k x (x>0)的图 像上, ∴ 4(m-3)=3m,解得m=12. ∴ A(12,0),则OA=12. 又∵ CF=4, ∴ S△OAC= 1 2×12×4=24. (第5题) 6. C [解析] 连接OP.∵ B 是点A 关于x 轴的对称点,∴ OA=OB. ∴ S△AOP = S△POB = 1 2 S△PAB. ∵ △PAB 的面积为18,∴ S△AOP= 9.∴ |k|=18.又∵ 函数y= k x (k≠ 0,x <0)的 图 像 在 第 二 象 限, ∴ k=-18. 7. B [解析] 由题图可知,S△AOC= S△ABC = 1 2 S▱OABC. 又 ∵ 易 得 S△FCP =S△DCP,且 S△AEP =S△AGP, ∴ S▱OEPF=S▱BGPD.∵ 四边形BCFG 的面积为8,∴ S▱CDEO=S▱BCFG=8. 又∵ 点C 的纵坐标是4,即▱CDEO 的边OE 上的高是4,∴ OE=CD= 8 4=2.∴ 点D 的横坐标是5.∴ 点 D 的坐标是(5,4).将D(5,4)代入 y= k x ,得 4=k5 ,解得k=20. 8. 6 [解析] 如图,过点M、N 分别 作x轴的垂线,垂足分别为Q、P.由 图可知,S△MON +S△ONP =S△OMQ + S梯形MNPQ. ∵ S△ONP = S△OMQ, ∴ S△MON=S梯形MNPQ=8.∵ M(m, 6),N(n,2),∴ 1 2 [(6+2)×(n- m)]=8.∴ n-m=2.∵ 点 M(m, 6)、N(n,2)在一次函数y=ax+8的 图像上,∴ 6=am+8,2=an+8. ∴ a(n-m)=-4.∴ a=-2. ∴ m=1.∴ 点 M 的坐标为(1,6). ∴ k=6. (第8题) 9. 5 [解析] ∵ AC∥BD∥y 轴,点 A、B 的横坐标分别为2、4,∴ 点C、D 的横坐标分别为2、4.又∵ 点A、B 在 函数y= 1 x (x>0)的图像上,点C、D 在函数y= k x (k>0,x>0)的图像上, ∴ A 2,12 、B 4,14 、C 2,k2 、 D 4,k4 .∴ AC =k-12 ,BD = k-1 4 . 由题图可知,S△OAC= 1 2AC× 2=k-12 ,S△ABD= 1 2BD×2= k-1 4 . 由题意,得 S△OAC -S△ABD =1,即 k-1 2 - k-1 4 =1 ,解得k=5. 10. 16 3 [解析] 如图,连接 DC. ∵ AE=3EC,△ADE 的面积为3, ∴ △CDE 的面积为1.∴ △ADC 的 面积为4.设点A 的坐标为(a,b). ∵ AB⊥y 轴于点B,∴ AB=a, OB=b.∴ OC=2AB=2a.∵ D 为 OB 的 中 点,∴ BD=OD= 12b. ∵ S梯形OBAC= S△ABD + S△ADC + S△ODC,∴ 1 2 (a+2a)×b=12a× 1 2b+4+ 1 2×2a× 1 2b.∴ ab=163. 把 A(a,b)代 入 y= k x ,得k= ab=163. (第10题) 运用系数“k”的几何意义 解决与图形面积有关的问题 解决这类与图形面积有关的 问题时,需要将问题中的图形面积 进行转化,与反比例函数图像上的 一个特殊点结合起来,常常用待定 系数设出这个点的坐标,进而用含 有这对待定系数的代数式表示面 积,建立等量关系式,并化简求得 这对待定系数的积,即可确定系数 “k”的值. 11. 如图,过点 A 作AD⊥x 轴于 点D,取CD 的中点E,连接BE. ∵ A、B 是函数y= k x (x>0)的图像 上的两点,A、B 两点的横坐标分别为 1、2, ∴ 在y= k x (x>0)中,令x=1,则 y=k;令x=2,则y= k 2. ∴ 点A 的坐标为(1,k),点B 的坐标 为 2,k2 . ∴ OD=1,AD=k. ∵ 点C在x 轴上,即点C 的纵坐标 为0, ∴ 易得B 为AC的中点. ∵ E 为CD 的中点, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 05 ∴ BE为△ADC的中位线,CE=DE. ∴ BE∥AD. ∵ AD⊥x轴, ∴ BE⊥x轴. ∴ OE=2. ∴ CE=DE=OE-OD=1. ∴ OC=3. ∵ △AOC的面积为6, ∴ 1 2×3k=6 ,解得k=4. (第11题) 12. (1) ∵ AD∥x轴, ∴ AD⊥y轴,即AD⊥AE. ∵ 点A 的坐标为(0,2),点C 的纵坐 标为-4, ∴ 在▱ABCD 中,对边AD 与BC 之 间的距离AE=2-(-4)=6. ∵ S▱ABCD=AD·AE=24, ∴ AD=4. ∴ 易知点D 的坐标为(4,2). 又∵ 反比例函数y= k x 的图像经过 点D, ∴ k=4×2=8. ∴ 反比例函数的表达式为y= 8 x. (2) ∵ 点B 在该反比例函数的图像 上,且当y=-4时,-4= 8 x ,解得 x=-2, ∴ 点B 的坐标为(-2,-4). 设AB 所在直线对应的函数表达式为 y=mx+n(m≠0). 把A(0,2)、B(-2,-4)代入,得 n=2, -2m+n=-4, 解得 m=3 , n=2. ∴ AB 所在直线对应的函数表达式为 y=3x+2. 专题特训（十二）　反比例 函数与一次函数的综合 1. B 2. B [解析] ∵ 在同一平面直角坐 标系中,正比例函数y=k1x 与反比 例函数y= k2 x 的图像没有交点,∴ 若 k1>0,则正比例函数的图像经过第 一、三象限,从而反比例函数的图像经 过第二、四象限,k2<0;若k1<0,则 正比例函数的图像经过第二、四象限, 从而反比例函数的图像经过第一、三 象限,k2>0.综上所述,k1 和k2 异 号.∵ k1和k2的绝对值的大小未知, ∴ k1+k2≤0不一定成立.故①错误. |k1+k2|=||k1|-|k2||< |k1|或|k1+k2|=||k1|-|k2||< |k2|,故②正确.|k1+k2|=||k1|- |k2||<||k1|+|k2||=|k1-k2|,故 ③正确.∵ k1 和k2 异号,∴ k1k2< 0.故④正确.综上所述,正确的有 ②③④,共3个. 3. (1) ∵ 函数y= 6 x (x>0)的图像 过点B(3,a), ∴ a=63=2. ∴ 点B 的坐标为(3,2). (2) 易得点A 的坐标为(0,n),n<0. ∵ △OAB 的面积为9, ∴ 易得1 2× (-n)×3=9. ∴ n=-6. ∴ y=mx+n即为y=mx-6. 将B(3,2)代入y=mx-6,得2= 3m-6,解得m=83. ∴ 一次函数的表达式为y= 8 3x-6. 4. A [解析] 把(1,m)代入y= 2x-5,得m=2-5=-3,∴ 一次函 数y=2x-5与反比例函数y= k x 的 图像交于点(1,-3).把(1,-3)代 入y= k x ,得-3=k1 ,∴ k=1× (-3)=-3. 5. 4 [解析] 如图,过点C 作CD⊥ x轴于点D,过点B 作BF⊥x 轴于 点 F,作 BE ⊥CD 于 点 E,则 ∠BEC=∠BFA=90°.∵ 点C(3, 4)在直线y=2x+b上,∴ 4=2×3+ b,解得b=-2.∴ 直线对应的函数表 达式为y=2x-2.令y=0,则x=1. ∴ 点 A 的坐标为(1,0).∵ 易知 BE∥x 轴,∴ ∠ABE = ∠BAF. ∵ ∠ABC = 90°,∴ ∠ABE + ∠EBC=90°.∵ ∠BAF+∠FBA= 90°,∴ ∠EBC=∠FBA.在△EBC 和 △FBA 中, ∠BEC=∠BFA, ∠EBC=∠FBA, BC=BA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EBC≌△FBA.∴ CE=AF, BE=BF.设点B 的坐标为 m,km , 则易得 4-km=m-1 , m-3=km , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 m=4, k=4. ∴ 反比例函数的表达式为y= 4 x. 把 x=1代入,得y=4.∴ a=4-0=4, 即a的值为4. (第5题) 6. (1) ∵ A(1,t+2)、B(-2t, -1)两点在反比例函数y= m x 的图 像上, ∴ 易得t+2=-2t×(-1),解得 t=2. ∴ m=1×(2+2)=4. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 15