11.2 专题特训（十三）反比例函数与几何图形的综合-【拔尖特训】2024-2025学年八年级下册数学（苏科版）

104 　专题特训（十三）　反比例函数与几何图形的综合 ▶ “答案与解析”见P52 类型一 反比例函数与相等的线段 1. 如图,A 是反比例函数y=- 2 x 在第二象限内 的图像上一点,B 是反比例函数y= 4 x 在第一 象限内的图像上一点,直线AB 与y 轴交于 点C,且AC=BC,连接OA、OB,则△AOB 的面积是 ( ) A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 (第1题) (第2题) 2. 如图,一次函数y=-2x+6的图像与坐标 轴交于A、B 两点,与函数y= k x (x>0)的图 像交于M、N 两点.若BM=MN,则k的值 为 . 类型二 反比例函数与相等的角 3. 如图,一次函数的图像与反比例函数y= m x (m 为常数)在第一象限内的图像交于点 A(a,4)、B(8,1),与y 轴交于点C,与x 轴 交于点D. (1) 求一次函数的表达式. (2) 连接OA、OB,求△AOB 的面积. (3) 若E 是x 轴上一动点,且∠OAE= ∠AOC,请直接写出点E 的坐标. (第3题) 类型三 反比例函数与三角形 4. 在平面直角坐标系中,将一块含有45°角的三 角尺按如图所示的方式放置,直角顶点C 的 坐标为(1,0),顶点A 的坐标为(0,2),顶点 B 恰好落在第一象限的双曲线上.现将三角 尺沿x轴正方向平移,当顶点A 恰好落在该 双曲线上时停止平移,则此时点C 的对应点 C'的坐标为 ( ) A. 5 2 ,0 B. (2,0)C. 32,0 D. (3,0) (第4题) (第5题) 5. 如图,动点A、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴 上,动点P 在函数y= 8 x (x>0)的图像上,若 PA⊥x 轴,△PAB 是以PA 为底边的等腰 三角形,则△PAB 的面积为 . 6. 如图,A(1,m)是正比例函数y=k1x与反比 例函数y= k2 x 的图像在第一象限的交点, AB⊥x轴,垂足为B,△ABO 的面积是2. (1) 求m 的值以及这两个函数的表达式. (2) 若点P 在x轴上,且△AOP 是以OA 为 腰的等腰三角形,求点P 的坐标. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级下 105 类型四 反比例函数与四边形 7. 如图,在平面直角坐标系中,▱OABC 的顶点 O 是坐标原点,点A 在x轴的正半轴上,点C 在函数y= 2 x (x>0)的图像上,点B 在函数 y= k x (x>0)的图像上,连接AC.若OC= AC,则k的值为 . (第7题) 答案讲解 8. 如图,在平面直角坐标系中,正比例 函数y=kx(k>0)与反比例函数 y= 3 x 的图像分别交于A、C 两点, 已知点B 与点D 关于坐标原点O 成中心对 称,且点B 的坐标为(m,0),其中m>0. (1) 四边形ABCD 是 (填写四边形 ABCD 的形状). (2) 当点A 的坐标为(n,3)时,若四边形 ABCD 是矩形,求m、n的值. (3) 试探究:随着k与m 的值的变化,四边 形ABCD 能不能成为菱形? 若能,请直接写 出k的值;若不能,请说明理由. (第8题) 9. 如图①,P 是反比例函数y= k1 x (k1>0,x> 0)图像上的一个动点,过点P 作x轴、y 轴 的垂线,分别交x轴、y轴于A、B 两点,交反 比例函数y= k2 x (k2<0,且|k2|<k1)的图像 于E、F 两点,连接OE、OF. (1) 用含k1、k2的式子表示四边形PEOF 的 面积S1. (2) 如图②,设点 P 的坐标为(2,3),连 接EF. ① 点E 的坐标是 ,点F 的坐标是 (用含k2的式子表示). ② 若△OEF 的面积为83 ,求反比例函数y= k2 x 的表达式. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第11章　反比例函数 ∴ 反比例函数的表达式为y= 4 x. (2) 由(1),得t=2, ∴ 一次函数y=kx+b与反比例函数 y= 4 x 的图像交于A(1,4)、B(-4, -1)两点. 由题图,可知当一次函数的值大于反 比例函数的值时,x 的取值范围是 -4<x<0或x>1. 7. C [解析] ∵ 点A(1,2)在反比例 函数图像上,∴ k=1×2=2.∴ 反比 例函数的表达式为y= 2 x.∵ 点 B(m,-1)在反比例函数图像 上, ∴ m= 2-1=-2.∴ B(-2,-1).由 题意知,关于x的不等式ax+b>kx 的解集即为一次函数图像在反比例函 数图像上方时自变量的取值范围. ∴ 关于x 的不等式ax+b>kx 的解 集为-2<x<0或x>1. 8. x<-3或0<x<3 [解析] ∵ 正比例函数y1=k1x(k1≠ 0)与反比例函数y2= k2 x (k2≠0)的图 像均关于原点对称,∴ 正比例函数 y1=k1x(k1≠0)与反比例函数y2= k2 x (k2≠0)的图像的交点关于原点对 称.∵ 一个交点的坐标为(3,-1), ∴ 另一个交点的坐标是(-3,1).作 出这两个函数的大致图像如图所示, 其中P(-3,1)、Q(3,-1),则关于x 的不等式k1x- k2 x>0 ,即k1x> k2 x 的 解集为x<-3或0<x<3. (第8题) 9. (1) ∵ 点A(1,3)在反比例函数 y= k x 的图像上, ∴ k=1×3=3. ∴ 反比例函数的表达式为y= 3 x. 又∵ 点B(-1.5,n)也在反比例函数 y= 3 x 的图像上, ∴ n= 3-1.5=-2. (2) x≤-1.5或0<x≤1. (3) ∵ A、B 两点在x 轴的两侧,点 M 在x轴上, ∴ 当A、B、M 三点共线时,MA+ MB 的值最小. ∴ M 为直线AB 与x轴的交点. 设直线AB 对应的函数表达式为y= cx+d. ∵ A(1,3)、B1(-1.5,-2), ∴ c+d=3, -1.5c+d=-2, 解得c=2 , d=1. ∴ 直线AB 对应的函数表达式为y= 2x+1. 当y=0时,x=- 1 2. ∴ 点M 的坐标为 -12 ,0 . 如图,作点B 关于x 轴的对称点B1, 连接AB1并延长,交x 轴于点N,连 接NB. ∴ 此时NB=NB1,则 NA-NB= NA-NB1有最大值. ∵ B(-1.5,-2),且点B、B1 关于 x轴对称, ∴ B1(-1.5,2). 设直线 AB1 对应的函数表达式为 y=ex+f. 将A(1,3)、B1(-1.5,2)代入,得 e+f=3, -1.5e+f=2, 解得 e=25 , f= 13 5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ 直线AB1 对应的函数表达式为 y= 2 5x+ 13 5. 当y=0时,x=- 13 2. ∴ 点N 的坐标为 -132 ,0 . (第9题) 10. (1) 把C(-4,0)代入y=kx+2, 得-4k+2=0,解得k=12. ∴ 一次函数的表达式为y= 1 2x+2. 把A(2,n)代入y= 1 2x+2 ,得n=3. ∴ 点A 的坐标为(2,3). 把A(2,3)代入y= m x (m≠0,x>0), 得m=6. ∴ k的值为12 ,m 的值为6. (2) 在y= 1 2x+2 中,当x=0时, y=2. ∴ 点B 的坐标为(0,2). ∵ P(a,0)为x轴上的一动点, ∴ PC=|a+4|. ∴ S△CBP= 1 2PC ·OB=12×|a+ 4|×2=|a+4|,S△CAP= 1 2PC · yA= 1 2×|a+4|×3= 3 2|a+4|. ∵ S△CAP=S△APB+S△CBP, ∴ 3 2|a+4|=3+|a+4|. ∴ a+4=6或a+4=-6. ∴ a=2或a=-10. 专题特训（十三）　反比例 函数与几何图形的综合 1. C [解析] 如图,分别过点A、B 作AD⊥x轴,BE⊥x轴,垂足分别为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 25 D、E.∵ AC=BC,∴ 易得 OD= OE.设 A -a,2a ,则 B a,4a , ∴ S△AOB = S梯形ADEB - S△AOD - S△BOE= 1 2 2 a+ 4 a ×2a-12a× 2 a- 1 2a× 4 a=3. (第1题) 2. 4 [解析] ∵ 一次函数y=-2x+ 6的图像与坐标轴交于A、B 两点,当 x=0时,y=6,当y=0时,x=3, ∴ A(3,0),B(0,6).设 M a,ka . ∵ BM = MN,∴ N 2a,2ka-6 . ∵ 点N 在反比例函数y= k x 的图像 上,∴ 2a2ka-6 =k.∴ k=4a. ∴ M(a,4).将 M (a,4)代 入 y= -2x+6,得-2a+6=4,解得a=1. ∴ M(1,4).∴ 易得k=1×4=4. 3. (1) 将B(8,1)代入y= m x ,可得 m=8, ∴ 反比例函数的表达式为y= 8 x. 将A(a,4)代入y= 8 x ,可得a=2, ∴ A(2,4). 设一次函数的表达式为y=kx+b. 将A(2,4)和B(8,1)代入y=kx+b, 得 4=2k+b, 1=8k+b, 解得 k=- 1 2 , b=5. ∴ 一 次 函 数 的 表 达 式 为 y = -12x+5. (2) 在y=- 1 2x+5 中,当y=0时, 0=-12x+5 ,解得x=10, ∴ D(10,0). ∴ S△AOB =S△AOD -S△BOD = 1 2 × 10×4-12×10×1=15. (3) 点 E 的 坐 标 为 (2,0)或 -103 ,0 . [解析] 如图,过点A 作 AE1⊥x 轴于点E1,则 AE1∥OC, ∴ ∠OAE1=∠AOC.∵ A(2,4), ∴ E1(2,0).作∠OAE2=∠AOC(点 E2 在y 轴左侧),AE2 交y 轴于点 F,过 点 A 作 AG⊥y 轴 于 点 G. ∴ OG=4,AG=2.∵ ∠OAE2= ∠AOC,∴ AF=OF.设OF=t,则 AF=t.∴ FG=4-t.由勾股定理,可 得AG2+FG2=AF2,∴ 22+(4- t)2=t2,解得t=52.∴ OF=52 ,则 F 0,52 .设直线AF 对应的函数表 达式 为y=cx+d.将 F 0,52 、 A(2,4)代入,易得直线AF 对应的函 数表达式为y= 3 4x+ 5 2. 当y=0 时,x=-103 ,∴ E2 - 10 3 ,0 .综上 所 述,点 E 的 坐 标 为 (2,0)或 -103 ,0 . (第3题) 4. A [解析] 如图,过点B 作BD⊥ x 轴于点D.∵ ∠ACO+∠BCD= 90°, ∠OAC + ∠ACO = 90°, ∴ ∠OAC= ∠BCD.在 △ACO 和 △CBD 中, ∠AOC=∠CDB, ∠OAC=∠DCB, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ACO≌△CBD.∴ OC=DB, OA=DC.∵ A(0,2)、C(1,0), ∴ OD=3,BD=1.∴ B(3,1).设双 曲线对应的函数表达式为y= k x. 将 B(3,1)代入y= k x ,得k=3.∴ y= 3 x. 把y=2代入y= 3 x ,得x=32. 当顶点A 恰好落在该双曲线上时,此 时点A 沿x 轴正方向平移了32 个单 位长度,∴ 点C也沿x轴正方向平移 了3 2 个单位长度.∴ 此时点C 的对 应点C'的坐标为 52 ,0 . (第4题) 5. 4 [解析] 如图,过点B 作BC⊥ AP 于点C,设P a,8a .∵ PA⊥ x轴,∴ 易 得 AP = 8a ,BC=a. ∴ S△PAB= 1 2AP ·BC=12× 8 a · a=4. (第5题) 6. (1) ∵ △ABO 的面积是2, ∴ k2=2×2=4. ∴ 反比例函数的表达式为y= 4 x. 当x=1时,m=41=4 , ∴ 点A 的坐标为(1,4). 又∵ 点A(1,4)在正比例函数y= k1x的图像上, ∴ k1=4. ∴ 正比例函数的表达式为y=4x. (2) ∵ △AOP 是以OA 为腰的等腰 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 35 三角形, ∴ OA=OP 或OA=AP. ① 当OA=OP 时, ∵ 点A 的坐标为(1,4), ∴ OA= (1-0)2+(4-0)2= 17. ∴ OP= 17. ∴ 点 P 的 坐 标 为(- 17,0)或 (17,0). ② 当OA=AP 时, ∵ AB⊥OP, ∴ OP=2OB=2. ∴ 点P 的坐标为(2,0). 综上所述,点P 的坐标为(- 17,0) 或(17,0)或(2,0). 7. 6 [解析] 如图,过点C 作CD⊥ OA 于点D.∵ OC=AC,∴ OD= DA.∵ 四边形OABC 是平行四边 形,∴ BC = OA = 2OD.设 C a,2a ,则B 3a,2a .∵ 点B 在 函数y= k x (x>0)的图像上,∴ k= 3a·2a=6. (第7题) 8. (1) 平行四边形. [解析] ∵ 正 比例函数y=kx(k>0)与反比例函 数y= 3 x 的图像分别交于A、C 两点, ∴ 点A、C 关于原点O 成中心对称. 又∵ 点B 与点D 关于坐标原点O 成 中心对称,∴ 对角线BD、AC 互相平 分.∴ 四边形ABCD 是平行四边形. (2) ∵ 点A(n,3)在反比例函数y= 3 x 的图像上, ∴ 3n=3,解得n=1. ∴ 点A 的坐标为(1,3). ∴ 易得OA= 10. ∵ 四边形ABCD 为矩形, ∴ OA=12AC ,OB=12BD ,AC=BD. ∴ OB=OA= 10. ∴ m= 10. (3) 四边形ABCD 不可能成为菱形. 理由:∵ 点A 在第一象限内,点B 在 x轴正半轴上, ∴ ∠AOB<90°. ∴ AC与BD 不可能互相垂直. ∴ 四边形ABCD 不可能成为菱形. 9. (1) 由题意,知∠PBO=∠PAO= ∠AOB=90°. ∴ 四边形PBOA 为矩形. ∵ P 是反比例函数y= k1 x (k1>0, x>0)图像上的一个动点, ∴ 易得S矩形PBOA=|k1|=k1. ∵ E、F 分别是反比例函数y= k2 x (k2<0,且|k2|<k1)图像上的两点, ∴ 易得S△OBF=S△AOE= 1 2|k2|= -12k2. ∴ S1=S矩形PBOA+S△OBF+S△AOE= k1+ - 1 2k2 + -12k2 =k1-k2. (2) ① 2,12k2 ;13k2,3 . ② ∵ 点P(2,3)在函数y= k1 x (k1> 0,x>0)的图像上, ∴ k1=6. ∴ S1=6-k2. ∵ 点E 的坐标为 2,12k2 ,点F 的 坐标为 1 3k2 ,3 , ∴ PE=3-12k2 ,PF=2-13k2. ∴ S△PEF= 1 2 3-12k2 2-13k2 . ∵ S△OEF= 8 3 , ∴ (6-k2)- 1 2 3- 12k2 · 2-13k2 = 83,化 简 整 理,得 k22=4. ∵ k2<0, ∴ k2=-2. ∴ 反比例函数y= k2 x 的表达式为 y=- 2 x. 11.3　用反比例函数解决问题 第1课时 反比例函数 在实际生活中的应用 1. C 2. C 3. 0.06 4. (1) 设Q=a+kx. 由题表可知,当x=5时,Q=580;当 x=8时,Q=400, ∴ a+k5=580 , a+k8=400 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 a=100, k=2400. ∴ Q 与x 之间的函数表达式为Q= 100+2400x (x≤10). (2) 令Q=600,则600=100+2400x , 解得x=4.8. ∴ 售价为4.8元/件. (3) 设月销售额为w 元. 由题意,可得w=x 100+2400x = 100x+2 400. ∵ 100>0, ∴ w 随x的增大而增大. ∵ x≤10, ∴ 当x=10时,w 取得最大值,此时 w=3400. ∴ 当售价为10元/件时,月销售额最 大,最大是3400元. 5. A 6. D [解析] 设S关于H 的函数表 达式为S=kH.∵ 当H=30时,S= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 45