专题01 随机变量及其期望方差（易错培优竞赛精练）-【竞赛】2024-2025学年高二数学竞赛能力培优精练（全国通用）

2025新高考高二随机变量及其期望方差易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校随机变量及其期望方差易错题精选 专题二：名校随机变量及其期望方差培优题精选 专题三：随机变量及其期望方差全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校随机变量及其期望方差易错题精选 1．三条生产线生产同一型号产品，若A、B、C三条生产线生产该类产品的次品率依次为0.05，0.1，0.1，A、B、C三条生产线生产的产品分别占总数的，任取一个产品，则取得的产品是次品的概率为（   ） A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06 【答案】A 【分析】先由题意确定各条件概率，然后由全概率公式计算即可. 【详解】根据题意，设任取一个产品，分别来自A，B，C生产线的事件分别为A，B，C，设任取一个产品为次品为事件D， 则，，，，，， 所以 ， 故选：A． 2．投掷一枚正方体骰子两次，则在第一次正面朝上的点数为奇数的条件下，第二次正面朝上的点数大于4的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率得，由即可求解. 【详解】记事件“第一次正面朝上的点数为奇数”，事件“第二次正面朝上的点数大于4”． 投掷一枚正方体骰子两次，所有的样本点（x为第一次正面朝上的点数，y为第二次正面朝上的点数）共36个， 其中事件A包含的样本点有18个事件AB包含的样本点有6个，, 所以. 故选：C． 3．某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】需要计算在3名学生均获奖的情况下，既有物理组合又有历史组合的学生的概率，利用全概率公式和条件概率公式即可求解. 【详解】令事件表示“参加数学竞赛的学生是物理组合”，令事件表示“参加数学竞赛的学生是历史组合”，令事件表示“获奖”，则有， 根据全概率公式有， 令事件表示“3人均获奖”，则， 令事件表示“这3人全是物理”，则， 令事件表示“这3人全是历史”，则， 令事件表示“这3人既有物理又有历史”，则， 根据条件概率公式有. 故选：B. 4．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 5．世纪以来，人工智能迅猛发展，在人工智能算法中，精确率、召回率、卡帕（）系数是衡量算法性能的重要指标在对某型号扫雷机器人的测试中，记表示事件“选择的位点实际有雷”，表示事件“选择的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用并事件概率公式及条件概率公式进行化简即可求解. 【详解】由已知得：， 根据， 所以有， 则上式又可化为： ， 故选：A. 6．（多选题）现有牌面互不相同的五张扑克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有3张和方块有2张．从中不放回地抽取2次，每次抽取一张，则下列说法正确的有（   ） A．第二次抽到黑桃的概率为 B．在抽取过程中，至少有一次抽到方块的概率为 C．若已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为 D．设抽到黑桃的次数为 【答案】ACD 【分析】利用古典概型的概率计算，分类计数、正难则反、条件概率以及离散型分布列计算数学期望，可得答案. 【详解】第二次抽到黑桃的概率为，故A正确； 因为两次都抽到黑桃的概率为， 所以至少有一次抽到方块的概率为，故B错误； 第二次抽到方块的概率为，两次都抽到方块的概率为， 所以已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为，故C正确； X可能取值为0，1，2，，，， 故，故D正确． 故选：ACD． 7．（多选题）有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于A，，由条件概率公式，即可求解；对于B，利用事件，事件相互对立和条件概率公式，即可求解；对于C，根据条件，利用全概论公式，即可求解；对于D，利用选项C中结果，再利用贝叶斯公式，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以选项A正确； 对于选项B，因为事件，事件相互对立，所以，所以选项B不正确； 对于选项C， 由全概率公式知， 所以选项C不正确； 对于选项D，由选项C知 则，所以选项D正确， 故选：AD． 8．（多选题）已知事件A，B，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】结合条件概率公式，由，再由得到，进而求解判断各个选项. 【详解】因为，所以，A选项正确； 由题意，，B选项正确； 因为，所以，所以，C选项正确； 又因为，所以， 所以，D选项错误； 故选：ABC. 9．为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩在117.5分以上（不含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人． （若，则，） 【答案】 0.16/ 10 【分析】利用正态分布的三段区间及对称性求、，进而估计数学考试成绩特别优秀的人数. 【详解】因为数学成绩服从正态分布， 则， 所以此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率． 又， 所以数学成绩特别优秀的概率． 又， 则本次考试数学成绩特别优秀的人数大约是人． 故答案为：， 10．甲乙丙三个班级共同分配9个三好学生名额，每班至少1个名额，用X表示这三个班级中分配的最少名额数，则X的数学期望 . 【答案】 【分析】由隔板法求得总的情况数，利用分组分配的思想求得不同取值下情况数，结合古典概型写出分布列，根据均值的计算，可得答案， 【详解】由题意可得的可能取值为，且总的情况数为， 当时，分组情况有，，，，情况数分别为； 当时，分组情况有，，情况数分别为； 当时，分组情况有，情况数为. 则，，， 可得的分布列如下： 所以. 故答案为：. 11．小郅同学参加某场数学竞赛，需要在个编号分别为、、、、的题中抽取任意个作答，已知他可以答对（正确率）这个题中的个，题中至少答对题即可晋级．现已知小郅晋级了，则他答对号题的概率为： ． 【答案】 【分析】设事件答对第一题，事件小郅晋级，求出、、，利用概率的乘法公式、条件概率公式可得出的值. 【详解】设事件答对第一题，事件小郅晋级，则事件为“小郅可以答对第一题且选中此题”， 则， 因为，， ，因此，. 故答案为：. 12．如图，有排列整齐的20个盒子和20个球（其中红球和黄球各5个，黑球10个），在每个盒子中随机放入了一个球，球的颜色可能是红色、黄色、黑色中的一种.现随机先后打开每个盒子（直到打开所有盒子结束），则红球最先被全部开出的概率为 . 【答案】 【分析】记最后打开的盒子中的球是黄球为事件，最后打开的盒子中的球是黑球为事件，记装有红球的盒子最先全部被打开为事件，则，利用全概率公式和乘法公式求出，即可得解． 【详解】由题知红球、黄球、黑球个数分别为5，5，10. 记“最后打开的盒子中的球是黄球”为事件，“最后打开的盒子中的球是黑球”为事件，显然事件与互斥， 记“红球最先全部开出”为事件，则. 当事件发生时，只需考虑装红球、黑球的所有盒子已全部打开，最后被打开的那一个盒子是黑球，可得， 则. 当事件发生时，只需考虑装有红球、黄球的所有盒子已全部打开，最后被打开的那一个盒子是黄球，可得， 则， 所以. 故答案为：. 13．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件，经检验发现取到的产品为不合格品，它是由机器 生产出来的可能性最大. 【答案】乙. 【分析】根据条件转化为全概率公式和贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设“任取一个零件为不合格品”，“零件为机器甲生产”，“零件为机器乙生产”，“零件为机器丙生产”，根据全概率公式即可求出，再由条件概率公式求出，然后比较大小可得. 设“任取一个零件为不合格品”，“零件为机器甲生产”， “零件为机器乙生产”，“零件为机器丙生产”， 则，且互斥， 依题意知， ， 所以 . 因为， ， . 所以，即由机器乙生产的概率最大. 故答案为：乙. 14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ． 【答案】 【分析】根据相互独立时间的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“水平方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论． 记向左，向右，向上，向下， ①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D）， LR（U或D或R），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以；所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以，所以． 故答案为:． 15．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表抽到的二等品件数，则 ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则 ． 【答案】 196 【分析】由题意可得，然后利用二项分布的方差公式及性质求解即可. 【详解】因为一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，其中X表示抽到的二等品件数， 所以抽到二等品的件数符合二项分布，即， 所以， 因为检测费用Y元与二等品件数X满足：， 所以， 故答案为：，196 16．某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 (1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； (2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析，. 【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可. （2）应用，由二项分布分别求出分布列及计算数学期望. 【详解】（1）由题意得：，，，， 所以，， 所以. 所以事件发生的条件下事件发生的似然比为. （2）①已知，且，落在和落在内的概率相等， 根据正态分布的对称性，. ②因为，所以从一线工作者中抽1人为轻压力工作者的概率为：. 所以从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数，即： 的可能取值为： 且，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 且. 17．某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】(1) (2)的分布列见解析； (3) 【分析】（1）根据正态分布的性质，进而可得； （2）以频率估计概率得随机抽取1个直径在区间内的概率为，由题意满足二项分布，根据二项分布的概率公式和期望公式可得； （3）根据条件概率和全概率公式可得. 【详解】（1）由题意， 得. （2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 故由题意满足二项分布， 故，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为 （3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品” 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，，，， 则， ， 故， 故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为. 18．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为，方差为. 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求解. （2）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望的方差. 【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 19．2025年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号和的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：和需依次完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5分、3分、2分，未完成项目得0分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了30次赛前模拟，数据如下： 完成电路板焊接次数 完成精密设备开启次数 完成精准打螺丝次数 10 18 24 15 15 15 若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立． (1)求比赛中只完成了一个项目的概率； (2)记在比赛中的总分为，求的分布列； (3)已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率． 【答案】(1)比赛中只完成了一个项目的概率为 (2)答案见解析 (3)已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为 【分析】（1）分析可得每个项目完成的概率均为，结合二项分布求解概率即可； （2）记比赛中得分，则的可能取值为，确定完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率，由此可确定随机变量对应的概率，从而得分布列； （3）记在比赛中的总分为，的可能取值为，求解的概率，再结合条件概率公式即可得所求. 【详解】（1）由于进行了30次赛前模拟，每个项目完成的次数均为30次， 则每个项目完成的概率均为， 设完成比赛项目个数为，则， 则， 故比赛中只完成了一个项目的概率为； （2）记比赛中得分，则的可能取值为， 完成电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝的概率分别为， 所以， 所以的分布列为： （3）记在比赛中的总分为，的可能取值为， 所以，， 记比赛“获胜”为事件，“的总分不低于5分”为事件， 则， 故已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率为. 20．某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望； (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围. 【答案】(1)平均值为，上四分位数为； (2)分布列见解析，数学期望为； (3). 【分析】（1）根据平均值计算公式和上四分位数计算方法即可得到答案； （2）写出的可能取值，再分别计算出其分布列，最后再利用数学期望公式即可； （3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率计算公式得到关于的表达式，从而得到不等式，解出即可；法二：根据比例法得到相关概率表达式，解出不等式即可. 【详解】（1）依题意，平均值 ， ， 上四分位数落在区间，且等于. （2）由样本数据可知，训练成绩在之内的频数之比为2:1， 由分层抽样的方法得，从训练成绩在中随机抽取了6次成绩， 在之内的4次，在之内的抽取了2次， 所以可取的值有：0，1，2， ，，， 分布列为： 0 1 2 . （3）法一：设事件分别表示动作优化前成绩落在区间，，， 则相互互斥，所以动作优化前， 在一次资格赛中，入围的概率， 设事件B为＂动作优化成功＂，则， 动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：，且事件相互互斥， 所以在一次资格赛中入围的概率 ， 故， 由解得，又的取值范围是. 法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：， 进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间或的成绩， 当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准， 所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率， 由，得，又的取值范围是. 21．某旅行社举办“寻找旅游热爱者”活动，活动工作人员准备了南方景点库、北方景点库两个景点库，用此筛选符合要求的参与者，并为符合要求的参与者准备了精美的纪念品．参与者需要先从这两个景点库中随机选择一个景点库，再从所选景点库中等可能地抽取一个景点，这是第一次抽取．将第一次抽取的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取．若两次抽取的景点都是参与者曾经去过的景点，则参与者符合活动要求并获得精美的纪念品．已知南方景点库共有12个景点，参与者小方去过其中9个景点，北方景点库共有8个景点，小方去过其中4个景点．第一次选择南方景点库和选择北方景点库的概率均为． (1)求小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率． (2)在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下，求小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率． (3)将小方第一次抽取到的曾经去过的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取时，有如下两种方案：方案一，从第一次抽取的景点库中抽取；方案二，从另外一个景点库中抽取．试比较两个方案，哪个方案使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大． 【答案】(1) (2) (3)方案一使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大. 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）由（1）的结论，利用条件概率公式计算. （3）利用全概率公式、条件概率公式分别求出两个方案使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率，再比较大小即可. 【详解】（1）记小方第一次选择南方景点库为事件，选择北方景点库为事件， 第一次抽取的景点是曾经去过的景点为事件， 所以． （2）在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下， 小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率 ． （3）记小方第二次抽取的景点是曾经去过的景点为事件， 由（2）得，则在小方第一次抽取的景点是曾经去过的景点的条件下， 第一次抽取的景点是北方景点库的景点的概率， 在事件发生的条件下： ①若选择方案一，则，， 则在事件发生的条件下，小方第二次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率， 所以在方案一下，小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率； ②若选择方案二，则，， 则在事件发生的条件下，小方第二次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率， 所以在方案二下，小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率． 而，所以方案一使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大． 22．为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 【答案】(1)软件、软件能正确解答数学问题的概率分别为、 (2)应该使用软件来解决这道试题. (3)， 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得软件、软件能正确解答数学问题的概率； （2）利用全概率公式计算出、软件分别能解答对第题的概率，比较大小后可得出结论； （3）利用二项分布的期望公式和方差公式可求出随机变量、的期望和方差，由题意可知、相互独立，可得出，，即可得出答案. 【详解】（1）记、软件能正确解答数学问题的概率为和， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得，. （2）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件. 则，，，，，， 由全概率公式可得. . 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小浦应该使用软件来解决这道试题. （3）几何试题用软件解答，函数试题用软件解答. 因为，， 由二项分布的期望公式可得，， 由二项分布的方差公式可得，， 因为、相互独立，则， . 23．某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. (1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； (2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解； （2）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，二项分布即可求解. 【详解】（1）由题意，，的概率等于. 令，则. 因此， . 故净含量误差超过5g的概率约为. （2）可能的取值为0、1、2、3. 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为. 故服从二项分布，记， ， 从而的分布为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此. 24．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 【答案】(1)，不独立； (2)当时，获奖的可能性最大；当时，获奖的可能性最小. 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率及条件概率公式求解，再利用全概率公式求出，利用相互独立事件定义判断即可. （2）求出获奖的概率，再构造函数，结合组合数公式探讨单调性确定概率最大、最小值. 【详解】（1）当时，盒中有6个白球，14个黑球，，， ， ，则，所以事件与相互不独立. （2）从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率， 设，当时，， ，当时，， 当时，，因此， 而，则， 所以当时，参与者获奖的可能性最大；当时，参与者获奖的可能性最小. 25．为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． (1)已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 【答案】(1)①；② (2)甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由见解析 【分析】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为.根据甲每关不成功概率是，即可求解；②的可能取值为，，，根据甲每关不成功概率是，乙每关不成功概率是，再结合独立事件乘法公式求出对应概率，即可求解； （2）设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为.把和展开成式子，对应部分相等，可得，即甲、乙先出场成功概率一样. 【详解】（1）①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为， 则. ②依题可知，的可能取值为，，， 则由①知， ， ， ∴的分布列为 ∴. （2）设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为. 则 ， ， ， ， . 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同. 专题二：名校随机变量及其期望方差培优压轴试题精选 1．某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用全概率公式求出，利用古典概率求出，再比较大小即可. 【详解】设事件为“抽奖者甲中奖”，事件为“甲选中的盲盒有奖”，则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后， 因此， 由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则， 于是，所以. 故选：A. 2．若为的任意排列，设，，则（    ） （已知表示中最小的数，表示中最大的数） A．排列总数为个 B．满足的排列有80个 C．的概率小于 D．的概率为 【答案】D 【分析】在深刻理解题意的基础上对每个选项逐一判断.其中选项A是全排列问题，选项B需要先选后排，选项C，D列一列再研究即可. 【详解】对于A，的任意排列方法总数为个，故A错误， 对于B，若，则先从中随机选出3个数， 共有种不同的方法，再将剩下3个数任意排列，共有种不同的方法， 则满足的排列有个，故B错误； 对于C，D，因为，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 所以共有10种不同的情况，则的概率为，故C不正确； 而的情况有种，故的概率为，故D正确. 故选：D. 3．（多选题）在信道内传输0，1信号．信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.09 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 【答案】CD 【分析】设出对应事件，根据条件概率和全概率公式计算即可得解. 【详解】由题意，设事件为“发送信号0”，事件为“发送信号1”，事件为“接收信号为0”，事件为“接收信号为1”， 则，，，， 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为，A错； 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为，B错； 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为，C对； 接收信号为1的概率为，解得即发送信号为1的概率为，可得，D对. 故选：CD 4．（多选题）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（    ） A．若，，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，n为奇数时，随着的增大而增大 D．当时，n为偶数时，随着的增大而增大 【答案】AC 【分析】对于A，根据直接写出，然后根据取最大值列式计算即可判断；对于B，根据，直接写出即可判断；对于C，D，由题意把表示出来，然后分析单调性即可. 【详解】对于A，在10次射击中击中目标的次数， 当时对应的概率， 因为取最大值，所以， 即， 即，解得， 因为且，所以，即时概率最大．故A正确， 对于B，， 当时，取得最大值，故B错误； 对于C、D，， ， ， ， 当，n为奇数时，为正项且单调递增的数列， 则随着的增大而增大，故C正确， 当，n为偶数时，，随着的增大而增大， 则随着的增大而减小，故D错误. 故选：AC 5．一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作，则第二次取出的球是黑球的概率为 ；在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第4次取出的球都是黑球的概率为 ． 【答案】 【分析】记表示第次取到黑球，，根据已知条件结合全概率公式即可求解；根据已知条件利用样本空间法即可求解. 【详解】记表示第次取到黑球，， ； ，， ， . 故答案为：. 6．某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号. (1)若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且. （i）求概率； （ii）记随机变量，求的均值. (2)经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，直接求解即可；先求得的取值，再根据期望计算公式，直接计算即可； （2）分别计算录用面试第一名，和第二名的概率，即可证明. 【详解】（1）（i）， （ii）的可能取值为，则， 所以 （2）①第一种情况，录用了面试得分第一的人. 若面试得分第一的人在第位，要使得其被录用，则在他前面的个人中的最高分必然在前3位， 其他个人可以任意排列，在得分第一后面的个人任意排列，这种情况的概率为： . ②第二种情况，录用了面试得分第二的人. 若面试得分第一的人在前三位，则第二的人在第10位，其他人任意排列， 这种情况的概率为. 若面试得分第一的人不在前二位，那么他一定在第二的人后面，第二的人在第位， 同样在他前面的个人中的最高分必然在前3位，其他个人可以任意排列， 在得分第二后面的（含第一）个人任意排列，这种情况的概率为： 综上，面试得分第一､二的两名毕业生之一被录用的概率为： 7．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. 【答案】(1)0.5; (2)证明见解析，，. 【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解； （2）根据给定条件，求出、的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证. 【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间， 设为第1分钟时，猫在号房间，老鼠在号房间， 则 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. （2）由题意，， 当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 所以，则， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式也满足题意，则. 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为； 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为； 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为. 所以， 整理可得， 因为，所以， 即， 又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列， 则，满足上式也满足题意，则， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，其通项公式为. 8．随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西.某网店为了解网民在该网店的购物情况，从某天交易成功的所有订单中随机抽取了100份，按购物金额（单位：千元）进行统计，并将其分成以下六组：，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (1)若该网店平均每天有100个订单，试计算样本平均数与中位数，并估计该网店一年的总销售额（一年按365天计算）； (2)2024年“双十一”期间，该网店在两件畅销商品的页面均设置了一个“限时抢红包”的环节，每人在每个页面最多只能抢到一个红包，其中每个红包由百元现金券组成，该现金券可以在购物时直接抵减相应金额.现甲参加了这两件商品的“限时抢红包”活动，设甲在商品页面抢到红包的概率分别为，且这两次红包是否抢到互不影响.分别记甲抢到的红包总数量为，红包总金额为百元. （i）求的分布列及数学期望； （ii）求的数学期望取最大值时正整数的值. 【答案】(1)样本平均数为千元，中位数为千元，总销售额为千元 (2)（i）， ； （ii） 【分析】(1)利用频率分布直方图结合组中值求解中位数和平均数以及总销售额. (2)（i）结合题意求出甲在商品页面抢到红包的概率，甲在商品页面抢到红包的概率，结合独立事件求出的分布列及数学期望. （ii）根据随机变量和随机变量的关系，求出的数学期望，并结合导数求解出取最大值时正整数的值. 【详解】（1）平均数 设中位数为则在 中， 则 总销售额为 （千元） （2）(i)可取0,1,2 所以的分布列为 ， ， (ii) 可取 且 则      令      当 时, 单调递增 当 时, 单调递减      即 时, 取最大值. 9．已知一个盒子里有10个相同的白色小球，现在某学习小组利用这个盒子进行染色游戏和抽球游戏，并额外储备了大量红色小球和白色小球. (1)若将盒子中的小球排成一列并编号1，2，3.....10， 并将其中三个染成红色，设第二个红色小球编号为，求； (2)若将这10个小球中的4个染成红色，将这10个小球全部放入盒子中后进行抽球游戏，每次取一个球后，从储备球中取出2个与取到的球同色的球放入盒子中，求： （i）第2025次取球时拿到白球的概率； （ii）在第1次取球时拿到白球的条件下，第2025次取球时拿到白球的概率. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由题可得的值可为2，3，4，5，6，7，8，9.据此可得对应期望； （2）由数学归纳法可得第2025次取球时拿到白球的概率与第一次拿到白球的概率相同，据此可得答案. 【详解】（1）由题可得的值可为2，3，4，5，6，7，8，9. 又，， ， . 则     ； （2）（i）设第n次摸到白球为事件，第n次摸到红球为， 则， 由题可得，第一次从盒中摸到白球的概率为， 第二次摸到白球的概率为： ，注意到，则猜测. 下面用数学归纳法证明： 当时，结论显然成立. 假设时，结论成立，则，， 设此时球总数为，则白球个数为. 则第k次摸球时， . 综上，对，. 由以上证明可得第2025次取球时拿到白球的概率为. （ii）若第1次取球时拿到白球，则第2次摸球时，白球有8个，共12个球， 设此时第n次摸到白球为事件，摸到红球为 则第2次摸到白球的概率为：. 第3次摸到白球概率为： ， 则猜测此时第n次摸到白球的概率为. 下面用数学归纳法证明：. 当时，结论显然成立. 假设时，结论成立，则，， 设此时球总数为，则白球个数为. 则第k次摸球时， . 综上，对，. 则在第1次取球时拿到白球的条件下，第2025次取球时拿到白球的概率为. 【点睛】结论点睛：本题涉及概率论中的“波利亚罐子”模型. 设罐中放有个白球和个红球，将每次从罐子中取出一个球并放入个与取出颜色相同球称为一次操作，则次操作后，取出白球的概率为. 10．小奥和小锐两位同学在两个房间内做游走游戏.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.小奥从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟两人都在一个房间，那么下一分钟小锐必定移动到另一个房间；若上一分钟两人不在同一房间，小锐从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分时，小奥在0号房间，小锐在1号房间.设在第分钟时，小奥和小锐在0号房间的概率分别为. (1)求第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率； (2)求； (3)求在第几分钟时，小锐在0号房间的概率最大. 【答案】(1)0.5 (2) (3)2分钟 【分析】（1）利用相互独立事件概率的乘法公式求解，即可得解， （2）根据全概率公式可得，即可根据以及等比数列求解， （3）进而分三种情况求解可得，即可根据等比数列的性质求证，由，对分奇偶性讨论，即可由单调性求解. 【详解】（1）第0分钟时，小奥在0号房间，小锐在1号房间. 设为第1分钟时，小奥在号房间，小锐在号房间的概率， 则， . 设第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为，则， 所以第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率为0.5. （2）证明：易知，且由（1）得. 当时，小奥在第分钟时位于0号房间包含2种情形： ①上一分钟仍在0号房间，继续保持在0号房间的概率为， ②上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 则由全概率公式，， 进而， 结合，故是首项为，公比为的等比数列， 即，注意到当时也满足题意， 因此. （3）小锐第分钟在0号房间包含3种情形： ①上一分钟小奥和小锐都在1号房间，小锐转移到0号房间的概率为， ②上一分钟小奥在0号房间，小锐在1号房间，小李转移到0号房间的概率为， ③上一分钟小奥在1号房间，小锐在0号房间，小锐转移到0号房间的概率为. 故由全概率公式，， 即. 要证为等比数列，即证为等比数列， 而， 故，结合， 故为首项，公比为的等比数列， 即，注意到时也满足题意， 因此. 故， 显然不是其最大值，设， ①当为奇数时，，当且仅当时取等，故的最大值为0； ②当为偶数且时，， 当时，，故最大值为， 因此的最大值为， 即在第2分钟时，小锐在0号房间概率最大. 11．奥运会中足球比赛的小组赛阶段的规则如下：共有个国家队被分成个小组，每个小组支球队循环比赛，共打场，每场比赛中，胜､平､负分别积分.每个小组积分的前两名球队晋级下一阶段的淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜､平､负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. (1)假设球队参与的前场取得胜负的成绩，具体比赛结果为与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.此时，各积3分，积0分，求球队最终晋级的概率. (2)假设该小组的前三场比赛结果如下：与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.设小组赛阶段球队的积分之和为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据条件，利用相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式，即可求解； （2）根据条件，求出可能取值及相应的概率公式，即可求出分布列，再由期望的计算公式，即可求解. 【详解】（1）在剩下的三场比赛中： 若与比赛平局，则积分各加1分，都高于的积分，淘汰； 若与比赛平局，则与比赛的结果无论如何，都有两队的积分高于淘汰； 若与比赛平局，则同理可得一定会淘汰. 综上，若要出线，则剩下的三场比赛不可能出现平局， 若与比赛，胜，与比赛，胜，与比赛，胜，则出线，争夺第二名，出线的概率为. 若与比赛，胜，与比赛，胜，与比赛，胜，则出线，争夺第二名，出线的概率为. 其他情况，均淘汰. 故球队最终出线的概率为. （2）前三场比赛中球队的积分之和为， 剩下的三场比赛为与比赛，与比赛，与比赛，其中与比赛的结果与球队的积分之和无关. 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 若与比赛中，球队得到的积分之和为与比赛中，球队得到的积分之和为，则，其概率为， 的分布列为 . 12．甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响. (1)已知甲先上场，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求和； (2)如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 【答案】(1) ①②, (2)概率相同，理由见解析 【分析】（1）①甲每关不成功概率是，乙每关不成功概率是，再结合独立事件乘法公式计算即可； ②取值有，求出对应概率，再按期望和方差公式算出期望； （2）设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为，再展开成式子，比较大小即可得到其是否相同. 【详解】（1） ①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为， 则； ②依题可知，的可能取值为， 则， ， ， 所以， ； （2）设甲先出场比赛挑战成功的概率为，乙先出场比赛挑战成功的概率为， 比较可知， 所以甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同. 13．若抛掷一枚硬币，每次落地后正面向上的概率为，张华同学思考了以下抛掷硬币问题： (1)一共抛掷硬币4次，求恰有2次正面朝上且第2次抛掷是反面朝上的概率； (2)如果抛掷硬币前约定“双上次原则”：即最多抛掷硬币次，当出现两次正面朝上时就不再抛掷，抛掷硬币次后即使没有出现两次正面朝上也不再抛掷．设表示“双上次原则”中抛掷硬币的次数． ①若，求； ②若（为整数）表示抛掷硬币次时恰有2次正面朝上的概率，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）根据出现的情况有两种，即可根据独立事件的概率乘法公式求解①，根据以及期望的计算公式即可求解②. 【详解】（1）抛掷硬币4次，恰好有2次正面朝上且第2次是反面朝上，则在1，3，4次中有两次是正面朝上，则概率为 （2）①若，则出现的情况有两种， 情况一：前四次抛掷均为反面，第五次无论何种情况均符合题意， 情况二:前四次抛掷出现一次正面，第五次无论何种情况均符合题意， 所以, ②由题意可得的所有取值有 , 所以， 因为,由于，则， 所以, 故，得证. 14．已知一个袋子中装有分别标有数字的张卡片，． (1)把这个袋子中的张卡片分别放入2个不同的盒子中，每个盒子不空，记分配方法总数为，求的值； (2)从这个袋子中依次随机抽取一张卡片． （i）若取出的卡片不再放回袋子，记为最后一张标号为偶数的卡片被取出时所需的抽取次数，求； （ii）若取出的卡片再放回袋子，最多抽取次，直到取到标号为偶数的卡片就停止抽取，记抽取的次数为，证明：． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用组合计数求，再由分组求和法，结合等比数列求和公式求解即可； （2）（i）利用组合计数与古典概型概率公式得到概率分布列，再由离散型随机变量的期望公式可求；（ii）利用相互独立事件同时发生的概率公式得到概率分布列，再由错位相减法即可求得. 【详解】（1）由题意知， 所以 . （2）（i）由题意知的所有可能取值为， 则， 所以 ， 因为 ， 所以； （ii）证明：若取出的卡片再放回袋子，则每次抽取到偶数号码卡片的概率为， 由题意知的所有可能取值为， 所以，， 则的分布列为 所以， 则， 两式相减可得 ， 所以. 【点睛】解决此题的关键有二：一是审清题意确定终止条件，结合概率模型使用公式求解；二是利用错位相减法数列求和证明不等式. 15．有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． (1)，，，如果按照、、的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出入员数目的分布列和数学期望； (2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，请说明理由． 【答案】(1)①；②分布列见解析，数学期望为； (2)先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 【分析】（1）①根据独立性事件乘法公式即可得到答案； ②可取1，2，3，再分别计算出其对应概率，再利用数学期望公式即可得到答案； （2）首先分析出前两人应从A和B中选，C最后派出，再分类讨论作差比较两种方案即可. 【详解】（1）①设按照A、B、C的顺序先后进入，任务被完成为事件， 则 . ②可取1，2，3， ，， ， 所以其分布列为 X 1 2 3 P 数学期望. （2）若按照某一指定顺序派人，A、B、C三人各自能完成任务的概率依次为，，， 其中，，是，，的一个排列， 结合（1）②知， 由，得要使X最小，前两人应从A和B中选，C最后派出， 若先派A，再派B，最后派C，则； 若先派B，再派A，最后派C，则， 而，所以先派A，再派B，最后派C时，派出人员数目X的数学期望达到最小. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是计算出期望表达式，再分析C最后派出，最后分类讨论并比较大小即可. 16．阿尔法狗（AlphaGo）是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军．它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗（AlphaGo），三个阶段的阿尔法狗（AlphaGo）依次简记为甲、乙、丙． (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗（AlphaGo）各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手恰连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程． (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，且每局比赛结果相互独立． （ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值； （ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件M，求． 【答案】(1)在第二局与甲比赛 p最大，判断过程见解析 (2)（i）分布列见解析，；（ii）. 【分析】（1）棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记，，，分别求得在第二盘与甲、乙、丙比赛连胜两局的概率，即可求解. （2）（ⅰ）求出X所有可能值，利用相互独立事件与互斥事件概率运算求得相应的概率，列出分布列并求得期望，再利用基本不等式并结合二次函数性质即可求得期望的最大值；（ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，则，利用相互独立事件概率运算即可求解. 【详解】（1）该棋手在第二局与甲比赛p最大， 该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，记，，， 该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则， 同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率， 该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率， 因为，所以该棋手在第二局与甲比赛 p最大. （2）（ⅰ）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则， 由题意得X的所有可能取值为：2，4，5， ， ， ， 所以X的分布列为： 2 4 5 所以X的期望为： ， 由，得，当且仅当取等号，则， 因此， 所以的最大值为 （ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”. 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”， 事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”，当甲、乙得分总数相同时， 甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 ， 因此，得，而， 所以 17．已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局． (1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率； (2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为． ①求甲获胜的概率； ②求． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】（1）利用互斥事件的概率及独立重复试验的概率公式，列式计算即得.（2）①利用全概率公式列出的关系等式，再利用消元法求出；②列出的关系等式，利用消元法求出. 【详解】（1）4局结束比赛时甲获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3，4局甲胜， 概率为；4局结束比赛时乙获胜，则在前2局甲乙各胜一局，并且第3，4局乙胜，概率为，所以恰好4局结束比赛的概率为． （2）①在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局： 若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛获胜的概率为； 若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束， 根据全概率公式，，同理，，，， 由，，得， 与联立消去，得， 又，，得， 与联立消去，得， 所以甲获胜的概率为． ②在甲净胜-2局前提下，继续比赛一局： 若甲赢，则甲的状态变为净胜-1局，继续比赛至结束，还需要局，共进行了局； 若甲输，则甲的状态变为净胜-3局，比赛结束，共进行了1局， 则，即， 同理，即， ，即， ，即， ，即 联立与，得， 联立与，得， 代入，得， 所以． 18．为积极落实“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”的现代健康理念.某学校大力开展“阳光体育大课间”活动，制订了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励学生，该系列纪念币有四种.每个学生每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后学生将随机等可能地获得一枚纪念币. (1)某学生活动前两天获得两种纪念币，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？ (2)通过抽样调查发现，活动首日有的学生选择“球类”，其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率估计概率，记某学生第天选择“球类”的概率为. ①计算，并求. ②该学校共有学生2100人，经过足够多天后，试估计该学校接下来每天各有多少学生参加“球类”和“田径”运动？ 【答案】(1) (2)①，，；②“球类”为900人，“田径”为1200人. 【分析】（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”， 计算出基本事件总数和事件包含基本事件的个数由古典概型概率计算公式可得答案； （2）①由题可得、，当时，得，即，所以是等比数列，由此得到； ②由①当足够大时，选择“球类”的概率近似于，用表示一天中选择“球类”的人数，则，由二项分布的期望公式可得答案. 【详解】（1）设事件为：“他恰好能集齐这四枚纪念币”， 由题意，基本事件总数有个， 事件包含基本事件的个数为个， 所以他恰好能集齐这四枚纪念币的概率． （2）①由题可知：， ，所以， 当时，， 所以， 又因为，即是以为首项，以为公比的等比数列． 所以，所以． ②依题意得，当足够大时，选择“球类”的概率近似于， 假设用表示一天中选择“球类”的人数，则， 所以， 即选择“球类”的人数的期望为900，选择“田径”的人数的期望为1200． 【点睛】关键点点睛：本题考查离散型随机变量分布列及其期望、样本估计总体等知识；关键点是学生要有较好的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想和应用意识． 19．某答题打怪游戏遵循如下规则：游戏开始时会有一个Boss，其血量由玩家选择的难度而定．随后页面会显示答题区，在答题开始后，若答错一题那么Boss将会扣1点血，每答对一题Boss扣血点数为上次扣血的两倍（如果第一题答对则扣2点血），在给定题目作答结束后如果血量扣完（血量≤0）则挑战成功，否则挑战失败．为简化研究，现假设玩家每题答对的概率均相同且不变，且作答第一题后Boss扣血量的期望为，每次答题点相独立，则： (1)假设Boss初始血量为4点，答题次数为3，则本次挑战失败的概率是多少？ (2)假设Boss初始血量足够多，求第n次答题时的扣血点数的期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出第一题后的扣血量为随机变量的期望，分情况讨论求出挑战失败的情况即可求解； （2）求出第次的扣血点数的期望，根据数列的性质即可求解. 【详解】（1）设第一题后的扣血量为随机变量， 因为答对时扣血量为2点，概率为，答错时扣血量为1点，概率为， 因此期望为， 根据题意，解得， 答题3次，每次有对（√）或错（×）两种可能，共种情况， 1.√√√： 第一次扣2点（√），第二次扣点（√），第三次点（√）， 总扣血，挑战成功； 2.√√×： 第一次扣2点（√），第二次扣4点（√），第三次扣1点（×）， 总扣血，挑战成功； 3.√×√： 第一次扣2点（√），第二次扣1点（×），第三次扣1×2=2点（√）， 总扣血，挑战成功； 4.√××： 第一次扣2点（√），第二次扣1点（×），第三次扣1点（×）， 总扣血，挑战成功； 5.×√√： 第一次扣1点（×），第二次扣2点（√），第三次扣4点（√）， 总扣血，挑战成功； 6.×√×： 第一次扣1点（×），第二次扣2点（√），第三次扣1点（×）， 总扣血，挑战成功； 7.××√： 第一次扣1点（×），第二次扣1点（×），第三次扣2点（√）， 总扣血，挑战成功； 8.×××： 第一次扣1点（×），第二次扣1点（×），第三次扣1点（×）， 总扣血，挑战失败， 只有第8种情况（×××）会挑战失败， 其概率为， 因此，挑战失败的概率为； （2）第次的扣血点数满足， 因此期望满足， 代入得， 这是一个递推数列问题，形式为， 设存在常数使得， 展开后， 与原递推式对比得， 因此， 这是一个等比数列，首项为，公比为， 所以，所以， 所以第次答题时的扣血点数的期望为：. 20．小明和小王按照规定在奇妙种植园中采摘水果，水果越采摘越多．奇妙种植园中的每个园区在最初始时会提供有限个橙子和苹果供采摘，且每次采摘均为随机采摘，当每次从种植园中随机采摘一次得到一个水果后，将水果退回种植园，并再添加同种水果个放入种植园． (1)若小王选择的园区初始有5个橙子和15个苹果，小明选择的园区初始有4个橙子和12个苹果，且a=2．分别求小王第2次采到橙子的概率和小明第2次采到橙子的概率，并比较大小； (2)小王和小明经多次采摘试验，大胆猜测：无论初始时橙子和苹果的个数是多少，两人每一次采摘到橙子的概率都相等，请说明猜测正确吗？并说明理由； (3)若初始有m个橙子和n个苹果，求第r次采摘后，累计采摘到的橙子个数的期望．（用m，n，r表示）． （附：若随机变量服从两点分布，且，，） 【答案】(1)都是 (2)正确，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用全概率公式计算两人第 2 次采到橙子的概率，比较即可； （2）证明第次采摘采摘到橙子的概率与第次采摘采摘到橙子的概率相等即可； （3）利用结合公式计算即可证明. 【详解】（1）记第次采摘到橙子的概率是，则第 次采摘到苹果的概率是， 对于小明， ，由全概率公式可得: 同理，对于小王： 故小王第 2 次采摘到橙子的概率和小明第 2 次采摘到橙子的概率大小相等均为. （2）设第次采摘时有个橙子和个苹果， 则 ；， 由全概率公式可得: 所以，即每一次采摘到橙子的概率都相等. （3）设第次采摘到橙子的个数为..， 则，所以服从两点分布. 记第次采摘后，累计采摘到的橙子个数是， 则 ，所以 . 21．某校心理活动中心计划在周四和周五两天各举行一次活动，分别由张老师和王老师两人负责活动通知．已知该中心共有n位学生成员，每次活动均需该中心的k位学生成员参加．假设张老师和王老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该中心k位学生成员，且所发信息都能收到． (1)当，时，求该中心学生成员小明同学收到张老师或王老师两人所发活动通知信息的概率； (2)记至少收到一个活动通知信息的学生成员人数为X ①设，，求随机变量X的分布列和数学期望； ②设，求使取得最大值的整数m． 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；②（为不超过的最大整数） 【分析】（1）先设出“小明收到张老师所发活动通知信息”事件和“小明收到王老师所发活动通知信息”事件，再根据独立事件性质，计算概率即可； （2）①先得到X的可能取值为2，3，4，再根据组合公式计算对应概率，最后运用期望公式计算即可； ②先求出当时的概率，当时，整数m满足，其中t是和7中的较小者，由张老师和王老师各自独立、随机地发送活动信息给k位学生成员，得所包含的基本事件总数为，进而得到当时，同时收到张老师和王老师两人所发信息的学生人数为，仅收到张老师或王老师转发信息的学生人数为，最后由分步乘法原理和古典概率公式计算得到，当时求出取得最大值时，m满足，最后证明即可. 【详解】（1）设事件A：“小明收到张老师所发活动通知信息”，事件B：“小明收到王老师所发活动通知信息”， 由题意A和B是相互独立的事件，则与相互独立， 而  所以， 因此，小明同学收到张老师或王老师两人所发活动通知信息的概率为． （2）①X的可能取值为2，3，4， ，，， 所以X的分布列为： X 2 3 4 P 数学期望． ②当时，m只能取7，此时有； 当时，整数m满足，其中t是和7中的较小者， 由张老师和王老师各自独立、随机地发送活动信息给k位学生成员，得所包含的基本事件总数为， 当时，同时收到张老师和王老师两人所发信息的学生人数为， 仅收到张老师或王老师转发信息的学生人数为， 由分步乘法原理知，事件所包含的基本事件数为，， 当时，， ， 因此取得最大值时，m满足， 假如成立， 则当能被9整除时，在和处达到最大； 当不能被9整除时，在处达到最大值． （表示不超过x的最大整数）， 下面证明： 由，得， ，则，显然， 因此． 综上，符合条件的表示不超过的最大整数）． 22．某药厂为获得新研发药品的治愈率，委托某公司进行调查，首轮抽取个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立． (1)假设，回答以下问题： （ⅰ）若，求患者痊愈比例为到的概率． （ⅱ）该公司第二轮再抽取个患者进行试验．为简化运算过程，拟用计算两轮试验治愈总人数为的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由． (2)在重伯努利试验中，随机变量，随着试验次数增加，其概率计算较为复杂，此时，根据中心极限定理，近似服从正态分布，故常用以下公式简化概率计算：，其中，随机变量．若用该公司首轮试验的治愈频率来估计治愈率，为保证有把握，使得与之间误差不超过0.01，则至少应抽取多少个患者？ 参考数据：． 【答案】(1)（ⅰ） （ⅱ）合理，证明见解析 (2) 【分析】（1）（ⅰ）判断治愈人数服从的分布计算即可； （ⅱ）设首轮治愈人数为，判断服从的分布，求出，设第二轮治愈人数为，同理求出，据此即可求解； （2）证明近似服从正态分布，求出，，求出临界值即可求解. 【详解】（1）（ⅰ）治愈人数服从二项分布， 需要计算，即：， 因为， 所以； （ⅱ）首轮抽取个患者，每个患者治愈概率为，且相互独立， 设首轮治愈人数为，则服从二项分布， 即， 第二轮再抽取个患者，治愈概率仍为，且独立于首轮试验， 设次轮治愈人数为，则服从二项分布， 即， 总治愈人数，其中和独立， 由于两轮试验的均为且独立， 总治愈人数服从， 因此：； （2）根据中心极限定理，当较大时， 近似服从正态分布， ，， ， 因为，所以临界值， 所以，因为在时取得最大值0.25， 所以代入此最坏情况以保证结果保守， 所以，所以至少需要抽取6400名患者以满足要求. 【点睛】关键点点睛：本题（2）关键在于对中心极限定理的理解. 23．信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有0或1两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，往往需要经过多重加密，若，是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密时信息中字节会等可能的变为0或1，且0，1之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中0或1发生变化的概率为，若，的初始状态为0，1或1，0，记通过两次加密后，中含有字节1的个数为. (1)若两次加密后的，中字节1的个数为2，且，求，通过第一次加密后字节1的个数为2的概率； (2)若一条信息有种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，则称（其中为这条信息的信息熵，试求，经过两次加密后字节1的个数为的信息熵； (3)将一个字节为0的信息通过第二次加密，当字节变为1时停止，否则重复第二次加密直至字节变为1，设停止加密时该字节第二次加密的次数为.证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设事件为“通过第一次加密后字节1的个数为”，事件为“通过第二次加密后字节1的个数为2”，，利用全概率公式，条件概率的计算公式，即可求解； （2）由随机变量，根据独立重复试验的概率公式，分别求得相应的概率，结合信息熵的计算公式，即可求解； （3）利用期望的计算公式，求得，再由，得出和表达式，两式相减，得到，结合极限的思想，即可得证. 【详解】（1）解：记事件为“通过第一次加密后字节1的个数为”，， 事件为“通过第二次加密后字节1的个数为2”， 则，， ， 则， 故. （2）解：由题意知，随机变量， 由（1）知， 同理可得， 则， 所以的信息熵. （3）解：由题知，其中， 则， 因为， ， ， 两式相减得 ， 所以， 当无限增大时，和都无限趋近于0，且， 所以. 【点睛】对于随机变量的期望与方差问题的求解策略： 1、求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能取值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算； 2、要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，可用二项分布的期望与方差的计算公式计算，则更为简单； 3、在实际问题中，若两个随机变量，有或比较接近时，就用与来比较两个随机变量的稳定程度，即一般地期望最大（或最小）的方案最为最优方案，若各方案的期望相同，则选择方差最小（最大）的方案作为最优方案. 24．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集,，且，那么称子集族为集合的一个划分．已知集合． (1)记表示集合的所有2划分的个数，求出 (2)若，从集合的所有划分中任取一个，求这个划分恰好为3划分的概率． (3)设集合为集合的非空子集，随机变量表示子集中的最小元素．若，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)； (3)分布列见解析；期望为. 【分析】（1）根据题设定义及集合真子集的求法求集合的真子集个数，进而确定； （2）根据（1）结论及组合数求时集合的所有划分的对应个数，应用古典概型的概率求法求概率； （3）根据已知及真子集的定义求得，再由题设分析的可能取值及对应概率，即可求分布列和期望. 【详解】（1）2划分是将集合分成两个非空、互不相交的子集和，且， 每个元素可以属于或，但两个子集都不能为空，总共有种方式（排除全在或全在的情况）． 但每个划分和被重复计算了2次， 因此实际数目为： （2）当时，2划分的个数为：； 3划分的个数为：； 4划分的个数为：； 5划分的个数为：1． 记"从集合M的所有划分中任取一个，这个划分恰好为3划分"，则. （3）集合的非空子集的个数为，所以集合共有种可能． 当时，子集必须包含这样的子集数目为，，解得． 当，最小元素为的子集为集合的子集与集合的并集，则，且也满足， 随机变量的所有可能取值为，则，，，， . 25．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据全概率公式求得正确答案. （2）①先求得的关系式，然后利用构造法证得为等比数列； ②先求得，然后求得的最大值，由此求得的取值范围. 【详解】（1）设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式得：. （2）①：证明：设为“第n天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，， 由全概率公式得： 因此，. 是以为首，为公比的等比数列. ②：根据①可得， 所以，下求的最大值， 要求的最大值，则为偶数， 当为偶数时，， 此时是单调递减数列， 所以的最大值为， 因此，则m的取值范围是. 26．已知甲盒子中装有个白球和个黑球，乙盒子中装有个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复次（）这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有个白球的概率为，恰有个白球的概率为. (1)求，和，； (2)证明：为等比数列； (3)求的数学期望（用表示）. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用古典概率计算即得；按第1次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥事件的概率求出. （2）按第次交换球的结果分类讨论，结合相互独立事件的概率、互斥事件的概率用表示即可推理得证. （3）利用（2）的结论，求出随机变量的分布列，再求出数学期望. 【详解】（1）若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率， 研究第2次交换球时的概率，根据第1次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为 若甲盒取白球，乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， 综上，. （2）依题意，经过次这样的操作，甲盒中恰有2个白球的概率为， 恰有1个白球的概率为，则甲盒中恰有3个白球的概率为， 研究第次交换球时的概率，根据第次交换球的结果讨论如下： ①当甲盒中的球为2白1黑，乙盒中的球为1白1黑时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑， 乙盒中的球仍为1白1黑，概率为； 若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为3白，乙盒中的球变为2黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取黑球，互换，则甲盒中的球变为1白2黑，乙盒中的球变为2白，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为2白1黑，乙盒中的球仍为1白1黑，概率为， ②当甲盒中的球为1白2黑，乙盒中的球为2白时，对应概率为， 此时，若甲盒取黑球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑，乙盒中的球变为1白1黑，概率为； 若甲盒取白球、乙盒取白球，互换，则甲盒中的球仍为1白2黑，乙盒中的球仍为2白，概率为， ③当甲盒中的球为3白，乙盒中的球为2黑时，对应概率为， 此时，甲盒只能取白球、乙盒只能取黑球，互换，则甲盒中的球变为2白1黑， 乙盒中的球变为1白1黑，概率为， 综上， 则， 整理得，又， 所以数列是公比为的等比数列. （3）由（2）知，则， 随机变量的分布列为 1 2 3 所以. 【点睛】方法点睛，求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望. 27．记数列前项的最大值依次构成一个新的数列，称数列为的“生成子列”，数列所有项组成的集合为． (1)已知数列，都只有项，为的“生成子列” ①若数列为3，2，1，4，求数列； ②若数列各项均不相等且，它的“生成子列”的通项公式，写出所有符合条件的数列； (2)若，且中有个元素，求的取值范围； (3)若，的“生成子列”的前n项和为，从，，，…，中任取个，记其中能被2整除且不能被整除的个数为，求． 【答案】(1)①；②答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据“生成子列”的定义即可求解； （2）根据中有个元素结合数列单调性及“生成子列”定义可得：，，从而可得参数的取值范围. （3）根据特殊角的三角函数结合“生成子列”的定义可得其通项，从而可求. 【详解】（1） ①    当数列为3，2，1，4时， 根据定义有：，，，， 所以数列为：； ②    因为有项，且各项均不相等且，所以中个元素都出现， 又因为的“生成子列”的通项公式，所以数列中， 所以符合条件的有： ，，，，， 种可能. （2）因为，所以， ， 因为，， 所以当，即时，数列递增， 当，即时，数列递减， 因为中有个元素，结合数列的单调性可知， 且，即，， 整理得，解得，所以. （3）由题意得 所以，，， 所以，能被4整除， ，不能被2整除， ，能被2整除，不能被4整除， ，不能被2整除， 所以，，…，中能被2整除，但不能被4整除的有n个， ，，，， ， 所以. 【点睛】思路点睛： 数列新定义问题，应该根据定义得到新数列的形成过程，将该过程与数列常见性质（如单调性等）结合在一起，另外数列的最值或诸项之间的大小关系往往和数列的单调性相关. 专题三：随机变量及其期望方差全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2014高二·全国·竞赛）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可先求出摸球一次中奖的概率，再由二项分布可得结果. 【详解】依题意设摸球一次中奖的概率为，则， 所以摸球三次仅中奖一次的概率为. 故选：A. 2．（2018高二·全国·竞赛）若离散型随机变量X的分布列为，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由离散型随机变量X的分布列为，求出，由此能求出的值. 【详解】因为， 所以由， 可得：， 即，∴， 所以. 故选:B. 3．（2014高二·全国·竞赛）已知随机变量，若使的值最大，则（    ）． A．6或7 B．7或8 C．5或6 D．7 【答案】A 【分析】根据题意，利用二项分布的性质，以及独立重复试验的概率计算公式，结合，求得的范围，进而得到答案. 【详解】因为随机变量，可得，其中， 由，解得， 当时，可得，所以， 当时，可得， 所以和的值最大. 故选：A． 4．（2024高三上·全国·竞赛）一次铁人三项比赛中，每名参赛选手须在指定的游泳池里游个来回，然后骑车10公里，最后跑3公里.已知共有n名选手参赛，由于场地条件限制，游泳池内只能同时容纳一名选手(即上一名选手上岸时下一名选手方可下水)，骑车与跑步则无限制.记序号为的选手游泳、骑车、跑步所用时长的期望分别为,，,为了使得总完赛时间(即从1号选手下水到号选手跑完的总时长)尽可能短，应采取的策略是（    ） A．让越大的选手越早出发 B．让越小的选手越早出发 C．让越大的选手越早出发 D．让越小的选手越早出发 【答案】C 【分析】根据题目进行先进行假设求解数学期望的应用和策略选择的问题. 【详解】不妨设出发顺序为 ，若, 使得， 交换与 的出发顺序，显然 会比交换前更早完成比赛, 交换前 和 的完赛总时长为交换后和的完赛总时长为 又   故交换后和 的完赛总时长减少，而其他人不变， 从而全体完赛总时长减少. 由此可反复交换在此过程中完赛总时长均减小，直到按 降序排列，此时达到最优. 故选：C 5．（2024高三上·全国·竞赛）随机事件A，B，C满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据概率性质结合条件概率以及互斥事件的定义分析判断. 【详解】由题意可知：，， 因为, 所以，当且仅当时等号成立，此时显然不合题意， 所以， 又， 所以， 又， 即的取值范围包含，结合选项可知D正确. 故选：D. 6．（2023高二下·安徽安庆·竞赛）已知肿瘤中1%为恶性肿瘤，99%为良性肿瘤，用一台X光机判断肿瘤类型，误诊的概率为0.1，若有一患者被诊断为恶性肿瘤，则其被误诊的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分设两个互斥事件“恶性肿瘤”、"良性肿瘤”分别为、，诊断为恶性肿瘤的事件设为由误诊的概率为0.1，可知，由全概率公式可求,再用条件概率公式即可求得. 【详解】设 “病人患恶性肿瘤”的事件为，"病人患良性肿瘤”的事件为， “诊断为恶性肿瘤”的事件为, ， 故选:B. 7．（2023高二下·安徽安庆·竞赛）随着2023年中考顺利结束，考生静待分数出炉的同时，也已经根据估分确定了自己心仪的高中.甲､乙两位学生心仪安庆市田家炳中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼､教学北楼､青少年活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件A：甲和乙至少一人选择青少年活动中心考察参观，事件：甲和乙选择的地点不同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】甲乙两人从四个地点中随机选择一个考察参观，共有种选择， 甲和乙均不选择青少年活动中心考察参观共有种选择，所以甲和乙至少一人选择青少年活动中心考察参观有种选择，所以， 事件AB：甲乙只有一人选择青少年活动中心考察参观，故共有种选择， 所以 因此, 故选：A 8．（2023高三下·全国·竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算，可判断函数的对称性，再计算，即可排除选项. 【详解】或，因为， 所以或，即或， 或或 因为服从标准正态分布，所以根据对称性可知，所以函数关于对称，故排除AC； 当时，，，所以或,因为，其中，，，根据原则可知，，所以排除B； 故选：D 9．（15-16高三·北京·强基计划）设，，是随机事件，与互斥，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】利用条件概率的计算公式可求概率. 【分析】因为与互斥，故，进而， 所以． 故选：D 10．（17-18高三·北京·强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【分析】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【详解】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 11．（16-17高三·北京·强基计划）设A，B为两个随机事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用事件的关系逐项判断后可得正确的选项. 【详解】根据题意，事件A发生，则事件B一定发生． 对于选项A，为事件A，B不同时发生的概率，为． 对于选项B，为事件A，B均不发生的概率，为． 对于选项C，为在事件A发生时事件B发生的概率，为1． 对于选项D，为在事件A不发生时事件B发生的概率，为． 故选：B 12．（17-18高三·北京·强基计划）设A，B是两个随机事件，且，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由特例可判断ACD的正误，设设的概率分别为a，b，c，则可得，计算可得，故可得正确的选项. 【详解】设的概率分别为a，b，c，则题意即． 令，则 对A，，故A错误. 对C，，故C错误. 对D，，故D错误. 对B，， ，即， 故B成立. 故选：B. 13．（20-21高三·北京·强基计划）设随机变量X服从正态分布，Y服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据密度曲线的性质可得正确的选项，或者根据标准正态分布的性质可得两者方差的大小关系. 【详解】法1：因为，， 且， 故正态分布的密度曲线的顶点比正态分布的密度曲线的顶点要低， 故. 法2：依题意有 而，， 而，故， 由标准正态分布的性质可得即. 故选：A. 14．（20-21高三·北京·强基计划）已知随机变量X的分布列如下表所示， X 0 1 2 P a b c 若成等比数列，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据分布列的性质和方差的公式结合基本不等式可求方差的最大值. 【详解】根据题意，有故， 而， 而， 等号当时取得，即的最大值为． 故选：C. 15．（2024高三上·全国·竞赛多选题）有n个进程，，···，要访问一个数据库，不同进程之间、同一进程在不同时刻是否尝试访问数据库是相互独立的，且每一秒每个进程尝试访问数据库的概率均为.若某一秒恰有一个进程访问数据库，则访问成功，否则访问失败.以下是一个的样例： 序号/时刻 第1秒 第2秒 第3秒 第4秒 第5秒 第6秒 第7秒 ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 访问结果 失败 失败 失败 记为在前t秒成功访问数据库的次数，为自然对数的底，[x]表示不小于实数x的最小整数，下列说法正确的是（    ） A．若n=4，则 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意求得每一秒某个固定的进程访问成功的概率，从而可对A判断；根据期望的线性性，可知等价于，从而可对B判断；由B结论及事件的独立性可对C判断；记事件为至少存在一个进程，它在前秒中全部失败得，再取，从而可对D判断. 【详解】由题意得每一秒某个固定的进程访问成功的概率为， 对A 项： 这表明第一秒每个固定的进程访问失败的概率都是， 即    从而  故A 错误； 对B项：由期望的线性性，等价于，   即，  此式显然成立，故 B 正确； 对C 项：记事件为进程在前秒都失败了，根据独立性和 B 的结果， 得 ，从而，故 C 正确； D项：记事件 为至少存在一个进程，它在前秒中全部失败，则 取，得， 所以在前秒每个进程都成功至少一次的概率不小于，故 D 正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题主要是先求得每一秒某个固定的进程访问成功的概率，再根据期望的线性性质分别对各项求解判断即可. 16．（2024高三上·全国·竞赛多选题）已知随机变量服从正态分布，．记的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】依题意，作出正态分布曲线，结合题设条件判断，分别就选项要求，结合正态曲线对称性进行判断，对于C,D项，还需结合概率的几何意义与对应函数值进行比较即得. 【详解】    如图，作出随机变量服从的正态分布曲线.因，故由图知. 对于A项，由图可知，必有，故A项错误； 对于B项，因，由图知，，故B项正确； 对于C项，因，不妨取， 则可理解为由直线和曲线及轴围成的近似直角梯形的面积，高为， 则即为梯形的中位线长，此时显然大于，即有成立，故C项错误； 对于D项，因，则可理解为由直线和曲线及轴围成的近似直角梯形的面积，高为， 则即为梯形的中位线长，此时显然小于，即有成立，故D项正确. 故选：BD. 17．（16-17高三·北京·强基计划多选题）已知为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的对称性可判断A的正误，根据方差的公式可判断B的正误，根据方差的性质可判断C的正误，结合特例可判断D的正误. 【详解】对于选项A，由于，因此，故选项A正确． 对于选项B，因为， 故选项B正确． 对于选项C，有， 故选项C正确． 对于选项D，取，则， 而，故选项D错误． 故选：ABC. 18．（18-19高三·北京·强基计划多选题）随机地将1，2，3、4，5，6中这六个数分为A，B两组，每组三个数．A组中最小数为，最大数为；B组中最小数为，最大数为，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用列举法可求及. 【详解】根据对称性，先考虑1在A组中，此时 A B X Y 123 456 2 2 √ 124 356 3 3 √ 125 346 4 3 126 345 5 2 134 256 3 4 135 246 4 4 √ 136 245 5 3 145 236 4 4 √ 146 235 5 3 156 234 5 2 40 30 4 因此． 故选：AC. 19．（2024高一下·海南海口·竞赛）校乒乓球锦标赛共有位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军，实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中 最好，次之， …，最差，假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且 当与比赛时，获胜的概率为p，其中 ，求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员与之间进行的概率为 【答案】 【分析】考虑一般情形：设倒数第k轮开始前剩下的选手恰好为，只需这名选手在前面的比赛中两两不能相遇，而且必须在其全部场比赛中获胜即可. 【详解】一般情形：求倒数第k轮开始前剩下的选手恰好为的概率. 要实现这一点，这名选手是种子选手，即在前面的比赛中两两不能相遇，而且必须在其 全部场比赛中获胜， 锦标赛树形的片树叶的填写方式有种，为使其称为种子， 我们有种方式放置最上面的2个选手，且有种方式放置其他选手， 因此其概率为，特别地，本题为的情形， 故所求概率为， 故答案为：. 20．（2012高二·全国·竞赛）随机变量，当取最大值时， ． 【答案】13或14 【分析】根据所给的随机变量，写出变量所对应的概率，根据题意列出不等式即可. 【详解】 随机变量，， 依题意有 即 解得，故或14． 故答案为：13或14. 21．（2016高二·全国·竞赛）节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布列： 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种鲜花500束，则期望利润是 元． 【答案】690 【分析】根据题意，利用节日期间花的需求量表示利润，再利用期望公式计算出变量的数学期望，利用期望的性质公式，可得答案. 【详解】若进这种鲜花500束，利润应为． 因为（束）， 所以（元）． 故答案为：. 22．（2011高二·全国·竞赛）从由正数组成的集合A中随机地选出一个数的概率为，则在下面给出的四个集合中：①；②；③；④． 能当成集合A的为 (填上符合要求的所有序号)． 【答案】②③④ 【分析】根据离散型随机变量的分布列性质：即可判断. 【详解】， 对于①， 从该集合中随机地选出一个数，则n为随机变量，其分布列为： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 因为+++…+，故①不符合； 同理，对于②，因为+++…+，故②符合； 对于③，因为+++…+，故③符合； 对于④，因为+++++，故④符合； 故答案为：②③④ 23．（2013高二·全国·竞赛）一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中a，b，，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】列出分布列，根据均值公式得到，再利用乘“1”法即可求出最值. 【详解】设得分为，则 0 1 3 c b a 由均值为，且， 则， 当且仅当时等号成立． 故答案为：. 24．（2024高三上·全国·竞赛）如果是离散型随机变量，则在事件下的期望满足其中是所有可能取值的集合.已知某独立重复试验的成功概率为，进行次试验，求第次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的试验次数的数学期望是 . 【答案】/ 【分析】先求得再利用条件概率得到，求解. 【详解】设随机变量分别代表第一､第二次成功对应的试验次数， 则，以及， 所以， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解题意，利用独立重复试验的概率公式分别求得与，从而得解. 25．（2024高二·全国·竞赛）甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为 ． 【答案】/ 【分析】利用期望满足的性质可求题设中的数学期望. 【详解】设甲、乙两人玩的局数为，其数学期望为，由题设，游戏至少进行两局， 若，则比分为，且， 否则前两局的比分为，从此刻开始知道游戏结束，进行的局数的期望跟比分为时相同，总局数的期望为， 故，故， 故答案为：. 26．（2023高二下·安徽安庆·竞赛）“三门问题”（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题､蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提･霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 . 【答案】 会 【分析】设三扇门为，根据题意可得假设我们已经选了门，主持人打开了门，若车在，则打开的概率是，若车在，则打开的概率为1，再结合条件概率及全概率公式即可得解. 【详解】设三扇门为，假设我们已经选了门，主持人打开了门， 若车在，则打开的概率是， 若车在，则打开的概率为1， 被打开可能是在以车在的前提下以概率随机选择的（情况1）， 也可能是以车在为前提以1的概率打开的（情况2）， 虽然我不知道究竟是哪种情况，但是情况2使被打开的可能性更大， 所以以被打开作为已知信息，可以推出已发生情况2的概率更大， 所以换另一扇门会增加参赛者赢得跑车的概率， 用概率论公式来分析，我们得到： 车在门的概率为：， 车在门的概率为：. 故答案为：会；. 【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤： （1）分析题意，弄清概率模型； （2）计算、； （3）代入公式求. 27．（2023高二·安徽·竞赛）一离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.1 其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为 ． 【答案】0.1/ 【分析】由题意得再利用期望、方差的性质计算可得答案. 【详解】由题意得，， ， 当时有最大值，此时，解得． 故答案为：． 28．（2018高三·甘肃·竞赛）某市公租房的房源位于甲､乙､丙三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的.则该市的4位申请人中恰有2人申请甲片区房源的概率为 . 【答案】 【分析】设A=“申请甲片区房源”，可得P(A)的值，利用独立重复试验的概率计算即可． 【详解】每位申请人申请房源为一次试验，这是4重伯努利试验，设A=“申请甲片区房源”，则P(A)=，恰有2人申请甲片区的概率为P== 故答案为： 29．（2010高一·全国·竞赛）某车站每天8∶00—9∶00，9∶00—10∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 8∶10 9∶10 8∶30 9∶30 8∶50 9∶50 概率 一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为 ． 【答案】 【分析】根据条件求出该旅客候车时间的分布列，代入期望公式计算即可． 【详解】解：设该旅客候车时间为ξ， 则P（ξ＝10），P（ξ＝30），P（ξ＝50）， P（ξ＝70），P（ξ＝90）， 故ξ的数学期望E（ξ）＝1030507090= 故答案为： 30．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知，，x为的个位数，求 . 【答案】3 【分析】利用列举法求出的所有可能取值，并求出对应概率，再根据期望公式即可得解. 【详解】当时，，个位数为，有个， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 当时，，个位数为， 综上所述，可取， 且， 所以. 故答案为：. 31．（2024高三下·全国·竞赛）两随机变量的协方差定义为：． (1)证明：． (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用期望和方差的运算性质结合给定的协方差公式求解即可. （2）利用二项分布的方差公式求出的值，再利用方差的非负性建立不等式，求解协方差的最小值即可. 【详解】（1）由方差公式得， 化简得， ， ， ， 由方差公式得，， 由题意得， 故， ， 即得证. （2）因为，所以， 因为， 所以， 即，故， 化简得， 由方差的非负性得，即， 解得，故的最小值为. 【点睛】关键点点睛：解题关键是利用和期望与方差的运算性质并结合给定的协方差公式化简原式，证明出所证等式，然后利用方差的非负性建立不等式，得到所要求的最值即可． 32．（2024高三下·全国·竞赛）是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数，是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数.求的概率. 【答案】 【分析】利用互斥事件的概率加法公式及条件概率公式，结合全概率公式即可求解. 【详解】可分为两类：中有时和中无时， 由题意可得：中有，中无. 若中含9，则； 若中无9的情况下：， 此时； 所以. 33．（2011高二·全国·竞赛）某公司有6路热线电话，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，热线电话同时打入情况如下表所示： 电话同时打入数 0 1 2 3 4 5 6 概率 0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01 (1)若这段时间内，公司只安排了2位接线员．（一个接线员一次只能接一个电话） ①求至少有一路电话不能一次接通的概率； ②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间内至少有一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度”，求这种情况下公司形象的“损害度”； (2)求一周五个工作日的这一时间内，电话同时打入数的期望． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】 （1）根据题意根据概率加法公式，再利用组合数计算以及概率乘法，可得答案； （2）根据数学期望的计算公式，结合题意，可得答案. 【详解】（1）①3路以上电话同时打入会至少有一路电话不能接通， 其概率为， ②“损害度”． （2）在一天的这一时间，电话打入数的期望 ， 一周五个工作日的这一时间电话打入数的期望为． 34．（2018高二·全国·竞赛）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次（指针停在任一位置的可能性相等），并获得相应金额的返券.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券.例如：消费268元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.      (1)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； (2)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）.求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，40. 【分析】 （1）顾客消费128元，只能转一次，若返券金额不低于30元，则指针落在或区域，求出概率即可. （2）分析的可能值为0，30，60，90，120，依次求出相应的概率，列出分布列，利用期望公式计算结果即可. 【详解】（1） 设指针落在、、区域分别记为事件、、. 则，，. 消费128元的顾客，只能转一次，若返券金额不低于30元，则指针落在或区域，其概率， 即消费128元的顾客返券金额不低于30元的概率是. （2） 该顾客可转动转盘2次.随机变量的可能值为0，30，60，90，120. ； ； ； ； ； 所以，随机变量的分布列为： 0 30 60 90 120 其数学期望. 35．（2015高二·全国·竞赛）为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品.    (1)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率； (2)从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望； (3)从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， (3) 【分析】 （1）根据古典概型的概率公式即可求解， （2）根据超几何分步的概率公式求解概率即可求解分步列， （3）根据独立重复事件的概率公式即可求解. 【详解】（1）甲厂抽取的样本中优等品有6件，优等品率为：； 乙厂抽取的样本中优等品有5件，优等品率为：. （2）的取值为0，1，2，3.，， 的分布列为     0       1      2      3 P                  所以的数学期望为. （3）抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件包括2个事件，即A=“抽取的优等品数甲厂2件，乙厂0件”，B=“抽取的优等品数甲厂3件，乙厂1件” ，， 抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率为 36．（2015高二·全国·竞赛）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元.根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.    (1)求某两人选择同一套餐的概率； (2)若用随机变量表示某两人所获优惠金额的总和，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，775元 【分析】 （1）利用独立乘法公式和加法公式求解； （2）写出随机变量的可能值并计算概率，再求期望即可. 【详解】（1）由题意可得某两人选择同一套餐的概率为； （2）由题意知某两人可获得优惠金额的可能取值为400，500，600，700，800，1000. ，， ，， ，， 综上可得的分布列为： 400 500 600 700 800 1000 的数学期望元. 37．（2011高二·全国·竞赛）为了推进国际旅游岛的建设，海南省决定建一个橡胶基地，打算从外地引进株名贵橡胶树，已知这株名贵橡胶树移栽的成活率分别为，且各株橡胶树是否成活互不影响． (1)若它们至少成活两株的概率大于，则橡胶基地就决定引进这三株名贵橡胶树，否则不予引进，问：橡胶基地是否会从外地引进这3株名贵橡胶树？ (2)求橡胶树成活株数的分布列与数学期望． 【答案】(1)橡胶基地会从外地引进这三株名贵橡胶树 (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）根据事件的相互独立性结合三株名贵橡胶树成活的概率求至少成活两株的概率即可； （2）分析的取值，确定每个取值的概率，求出分布列即可. 【详解】（1）设这3株名贵橡胶树移栽后成活的事件分别为， 其中至少成活两株的事件为， 那么，，， 由于事件相互独立， 所以， 由于，所以橡胶基地会从外地引进这三株名贵橡胶树. （2）橡胶树成活株数的可能值为0，1，2，3，那么，， ， ， ， 橡胶树成活株数的分布列为 0 1 2 3 则相应的数学期望为：. 38．（2012高二·全国·竞赛）某校组织的一次篮球定点投篮比赛，其中甲、乙、丙三人投篮命中率分别是，，三人各投一次，用表示三人投篮命中的个数． (1)求的分布列及数学期望； (2)在概率中，若的值最大，求实数的取值范围． 【答案】(1)，分布列见解析 (2) 【分析】（1）先根据题意得出的可能取值，分别对不同取值求出对应概率，写出分布列，根据期望的公式计算结果即可； （2）根据（1）中的概率，若最大，只需大于等于另外三个即可，建立等式，解出范围即可。 【详解】（1）解：由题知的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 的数学期望. （2）由（1）知，， ，， 若最大，只需， 即 ，解得， 又因为，所以， 所以的取值范围是. 39．（2014高二·全国·竞赛）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间（单位：年）有关，若，则销售利润为0元；若，则销售利润为200元；若，则销售利润为400元．设每台该种电器的无故障使用时间，，这三种情况发生的概率分别为，，，又知，为方程的两根，且． (1)求，，及的值； (2)记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的分布列及均值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据题意可得，结合韦达定理运算求解； （2）由题意可知：的可能取值有0，200，400，600，800，结合（1）数据求分布列和期望. 【详解】（1）由题意可得：， 因为，为方程的两根， 则，解得，且， 即，解得， 所以. （2）由题意可知：的可能取值有0，200，400，600，800，则有： ， ， ， 所以的分布列为： 0 200 400 600 800 的期望. 40．（2016高二·全国·竞赛）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的. (1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率； (2)如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率； (3)若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据组合数的计算公式，结合概率的乘法公式，可得答案； （2）根据插空法以及排列数的计算，结合概率乘法公式，可得答案； （3）根据离散型随机变量求解分布列的步骤，结合数学期望的计算，可得答案. 【详解】（1）甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率为 . （2）乙小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中三次成功三次失败， 且恰有两次连续失败，其中各种可能的情况种数， 因此所求的概率=. （3）由题意的取值为0，1，2，3，4 ， ， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 P . 41．（2018高二·全国·竞赛）现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三个人是否应聘成功是相互独立的. (1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求的值； (2)记应聘成功的人数为，若当且仅当为2时概率最大，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）依题意利用互斥事件的概率加法公式列式计算即得； （2）根据的所有可能取值分别求出对应概率值，列出分布列，求得数学期望，再由为2时概率最大求出的范围，即得的取值范围. 【详解】（1）因乙、丙有且只有一个人应聘成功包括两类情况： ①乙成功且丙未成功，概率为， ②乙未成功且丙成功，概率为， 由题意得，解得； （2）的所有可能取值为0，1，2，3， ； ； ； . 故的分布列为： 0 1 2 3 P 所以. 由题意得：，得； ，得； ，得. 综上可得：，故. 42．（2024高三上·全国·竞赛）春节将至，又是一年万家灯火的团圆之时．方方正正的小城里，住着户人家，恰好构成了坐标平面上集合的所有点．夜里，小城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网．在坐标平面上看，A中的每个点均独立地以概率p被点亮，或以的概率保持暗灭．若A中两个点的距离为1，则这两个点被称为是相邻的．若A中的n个被点亮的点构成一依次相邻的点列，则称这n个点组成的集合是长度为n的“相邻灯笼串”．规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”． (1)给定A中3个依次相邻的点，记随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，试直接写出随机变量X的分布列（用p表示）； (2)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01； (3)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99． 【答案】(1)分布列见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题干可知，随机变量X的可能取值为：0、1、2、3，并计算出对应的概率，列出分布列即可； （2）先计算出长度为1000的“相邻灯笼串”的所有点的选法可能情况，再乘以对应的概率即可判断对应的概率范围； （3）从对立面出发，找到长度为1000的“暗灭灯笼串”的所有点的选法，乘以对应的概率，再用1减去即可验证. 【详解】（1）A中3个依次相邻的点，则随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值， 随机变量X的可能取值为：0、1、2、3.则X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）长度为1000的“相邻灯笼串”的所有点的选法小于种． 因此，P(存在长度为1000的“相邻灯笼串”)． （3）现定义，若A中两个点的距离不大于，则这两个点被称为是相接的； 若A中的m个暗灭的点构成一依次相接的点列，则称这m个点组成的集合是长度为m的“暗灭灯笼串”． 若不存在长度为1000的“相邻灯笼串”，则不存在“相邻灯笼串”同时包含横坐标为1和1000的被点亮的点， 那么一定存在“暗灭灯笼串”同时包含纵坐标为1和1000的点，于是一定存在长度为1000的“暗灭灯笼串”． 长度为1000的“暗灭灯笼串”的所有点的选法小于种，故P(存在长度为1000的“暗灭灯笼串”)． 因此，存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99． 43．（2024高三上·全国·竞赛）为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． (1)求和； (2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）根据二项分布的公式可求得； （2）（ⅰ）（ⅱ）根据题意分析可知两个量的意义，进而利用数学期望的意义找出更合适的统计量，并作出决策. 【详解】（1）由题设知服从二项分布， 所以，． （2）（ⅰ）统计量反映了未受益于新治疗方案的患者数，理由如下： 若患者受益于新治疗方案，则其指标的值满足， 否则，会被统计量计入，且每位未受益于新治疗方案的患者恰使得统计量的数值加1． 统计量反映了未受益于新治疗方案且指标偏高的患者数量，理由如下： 若患者接受新治疗方案后指标偏低或正常，则其指标的值满足 若指标偏高，则，，会被统计量计入， 且每位未受益于新治疗方案且指标偏高的患者恰使得统计量的数值加1． （ⅱ）由题设知新治疗方案优于标准治疗方案等价于一次试验中的观测值大于的数学期望， 由（ⅰ）知的观测值， 因此当，即时，认为新治疗方案优于标准治疗方案； 当，即时，认为新治疗方案与标准治疗方案相当； 当，即时，认为新治疗方案劣于标准治疗方案． 44．（2023高三下·全国·竞赛）为弘扬中华优秀传统文化，迎接即将到来的癸卯兔年，某校组织各年级同学参加了“金虎辞旧岁，玉兔迎新春”主题系列趣味比赛活动．活动包含两个环节，分别是“知识竞答”和“陀螺角逐赛”．每个环节中，同学们都以个人身份参赛． I—知识竞答环节：已知答题系统会从甲和乙两个题库中为选手抽取题目．答题时，系统每次随机选择甲与乙之一，并从中抽取一道题目发放给选手．选手提交答案后，系统自动抽取、发放下一题．只要甲与乙之中有一个题库发放满4题，此时即停止继续抽题，待选手提交完最后一题，答题结束，系统自动统计该选手的正确率与平均作答时长． II—陀螺角逐赛环节：每位选手在赛中进行一系列角逐，最后根据表现，依据比赛规则获得一个对应的分数．已知高一、高二和高三年级的参赛人数分别为460，200，140． (1)小明参与知识竞答环节时，已知他已经作答4题，且答题还将继续．记为小明答题结束时总共作答的题目数，求的分布列； (2)为了解各年级的同学在陀螺角逐赛中的比赛情况，现将总体成绩（单位：分）分为第1层（高一）、第2层（高二）和第3层（高三）并进行分层抽样．设总样本量为，总样本均值为，总样本方差为，各层样本量分别为，各层样本均值分别为，各层样本方差分别为．已知，，，，，，，． （i）求和的值； （ii）试推导高三年级成绩样本方差的表达式，并求出其值． 【答案】(1)详见解析 (2)（ⅰ），，，； （ⅱ）； 【分析】（1）首先确定，再根据随机变量的意义，利用数公式求概率，即可得到分布列； （2）（ⅰ）首先利用分层抽样求，根据平均数公式求，根据每层的方差公式，变形可求，即可求. 【详解】（1）由条件可知，， 当时，表示第5次时停止答题，则, 当时，表示第6次时停止答题，， 当时，表示第7次时停止答题，， 则的分布列 5 6 7 （2）（ⅰ）因为高一、高二和高三年级的参赛人数分别为460，200，140，高三年级抽取7人，则高一抽取人，高二年级抽取人， 所以高一、高二、高三年级分别抽取23，10，7人， 即，，， 则样本平均数 （ⅱ）设样本分为三层，第一层为，第二层为，第三层为，记样本为， 因为 ， 所以，同理，， 所以 ， 即     所以 其中，，，且，，，，，， 代入公式 解得：. 45．（2016高三·甘肃·竞赛）在某电视娱乐节目的游戏活动中，每人需完成、、三个项目.已知选手甲完成、、三个项目的概率分别为、、，每个项目之间相互独立. (1)选手甲对、、三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率. (2)该活动要求项目、各做两次，项目做三次.若两次项目均完成，则进行项目，并获得积分；两次项目均完成，则进行项目，并获积分；三次项目只要两次成功，则该选手闯关成功并获积分（积分不累计），且每个项目之间互相独立.用表示选手甲所获积分的数值，写出的分布列并求数学期望. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析， 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式与对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （2）分析可知随机变量的可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值. 【详解】（1）解：记事件选手甲对、、三个项目各做一次，甲至少完成一个项目， 则. （2）解：由题意可知，的可能取值为、、、， 则，， ， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： 所以，. 46．（2016高三·河南·竞赛）《中国好声音（The Voice of China）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日正式在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示： 现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况. (1)求选出的两人导师为其转身的人数和为4的概率； (2)记选出的2人导师为其转身的人数之和为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)； (2)的分布列见解析，. 【分析】（1） 设位选手中，有4位导师为其转身，有3位导师为其转身，有2位导师为其转身，只有1位导师为其转身, 从人中随机抽取两人共有种情况；其中选出的2人导师为其转身人数和为的有种情况，由此可求其概率； （2） 的所有可能取值为，分别计算其概率，即可得到概率分布列，由期望公式计算期望即可. 【详解】（1）设6位选手中，有4位导师为其转身，有3位导师为其转身，有2位导师为其转身，只有1位导师为其转身. 从6人中随机抽取两人有种情况， 其中选出的2人导师为其转身人数和为4的有种， 故所求概率为， （2）的所有可能取值为3,4,5,6,7， ； ； ； ； ， 所以的分布列为 47．（20-21高三·北京·强基计划）设是相互独立的随机变量，且有．证明： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据公式可证题设中的等式成立. （2）根据代数变形可证题设中的等式成立. （3）根据期望的计算公式可证题设中的等式成立. 【详解】（1）根据题意，有， 而，命题得证． （2）根据题意，有 ， 命题得证． （3）根据题意，有 ， 命题得证． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025新高考高二随机变量及其期望方差易错培优竞赛试题 【专题目录】 专题一：名校随机变量及其期望方差易错题精选 专题二：名校随机变量及其期望方差培优题精选 专题三：随机变量及其期望方差全国高中数学联赛强基计划精选试题 【精选练习】 专题一：名校随机变量及其期望方差易错题精选 1．三条生产线生产同一型号产品，若A、B、C三条生产线生产该类产品的次品率依次为0.05，0.1，0.1，A、B、C三条生产线生产的产品分别占总数的，任取一个产品，则取得的产品是次品的概率为（   ） A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06 2．投掷一枚正方体骰子两次，则在第一次正面朝上的点数为奇数的条件下，第二次正面朝上的点数大于4的概率为（   ） A． B． C． D． 3．某省参加数学竞赛的学生中物理组合占，历史组合占，假定历史组合参赛学生获奖的概率为，物理组合参赛学生获奖的概率为，现从全部参赛学生中抽取3名，已知这3名学生均获奖，则这3名学生中既有物理组合学生又有历史组合学生的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 5．世纪以来，人工智能迅猛发展，在人工智能算法中，精确率、召回率、卡帕（）系数是衡量算法性能的重要指标在对某型号扫雷机器人的测试中，记表示事件“选择的位点实际有雷”，表示事件“选择的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中，则（  ） A． B． C． D． 6．（多选题）现有牌面互不相同的五张扑克牌背面朝上排成一排，其中黑桃有3张和方块有2张．从中不放回地抽取2次，每次抽取一张，则下列说法正确的有（   ） A．第二次抽到黑桃的概率为 B．在抽取过程中，至少有一次抽到方块的概率为 C．若已知第二次抽到的是方块，则第一次也抽到方块的概率为 D．设抽到黑桃的次数为 7．（多选题）有三个相同的箱子，分别编号，其中号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球、个白球，号箱内装有个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知事件A，B，且，，，则（    ） A． B． C． D． 9．为了解高三复习备考情况，某校组织了一次阶段考试．若高三全体考生的数学成绩近似服从正态分布.已知成绩在117.5分以上（不含117.5分）的学生有80人，则此次参加考试的学生成绩低于82.5分的概率为 ；如果成绩大于135分的为特别优秀，那么本次数学考试成绩特别优秀的大约有 人． （若，则，） 10．甲乙丙三个班级共同分配9个三好学生名额，每班至少1个名额，用X表示这三个班级中分配的最少名额数，则X的数学期望 . 11．小郅同学参加某场数学竞赛，需要在个编号分别为、、、、的题中抽取任意个作答，已知他可以答对（正确率）这个题中的个，题中至少答对题即可晋级．现已知小郅晋级了，则他答对号题的概率为： ． 12．如图，有排列整齐的20个盒子和20个球（其中红球和黄球各5个，黑球10个），在每个盒子中随机放入了一个球，球的颜色可能是红色、黄色、黑色中的一种.现随机先后打开每个盒子（直到打开所有盒子结束），则红球最先被全部开出的概率为 . 13．三部机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占，机器乙生产的占，机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有、和不合格.三部机器生产的零件混合堆放在一起，现从中随机地抽取一个零件，经检验发现取到的产品为不合格品，它是由机器 生产出来的可能性最大. 14．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点O出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，共移动3次．求该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，水平方向移动2次的概率为 ． 15．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表抽到的二等品件数，则 ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则 ． 16．某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 (1)称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； (2)若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 17．某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 18．某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 19．2025年央视春晚人形机器人展示了科技的飞速发展，随着人工智能和机器学习技术的不断升级，作为人形机器人核心部件的灵巧手在感知能力和操作精准度上大幅度提升，某公司针对代号和的两只灵巧手进行一次操作比赛，比赛结果将影响后续的研发投入．比赛流程如下：和需依次完成三个项目，分别是电路板焊接、精密设备开启和精准打螺丝，完成每个项目的得分依次为5分、3分、2分，未完成项目得0分，以三个项目的总分评定胜负，总分高者获胜．两只灵巧手分别对比赛项目进行了30次赛前模拟，数据如下： 完成电路板焊接次数 完成精密设备开启次数 完成精准打螺丝次数 10 18 24 15 15 15 若视赛前模拟的频率为概率，且两只灵巧手能否完成每个项目都相互独立． (1)求比赛中只完成了一个项目的概率； (2)记在比赛中的总分为，求的分布列； (3)已知本次比赛获胜，求的总分不低于5分的概率． 20．某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 (1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； (2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望； (3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围. 21．某旅行社举办“寻找旅游热爱者”活动，活动工作人员准备了南方景点库、北方景点库两个景点库，用此筛选符合要求的参与者，并为符合要求的参与者准备了精美的纪念品．参与者需要先从这两个景点库中随机选择一个景点库，再从所选景点库中等可能地抽取一个景点，这是第一次抽取．将第一次抽取的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取．若两次抽取的景点都是参与者曾经去过的景点，则参与者符合活动要求并获得精美的纪念品．已知南方景点库共有12个景点，参与者小方去过其中9个景点，北方景点库共有8个景点，小方去过其中4个景点．第一次选择南方景点库和选择北方景点库的概率均为． (1)求小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的概率． (2)在小方第一次抽取的景点是小方曾经去过的景点的条件下，求小方第一次抽取的景点是南方景点库的景点的概率． (3)将小方第一次抽取到的曾经去过的景点放回原来的景点库，再进行第二次抽取时，有如下两种方案：方案一，从第一次抽取的景点库中抽取；方案二，从另外一个景点库中抽取．试比较两个方案，哪个方案使得小方符合活动要求并获得精美纪念品的概率更大． 22．为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将道难度相当的数学试题从到编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，并记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 几何试题 函数试题 (1)分别估计软件、软件能正确解答数学问题的概率； (2)小浦准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第题（假设其难度和测试的道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是几何题的概率为，是函数题的概率为．将频率视为概率，试通过计算来说明小浦应该用哪款软件解决这道试题？ (3)小浦决定采用这两款软件解答道类似试题，其中几何、函数各道，每道试题只用其中一款软件解答一次．将频率视为概率，小浦比较了这两款软件在解答几何和函数题上的正确率，决定用表现较好的那款软件解决其擅长的题型．用、分别表示这道几何试题与道函数试题被正确解答的个数，求随机变量的数学期望和方差． 23．某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. (1)随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； (2)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 24．一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球． (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用表示事件“第一次取到白球”，用表示事件“第二次取到白球”，求和，并判断事件与是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，若其中恰有3个白球，则获奖，否则不获奖，要使参与者获奖的可能性最大、最小，该同学应该分别如何放置白球的数量？ 25．为加深青少年对党的历史、党的知识、党的理论和路线方针的认识，激发爱党爱国热情，坚定走新时代中国特色社会主义道路的信心，某校举办了党史知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． (1)已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； (2)如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 专题二：名校随机变量及其期望方差培优压轴试题精选 1．某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 2．若为的任意排列，设，，则（    ） （已知表示中最小的数，表示中最大的数） A．排列总数为个 B．满足的排列有80个 C．的概率小于 D．的概率为 3．（多选题）在信道内传输0，1信号．信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.09 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 4．（多选题）某人在次射击中击中目标的次数为，，其中，，击中奇数次为事件，则（    ） A．若，，则取最大值时 B．当时，取得最小值 C．当时，n为奇数时，随着的增大而增大 D．当时，n为偶数时，随着的增大而增大 5．一袋中装有2个红球，3个黑球，现从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作，则第二次取出的球是黑球的概率为 ；在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第4次取出的球都是黑球的概率为 ． 6．某科技公司招聘技术岗位人员一名.经初选，现有来自国内三所高校的10名应届毕业生进入后面试环节.其中校和校各4名，校2名，10名面试者随机抽取1，2，3，...10号的面试序号. (1)若来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的4名毕业生的面试序号分别为，且，来自校的2名毕业生的面试序号分别为，，且. （i）求概率； （ii）记随机变量，求的均值. (2)经面试，第位面试者的面试得分为，且他们的面试得分各不相等，公司最终录用得分最高者.为提高今后面试效率，现人事部门设计了以下面试录用新规则：，且，集合中的最小元素为，最终录用第位面试者.如果以新规则面试这10名毕业生，证明：面试得分第一､二（按得分从高到低排）的两名毕业生之一被录用的概率不小于0.59. 7．一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动.猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5.已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：，均为等比数列并求它们的通项公式. 8．随着时代的进步、科技的发展，“网购”已发展成为一种新的购物潮流，足不出户就可以在网上买到自己想要的东西.某网店为了解网民在该网店的购物情况，从某天交易成功的所有订单中随机抽取了100份，按购物金额（单位：千元）进行统计，并将其分成以下六组：，得到如下频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）. (1)若该网店平均每天有100个订单，试计算样本平均数与中位数，并估计该网店一年的总销售额（一年按365天计算）； (2)2024年“双十一”期间，该网店在两件畅销商品的页面均设置了一个“限时抢红包”的环节，每人在每个页面最多只能抢到一个红包，其中每个红包由百元现金券组成，该现金券可以在购物时直接抵减相应金额.现甲参加了这两件商品的“限时抢红包”活动，设甲在商品页面抢到红包的概率分别为，且这两次红包是否抢到互不影响.分别记甲抢到的红包总数量为，红包总金额为百元. （i）求的分布列及数学期望； （ii）求的数学期望取最大值时正整数的值. 9．已知一个盒子里有10个相同的白色小球，现在某学习小组利用这个盒子进行染色游戏和抽球游戏，并额外储备了大量红色小球和白色小球. (1)若将盒子中的小球排成一列并编号1，2，3.....10， 并将其中三个染成红色，设第二个红色小球编号为，求； (2)若将这10个小球中的4个染成红色，将这10个小球全部放入盒子中后进行抽球游戏，每次取一个球后，从储备球中取出2个与取到的球同色的球放入盒子中，求： （i）第2025次取球时拿到白球的概率； （ii）在第1次取球时拿到白球的条件下，第2025次取球时拿到白球的概率. 10．小奥和小锐两位同学在两个房间内做游走游戏.每经过1分钟，两人都可以选择进行一次移动.小奥从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟两人都在一个房间，那么下一分钟小锐必定移动到另一个房间；若上一分钟两人不在同一房间，小锐从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分时，小奥在0号房间，小锐在1号房间.设在第分钟时，小奥和小锐在0号房间的概率分别为. (1)求第1分钟时，小奥和小锐所在房间号之和为1的概率； (2)求； (3)求在第几分钟时，小锐在0号房间的概率最大. 11．奥运会中足球比赛的小组赛阶段的规则如下：共有个国家队被分成个小组，每个小组支球队循环比赛，共打场，每场比赛中，胜､平､负分别积分.每个小组积分的前两名球队晋级下一阶段的淘汰赛.若出现积分相同的情况，则需要通过净胜球数等规则决出前两名.假定积分相同的球队，通过净胜球数等规则出线的概率相同（例：若三支球队积分相同，同时争夺第二名，则每个球队夺得第二名的概率相同）.已知某小组内的四支球队实力相当，且每支球队在每场比赛中胜､平､负的概率都是，每场比赛的结果相互独立. (1)假设球队参与的前场取得胜负的成绩，具体比赛结果为与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.此时，各积3分，积0分，求球队最终晋级的概率. (2)假设该小组的前三场比赛结果如下：与比赛，胜；与比赛，胜；与比赛，胜.设小组赛阶段球队的积分之和为，求的分布列及期望. 12．甲、乙两人组队准备参加一项挑战比赛，该挑战比赛共分关，规则如下：首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者关都挑战成功，挑战比赛结束.若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响. (1)已知甲先上场，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求和； (2)如果关都挑战成功，那么比赛挑战成功.试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，并说明理由. 13．若抛掷一枚硬币，每次落地后正面向上的概率为，张华同学思考了以下抛掷硬币问题： (1)一共抛掷硬币4次，求恰有2次正面朝上且第2次抛掷是反面朝上的概率； (2)如果抛掷硬币前约定“双上次原则”：即最多抛掷硬币次，当出现两次正面朝上时就不再抛掷，抛掷硬币次后即使没有出现两次正面朝上也不再抛掷．设表示“双上次原则”中抛掷硬币的次数． ①若，求； ②若（为整数）表示抛掷硬币次时恰有2次正面朝上的概率，证明：． 14．已知一个袋子中装有分别标有数字的张卡片，． (1)把这个袋子中的张卡片分别放入2个不同的盒子中，每个盒子不空，记分配方法总数为，求的值； (2)从这个袋子中依次随机抽取一张卡片． （i）若取出的卡片不再放回袋子，记为最后一张标号为偶数的卡片被取出时所需的抽取次数，求； （ii）若取出的卡片再放回袋子，最多抽取次，直到取到标号为偶数的卡片就停止抽取，记抽取的次数为，证明：． 15．有一项危险任务需要工作人员去完成，每次只进入一人，且每人只进入一次，在规定安全时间内未完成任务则撤出，换下一个人进入，但最多派三人执行任务．现在一共有、、三个人可参加这项任务，他们各自能完成任务的概率分别为，，，且，，互不相等，他们三个人能否完成任务的事件相互独立． (1)，，，如果按照、、的顺序先后进入； ①求任务能被完成的概率； ②求所需派出入员数目的分布列和数学期望； (2)假定，试分析以怎样的先后顺序派出、、三个人可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，请说明理由． 16．阿尔法狗（AlphaGo）是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军．它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗（AlphaGo），三个阶段的阿尔法狗（AlphaGo）依次简记为甲、乙、丙． (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗（AlphaGo）各比赛一局，各局比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，．记该棋手恰连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程． (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，且每局比赛结果相互独立． （ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值； （ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事件M，求． 17．已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响．规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局． (1)如果约定先净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率； (2)如果约定先净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局．设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为． ①求甲获胜的概率； ②求． 18．为积极落实“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子”的现代健康理念.某学校大力开展“阳光体育大课间”活动，制订了主题为“百年风云”的系列纪念币奖励学生，该系列纪念币有四种.每个学生每天自主选择“球类”和“田径”中的一项进行锻炼.锻炼结束后学生将随机等可能地获得一枚纪念币. (1)某学生活动前两天获得两种纪念币，则前四天恰好能集齐“百年风云”系列纪念币的概率是多少？ (2)通过抽样调查发现，活动首日有的学生选择“球类”，其余的学生选择“田径”；在前一天选择“球类”的学生中，次日会有的学生继续选择“球类”，其余的选择“田径”；在前一天选择“田径”的学生中，次日会有的学生继续选择“田径”，其余的选择“球类”.用频率估计概率，记某学生第天选择“球类”的概率为. ①计算，并求. ②该学校共有学生2100人，经过足够多天后，试估计该学校接下来每天各有多少学生参加“球类”和“田径”运动？ 19．某答题打怪游戏遵循如下规则：游戏开始时会有一个Boss，其血量由玩家选择的难度而定．随后页面会显示答题区，在答题开始后，若答错一题那么Boss将会扣1点血，每答对一题Boss扣血点数为上次扣血的两倍（如果第一题答对则扣2点血），在给定题目作答结束后如果血量扣完（血量≤0）则挑战成功，否则挑战失败．为简化研究，现假设玩家每题答对的概率均相同且不变，且作答第一题后Boss扣血量的期望为，每次答题点相独立，则： (1)假设Boss初始血量为4点，答题次数为3，则本次挑战失败的概率是多少？ (2)假设Boss初始血量足够多，求第n次答题时的扣血点数的期望． 20．小明和小王按照规定在奇妙种植园中采摘水果，水果越采摘越多．奇妙种植园中的每个园区在最初始时会提供有限个橙子和苹果供采摘，且每次采摘均为随机采摘，当每次从种植园中随机采摘一次得到一个水果后，将水果退回种植园，并再添加同种水果个放入种植园． (1)若小王选择的园区初始有5个橙子和15个苹果，小明选择的园区初始有4个橙子和12个苹果，且a=2．分别求小王第2次采到橙子的概率和小明第2次采到橙子的概率，并比较大小； (2)小王和小明经多次采摘试验，大胆猜测：无论初始时橙子和苹果的个数是多少，两人每一次采摘到橙子的概率都相等，请说明猜测正确吗？并说明理由； (3)若初始有m个橙子和n个苹果，求第r次采摘后，累计采摘到的橙子个数的期望．（用m，n，r表示）． （附：若随机变量服从两点分布，且，，） 21．某校心理活动中心计划在周四和周五两天各举行一次活动，分别由张老师和王老师两人负责活动通知．已知该中心共有n位学生成员，每次活动均需该中心的k位学生成员参加．假设张老师和王老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该中心k位学生成员，且所发信息都能收到． (1)当，时，求该中心学生成员小明同学收到张老师或王老师两人所发活动通知信息的概率； (2)记至少收到一个活动通知信息的学生成员人数为X ①设，，求随机变量X的分布列和数学期望； ②设，求使取得最大值的整数m． 22．某药厂为获得新研发药品的治愈率，委托某公司进行调查，首轮抽取个患者进行试验，每个患者是否治愈相互独立． (1)假设，回答以下问题： （ⅰ）若，求患者痊愈比例为到的概率． （ⅱ）该公司第二轮再抽取个患者进行试验．为简化运算过程，拟用计算两轮试验治愈总人数为的概率，是否合理？若合理，请证明；若不合理，请说明理由． (2)在重伯努利试验中，随机变量，随着试验次数增加，其概率计算较为复杂，此时，根据中心极限定理，近似服从正态分布，故常用以下公式简化概率计算：，其中，随机变量．若用该公司首轮试验的治愈频率来估计治愈率，为保证有把握，使得与之间误差不超过0.01，则至少应抽取多少个患者？ 参考数据：． 23．信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有0或1两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，往往需要经过多重加密，若，是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密时信息中字节会等可能的变为0或1，且0，1之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中0或1发生变化的概率为，若，的初始状态为0，1或1，0，记通过两次加密后，中含有字节1的个数为. (1)若两次加密后的，中字节1的个数为2，且，求，通过第一次加密后字节1的个数为2的概率； (2)若一条信息有种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，则称（其中为这条信息的信息熵，试求，经过两次加密后字节1的个数为的信息熵； (3)将一个字节为0的信息通过第二次加密，当字节变为1时停止，否则重复第二次加密直至字节变为1，设停止加密时该字节第二次加密的次数为.证明：. 24．定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集,，且，那么称子集族为集合的一个划分．已知集合． (1)记表示集合的所有2划分的个数，求出 (2)若，从集合的所有划分中任取一个，求这个划分恰好为3划分的概率． (3)设集合为集合的非空子集，随机变量表示子集中的最小元素．若，求随机变量的分布列和数学期望． 25．马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②当时，恒成立，求m的取值范围. 26．已知甲盒子中装有个白球和个黑球，乙盒子中装有个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复次（）这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有个白球的概率为，恰有个白球的概率为. (1)求，和，； (2)证明：为等比数列； (3)求的数学期望（用表示）. 27．记数列前项的最大值依次构成一个新的数列，称数列为的“生成子列”，数列所有项组成的集合为． (1)已知数列，都只有项，为的“生成子列” ①若数列为3，2，1，4，求数列； ②若数列各项均不相等且，它的“生成子列”的通项公式，写出所有符合条件的数列； (2)若，且中有个元素，求的取值范围； (3)若，的“生成子列”的前n项和为，从，，，…，中任取个，记其中能被2整除且不能被整除的个数为，求． 专题三：随机变量及其期望方差全国高中数学联赛强基计划精选试题 1．（2014高二·全国·竞赛）在某次抽奖活动中，一个口袋里装有5个白球和5个黑球，所有球除颜色外无任何不同，每次从中摸出2个球，观察颜色后放回，若为同色，则中奖.则摸球三次仅中奖一次的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（2018高二·全国·竞赛）若离散型随机变量X的分布列为，则的值为（    ）. A． B． C． D． 3．（2014高二·全国·竞赛）已知随机变量，若使的值最大，则（    ）． A．6或7 B．7或8 C．5或6 D．7 4．（2024高三上·全国·竞赛）一次铁人三项比赛中，每名参赛选手须在指定的游泳池里游个来回，然后骑车10公里，最后跑3公里.已知共有n名选手参赛，由于场地条件限制，游泳池内只能同时容纳一名选手(即上一名选手上岸时下一名选手方可下水)，骑车与跑步则无限制.记序号为的选手游泳、骑车、跑步所用时长的期望分别为,，,为了使得总完赛时间(即从1号选手下水到号选手跑完的总时长)尽可能短，应采取的策略是（    ） A．让越大的选手越早出发 B．让越小的选手越早出发 C．让越大的选手越早出发 D．让越小的选手越早出发 5．（2024高三上·全国·竞赛）随机事件A，B，C满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2023高二下·安徽安庆·竞赛）已知肿瘤中1%为恶性肿瘤，99%为良性肿瘤，用一台X光机判断肿瘤类型，误诊的概率为0.1，若有一患者被诊断为恶性肿瘤，则其被误诊的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（2023高二下·安徽安庆·竞赛）随着2023年中考顺利结束，考生静待分数出炉的同时，也已经根据估分确定了自己心仪的高中.甲､乙两位学生心仪安庆市田家炳中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼､教学北楼､青少年活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件A：甲和乙至少一人选择青少年活动中心考察参观，事件：甲和乙选择的地点不同，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023高三下·全国·竞赛）已知两个连续型随机变量X，Y满足条件，且服从标准正态分布．设函数，则的图像大致为（    ） A． B． C． D． 9．（15-16高三·北京·强基计划）设，，是随机事件，与互斥，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（17-18高三·北京·强基计划）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 11．（16-17高三·北京·强基计划）设A，B为两个随机事件，且，则（    ） A． B． C． D． 12．（17-18高三·北京·强基计划）设A，B是两个随机事件，且，则的充要条件是（    ） A． B． C． D． 13．（20-21高三·北京·强基计划）设随机变量X服从正态分布，Y服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 14．（20-21高三·北京·强基计划）已知随机变量X的分布列如下表所示， X 0 1 2 P a b c 若成等比数列，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 15．（2024高三上·全国·竞赛多选题）有n个进程，，···，要访问一个数据库，不同进程之间、同一进程在不同时刻是否尝试访问数据库是相互独立的，且每一秒每个进程尝试访问数据库的概率均为.若某一秒恰有一个进程访问数据库，则访问成功，否则访问失败.以下是一个的样例： 序号/时刻 第1秒 第2秒 第3秒 第4秒 第5秒 第6秒 第7秒 ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ ✔ 访问结果 失败 失败 失败 记为在前t秒成功访问数据库的次数，为自然对数的底，[x]表示不小于实数x的最小整数，下列说法正确的是（    ） A．若n=4，则 B． C． D． 16．（2024高三上·全国·竞赛多选题）已知随机变量服从正态分布，．记的密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 17．（16-17高三·北京·强基计划多选题）已知为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 18．（18-19高三·北京·强基计划多选题）随机地将1，2，3、4，5，6中这六个数分为A，B两组，每组三个数．A组中最小数为，最大数为；B组中最小数为，最大数为，记，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024高一下·海南海口·竞赛）校乒乓球锦标赛共有位运动员参加.第一轮，运动员们随机配对，共有场比赛，胜者进入第二轮，负者淘汰.第二轮在同样的过程中产生名胜者.如此下去，直到第n轮决出总冠军，实际上，在运动员之间有一个不为比赛组织者所知的水平排序，在这个排序中 最好，次之， …，最差，假设任意两场比赛的结果相互独立，不存在平局，且 当与比赛时，获胜的概率为p，其中 ，求最后一轮比赛在水平最高的两名运动员与之间进行的概率为 20．（2012高二·全国·竞赛）随机变量，当取最大值时， ． 21．（2016高二·全国·竞赛）节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布列： 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种鲜花500束，则期望利润是 元． 22．（2011高二·全国·竞赛）从由正数组成的集合A中随机地选出一个数的概率为，则在下面给出的四个集合中：①；②；③；④． 能当成集合A的为 (填上符合要求的所有序号)． 23．（2013高二·全国·竞赛）一支足球队每场比赛获胜（得3分）的概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中a，b，，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为 ． 24．（2024高三上·全国·竞赛）如果是离散型随机变量，则在事件下的期望满足其中是所有可能取值的集合.已知某独立重复试验的成功概率为，进行次试验，求第次试验恰好是第二次成功的条件下，第一次成功的试验次数的数学期望是 . 25．（2024高二·全国·竞赛）甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为；第偶数局，乙赢的概率为．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为 ． 26．（2023高二下·安徽安庆·竞赛）“三门问题”（MontyHallproblem）亦称为蒙提霍尔问题､蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自八九十年代美国的电视游戏节目Let'sMakeaDeal.问题名字来自该节目的主持人蒙提･霍尔（MontyHall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆跑车，选中后面有车的那扇门可赢得该跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得跑车的概率.如果严格按照上述的条件，那么答案是 （填“会”或者“不会”）.换门的话，赢得跑车的概率是 . 27．（2023高二·安徽·竞赛）一离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.1 其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为 ． 28．（2018高三·甘肃·竞赛）某市公租房的房源位于甲､乙､丙三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的.则该市的4位申请人中恰有2人申请甲片区房源的概率为 . 29．（2010高一·全国·竞赛）某车站每天8∶00—9∶00，9∶00—10∶00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 到站时刻 8∶10 9∶10 8∶30 9∶30 8∶50 9∶50 概率 一旅客8∶20到车站，则它候车时间的数学期望为 ． 30．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知，，x为的个位数，求 . 31．（2024高三下·全国·竞赛）两随机变量的协方差定义为：． (1)证明：． (2)若，求的最小值． 32．（2024高三下·全国·竞赛）是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数，是从中随机抽取3个不同的数排列出的最大的三位数.求的概率. 33．（2011高二·全国·竞赛）某公司有6路热线电话，经长期统计发现，在8点至10点这段时间内，热线电话同时打入情况如下表所示： 电话同时打入数 0 1 2 3 4 5 6 概率 0.13 0.35 0.27 0.14 0.08 0.02 0.01 (1)若这段时间内，公司只安排了2位接线员．（一个接线员一次只能接一个电话） ①求至少有一路电话不能一次接通的概率； ②在一周五个工作日中，如果有三个工作日的这一时间内至少有一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用至少一路电话不能一次接通的概率表示公司形象的“损害度”，求这种情况下公司形象的“损害度”； (2)求一周五个工作日的这一时间内，电话同时打入数的期望． 34．（2018高二·全国·竞赛）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动.活动规则如下：消费额每满100元可转动如图所示的转盘一次（指针停在任一位置的可能性相等），并获得相应金额的返券.若指针停在A区域返券60元；停在B区域返券30元；停在C区域不返券.例如：消费268元，可转动转盘2次，所获得的返券金额是两次金额之和.      (1)若某位顾客消费128元，求返券金额不低于30元的概率； (2)若某位顾客恰好消费280元，并按规则参与了活动，他获得返券的金额记为X（元）.求随机变量X的分布列和数学期望. 35．（2015高二·全国·竞赛）为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品，测量产品中某种元素的含量（单位：毫克）.如图是测量数据的茎叶图：规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品.    (1)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率； (2)从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望； (3)从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率. 36．（2015高二·全国·竞赛）每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元.根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.    (1)求某两人选择同一套餐的概率； (2)若用随机变量表示某两人所获优惠金额的总和，求的分布列和数学期望. 37．（2011高二·全国·竞赛）为了推进国际旅游岛的建设，海南省决定建一个橡胶基地，打算从外地引进株名贵橡胶树，已知这株名贵橡胶树移栽的成活率分别为，且各株橡胶树是否成活互不影响． (1)若它们至少成活两株的概率大于，则橡胶基地就决定引进这三株名贵橡胶树，否则不予引进，问：橡胶基地是否会从外地引进这3株名贵橡胶树？ (2)求橡胶树成活株数的分布列与数学期望． 38．（2012高二·全国·竞赛）某校组织的一次篮球定点投篮比赛，其中甲、乙、丙三人投篮命中率分别是，，三人各投一次，用表示三人投篮命中的个数． (1)求的分布列及数学期望； (2)在概率中，若的值最大，求实数的取值范围． 39．（2014高二·全国·竞赛）某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障时间（单位：年）有关，若，则销售利润为0元；若，则销售利润为200元；若，则销售利润为400元．设每台该种电器的无故障使用时间，，这三种情况发生的概率分别为，，，又知，为方程的两根，且． (1)求，，及的值； (2)记表示销售两台这种家用电器的销售利润总和，求的分布列及均值． 40．（2016高二·全国·竞赛）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的. (1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率； (2)如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率； (3)若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望. 41．（2018高二·全国·竞赛）现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》，若甲应聘成功的概率为，乙、丙应聘成功的概率均为，且三个人是否应聘成功是相互独立的. (1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率，求的值； (2)记应聘成功的人数为，若当且仅当为2时概率最大，求的取值范围. 42．（2024高三上·全国·竞赛）春节将至，又是一年万家灯火的团圆之时．方方正正的小城里，住着户人家，恰好构成了坐标平面上集合的所有点．夜里，小城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网．在坐标平面上看，A中的每个点均独立地以概率p被点亮，或以的概率保持暗灭．若A中两个点的距离为1，则这两个点被称为是相邻的．若A中的n个被点亮的点构成一依次相邻的点列，则称这n个点组成的集合是长度为n的“相邻灯笼串”．规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”． (1)给定A中3个依次相邻的点，记随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，试直接写出随机变量X的分布列（用p表示）； (2)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01； (3)若，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99． 43．（2024高三上·全国·竞赛）为考查一种新的治疗方案是否优于标准治疗方案，现从一批患者中随机抽取100名患者，均分为两组，分别采用新治疗方案与标准治疗方案治疗，记其中采用新治疗方案与标准治疗方案治疗受益的患者数分别为和．在治疗过程中，用指标衡量患者是否受益：若，则认为指标正常；若，则认为指标偏高；若，则认为指标偏低．若治疗后患者的指标正常，则认为患者受益于治疗方案，否则认为患者未受益于治疗方案．根据历史数据，受益于标准治疗方案的患者比例为0.6． (1)求和； (2)统计量是关于样本的函数，选取合适的统计量可以有效地反映样本信息．设采用新治疗方案治疗第位的患者治疗后指标的值为，，2，，50，定义函数： （ⅰ）简述以下统计量所反映的样本信息，并说明理由． ①； ②； （ⅱ）为确定新的治疗方案是否优于标准治疗方案，请在（ⅰ）中的统计量中选择一个合适的统计量，并根据统计量的取值作出统计决策． 44．（2023高三下·全国·竞赛）为弘扬中华优秀传统文化，迎接即将到来的癸卯兔年，某校组织各年级同学参加了“金虎辞旧岁，玉兔迎新春”主题系列趣味比赛活动．活动包含两个环节，分别是“知识竞答”和“陀螺角逐赛”．每个环节中，同学们都以个人身份参赛． I—知识竞答环节：已知答题系统会从甲和乙两个题库中为选手抽取题目．答题时，系统每次随机选择甲与乙之一，并从中抽取一道题目发放给选手．选手提交答案后，系统自动抽取、发放下一题．只要甲与乙之中有一个题库发放满4题，此时即停止继续抽题，待选手提交完最后一题，答题结束，系统自动统计该选手的正确率与平均作答时长． II—陀螺角逐赛环节：每位选手在赛中进行一系列角逐，最后根据表现，依据比赛规则获得一个对应的分数．已知高一、高二和高三年级的参赛人数分别为460，200，140． (1)小明参与知识竞答环节时，已知他已经作答4题，且答题还将继续．记为小明答题结束时总共作答的题目数，求的分布列； (2)为了解各年级的同学在陀螺角逐赛中的比赛情况，现将总体成绩（单位：分）分为第1层（高一）、第2层（高二）和第3层（高三）并进行分层抽样．设总样本量为，总样本均值为，总样本方差为，各层样本量分别为，各层样本均值分别为，各层样本方差分别为．已知，，，，，，，． （i）求和的值； （ii）试推导高三年级成绩样本方差的表达式，并求出其值． 45．（2016高三·甘肃·竞赛）在某电视娱乐节目的游戏活动中，每人需完成、、三个项目.已知选手甲完成、、三个项目的概率分别为、、，每个项目之间相互独立. (1)选手甲对、、三个项目各做一次，求甲至少完成一个项目的概率. (2)该活动要求项目、各做两次，项目做三次.若两次项目均完成，则进行项目，并获得积分；两次项目均完成，则进行项目，并获积分；三次项目只要两次成功，则该选手闯关成功并获积分（积分不累计），且每个项目之间互相独立.用表示选手甲所获积分的数值，写出的分布列并求数学期望. 46．（2016高三·河南·竞赛）《中国好声音（The Voice of China）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目，于2012年7月13日正式在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手，当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中，6位选手演唱完后，四位导师为其转身的情况如下表所示： 现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况. (1)求选出的两人导师为其转身的人数和为4的概率； (2)记选出的2人导师为其转身的人数之和为，求的分布列及数学期望. 47．（20-21高三·北京·强基计划）设是相互独立的随机变量，且有．证明： (1)． (2)． (3)． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$