专题03 数列求和全题型归纳（9大压轴考法）-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学压轴题攻略（人教B版2019选择性必修第三册）

专题03 数列求和全题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 分组求和法】 4 【题型二 并项求和法】 7 【题型三 裂项相消等差型】 9 【题型四 裂项相消指数型】 12 【题型五 裂项相消根式型】 14 【题型六 裂项相消其他型】 17 【题型七 错位相减法】 19 【题型八 倒序相加法】 23 【题型九 数列求和的其他方法】 26 【压轴能力测评（14题）】 31 一、公式法 （1）等差数列的前n项和 （2）等比数列的前n项和 （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二、几种数列求和的常用方法 （1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 策略方法 分组转化法求和的常见类型 （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 策略方法 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； （5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 策略方法 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 【常用结论】 裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） 【题型一 分组求和法】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南文山·期末）若数列的通项公式为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式运算求解. 【详解】由题意知数列的前项和为 . 故选：C. 二、解答题 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用与的关系式，构造发现数列为常数列，由首项可得常数为4，从而得出； （2）利用裂项相消法和分组求和法计算即可. 【详解】（1）因为，所以时，， 两式相减可得，所以，即， 所以数列为常数列，则，可得. （2）因为，所以， 可得， 所以 . 所以. 3．（2025·四川自贡·二模）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由数列通项公式与求和公式的关系求出，以及等比数列的通项公式求出，可得答案； （2）由分组求和，利用等差数列与等比数列的求和公式，可得答案. 【详解】（1）因为， 所以时. 当时，， 所以， ，满足，所以， 数列是正项等比数列，. 所以公比，. （2）由（1）知， ， . 4．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）递推关系两边同除以可得，两边同时减1，化简后利用等比数列的定义与通项公式求解即可； （2）利用错位相减法与分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）由，两边同除以可得， 化为，又因为， 所以数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以，则； （2） 即， 设①， 则②， ①减②得：， 所以 所以. 【题型二 并项求和法】 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁丹东·期中）已知数列的通项公式为为其前项和，则（    ） A． B． C．493 D．495 【答案】A 【分析】根据给定的通项公式，利用并项求和法求解. 【详解】数列中，由，得， 所以. 故选：A 2．（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列中，，，则数列的前2025项和为（   ） A．1012 B．1013 C．2025 D． 【答案】D 【分析】先根据等差数列的通项公式求，再利用并项求和法求数列的前2025项和. 【详解】设数列的公差为d，则，解得.所以． 设， 所以，，…， 所以数列的前2025项和为： ． 故选：D 二、解答题 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：， (1)求证：数列是等差数列； (2)设，记，求和的值. 【答案】(1)证明见解析； (2)，. 【分析】（1）根据递推式及的关系得，结合等差数列的定义证明结论； （2）根据（1）得，易知时，时，结合等差数列的前项和及分组求和求和. 【详解】（1）当时，，解得， 因为①，所以②， ①②得， 所以，化简得， 因为，所以， 所以以1为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）知，则，令，得， 即时，时，则， . 4．（24-25高二下·云南玉溪·阶段练习）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. (1)求和； (2)求和； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，; (2)，; (3) 【分析】（1）由韦达定理即可求解； （2）由（1）求得，再结合韦达定理即可求解； （3），通过分组、裂项相消求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 当时，是方程的两根， 由韦达定理得，① 当时，是方程的两根， 由韦达定理得，② 由①②，解得； 所以； （2）由（1）知，所以， 则，对于方程， 由韦达定理得，即， （3）， 所以 . 【题型三 裂项相消等差型】 一、解答题 1．（23-24高二上·河南焦作·开学考试）记等差数列的前项和为，已知，且． (1)求和； (2)设，求数列前项和． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和； （2）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）设的公差为，因为，所以， 又，所以，解得， 所以， ． （2）， 所以 ． 2．（24-25高二下·湖北·期中）已知是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，由得到，再由，即可得到，从而求出、，即可求出通项公式； （2）利用裂项相消法计算可得； 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得，即； 又因为，取，所以，即； 解得，故的通项公式为. （2）因为， 所以 . 3．（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且， (1)求 (2)若，求数列前n项和为，并证明 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）利用等差数列的基本量列方程求解即可； （2）利用裂项相消的方法求和，结合放缩法即可得 【详解】（1）设等差数列的公差为d，则由题意得： 即 解得 故， 故 （2）， 4．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)若，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据等差数列与前n项和的性质及等比中项，计算通项公式基本量即可； （2）利用裂项相消法求和，结合数列的单调性证明即可. 【详解】（1）设的公差为，则，所以， 又为，的等比中项，则， 解之得，故； （2）由上可知， 所以 ， 易知， 令，显然定义域上单调递减，， 所以，故. 【题型四 裂项相消指数型】 一、解答题 1．（2025·陕西安康·二模）数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，证明：数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)构造结合等比数列的定义判断即可； (2)根据（1）可得的通项公式，进而可得的通项公式； (3)根据裂项相消求和证明即可. 【详解】（1）由可得，解得，则. 且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证. （2）由（1），故 （3）， 故 ，即得证. 2．（24-25高二下·湖北·期中）已知数列满足，（）. (1)证明：数列是等比数列. (2)设，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）对取倒数，整理得，然后利用等比数列定义即可证明； （2）先利用等比数列通项公式求得，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）数列满足，（）， 则， ∴， 又∵， ∴数列是以1为首项，为公比的等比数列. （2）由（1）知，则（）， ∴ ， ∴ . 3．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由与的关系代入计算，即可得到数列是以3为首项，3为公比的等比数列，从而得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）数列中，，当时，， 两式相减得，即，由，得， 因此数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式． （2）由（1）知，， 所以． 【题型五 裂项相消根式型】 一、解答题 1．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用通项公式和前项和的关系可求得，又，可得的通项公式； （2）首先分母有理化求得的通项公式，再利用裂项相消法即可其前项和为. 【详解】（1）由题干条件，当时，， 当时，， 与已知式子相减得，因为，所以， 又也符合上式，故； （2）由已知得， 故. 2．（24-25高二下·湖北·期中）设等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为，点（）在曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)若，证明数列是等差数列. (3)在（2）的条件下，若数列为正项数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线的定义及方程列式计算求出即可得出双曲线方程； （2）根据等差数列定义证明即可； （3）应用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由题意可设双曲线的标准方程为（，）， 则，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）因为点（）在曲线上，所以 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （3）由（2）可知， 由于，所以 所以 所以 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，且满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）令，解方程即可求解， （2）利用，的关系，作差可得等差数列，即可求解， （3）利用放缩法可得，即可利用累加法求解. 【详解】（1）在，中，， 令，可得 ， ∴． （2），① 当时，，② 可得 ， ∴， ∴是公差为的等差数列， ∴， ∴． （3）证明：由（2）可得， ∴， ∴ ． 【题型六 裂项相消其他型】 一、解答题 1．（24-25高二下·广东汕头·期中）已知是等差数列，是等比数列，且，，，． (1)求,的通项公式； (2)若，求数列的前n项和，并求证：． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 【分析】（1）由已知条件可列出关于的三元一次方程组，由此可求得，的通项公式； （2）由（1）可求得的通项公式，再利用裂项相消法可求得，利用放缩法即可证明. 【详解】（1）因为是等差数列，是等比数列，可设的公差为，的公比为， 由已知条件可得，，， 则有，解得， 故，； （2）由（1）可知， 则， 因为，所以，故； 又由，得，即数列单调递增，故， 综上，可得，证毕. 2．（2025·河北保定·一模）记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系，得到，即可求解； （2）由（1）可得，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 当时，， 两式相减得，① 则，② ②①得， 所以. 因为， 又，所以当时，； 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列. （2）由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， 则， 所以. 3．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知正项数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列性质公式计算即可； （2）运用裂项相消法计算，结合不等式性质，证明即可. 【详解】（1）∵， 当时，， ∴两式相减并化简得， 又，则； 当时，， 即，∴， ∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴. （2）证明：由（1）得，， 又，则， 则 . 【题型七 错位相减法】 一、解答题 1．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）设数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用和等比数列的基本量法求出通项即可； （2）由错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，； 当时，即， 而，故，， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， 所以经验证满足通项，所以. （2）由（1）得， 则， ， 两式做差可得， 所以. 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列满足，且，数列满足，且点在直线上，其中. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用递推关系式构造出等比数列，从而求出数列的通项公式；根据题意可推导出数列为等差数列，按照定义写出其通项公式； （2）利用错位相减法求和. 【详解】（1）由题意得，，首项为， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以，即. 由题意得，，且， 所以数列是以5为首项，2为公差的等差数列， 所以. （2）由题意，， 所以， 则， 两式相减可得， ， 所以. 3．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知两个数列与，满足，且 (1)求证：是等差数列. (2)记，求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，由条件可得，然后结合等差数列的定义代入计算，即可证明； （2）根据题意，由错位相减法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由知. 则， ， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）知， ， ， 相减得：， ， 得. 4．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）已知数列的前项和为，满足，且，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由已知得出是以1为首项，为公差的等差数列，求出的通项公式，进而得出；当时，，当时，由得出的通项公式； （2）由（1）得①，等式两边同乘以得②式，①②得③，③式再同乘以得④式，③④错位相减进而得出． 【详解】（1）因为，所以是以1为首项，为公差的等差数列， 所以，， 当时，， 又满足关系， 故． 数列，当时，， 当时，， 时，满足， 所以，． （2）由题可知， ①， ②， ①②得． 则③， ④ ③④得 ， 所以． 【题型八 倒序相加法】 一、单选题 1．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倒序相加法即可求解 【详解】因， 且① 则，② 由①+②可得：， 故. 故选：C. 2．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由等比数列的性质可得，再计算，再利用倒序相加计算结果． 【详解】因，数列是等比数列，有， 因为，所以， 故有 设， 则， 则， 则. 故选：D. 3．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质计算出的值，然后利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】等比数列满足，则， 所以，对任意的的正整数， ， 令， 则， 故. 故选：A. 4．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，利用倒序相加法求出的通项公式； 【详解】函数对任意都有， 数列满足① 又② ①②得：， 得. 故选：B. 【题型九 数列求和的其他方法】 一、解答题 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前5项和． 【答案】(1) (2)682 【分析】（1）运用等比数列公式性质计算即可；（2）根据通项公式找到公共项，求和即可. 【详解】（1）因为，， 所以，解得（负值舍去）， 所以． （2）设的第项与的第项相等， 则，即，． 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则． 故． 2．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用与间的关系得到，即可求解； （2）根据（1）可得，从而有时，，再对讨论，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减得，得到，又，则， 又当时，，所以，得到，满足， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以当时，， 所以，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 所以. 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. (1)若a=3，b=4，求S₆的值; (2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; (3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用“隙积术”， 代入公式直接计算. （2）用表示，再利用公式建立方程并求出正整数解即可. （3）求出第所放物体数，再将各层物体数乘以2，利用“隙积术”求解即可. 【详解】（1）依题意，，则， 所以. （2）依愿意，， 由给出的公式，得， 即，整理得， 而为正整数，又，则， 而，则是30的正约数，因此或， 或，所以. （3）依题意，第所放物体个数为， 从上往下n层三角垛，将每层所放物体数乘以2， 从上往下各层物体数依次为：，物体总数为， 此时，项数为， ， 所以. 【点睛】关键点点睛：正确理解“隙积术”的意义，确定公式中的各量是求解的关键. 4．（24-25高二上·陕西安康·期末）设正项等比数列的公比为（为已知常数），且数列满足. (1)求的值； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义以及题目已知条件即可求得数列与以及的乘积关系，从而得出中相邻项的比例，从而得解.。 （2）利用（1）结论以及题目的初始条件，分别求出数列的奇数项和偶数项通项公式，最后利用通项公式计算的前2n项和即可. 【详解】（1）因为是公比为的等比数列，故有， 由，可得， 则， 由此可得， 即； （2）由（1）知，且和， 设数列中奇数项的公比为，偶数项的公比也为。 奇数项：，形成等比数列，首项，公比为， 因此，奇数项通项为，其中 偶数项：，形成等比数列，首项，公比为， 因此，偶数项通项为，其中. 当时，，，此时； 当时，奇数项和， 偶数项和， 此时； 所以 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解和应用等比数列的性质，以及如何利用给定条件构建数列的递推关系。通过将数列的乘积关系转化为比例关系，我们得以求解出数列的通项公式，进而求解出特定和式的值。在处理类似问题时，理解数列性质和递推关系的转换至关重要。 5．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）计算出，将两式和做差，得出关于的隔项关系式，根据累加求和，求得通项即可； （2）由于……，给出“当时，，……”等结论，分组计算数列的前项和即可. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以，将两式相减，得：， 所以数列的奇数项，偶数项分别单独构成等差数列. 当为奇数时，，，……，且， 则， 当为偶数时，则， 所以. （2）设的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 【压轴能力测评】 一、解答题 1．（2025·山西晋中·模拟预测）记数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退一相减法可证数列为等差数列，进而可通项公式； （2）利用分组求和及裂项相消法可得. 【详解】（1）由已知， 则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）得， 则， 则， 所以 . 2．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列前项的和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由与的关系，代入计算，即可得到结果. （2）根据题意，由（1）可得数列的通项公式，然后由并项求和法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）①当时，或（舍去）， ②当时，， ， 上述两式相减，整理得，又， 所以，所以是以3为首项，公差为4的等差数列， . （2）由（1）知， 所以， . 3．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列的通项公式计算即可； （2）运用裂项相消法计算即可求解. 【详解】（1）因为， 当时，，解得， 当时，， 两式作差得， 则， 因为，所以，， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列，； （2）由（1）知， ， 所以 . 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）运用关系式，得到，再用等比数列公式计算即可； （2）先求出，再用错位相减求和. 【详解】（1）当时，，则； 当时，，整理得， 因此数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为； 由得，即，所以数列是常数列，，所以数列的通项公式为 （2）由（1）知，， 则， 于是， 两式相减得 ，所以. 5．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据，求出的通项公式，根据通项公式研究数列各项正负情况，进而得到的前项和. 【详解】（1）， 时，有， 时有， ， ， 又，也符合上式， 故数列是首项为1，公比为2的等比数列， . （2）， 时，， 时有， ，又，也符合上式， 所以， 当时，当时， 当时，， 当时，. 故. 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用求出数列通项公式. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得，解得，当时，，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， ，则， 两式相减得， 所以. 7．（23-24高二下·河南安阳·期中）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）降次作差即可得到，最后验证即可； （2）求出前12项的每一项，最后求和即可. 【详解】（1）当时，，①， 所以当时，②， ①②得， 即也满足该式，所以. （2）由（1）知， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 依次类推，可知. 所以数列的前12项和为. 8．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用的关系式探究数列的特性，再求出其通项公式. （2）利用裂项求和法求得，进而证得不等式成立. 【详解】（1）数列中，由，得， 两式相减得，而，则， 又，，因此，数列是首项为2，公差为1的等差数列 所以的通项公式. （2）由（1）知，， 所以 . 9．（广东省清远市2025届高二教学质量检测（二）数学试题）已知数列的首项为，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推公式变形得，利用等比数列的定义即可证明是等比数列. （2）由（1）得，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求和即可 【详解】（1）证明： 数列满足，即， ， 即， 又， , 数列表示首项为，公比为的等比数列． （2）由（1）知， ， ， 当为偶数时，可得； 当为奇数时，可得； 综上可得， 10．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项，且满足. (1)求数列的通项； (2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数. 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）方法1：将化为，代入计算，即可得到结果；方法2：将原式裂项，然后计算，即可得到结果； （2）根据题意，由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设公差为， 方法1.，， ，. 方法2.. ，，. （2）由（1）知， . ， 即， ，. 11．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见详解 【分析】（1）分析可知数列为常数列，即可得数列的通项公式，根据前n项和与通项公式之间的关系可得数列的通项公式； （2）由（1）可知：，利用裂项相消法求，进而分析证明. 【详解】（1）因为，可得， 即， 可知数列为常数列，则，所以； 又因为，则有： 若，可得； 若，则， 两式相减得； 且符合上式，所以. （2）由（1）可知：， 可得， 显然，所以. 12．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）当时，可得，进而两式相减，可得，进而可得是等比数列，可求通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，进而可证结论. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，，可得， 两式相减并整理得，所以. 又，所以，又，满足上式， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）知=， 所以 . 因为，所以递增，所以，即. 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 14．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 数列求和全题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 【题型一 分组求和法】 4 【题型二 并项求和法】 5 【题型三 裂项相消等差型】 5 【题型四 裂项相消指数型】 6 【题型五 裂项相消根式型】 7 【题型六 裂项相消其他型】 7 【题型七 错位相减法】 8 【题型八 倒序相加法】 9 【题型九 数列求和的其他方法】 9 【压轴能力测评（14题）】 11 一、公式法 （1）等差数列的前n项和 （2）等比数列的前n项和 （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二、几种数列求和的常用方法 （1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 策略方法 分组转化法求和的常见类型 （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． （1）基本步骤 （2）裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （3）消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解． 策略方法 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； （5）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解． 策略方法 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 【常用结论】 裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1） （2） （3） 【题型一 分组求和法】 一、单选题 1．（24-25高二上·云南文山·期末）若数列的通项公式为，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知数列的前项和为，满足，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 3．（2025·四川自贡·二模）已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求. 4．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【题型二 并项求和法】 一、单选题 1．（24-25高二下·辽宁丹东·期中）已知数列的通项公式为为其前项和，则（    ） A． B． C．493 D．495 2．（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列中，，，则数列的前2025项和为（   ） A．1012 B．1013 C．2025 D． 二、解答题 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项和为，且和满足：， (1)求证：数列是等差数列； (2)设，记，求和的值. 4．（24-25高二下·云南玉溪·阶段练习）已知等差数列满足，是关于的方程的两个根. (1)求和； (2)求和； (3)设，求数列的前项和． 【题型三 裂项相消等差型】 一、解答题 1．（23-24高二上·河南焦作·开学考试）记等差数列的前项和为，已知，且． (1)求和； (2)设，求数列前项和． 2．（24-25高二下·湖北·期中）已知是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 3．（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）已知是等差数列的前n项和，且， (1)求 (2)若，求数列前n项和为，并证明 4．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)若，记的前项和为，证明：． 【题型四 裂项相消指数型】 一、解答题 1．（2025·陕西安康·二模）数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式； (3)若，证明：数列的前项和． 2．（24-25高二下·湖北·期中）已知数列满足，（）. (1)证明：数列是等比数列. (2)设，求. 3．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式． (2)已知，求数列的前项和． 【题型五 裂项相消根式型】 一、解答题 1．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知数列满足 (1)求的通项公式； (2)记，数列的前项和为，求. 2．（24-25高二下·湖北·期中）设等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为，点（）在曲线上. (1)求双曲线的标准方程. (2)若，证明数列是等差数列. (3)在（2）的条件下，若数列为正项数列，求数列的前项和. 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知数列的前项和，，且． (1)求； (2)求数列的前项和； (3)设数列的前项和为，且满足，求证：． 【题型六 裂项相消其他型】 一、解答题 1．（24-25高二下·广东汕头·期中）已知是等差数列，是等比数列，且，，，． (1)求,的通项公式； (2)若，求数列的前n项和，并求证：． 2．（2025·河北保定·一模）记数列的前项和为，已知. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 3．（24-25高二上·福建龙岩·期末）已知正项数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前n项和为．证明：对于任意，都有． 【题型七 错位相减法】 一、解答题 1．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）设数列的前项和为，已知. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求. 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知数列满足，且，数列满足，且点在直线上，其中. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和. 3．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知两个数列与，满足，且 (1)求证：是等差数列. (2)记，求数列的前项和 4．（24-25高二下·山东淄博·阶段练习）已知数列的前项和为，满足，且，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【题型八 倒序相加法】 一、单选题 1．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 3．（24-25高二上·湖南·期中）若等比数列满足，则（    ） A． B．1012 C． D．1013 4．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知函数，数列满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【题型九 数列求和的其他方法】 一、解答题 1．（24-25高二下·湖南·阶段练习）已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前5项和． 2．（24-25高二上·山东聊城·阶段练习）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记为在区间的个数，求数列的前项和. 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）北宋的数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢?”他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把它们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对于上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图1所示），可以用公式求出物体的总数.这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列的和.然而，“隙积术”的意义不仅在于提出了二阶等差数列的一个求和公式，而且在于发展了自《九章算术》以来对等差数列问题的研究，开创了我国“垛积数”的研究. (1)若a=3，b=4，求S₆的值; (2)若由小球堆成的上述垛积共7层，小球总个数为238，求该垛积最上层的小球个数ab; (3)三角垛是堆积垛的一种特殊情况，即指的是顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个，…，设第n层放mn个物体堆成的堆垛（如图2所示），利用上述材料，求从上往下n层三角垛的物体总数Tn. 4．（24-25高二上·陕西安康·期末）设正项等比数列的公比为（为已知常数），且数列满足. (1)求的值； (2)若，求的前项和. 5．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数是高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，.若数列满足，且，记. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【压轴能力测评】 一、解答题 1．（2025·山西晋中·模拟预测）记数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 2．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知正项数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列前项的和. 3．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)数列满足，求的前项和. 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知数列的前项和为，，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和. 5．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知数列的前项和为，其中，；数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 7．（23-24高二下·河南安阳·期中）在数列中，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前12项和，其中表示不超过的最大整数，如，. 8．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知为数列的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求证：． 9．（广东省清远市2025届高二教学质量检测（二）数学试题）已知数列的首项为，且满足． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和． 10．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知等差数列的首项，且满足. (1)求数列的通项； (2)若，记数列的前项的和为，求满足的最小整数. 11．（2025·山东济宁·一模）已知数列和满足． (1)求数列和的通项公式； (2)设数列的前项和为，求证：． 12．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知为数列的前n项和，，且且. (1)证明：是等比数列，并求数列的通项公式; (2)若，记为数列的前n项和，求证：. 13．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 14．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$