精品解析：2025届内蒙古自治区通辽市高考三模数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，， 所以. 故选：C. 2. 某中学有高中生1000人，初中生3000人.为了解学生的身心发展情况，按比例采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为80的样本，则抽中的高中生人数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 【答案】C 【解析】 【分析】计算分层抽样的抽取比例乘以样本容量可得答案． 【详解】分层抽样的抽取比例为， 所以从高中生中抽取的人数为. 故选：C． 3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，可得，结合导数几何意义求切线方程. 【详解】由，得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为． 故选：B. 4. 已知向量,满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律及坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得． 故选：A. 5. 已知函数是偶函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦型函数的奇偶性求解即可. 【详解】由是偶函数， 则，，即，， 则时，，时，，时，， 则的最小值是. 故选：A. 6. 已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法列方程可得解. 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数、函数的单调性以及函数的零点转化待求不等式，求解即得. 【详解】因为， 所以在上单调递增，且． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且． 由，可得或，解得或． 即的解集为. 故选：B. 8. 已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据长度关系分析可知球面与表面没有公共点，且与表面，的交线都是圆心角为，半径为2的圆弧，即可得结果. 【详解】因为正方体的棱长为，则表面上的点到点A的最大距离为， 所以以顶点A为球心，为半径的球的球面与这三个表面没有公共点． 如图，若球面与表面的公共点为P， 因为，则， 由，可得，同理可得，则， 可知P的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆与表面的交线都是圆心角为，半径为2的圆弧， 同理可得球面与表面的交线也都是圆心角为，半径为2的圆弧， 所以交线总长． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的运算结合共轭复数的定义运算求解. 【详解】因为， 则，． 为纯虚数的是，，. 故选：BCD． 10. 已知函数(且，则下列结论正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则的值域为 C. 若，则在上单调递增 D. 若，则在上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，代值计算即可判断；对于B，根据基本不等式求解即可；对于CD，根据复合函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，当时，， 则，故A错误； 对于B，当时，， 当且仅当，即时等号成立， 则值域为，故B正确； 对于C，当时，， ，， 令，则， 因函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，， ，， 令，则， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故D正确. 故选：BCD 11. 在平面直角坐标系中，动点P在直线上的射影为点Q，且．记P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ） A. C关于直线l对称 B. C上存在点，使得 C. 的最小值为 D. 若C与两条坐标轴的正半轴所围成的面积为S，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设通过，得到轨迹方程即可判断，对于B，由即可判断，对于C，由可判断，对于D，记C在第一象限内的部分为曲线D，设为D上任意一点，则，得到+，再通过假设，推出得到矛盾，进而可判断. 【详解】设，则．由， 得，即．关于l对称的点为， 也满足方程，故C关于直线l对称，A正确． 显然点在C上，且满足，B正确． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，整理得， 从而，C不正确． 记C在第一象限内的部分为曲线D，设为D上任意一点，则， 由，得，即， 故点B在直线的上方或在的下方（不重合）， 从而． 假设，则由，可得， 则，则，则，这与假设矛盾， 故D在直线的上方，从而，故，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用双曲线方程中的关系结合离心率，列式计算即可求得的值. 【详解】由双曲线，得，所以 双曲线C的离心率为， 所以，解得 故答案为：. 13. 4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种． 【答案】408 【解析】 【分析】先排医生，分两类，医生甲不站在医生的最左端和医生甲站在医生的最左端，再将2名护士插空，即可求解. 【详解】若医生甲不站在医生的最左端则有种不同的站法， 若医生甲站在医生的最左端，则有种不同的站法，故不同的站法共有种． 故答案为：408. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D 在边BC上，且.则 的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题设，接着由在和中结合余弦定理得及范围，再设建立不等式，解该不等式即可得解. 【详解】由题可设， 因为，所以， 所以由余弦定理有，， 所以，再由得， 设，则， 所以即， 所以的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，，平面. （1）证明：； （2）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明即可； （2）利用空间向量证明即可. 【小问1详解】 证明：过点作，垂足为， 因为平面， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 所以， 则， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面PAB的一个法向量为， 则，取，得， 设平面PCD的一个法向量为， 则，取，得， 设平面PAB与平面PCD所成角为， 则， 则， 即平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为. 16. 为了增强学生的法律意识，某学校组织了一场法律知识测试，测试共有 A，B两个试题题库，学生先从这两个题库中任选一个，再从该题库中任选一道试题作答.若答错该试题，学生测试结束：若答对该试题，则再从另外一个题库中任选一道试题作答，无论答对与否，学生测试结束.已知学生甲答对A题库中的每道试题的概率均为 答对B题库中的每道试题的概率均为 （1）求学生甲只作答了一道试题的概率； （2）若答对A题库中的试题，可以获得20个积分，若答对B题库中的试题，可以获得10个积分，记学生甲测试结束时获得的总积分为X，求X 的分布列与期望. 【答案】（1）； （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）由学生甲只作答了一道试题的情况结合互斥事件概率加法公式即可求解； （2）由题设依次求出随机变量的取值和取值对应的概率结合期望公式即可得解. 【小问1详解】 学生甲只作答了一道试题的情况有两种：选中A题库并答错和选中B题库并答错， 所以学生甲只作答了一道试题的概率为. 【小问2详解】 由题，， ，， ， 所以X 的分布列为 X 0 10 20 30 P 所以X 的期望为. 17. 已知函数 （1）若，求的极值; （2）讨论的单调性. 【答案】（1）极大值为，无极小值； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导然后令，即可得到函数极值； （2）求导得，然后令，即可得到方程的两根，然后分两根的大小讨论，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，，则， 令，即，解得或（舍）， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以时，有极大值，且极大值为，无极小值. 【小问2详解】 函数定义域为， 且， 令，解得或， 令，即，解得， 当时，，此时恒成立， 当时，此时， 则函数单调递减，函数单调递增， 函数单调递减； 当时，，则函数单调递增， 函数单调递减； 当时，，则函数单调递减， 函数单调递增，函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 函数单调递减， 综上所述：当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； 当时，函数的单调增区间为， 单调减区间为和； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数的单调增区间为， 单调减区间为和； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且． （1）求C的标准方程； （2）过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D． （i）求面积的最大值； （ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）为定值9，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据，得到，又，则，得到椭圆方程； （2）（i）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出点N的坐标，表达出三角形的面积，利用基本不等式求出最值； （ii）设外接圆的方程为．代入，可得，联立直线和外接圆方程，得到两根之和，两根之积，结合（i）可得方程，求出，求出，为定值． 【小问1详解】 由，整理得，则该圆是以为圆心，6为半径的圆． 因为P是圆上一点，线段与C交于点Q，且， 所以，即，解得． 由题可知，则，故C的标准方程为； 【小问2详解】 （i）当点的直线斜率不存在时，重合，此时不存在，不合要求， 当点的直线斜率为0时，重合，此时不存在，不合要求， 直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为． 联立整理得， 则， 则线段的中点N的坐标为． 设的面积为S，则． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为． （ii）为定值9，理由如下： 设，显然为外接圆圆心， 故可设外接圆的方程为． 因为在外接圆上，所以，故， 故外接圆的方程为． 联立，整理得 ， 则． 因为， 故， 解得． 故，为定值． 19. 已知，若正项数列满足，则称为“上界m数列”． （1）若，判断数列是否为“上界1数列”，并说明理由； （2）若数列是“上界m数列”，求m的最小值； （3）若，且．证明：数列是“上界1数列”． 【答案】（1）不是“上界1数列”，理由见解析 （2）2 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，再根据新定义判断即可； （2）根据为“上界m数列”的定义判断即可； （3）由已知可得，则再证明即可，当时成立，当时，由可得，由裂项相消法求和可得，可得，得证. 【小问1详解】 由题可知，， 因为，所以， 则，则，从而不是“上界1数列”． 【小问2详解】 因为， 又数列是“上界m数列”，所以恒成立． 又， 所以，即m的最小值为2． 【小问3详解】 因为，所以， ，则，从而． 要证数列是“上界1数列”，需证， 当时，由，得． 当时，由，得，则， 整理得， 则， 则，即． 因为，所以，则， 则，从而， 所以数列是“上界1数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某中学有高中生1000人，初中生3000人.为了解学生的身心发展情况，按比例采用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为80的样本，则抽中的高中生人数为（ ） A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 3. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量,满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是偶函数，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ） A B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ） A B. C. D. 10. 已知函数(且，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的值域为 C. 若，则在上单调递增 D. 若，则在上单调递增 11. 在平面直角坐标系中，动点P在直线上的射影为点Q，且．记P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ） A. C关于直线l对称 B. C上存在点，使得 C. 的最小值为 D. 若C与两条坐标轴的正半轴所围成的面积为S，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的离心率为，则_____________． 13. 4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种． 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D 在边BC上，且.则 的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，，平面. （1）证明：； （2）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值. 16. 为了增强学生的法律意识，某学校组织了一场法律知识测试，测试共有 A，B两个试题题库，学生先从这两个题库中任选一个，再从该题库中任选一道试题作答.若答错该试题，学生测试结束：若答对该试题，则再从另外一个题库中任选一道试题作答，无论答对与否，学生测试结束.已知学生甲答对A题库中的每道试题的概率均为 答对B题库中的每道试题的概率均为 （1）求学生甲只作答了一道试题的概率； （2）若答对A题库中的试题，可以获得20个积分，若答对B题库中的试题，可以获得10个积分，记学生甲测试结束时获得的总积分为X，求X 的分布列与期望. 17. 已知函数 （1）若，求极值; （2）讨论的单调性. 18. 已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且． （1）求C的标准方程； （2）过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D． （i）求面积的最大值； （ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 19. 已知，若正项数列满足，则称“上界m数列”． （1）若，判断数列否为“上界1数列”，并说明理由； （2）若数列是“上界m数列”，求m的最小值； （3）若，且．证明：数列是“上界1数列”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$