空间几何体的外接球和内切球问题微专题学案-2025届高三数学二轮复习

【二轮复习微专题】 空间几何体的外接球与内切球问题 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 理解外接球与内切球的定义，明确正方体、长方体、正四面体等特殊几何体的外接球与内切球球心位置及半径公式； 2. 学会通过构造长方体、正方体等规则几何体，将复杂几何体的外接球问题转化为规则几何体的外接球问题，并运用勾股定理计算半径； 3. 能够利用几何体的体积与表面积关系，通过等体积法推导内切球半径公式，并应用于正四面体、正棱锥等典型几何体. 2、 重点难点 重点：重点掌握如何通过补形法将复杂几何体的外接球问题转化为规则几何体的外接球问题，并运用勾股定理计算半径; 难点：难点在于如何通过几何体的对称性、垂线交点或截面圆心位置确定球心. 3、 学习过程 1. 问题引入 思考：空间几何体的外接球与内切球的定义是什么？ 外接球：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有 的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． 内切球：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有 的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的内切球的球心． 2. 知识归纳 · 空间几何体的外接球 （1）可放入正方体、长方体型外接球问题 重要结论： · 正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半. · 长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半. 三棱锥特征 三条侧棱两两互相垂直 四个面均是直角三角形 相对棱相等的三菱锥 图示 三棱锥特征 正四面体 3个直角三角形+1个普通三角形 图示 （2）不可放入正方体、长方体型外接球问题 几何体特征 直棱柱（线面垂直、圆柱） 正棱锥（圆锥） 面面垂直 图示 球心位置 在上下底面外心连线中点处 在其顶点与底面外心连线上 过外心做两平面垂线的交点 半径公式 R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高 __________________ R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高 r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长 · 空间几何体的内切球 三棱锥内切球 四棱锥内切球 图示 截面相似 等体积法 求 内切球的半径 即 3. 例题分析 角度一：可放入正方体、长方体型外接球问题 例题1. （1）在正三棱锥中，､分别是棱､的中点，且，若侧棱，则该正三棱锥外接球的体积是 . （2）已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 角度二：不可放入正方体、长方体型外接球问题 例题2. （1）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为 . （2）（2020·全国I卷·高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 角度三：空间几何体的内切球 例题3. （1）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则它的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 4. 提升练习 (1) （2021·全国甲卷·高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． (2) （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． (3) （2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． (4) （2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． (5) 三棱柱的侧棱垂直于底面，且，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． (6) 三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． (7) 三棱锥中，平面，，且，，则该三棱锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． (8) 在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． (9) 一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为 . 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《空间几何体的外接球与内切球问题的作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【二轮复习微专题】 空间几何体的外接球与内切球问题 导学案 授课班级：G22xx班 授课老师：刘老师 1、 学习目标 1. 理解外接球与内切球的定义，明确正方体、长方体、正四面体等特殊几何体的外接球与内切球球心位置及半径公式； 2. 学会通过构造长方体、正方体等规则几何体，将复杂几何体的外接球问题转化为规则几何体的外接球问题，并运用勾股定理计算半径； 3. 能够利用几何体的体积与表面积关系，通过等体积法推导内切球半径公式，并应用于正四面体、正棱锥等典型几何体. 2、 重点难点 重点：重点掌握如何通过补形法将复杂几何体的外接球问题转化为规则几何体的外接球问题，并运用勾股定理计算半径; 难点：难点在于如何通过几何体的对称性、垂线交点或截面圆心位置确定球心. 3、 学习过程 1. 问题引入 思考：空间几何体的外接球与内切球的定义是什么？ 外接球：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心． 内切球：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有平面的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的内切球的球心． 2. 知识归纳 · 空间几何体的外接球 （1）可放入正方体、长方体型外接球问题 重要结论： · 正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半. · 长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半. 三棱锥特征 三条侧棱两两互相垂直 四个面均是直角三角形 相对棱相等的三菱锥 图示 三棱锥特征 正四面体 3个直角三角形+1个普通三角形 图示 （2）不可放入正方体、长方体型外接球问题 几何体特征 直棱柱（线面垂直、圆柱） 正棱锥（圆锥） 面面垂直 图示 球心位置 在上下底面外心连线中点处 在其顶点与底面外心连线上 过外心做两平面垂线的交点 半径公式 R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高 R为外接球半径，r为底面外接圆半径，h为棱锥的高 R2＝r12＋r22－ r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长 · 空间几何体的内切球 三棱锥内切球 四棱锥内切球 图示 截面相似 等体积法 求 内切球的半径 即 3. 例题分析 角度一：可放入正方体、长方体型外接球问题 例题1. （1）在正三棱锥中，､分别是棱､的中点，且，若侧棱，则该正三棱锥外接球的体积是 . 【详解】解：如图所示：取中点，连接， 三棱锥为正三棱锥，，， 又为中点，，， 平面，，平面， 又平面，， 又分别为中点，，， 又，，平面， 平面，平面， 又平面，，，由正三棱锥特点知：两两互相垂直， 三棱锥的外接球，即为以为棱的正方体的外接球， 三棱锥的外接球半径为：， 三棱锥的外接球体积为：. 故答案为：. （2）已知四面体中，，，，则该四面体外接球的表面积为 . 【详解】在四面体中，，，， 则该四面体的相对棱可为某个长方体三组相对面的面对角线，长方体的外接球即为四面体的外接球， 设长方体的共点的三条棱长依次为，外接球半径为， 则，于是， 所以该四面体外接球的表面积为 故答案为： 角度二：不可放入正方体、长方体型外接球问题 例题2. （1）在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为 . 【详解】设三角形的外接圆半径为， 设直三棱柱的外接球的半径为， ，则为钝角，则， 所以， 所以， 所以外接球的表面积是. 故答案为： （2）（2020·全国I卷·高考真题）已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆半径为，球的半径为，依题意， 得， 为等边三角形， 由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积. 故选：A 角度三：空间几何体的内切球 例题3. （1）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为，则它的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，为的中点，底面，则为的中心，底面的面积. 又，所以，所以. 设三棱锥的内切球的半径为，则，所以. 故选：B 4. 提升练习 (1) （2021·全国甲卷·高考真题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【详解】，为等腰直角三角形，， 则外接圆的半径为，又球的半径为1， 设到平面的距离为， 则， 所以. 故选：A. (2) （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为． 故选：A．    (3) （2022·全国乙卷·高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立. 故选：C (4) （2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点． 【详解】不妨设正方体棱长为2，中点为，取，中点，侧面的中心为，连接，如图， 由题意可知，为球心，在正方体中，， 即， 则球心到的距离为， 所以球与棱相切，球面与棱只有1个交点， 同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1个交点， 所以以EF为直径的球面与正方体棱的交点总数为12. 故答案为：12 (5) 三棱柱的侧棱垂直于底面，且，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A． B． C． D． 【详解】由于，所以三角形是直角三角形，且为斜边，由于三棱柱是直三棱柱，故外接球球心在中点的连线的中点的位置，画出图像如下图所示，由图可知，外接球的半径，故外接球的表面积为， 故选D. (6) 三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图，点为外接圆的圆心，过点作平面的垂线， 点为的中点，过点作线段的垂线，所作两条垂线交于点， 则点为三棱锥外接球的球心， 因为平面，且为等边三角形，， 所以四边形为矩形，，， 所以，即三棱锥外接球的半径， 则该三棱锥外接球的表面积为. 故选：B (7) 已知圆柱的下底面在半球的底面上，上底面圆周在半球的球面上，记半球的底面圆面积与圆柱的侧面积分别为，半球与圆柱的体积分别为，则当的值最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】设圆柱底面半径为，高为，球的半径为， 则，， 所以， 当且仅当时等号成立，此时， 所以. 故选：A (8) 三棱锥中，平面，，且，，则该三棱锥内切球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】 由平面，平面，得．又，且平面，，所以平面， 又平面，所以．由，，得，所以三棱锥的表面积 ，三棱锥的体积．设三棱锥内切球球心为，半径为， 由，得，所以该三棱锥内切球的表面积. 故选：B． (9) 在正四棱台中，，若球与上底面以及棱均相切，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【详解】设棱台上下底面的中心为,连接， 则， 所以棱台的高, 设球半径为,根据正四棱台的结构特征可知：球与上底面相切于,与棱均相切于各边中点处， 设中点为，连接, 所以，解得， 所以球的表面积为， 故选：C (10) 一个正四棱柱底面边长为2，高为，上底面对角线交点与下底面四个顶点构成几何体的内切球表面积为 . 【详解】由题意可知该几何体为正四棱锥，如图，为内切球的球心，是棱锥的高，分别是的中点， 连接，是球与侧面的切点，可知在上，， 设内切球半径为，则，，，，由， ，即，解得， 所以内切球表面积为. 故答案为：. 4、 课堂小结 5、 课后作业 作业一：更正、总结今天课堂上的例题和练习题 作业二：完成配套的《空间几何体的外接球与内切球问题的作业小卷》 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$