正切背景下三角形最值问题微专题复习学案-2025届高三数学二轮复习

引例 已知斜三角形，证明。 证明过程：因为，所以。 将上式展开： 问题1 已知锐角三角形中，将这一条件转化成三角形内角的正切关系，并分析的最大值是多少。 解：正切关系转化：因为，且 ，所以。 由于，则，又因为三角形是锐角三角形，所以。 将两边同时除以，可得。 求的最大值：因为是锐角三角形，，。 根据基本不等式 ，已知，则。 两边同时平方可得，即。 当且仅当时，等号成立，此时（舍去，因为三角形是锐角三角形，）。 重新计算，由且（取等号时），根据，可得，解得，符合题意，所以的最大值是。 问题2 如图所示，已知锐角三角形中，，垂足为，且 。求的最小值与的最大值分别是多少？ 解：求的最小值： 设，则，。 ，。 由引例结论，且。 ，。 则。 所以，根据均值不等式求其最小值过程较复杂，这里换一种思路。 因为，由基本不等式，。 又因为，（锐角三角形），，。 ，当且仅当时取等号，此时（与已知矛盾，所以不能直接用这个思路求最小值）。 根据，，，将用和表示后代入求最小值（计算过程省略），可得的最小值为 。 求的最大值： ，。 。 设（），则。 对于二次函数，当时，单调递增。 所以单调递减，单调递增，则单调递增。 当时，趋近于，但取不到。 又因为是锐角三角形内角，通过三角函数关系及角的范围进一步分析（过程省略），可得的最大值为 。 问题3 已知在中，，那么该三角形面积的最值是什么？ 仅依据，只能判断三角形之间的相似性，无法确定它的周长、面积或边的大小，所以此时该三角形的面积不存在最值。 若增加条件，求该三角形面积的最值（以解法1为例，其他解法思路类似）： 解：由，可得，即。 根据正弦定理（为外接圆半径），余弦定理等。 可得，。 因为，所以 。 则。 令（），则，对于二次函数，其对称轴为。 当即时，取得最大值。 所以面积的最大值 。 问题4 已知在中，，通过增加另外的边长（除外），如增加，求面积的最值。 设于，设，则，。 由可得（恒成立）。 的面积。 根据勾股定理，在中，，则。 所以。 令（），则，其对称轴为。 当即时，取得最大值。 所以的最大值为。 问题5 以上探索问题，能否变换题设条件，重新进行分析？改变待求目标呢？ · 变换题设条件： · 把“”换成“”：可以利用余弦定理将边的关系转化为角的余弦关系，再结合三角函数的其他公式进一步分析，如，将变形代入，然后探索与三角形内角三角函数相关的最值问题。 · 把“”换成“”：根据正弦定理，将正弦关系转化为边的关系，后续类似上述“”的分析方法。 · 把“”换成“在中，，为垂足，且”：可以利用直角三角形中的边的比例关系，结合三角函数定义，等，去分析与正切、面积等相关的问题 。 · 改变待求目标：比如分析的最值。 根据，将进行变形为，再结合已知条件（如的关系，的范围等），利用基本不等式或函数单调性等方法求解其最值。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 正切背景下三角形最值问题微专题复习学案 班级：________ 学号：________ 姓名：________ 学习目标 1. 熟练证明斜三角形中，并能运用该关系式解决相关问题。 1. 学会将三角形中的条件转化为内角的正切关系，能运用基本不等式、函数单调性等方法求解正切背景下三角形的最值问题。 1. 掌握从“数”到“形”的思维转换，能结合图形分析三角形问题，提升数形结合思想的应用能力。 1. 能够自主提出问题变式、编拟新问题，深化对正切背景下三角形最值问题的理解和掌握。 核心素养 · 逻辑推理：通过对三角形内角三角函数关系的推导及最值问题的求解，培养逻辑推理能力。 · 直观想象：借助图形分析三角形问题，发展直观想象素养。 · 数学运算：在运用公式、求解最值等过程中，提升数学运算能力。 · 数学抽象：从具体的三角形问题中抽象出数学模型和解题方法，培养数学抽象能力。 【知识梳理】 一、核心知识 （1）关键公式： - 三角函数诱导公式：。 - 和角公式：。 - 基本不等式：对于正实数、，有，当且仅当时等号成立。 - 正弦定理：（为三角形外接圆半径）。 - 余弦定理：等。 （2）常见问题模型： - 已知三角形内角的三角函数关系，求正切值相关表达式的最值。 - 已知三角形边或角的关系，求三角形面积的最值。 （3）重要数学思想方法： - 基本不等式：用于求解二元或多元函数的最值，使用时需注意各项为正及等号成立的条件。 - 函数思想：将最值问题转化为函数问题，利用函数单调性求解最值。 - 数形结合思想：通过建立平面直角坐标系或构造图形，将代数问题几何化，便于分析和求解。 - 转化与化归思想：将三角形中的条件进行转化，如化切为弦、化斜为直等，使问题更易解决。 二、解题思路步骤 ①针对正切关系下最值问题的解题步骤1（利用基本不等式）： - 明确已知条件，将其转化为正切相关的关系式。 - 确定所求表达式中涉及的正切值的取值范围（如锐角三角形中，各内角正切值为正）。 - 结合基本不等式，分析表达式的最值，注意等号成立的条件。 ②针对正切关系下最值问题的解题步骤2（利用函数思想）： - 对已知条件进行转化，将所求最值的表达式转化为关于某个变量的函数。 - 确定函数的定义域（根据三角形内角的范围或边的关系等确定）。 - 分析函数的单调性，根据单调性求出函数的最值。 ③针对数形结合求解问题的步骤： - 根据问题特点，建立合适的平面直角坐标系或构造图形。 - 将三角形的顶点、边等要素转化为坐标或图形中的元素。 - 结合图形的几何意义，分析并求解最值问题。 【提出问题】 引例：已知斜三角形，证明。 【应用 拓展】 问题1：已知锐角三角形中，将这一条件转化成三角形内角的正切关系，并分析的最大值是多少？ 问题2：如图所示，已知锐角三角形中，，垂足为，且 。求的最小值与的最大值分别是多少？ 问题3：已知在中，，那么该三角形面积的最值是什么？ 问题4：已知在中，，通过增加另外的边长（除外），求面积的最值。 问题5：以上探索问题，能否变换题设条件，重新进行分析？改变待求目标呢？ 【课堂总结】 1. 解题方法： · 对于斜三角形中这一关系式，可利用诱导公式和和角公式进行证明，且在解决正切背景下的问题时经常用到。 · 求解最值问题时，可运用基本不等式，需注意各项为正及等号成立的条件；也可利用函数思想，将问题转化为函数的最值求解，要关注函数的定义域；还可借助数形结合思想，通过图形分析问题。 · 实现条件转化是解决问题的关键，可采用化切为弦、建立平面直角坐标系转化为斜率与轨迹问题、构造直角三角形化斜为直等方法。 1. 解题思路： · 首先明确问题所给的条件和要求解的目标，将条件进行适当转化，如转化为正切关系等。 · 结合所学的公式、定理和数学思想方法，选择合适的解题途径。 · 在求解过程中，注意验证等号成立的条件、角的范围等细节问题，确保答案的正确性。 1. 解题步骤： · 对于证明类问题，根据已知条件和相关公式进行推导证明。 · 对于最值求解问题，先转化条件，再选择合适的方法（基本不等式、函数单调性、数形结合等）进行求解，最后验证结果的合理性。 · 对于自主提出问题和编拟新问题，需在掌握已有知识和方法的基础上，结合问题特点进行变式和创新，进一步深化对知识的理解和运用。 学科网（北京）股份有限公司 $$