【衡水金卷·先享题】2024-2025学年度高三一轮复习摸底测试卷数学(三)（C卷）

2024一2025学年度高三一轮复习摸底薄试卷 元已回函数x)一(a如-若)w>?在这同，上拾有3个零点，且对任意角，在区间 数学（三） 本试春共4页，1山题。全卷满分1队分。考试用时120分蚌。 (十)上均不是单两函数，刚…的取植范围为 溪意客项： 】。器则前，先滑自己的超名，考号等编写在器勇卡上，外弱浪卡证号条形码称酷在器题令上的 ,碧别 &偿可 格定位暖。 c得割 鬥 二魂排期的作答：选出每小随器常后，用2B品笔起旅题卡上对痕避日的答米标学涂黑，写在 试遵卷，草终以和花避卡上的非签趋区线均无数， &古希静数学家阿後夏见斯采用平面拼料闲蜂的方法来团究图带曲线.用蛋直于啊锥的缩的平 怎燥空题和解答题的作答，用答学黑直写在答通十上对应的答通区境内，写在饮题春，草 面去载图驶，得具的是圆：把平面幅斜，吓得珂同圆.如图，现有一个轴觀直为等要R△PAB 的魔维代过点A及线段PB的中点M的某平面戴飘推，得民一个魔，划该师网的离 精所和幂超下上的非答划区城功无就， 心率为 4背议结桌后，请特本试理春和多则卡一并上交 一、选择置：本题共8小题每小题5分，共0分。在每小题始出的四个选项中，只有一项是符合 人留 题日要求的。 1已知复数：满足2一1)：，期：” e n A2+1 我2一i C.-2i D一2+i 二，选理恩：本题共3小题，每小驱6分，共18分。在每小题给出的这项中，有多项杆合愿日要求。 2.若第合A-xy-1n2-)十e(x+2).B-一2，-1,0,2.则AnB的千第个数为 全部选对的得8分，部分选对的得部分分，有选情的得0分。 A.3 B4 C.8 D.16 9近年案，某市积极响皮国家号召，大力推行全见相身路动，为了解该市市民一州的体有银陈精况， 3.已知属数Rx1=一天十m一m在区间1，十)上单剥递诚.且函数gz3=解十？024为R上 从本市市起中健惧#取了用名进行在线到查，收第了他们句周参加体育最练时间（单位：小时） 的增函数，集m的取值粒围为 的数据，并将样本数据分域「0,23.2,4门.(4,6]，6.8,8.10]，10,123.12,14门.14,16.(16,18] A.1,+o1 1我{1.2) C.t2] D0.[2.+o) 儿阻，险料成如图所示的频卡分布直方图，则 已知a一m-导，ma=一3m3.期m6十的 A.2的值为0.好 B.样本中每周体育谭体付间的中总数植过2小时 e c n￥ C.估计样本中市民每周体有霞练的众数为9小时 示.峰塔，位于普红常杭州市西潮区，地处西湖民景区南岸夕但山之上，重建于心说年，是再期 D估计该市唐见每周体育敏嫁时间的第0百分位数为 十凝“之一，中国九大名塔之一，中首伟彩色铜驱室塔.某同学为满量雷锋塔的高度AB(斯 11小时 视为点B,塔顶视为点A》,在山脚下述眼了两点，式其中A,山，D因点共年)，在点C处测得 0,已函数{=-2十一1.期 点A,非的和希分别为”，30'，在点D处测得点A的仰角为0，且测得CD一2,3画，联按此 A./《k的图象在点0，一1)处的切餐斜率为一1 去测得的需峰将球高为 B.f代)社有最大值 A.68 m 心若关于于的方程1：)一卡有两个不等的实积，则女一成-器 B.70 m DAx)的图单存在对称轴 C,72m 11.已每一个各棱长均为4（单悦：dm)的正三棱桂容署A以一1'出'C'(容晷壁厚度氢醇不什）.则 1m.74m 6.已知定义在鼠上的两数(r)端是)=2，且r)在(1，+∞)上单调强增，(21=0， A孩存荐的养核球衣面税为号加 则调足不等式()>0的上的取直楚围是 且，能够将直径为2.4m的体粒入该容器 A(-∞，0)U1,2) B.(0,1U1.2) C,能够将授长为文9dm的正四置体收人该容器 C(0,2) D.-∞，0)U(2.+m) D衡够将楼长为1.8dm的面八面体敛人孩存簪 酸学三)第1万共为) 刚水金换·去享蝴·物应春 盘学（三引第卫优（共4此 回 三、填空■：本题共3小题.每小■5分，共15分。 (1)若太学这次共有10人获得一等笑，试估计M大学参加这次航天财识克赛的学生人 这已知双由线G一云一1u>0.>0)的安销长是慢轴长的之终，则双 数：（四食五人后取整） (2M大学为鼓精大学生雕跃参赛并眼得佳镜，对参套大学生给予一定的奖帕奖射规喇如 南线C后芳-1>0，>)的渐近线的方程为 下，①共设A,B同个奖现，分别奖时100元，0元，销中A,存奖用的厦率分调为子是巴每位参背 3学习除色能酸馆手里协调值力，更能提高审美值力，现有四件不同的颜 选平允许连谈拍奖两次，且两赏箱奖之问相互第立，总奖金为两次奖金之和.记某位参赛大学生属 色，欲给如嚼新示的地图中上饶市，魔潭市，因洲市、结州市这4个域市着 蛋的总聚金为X元，求X的分郁列和数学期里。 色，要求相第减市不佳栓同一种颜色，则不同的徐色方法其有 参写数据：若N(uf),期PeEu十)从.27，P(:一2a十2们=.515， 种 P(一3r≤5u十3)a0,007 t4.已知在△AC中，点P情足3A产-A方-A心，司点M在△BPC的三边 [3超图 及内部运动，设AM一rAC十yAB,制2：十y的取值葱调为 (用区间表承) 四、解答抛：本营共5小题.共77分。解答应写出文字设明、证用这程或演算步骤。 18.(本小题满分17分) 15.(本小题满分13分》 已知函数x)-ln(1十z)+一2r(其中>0. 已每等差数判{a,1的前：项和为S。,且+4：2S=30 (I)讨论八x的慢镇点个数， (1)求数列.的通填公式 (2)当w=2时.记=x)一，证明：当》为跑角时(in的十e(xm>一1： ,* (2记6=（公中十D求版的前n项和T… (3若函数)有两个极值点n且x《,证明：代十)一h兰十2 6.小画请分15分) 《九在算术)是我闲占代的文化名著，其中记视了~些特候的儿阿体。如“营堵，餐（端）腰，阳 1气，（本小暨请分17分） 马，其中将底面为长方形，且一条侧酸与底面乐直的四棱惟称之为“阳马“，如周所示蓟阳马”中， 始出如下的定义和定理：定文：若直线1与戴物线广有且仪有一个公其点P,且了与广的对 PAL底面ABCD,AD=4,AP-3,AB=2,M为以C的中点. 错不平行，则称直线1为抛物线”的场缓，公其点P称为司点.定理，过抛物线y一2{)上 (1)证明，DML平面PAM: 一点，”)处的辑线方程为头y一十. (2)求直线P℃与半面PA(所成角的正弦值 写用上连材科解决以下同愿： 已短过戴物线C:了=r的焦点F的直线/与C相交于A,B两点，过A,B再点分料非C的 可线，两切线交点为M (1)当缓段AB中点的跟坐标为一1时，求直线！的斜率： (2证明，点M在C的准设上： (3家AF:BF期值 17.(本小题请分15分》 MF 02年4月药日.指载神舟十八号最人飞的长任二号F逞十八运复火莆成功发财，标志看 024年我国首武载人发射任务告地.为替及航天知供，M大学组织学生举办了一次“逐梦资宇可 苍有”航天每识竞赛， (1)已短参知这文知识竞赛的学生分数要近似地眼从正态分布N(81,34,若参赛学生的成领 满足u十：十2，得溪学生裁得二等奖：若>：十2，撕孩学生钱得一等奖. 「【)若小王每学这次克辱成靖为5分，试判唐焦值香花得一等奖 数学三)第3打林为) 刚水金绿·先享翰·彻应春 数学（三引第4优（共4} 回摸底卷C 数学(三) 2023-2024学年度高三一轮复习摸底测试卷 摸底卷C·数学(三) 命题要素一览表 注: 1.能力要求: I.抽象概括能力 II.推理论证能力 III.运算求解能力 IV.空间想象能力 V.数据处理能力 VI.应用意识和创新意识 2.学科素养: ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模 ①直观想象 数学运算 数据分析 学科素养 知识点 能力要求 预估难度 题号 题型 (主题内容) 档次 ① ② ① ③ 系数 复数的运算,求共矩 5 ) 选择题 易 1 复数 0.75 函数的定义域,求交 2 5 / 易 选择题 集运算,求子集的 0.72 个数 由函数的单调性 中 选择题 / / 5 0.65 求参 5 利用和差角公式 中 选择题 / 、/ / 0.55 求值 。 解三角形的实际 5 中 选择题 / 。/ / 。 。/ / _ 0.50 应用 利用函数的性质解 选择题 5 1_ 抽象不等式 0.40 。 由三角函数的零点 1 选择题 中 。 0.30 及单调性求参 8 选择题 求圆的离心率 / / 0.25 频率分布直方图中 ) 6 0 选择题 中 _ 0.60 的相关计算 利用导数研究三次 ) ) 1 10 1 6 中 选择题 / 0.35 函数的性质 两个几何体的相接 难 选择题 6 / 切关系 0.25 12 双曲线的实轴、虚轴 5 填空题 易 与渐近线 0.85 13 2 填空题 涂色问题 甲 0.65 与平面向量基本定 14 填空题 5 / 难 理有关的参数取值 0.28 1 问题 .1. 摸底卷C 数学(三) 等差数列的通项,数 15 13 解答题 中 0.60 列求和 证明线面垂直,求线 ) 16 15 ) 解答题 0.55 面角的正弦值 正态分布,相互独立 17 解答题 15 事件的概率,求分布 中 0.35 列及期望 利用导数研究函数 #。 17 难 解答题 的极值,证明等式与 0.28 不等式 抛物线的新定义问 17 19 解答题 难 题,证明问题,求值 / 0. 22 问题 .2. 摸底卷C 数学(三) 参考答案及解析 数学(三) 一、选择题 上单调递减,画出/(工)的大致图象如下,结合图象 1.A【解析】由题得-2-1(2i十1)(2-1) 5i 5i(2i+1) 及/(x)0.可得x~0或x>2.故选D -10+5i-2-i,故-2+i.故选A. 2.B 【解析】由题得A=(x 2-x0且x+20 -2<x<2 ,所以A0B=-1,0,其子集有 r=1 ,-1),(0.(-1,0),共4个,故选B 12<1. 3.C【解析】由已知得 解得1<m<2.故选C. lm1. 7.A【解析】当x(0,n)时r-吾(-吾,ar- H),根据y-sinx在(一吾,+。)上前4个零点依 -3cosasing.代入(*)式,得一4cos asin8=- 次为on.2r,3r,可得2r<r-<3r,解得13<a +B)=sin acos +cos asing-.故选 C. 是单调函数,所以-吾二,解得→>3,综上,3< 5.C 【解析】如图,在△ACD中,延长DC与AB的延 长线交于点E.由已知得 ADE= BCE=30*, ACE-6 60*,则 BAC= BCA= CAD=30*,则$$ 8.B【解析】如图, AC=CD.AB=BC.设AB=x:则BC=t:又 ABC -120{,则在△ABC中,由余弦定理得AC=AB+ B$C$-2AB·BCcos ABC,即AC*-+r-2x· r.(-),解得AC-3x,所以CD-3x,又因为 CD-723,所以x-72.故选C 圆锥的轴截面PAB是等腰直角三角形,PO AE 6.D【解析】因为/(x)=f(2一x),所以f(x)的图象 于点O,过点A作平面截该圆锥,不妨设PA一6,则 关于直线x=1对称,又f(2)-0,所以f(0)=0,由 P$M-3,AB=6/②,所以圆长轴长2a= |AM= f(x)在(1,十)上单调递增,可知/(x)在(-o,1) 6+3-35,取线段AM的中点O,连接P0并 .1: 数学(三) 参考答案及解析 延长交AB于点Q,过Q作EF1AB交底面圆于点 E.F,连接PE,PF分别交圆于点G,H,则圆短 轴长2b- GH|,由圆的对称性可知EF/GH,取 BQ的中点N.连接MN,则MN/PQ.PQ= $1MN1,1Q0|-MN-PQ1,因此2 2 y-/x) 的两个3等分点,即|AQ-2/2,|BQ-42,由相 _=f 交弦定理得EQ= AQ·BQ=16,解得EQ= 11.ACD【解析】对于A,该容器的外接球的球心O为 -355 上、下底面的外接圆圆心的连线OO:的中点,如图 1所示,连接AO.AO,取AB的中点D,连接OD.设 外接球的半径为R,下底面外接圆的半径为;,则, 二、选择题 .则R*一,+4-28.所 2 sin 60 2 9.ACD【解析】由频率分布直方图得2×(0.02十0.03 以外接球的表面积为S=4-R-112n,A正确; +a+a+0.15+0.10+a+0.04+0.01)-1,解得a 3 -0.05,A正确;由图可知,前6组频率之和明显大于 0.5.故中位数不可能超过12小时,B错误;第5组频 .O 率最大,故众数为8+10-9(小时).C正确:前5组频 率之和为2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15) 0.60.前6组频率之和为0.60十2×0.10-0.80.故第 70百分位数在第6组,又第6组频率为0.2,故第70 百分位数为该组的组中值11(小时),D正确:故 选ACD. 10.BC 【解析】由题得f(x)-3-4十1=(x-1)· 图1 (3x-1),故/(0)=1.即f(x)的图象在点 对干B.设正三梳柱底面的内切囤半径为:则由等 (0.一1)处的切线斜率为1.A错误;由/(x)-0 面积法得士×12-x4×4×,所以-23 体无法放入该正三校杜容器,B错误;对于C,梭长 f(x)→十,结合/(x)的单调性与极值情况可画 为3.9dm的正四面体其高显然小于其校长,故可将 出/(x)的大致图象,由图可知/(x)无最大值,E 该正四面体的底面放置于该容器的底面上,则其顶 正确;若方程/(x)一k有两个不等的实根,则k 点在该容器内,即能够将校长为3.9dm的正四面体 -1或一 放人该容器,C正确;对于D,如图2为一个边长为 对称轴,D错误.故选BC 4.dm的正△ABC,正方形DEFG的各顶点在 △ABC的边上,设正方形的边长为2x,则DE=2x. BE-4-2x,则tan B=tan 60*-{ D_3,即2= DE 2 1.6,而校长为1.6dm的正八面体的面对角线长为 .2. 摸底卷C 数学(三) 1.6/②dm<4.dm,所以能够将梭长为1.6dm的正 -×(----3- 八面体放入该容器,D正确,故选ACD (13分) 16.解:(1)因为底面ABCD为矩形,M为BC的中点, 所以AB-BM-2,CD-CM-2 又因为AB1BM,DC 1CM. 所以 AMB= DMC-45^{*, 所以 AMD-90{,即DM1AM (3分) 又因为PA 底面ABCD,DMC平面ABCD 图2 所以PA DM (5分) 三、填空题 因为PAOAM=A,PA,AMC平面PAM. 所以DM|平面PAM (6分) (2)由题可知AB,AD,AP两两相互垂直,所以分别 以AB,AD.AP所在直线为x·y.:轴建立空间直角 的渐近线方程为士亡-0,即士亡-0,整理得 坐标系(如图所示) x士2y-0. 13.72【解析】按照上饶市、鹰潭市、抚州市、赣州市从 上到下的顺序涂色,可得不同的涂色方法数为N=4 X3X2×3-72(种). 14.[1.2]【解析】由3A-AB-AC,得3AP-(PB -PA)-PC-PA,整理得PA+PB+PC=0.所以 P为△ABC的重心,取AC的中点D,则AM 2xAD+yAB,故当点M在线段BP上时,2x十y取 由AD-4.AP-3,AB-2. 得最小值1,当点M与C重合时,2x十y取得最大值 2.故2x十y的取值范围为[1,2]. 可知A(0.0.0).B(2,0,0),M(2.2,0).C(2.4.0). D(0.4,0).P(0.0,3). 四、解答题 (8分) 由(1)可知DM可作为平面PAM的一个法向量,DM 15.解:(1)设数列(a)的公差为d -(2,-2,0). (10分) 则由已知得a+a-2a:-30,S=3a:=15 又PC-(2,4.-3). (11分) 即a-15,a:-5. (3分) 设直线PC与平面PAM所成角为9. 所以-a-a2-2. (4分) 7-2 则 sin R-lcoDMt - IDM|IPC 所以a.=a:+(n-2)d-2n+1. (6分) -1(2.-2.0)(2.4.-3)158. 2_.一: 8×4+16+9 29) (2)由(1)可得6.=- (2.+1(2+1) 所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为 22_-1 -(2*-1+1)(2+1+1 #. (15分) -#(2) (11分) 17.解:(1)(1)由题意知,该校参加本次竞赛的学生分 所以-×[()+( 数近似服从正态分布N(81,36). 可得-81.。-6, )+()-)】 故 +2=81+2x6-93时,该学生获得一$ 等奖. .3. 数学(三) 参考答案及解析 因为9593, 单调递减: (3分) 故小王同学能获得一等奖 当xe(4-2,+o)时,f(s)>0.f(x)单调 (lI)设全校参与本次竞赛的人数为n. 2 获得一等奖的概率为P(>+2a) 递增, 所以/(x)恰有2个极值点x=士4-2a ~x(1-0.9545)-0.022 75. (5分) 综上所述:当a2时,f(x)无极值点; 当0<a<2时,f(x)恰有2个极值点. (5分) -0.02275. (6分) $2)当a-2时,g(x)=f(x)-x=2ln(1+x)-2 解得n~440. 由(1)知,当a=2时,/(x)在(-1,十co)上单调 所以参与本次知识竞赛的学生人数约为440.(7分) 递增, (8分) (2)X的可能取值为0.50.100.150,200. 所以当x(0,1)时,f(x)>f(0)=0. (x-#-(1--)-1 即2ln(1+x)+r-2x>0. (6分) 所以当xE(0,1)时,g(x)=2ln(1+x)-2x> #$($50)-c·(1--)#-# 一. (7分) $$($-100)-×+ ·x(1-寸-) 因为9为锐角. 所以sineE(0,1),cos8E(0,1); 所以g(sinθ)十g(cosθ)>-(sin:e十cose). 即g(sinθ)+g(cosθ)>-1. (10分) $#x-150)-C&·-. 4 (3)由(1)可知,当0<a<2时,f(x)恰有2个极 (13分) 值点, 4 且x--4-2 所以X的分布列为 2 #2 100 150 501 200 1. - 1 1 所以xxa-2 22+=0. (13分) 则f(x)+f(r)=aln[(1+x)(l+x)]+十 x-2(x.+x:) x- (15分) =aln[1+xx+(x+x)]+(x+x)-2x 2(x十x。) 十1 -aln-at2 (17分) (>-1). 19.解:(1)设A(r·y),B(x:·y). 当a2时,/(x)>0,f(x)在(-1,+o)上单调 (2分) 递增,((x)无极值点; 则y-4x,y-4x. 4-2d,x: 两式相减得(y+y)(y-y)-4(x-x), 当0<a<2时,/(x)-0→x=- 2 由线段AB中点的纵坐标为一1. 得y+y=-2, (3分) 2 所以en-_4--2, 当xe(-1,-42)时,r(tc)→0./(x)单调 x1-11+: 2- 即直线/的斜率为一2. (5分) 递增; (2)设A(x.y).B(x:.y). 当xe(-4-2a,42)时,(tr)<0./(c) .4. 摸底卷C 数学(三) 同理得MB -一-译 所以点M在C的准线上. (10分) _-## (3)由题得,|AF|·BF=(x+1)(x+1)= _- (+1)(+1) 联立 -+ #1般+++1-2++## (13分) 则M(). (8分) 而{MF{→一()+}(1)} 再设直线AB::-ny+1. #+位++4-+对+2. (15分) 联立 (r-ny+1 1:-4x ,得y-4my-4-0. 故]AF|·BF|=|MF. 则yy=-4, 所以AF|BF1. 1MF (17分) 所以点M的横坐标为×y--4--1, 而C的准线方程为x=-1. .5.