【衡水金卷·先享题】2024-2025学年度高三一轮复习摸底测试卷数学(二)（C卷）

2024一2025学年度高三一轮复习摸底测试卷 数学（二） 6已▣P为用后治一1上的一角点，过P作调(：一2少十，一：的丙条切线，顿点分测为A: 本试春共4页，1山题。全卷满分1队分。考试用时120分蚌。 H,则∠A严B的最大慎为 溪含事项： 人 &号 c n 1,答随前，无务自己的鞋客，专季￥编写在答组卡上，外洛津考证号条形吗粘斯在答题李上的 7.已短直没y一r十本是挂线y一e的切线，也是由线y一一e的切线，则中k一 招火位翼， 月 BI C.e D.I+e 工惑棒頰的作答：选由每小道器袋后，用B静笔起答遵卡上对应题目的多案款号肇黑，写在 蔬殖奉，享砖族和客理卡上的非器题区城均无处 8已每在正三棱策9一AC中，△AC是边长为2写的等边三物思，SA⊥SH.媒以S为球心： 玉慎空照和艇答题的作答：两装字笔直接写在答则卡上对应的答观区越内。零在试题卷、草 2区为平径的球面与花面AC的文找长度的和为 信能和等趋节上的非答身其或均无处。 N若 长三 x D.2 L考援结来后，请将本做通卷和多题干一升上交。 一、透择置：本题共8小题，每小置5分，共分。在每小器地出的四个选项中，只有一项是符合 二，进择蓝：本盟共3小m,每小躐6分，共J8分。在每小要给出的送项中，有备项符合躐日要术。 题目要求的。 全部进对的得分，部分选对的得部分分，有选储的得0分。 L.已知集合A=x1一+<0)，B={a-3C<a},则(【.A1UB 9.已知>y>0.期 A.0,31 我[-3.3) C.4-3.5) D-3.5 2.已每w,6ER,1十)（十i)-6一i,m6= 洁 弘一3 ,中g D-I c片 1已知在平行边形ABD中，点E满足D心-3D正，记燥-A,n-心，则A正 1©中华人民共和国国家标准（居室空气中甲服的卫生标准》规定：国蜜空气中甲酯的量高享许浓 人导w+时我号m一专 m+号 度为：一类建筑0，%味/m,二类建前a1单/m,二类建筑室内甲蓝浓度小于等于民1gm 为安全值用.已知某学校教学楼《二类建筑)施工过程中使用了甲警喷闲，处下良好的通风环境下 1.已知质数只x)的部分象如下新示，相《x》的解析式可能为 时，效上2周后室内甲席浓度为2.25mg/细，1椭后室内甲蒂浓度为Q.6mg/m,且室内甲限 A.fL)-inG) sin 浓度（单位：mg/m)与线工后保持良好通风的时间：N°《单位：周）近似请足函数关暴 Rx-m于+2 -1 式小=“，荆 (参考数据：n20.7,ln31.1.1n5s1.61 C,r)“nr+ A.a-in = B,>15 或已即甲.乙去北京鉴都的概率分别为子，甲，乙两人中整少有一人去北京能馨的戴率为营且 C,3周后室内甲整浓度为a,9mH/m D.该教学使浅工后的甲修茶发若要选到安全开放标准，至少需费政置的时问为6周 甲是香去尾京巢昨对乙去北京，游有一定影响，周在乙不去配京的前揭下，甲去堂京能韵的概 1L已短O为鱼标原点，戴物线C一8好的焦点为F,森线为1，直线/与C交干A,B两点，期 率为 A.若|AF=3,螺△UF的m图为22 民 B当过点F时，0i,店=一1g C,当过点F时，过AH的中点M作（的东线，交C于点P,交1于点N,则PM>PN n D若直线1与y拍交干点Q.这点Q且AF平分∠BFQ,则BF]一8 数学二)第1万共为) 刚水金绿·先享蜡·恒应春 盘举（二引第2优（共4货} d 三、填空■：本嚣共3小题.每小5分，共15分。 (2)为了星进公可发展，该公可决定在甲、乙两个部门之间速行一次信息化找术比赛，比赛规 1以安）的腰开式中的体数壤为 划如下：两个常门进行三龙答题比赛，每轮且出1道题目，比等时两部门同时善答这道短，若一部 门答对且月一常容情，则答对的部得10分，答情的部门得一10分，若两密门都答对或福答错， 1L配等差数对山，的前n理和为5，山一10.8一.制数到的前0琪和为 周两部门均得0分，累计得分为正者将陕得奖品，且两部门容与否互不卷响，每次答喝的站果电 1L已母商数八-加(a十g(>0,0<g<)在[-吾]上单.代r的s象美于点 互不影利，甲郊门答对每道题的蛋率为导，乙部门答对每道避的赛率为号 〔1)记句一趁比赛中甲幕门修得分为X,求X的分右列和数学期望： (一导0冲6时格，且（爱+-授-小则m的最大值为 (求三轮比赛后甲部门疾得奖品的复率。 四、解答置：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证阴过程或离算步裹。 多梦数据y=12.1正=81. 15.(本小题请分13分》 公=，兆中名==专公 参考公式：对干一组数据(n》,(,对》，“（从，其经验国归方程一正十的斜率和 已知在△AC中，内角A,B,C的对边分别为位，b:e,且an日“√I血0sC=√15ce。B. (1)求tanB: (2)若△A的外接横半径为2、15，求△AC面因的量大值 最距的最小二果估计分别为9 -日三制一街。 10(本小题满分15分) 18.(本小题满分17分) 如图，在因棱维P一AD中，AD1CD,AD及C,平面ADL平面PCD,C1PD,PC 已知双曲线C后一苦-1a>0,6>)的有焦点为F2,0),C的一条渐近线方程为上-一5y AD=2C=2,PD=22,点f.N分别是棱AB和PD的中点 40 (1)证明，MNW平而PBC: (1中求C的方程： (a若点E是校P用上一点，平查PA与平直CDE夹角的余德值为严，果三检维-PCD (2]过点F的直线」与C的右支交下A,君再点，尼△4B(其中D为生标原点》的面积为 的体机 今e能明：mt马华 1,(本小题满分17分) 罗尔定里是商等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和两数的零点有关，是山法国数学 家米散尔·积尔干191年摄出的.它的表达如下，如果雨数F(x)满是在闭区闻[@，6们内连婆，在 开区间a们内可导，且F()=F(,那么在区到g,h)内至少存在一延点，糖得F《)=0F(r)为 17.(本小题请分15分) 权x的导雨数)，若函数f()三c 近年来，圈着人工智能技术的不断发展，各种AI应用出不断普及，CaP丁就是一款其有人 (1)若不等式工+厂(x)+0在[0，+e》上国成立，求￥的取直范朋 类通能力的置能A1工具，随看人工智能的加人，各类传银，影栈，等龙行业迎来了高害的发规。 1我术降L了这些行业的人力成木，提高了爱率，某公司216年一如23年的年投人餐金x《万 (证明：背0<<<2时.存在雅一花红n,桂得m=上二x山， r为 元)与年收益（有万元）的数据如下表所示： 若等此数列请足，一受山一意A-5二山定致到么的前理那为3。 a-1—4。 军每的620170l%019192192含2005 13↓7 试比较5与年的大小，并说明理山 ￥1,52.92,18458715022018,70 (1)用y一a“(@,6均为算数)拟合年收拉y与年投人贤金了的关系，求出经验国归方程： 敏学二)第3万林4为) 刚水金绿·先享蜡·恒应春 盘举（二引第优（共4货} 回摸底卷C 数学（二） 2023一2024学年度高三一轮复习摸底测试卷 摸底卷C·数学（二） 9 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ.运算求解能力.空间想象能力V,数据处理能力 M.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象⑤数学运算⑤数据分析 分 知识点 能力要求 学科索养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ③ ④ G 档次 系数 集合的混合运算，涉 选择题 及一元二次不等式 易 0.75 的解法 2 选择题 5 由复数运算求参 易 0.72 平面向量基本定理 3 选择题 5 中 0.65 的应用 由函数图象识别解 4 选择题 5 中 0.55 析式 5 选择题 条件概率 中 0.50 6 选择题 圆与椭圆的综合 中 0.40 选择题 利用导数研究两曲 7 中 0.30 线的公切线 8 立体几何中的截面 选择题 6 0.25 问题 9 选择题 6 不等式的基本性质 中 0.60 与函数有关的情 10 选择题 6 中 0.35 境题 抛物线的焦点弦 11 选择题 6 0.25 问题 12 填空题 二项式定理 易 0.85 13 填空题 数列的前n项和 中 0.65 14 填空题 由三角函数的性质 5 0.28 求参数的值 1 摸底卷C 数学（二） 利用正，余弦定理解 15 解答题 13 三角形，涉及基本不 中 0.60 等式 空间中平行关系的 16 解答题 15 证明，由两平面夹角 中 0.55 的大小求参，求棱锥 体积 以统计图表为载体， 17 解答题 15 涉及线性回归、数学 中 0.35 期望、概率 双曲线的方程，证明 18 解答题 17 难 0.28 问题 19 解答题 与导数有关的新定 17 难 0.22 义问题，涉及数列 ·2· 摸底卷C 数学（二） 参考答案及解析 数学（二） 一、选择题 后+造-1可知a=46=2,由椭网的儿何性质可知 1.D【解析】由-x+5x<0,得x<0或x>5,所以 0RA={x0≤x≤5，因为B={x|-3<x<3},所以 2≤1CP≤6，所以(sm∠APC)-号，所以∠APC (CmA)UB={x-3<x≤5.故选D. 2.A【解析】因为(1+i)(a+2i)=a-2十(a+2)i=b 的最大值为天，即∠APB的最大值为交.故选C 所以8么解得。36元故选A 7,C【解析】设直线与曲线y=e的切点为(，e1),与 曲线y=一e的切点为(.，一e),又y=(e)'=e, 3.A【解析】因为DC=3D正，所以A克=AC+C克，又 y=(一e*)'=e,则曲线y=e的切线方程为y一e C花=号c市-号（号筋-）=号筋-号心 =e(x-),即y=ex十e一ne,曲线y=一e的 切线方程为y十e与=e(x一)，即y=ex一 所以Ai-A心+言丽-号A心=号AC+言丽 e"=e: e当一e,则 m+子n故选入 2 4一=一e号-e专，解得 x1=1 4.C【解析】因为f(x)的部分图象关于y轴对称，所 x,=-1 故k=c1=e,b=e一e=0,所以k十b=e sin x 以x)是偶函数，f(r)=1nT千是奇函数，故排 故选C. x2-1 8.B【解析】因为SA⊥SB,SA=SB,所以SA+SB 除A:f()=n+2)只有两个零点，故排除B: =AB,解得SA=SB=23,设点S在底面ABC的投影 f八)=0中0)=号，放排除D.故选C 为H,连接SH,AH,则SH⊥AH,AH= 5.D【解析】记事件A:甲去北京旅游，事件B:乙去北 号×V(86)-6)-2,则SH=V5n-Af 京旅群，则P()=是，P(=号，PAU团=号因 =√(2√3)一(2√2)=2.因为球的半径为2②，所 为PAUB=PA)+P()-PAB,脚音=是+ 以球被底面ABC所截的截面圆的半径r= √/(2√2)-2=2，所以球面与底面ABC的交线是 号-P(AB),解得P(AB)=五，又因为P(A) 以H为圆心，2为半径的圆在△ABC内部的部分，如 PCAB+P氏AB,即是=石+PAB,解得PAB) 图所示，延长AH交BC于点N,易求HN=号AH 名，且P(B)=号，所以PB)=1-PB)=日所 √2，所以EF=2X√2-(W2)=2√2，易得∠EHF =受，所以交线长度和为2x×2-3×受×2=元故 以P(A1B)三=品=1=2·故选D. P(B)1 选B. 3 6.C【解析】设圆心为点C,则圆(x一2)2十y=2的圆 心为C(2,0),半径r=√2，∠APB=2∠APC,因为 m∠APC=品-品，所以只若1CP最水，由 1 数学（二） 参考答案及解析 竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需 要放置的时间为6周.故D正确，故选ACD. 11,ABD【解析】由题意知F(0,2).1:x=一2，因为 AF=3,所以|AF=%十2=3，得y=1,所以 x=22,所以SF=号×2X22=22,故A 2 正确：由题意得直线斜举存在，设点A(x,y), B直线1：y=缸+2，联立=r+ 可得 r=8y x2-8kx-16=0,△=64k2+64>0,x1+x=8k, 1n=-16,所以为==4，所以Oi.O成 64 x1xg十y为=一16十4=一12，故B正确：设M(.xo, ),则由B项可知不=4k,%=4k十2，在x2=8y 中，令x=4k,得y=2k,所以|PM=4k+2一2k 二、选择题 =2k+2,PN1=2k+2,所以|PM1=|PN,故C 9.BD 【解析】因为x>y>0,所以G>5>0,是< 错误：对D,如图，当点A,B在第一象限时.作AE⊥ l,垂足为E,BD⊥，垂足为D,由题意知，Q(0, 放A错误：因为六产一>0… y -2),连接AF,BF,设1：y=kx-2,与抛物线x 8y联立，可得x2一8kx十16=0，当△>0时，1十x 0.0.所以<0，所以<放B r-y =8k,x1=16,由抛物线定义知，BF=为十2= 正确：因为号-号=巴 y(y-1) k,因为AF平分∠BFQ,所以铝=8由 y(y一>0，但y与1的大小不确定，故无法 r-y AE/BD.可知8-招酷-.所以号 判断号与号的大小，故C错误：因为x>>0,所 ==二，即k=4(x一)，所以4k= 4 以宁>>0，所以>y叶之故D正确放 一x1,又x1十=8k,解得T2=6k,x1=2k,所以 1BF=6k-2k=2,即1BF1=2×4=8,同理，当点 选BD. FQ 2k 1e2+0=e·e=2,25 A,B在第二象限时，|BF|=8,故D正确.故 10.ACD【解析】由题意可得 e+b=(e)y2·t=0.36 选ABD. 解得e=号e-爱所以o0=e=eye =需×（停）广，所以A正确，B错误：3)=需× 16 (号)'=0.9.故C正确：令×（号）≤0，得 (号)广≤品×碧，两边取对数得4n2-h5< 3ln2-(2n3+3ln5),即/≥3n2-(2n3+3n5 In 2-In 5 ≈3×0.7-(2X1.1十3X1.62≈5.4，所以该教学楼 0.7-1.6 ·2· 摸底卷C 数学（二） 三、填空题 时w=2.则-要+g一6云6∈结合0<g<x,得 12.-【解析】（2） 的展开式的通项公式为 g=经，此时fx)=sm(2x+号)，当x∈ T=cr(2）广-(-)Cx“,令9 [-吾是]时，2x+号∈[号，g],因为y=smx 3k=0,得k=3,所以展开式中的常数项为 (-)'c=- 在[吾]上不单调，放f)-血（包+要）在 13,高【解析】设等差数列(a,)的公差为d,由题意有 [-音音]上不单测，此时不合题意：当=2时… a1+d=10,4a1+6d=48,解得a1=6,d=4,所以a, -9则-1g+g-xk∈Z,结合0<9<，得分 号6+(n二1)X4三4n+2,所以。2= =吾，此时了(x)=sm(尝r+吾)，当x +24m+22+2(2 [-吾]时，号+晋[-誓]因为y ),所以数列{品}的前30项和为片× s加x在[-号得]上单调递描，故() (号+号+…+)高 加（侣x+晋）在[-吾，]上单调递增，满足题 14.号【解桥】因为f(臣+）=f(登-小，所以 意，综上w=号或号，所以m的最大值为号 四、解答题 fx)的图象关于直线x-登对称，又因为八x)的图 15.解：(1)因为atan B-√15 bcos C=√15 ccos B, 象关于点（一受0）中心对称，所以 所以asin B cos B -T5cos C-/T5ccos B. -+g=1x,∈乙 即asin B-√15 beos Beos C=√15ccos2B, 受+p=x+受k:∈ 则。-音-)+号 由正弦定理得sin Asin B=√15 sin Bcos Beos C+ √15 sin C cos'B, (3分) (k∈D,即w=兰十号(k∈，由两数f)在 即sin Asin B=√I5cosB(sin Bcos C+sin Ccos B) =15cos Bsin(B+C). [-吾，]上单调，得号>≥-(-吾)=至，即 所以sin Asin B=√15 cos Bsin A. 2>受，所以0<w<4,即0<音k+号<4，解得 由sinA≠0，得sinB=√15cosB. 即tanB=√15. (6分) -空<k≤号，而k∈么，故k=0或1或2.当k=0 (2)因为血B=V5,imB+cosB=1. cos B 时w=子，则-行+g=,∈1结合0<g<云。 所以如B=正osB= (8分) 得g=吾，此时f(x)=sm(号+号），当r 因为△ABC的外接圆半径为2√15， [-吾]时，导x+∈[音]因为y= 所以品n产4V压， sinx在[晋，]上单调递增，放fx)=im(号r中 得b=15. (10分) 由余弦定理得225==a2+c2-2 ceos B=a2+2 号)在[-吾登]上单调递增，满足题意：当」 1 3 数学（二） 参考答案及解析 则由基本不等式得25≥2ac-宫4c, 设PE=APB(0≤A≤1)， 则PE=入(0,2,1)=(0.21，A), 解得ac≤150，当且仅当a=c=5v6时等号成立 所以E(0,2x,1),CE=(0,21-2,a), 所以SA= 名uesin B≤2×150×平 1 设平面CDE的一个法向量为n=(x,y,x), 4 n.CD=22x-2y=0 -755 则 4 n·C市=(2-2)y+=0 即△ABC面积的最大值为5√西 令=22(1-1)， 4 (13分) 则n=(-入，-√2λ，2v2(A-1), (11分) 16.解：(1)取AP的中点S,连接MS,NS, 设平面PAD与平面CDE的夹角为O, 因为M,S分别为AB,AP的中点， 因为平面PAD的一个法向量为PC=(0,2,0), 所以MS∥PB, (12分) 又MSt平面PBC,PBC平面PBC, 则1cos0l=cos(PC,n) 所以MS∥平面PBC. (2分) 2v21 10 因为N,S分别为PD,AP的中点， 2√+2x2+8(A-1)F 所以NS∥AD, 化简得312一8队+4=0， 又AD∥BC, 所以NS∥BC, 解得-号或=2（合去 (14分) 因为NSt平面PBC,BCC平面PBC, 所以：m=号V。m=导×× -×2X22× 所以NS∥平面PBC (4分) 因为NSOMS=S,MS,NSC平面MNS. 1=4v2 9· 所以平面MNS∥平面PBC, 又因为MNC平面MNS, 即三棱锥E-PCD的体积为4y区 9 (15分) 所以MN∥平面PBC (6分) 17.解：(1)因为y=ae, 所以两边同时取自然对数，得ny=lna十br, 设x=lny, 所以：=lna+b.x, (2分) 又因为x= 1+2+3+4+5+6+7+8=4.5, 8 :=2.1,∑=204，∑，=92.4， (2)以P为坐标原点，PD所在直线为x轴，PC所在 直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以b= 因为平面ABCD⊥平面PCD,平面ABCD∩平面 空- PCD=CD,AD⊥CD, 92.4-8×4.5×2.1=16.8=0.4, (4分) 所以AD⊥平面PCD, 204-8×4.5 42 所以AD⊥PC,AD⊥PD, 所以lna=-0.4.x=2.1-0.4×4.5=0.3. 因为PC⊥PD,PDOAD=D, 即a=e, 所以PC⊥平面PAD, (8分) 所以y=e4+a (6分) 则D(2V2,0,0),C(0,2,0),A(22,0,2),B(0,2 (2)(1)X的可能取值为10,0，一10， 1),Cj-(22,-2.0).DA=(0.0,2). (9分) 则PX=10=号×(1-)=合 4 摸底卷C 数学（二） P(X=0) 号×2+(1-号)x(1-)=2 则1十x= -3派1n=12k2-3 一12 1-3k2 (9分) P(X= 10)=(1-号)×2-吉 (9分) 因为直线1与C的右支交于A,B两点， 所以1-3张<0，得>3 1 所以X的分布列为 (10分) X 10 0 -10 所以|AB=√个十k√1+：)-4.1. 1 3 2 6 =√+及 -12k2 1-3k 4X12=3 1-3k 所以E(X)=10X +0x-10x =3 =个+R.23+及_231+) 11-3k2 3k2-1 (12分) (11分) 因为0到直线1的距离d=2灿 (i)记三轮比赛后甲部门总得分为Y, + (13分) 则Y的可能取值为30,20,10， 所以S△A:= 1×2×23(1+) 2 I十 3k2-1 则P(Y=30)= ()= k(1+k) (15分) P(Y=20)=C (传)x- 2E=2√0-· 3k2-1 令t=3k2-1, PY=1o)=C×号×(2)厂+C(3)'×日 则k= 31>0 36 (14分) 则SA:= 3 所以三轮比赛后甲部门获得奖品的概率为 P=P(Y=30)+P(Y=20)+P(Y=10)= 55 3 108 (15分) 路上，8w≥29 17分) 18.解：(1)由题意知c=2,即a十6=4， (2分) 19.解：(1)令g(r)=x-sinx+a,x∈[0，+o∞)， 因为C的一条渐近线方程为x一3y=0, 则g(x)=1-cosx≥0， (2分) 所以么- 所以g(x)在[0，十∞)上单调递增， 3 所以g(x)mn=g(0)=a, (4分) 解得b=1,a=√5， (4分) 因为g(x)≥0在[0，+∞)上恒成立， 所以C的方程为写-y=1, (5分) 所以a≥0， 即a的取值范围为[0，十∞)， (5分) (2)当直线1的斜率不存在时，易得1AB=2y③ 39 (2)令F(r)=cosr-0s二c084·, (7分) x1一x2 此时Sm=号×2×2-2 (7分) 33 则F(x)=cosA-0s4二c08&· TI- 当直线1的斜率存在时，设A(my),B(x,2),1: =cos r一rcos1 y=(x-2), TI-T: (y=k(r-2) F()=cosx-c05二cos, 由 x一r2 x2-3y2=3 =cos0一cosx 得(1-3k2)x+12k2x-12k-3=0, 1一T 1-3k≠0,4=144k-4(1-3k2)(-12k2-3)= 则F()=F(), (9分) 12(k2+1)>0, 由罗尔定理可知，F(x)在(x·x)内至少存在一点 ·5 数学（二） 参考答案及解析 ,使F()=0. 又因为F(x)-sinx- co8-cos在 由(2)可知存在∈(2品，会）使得么=n· xI-3 由(1)可知sinx≤x, (0,受)上单调递减， 所以么=m名≤<票， (15分) 所以F'(x)存在唯一，使得F()=0, 所以Sn=a十b十…十b 即sin=c0s二cos (11分) xt一r2 <受++受++ (3)因为u1=受a,=无， 所以公比g名a一受×（合）一吾， 到》小安 (13分) 1- 即S.< (17分) 所以2.=os4,一c0sa+= a+dn 不 220 6