三角恒等变换-2025届高三数学三轮冲刺高频考点复习讲义

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 三角函数：三角恒等变换 高频考点分析 1.三角函数的定义 背景 定义 在直角三角形中的定义 在直角三角形中，，，. 在平面直角坐标系中的定义 设角终边上任意一点（原点除外）的坐标为，它与原点的距离为，则，，． 在单位圆中的定义 设角终边与单位圆相交于点， 则，，. 2.三角同角关系 (1)两个同角关系 平方关系 商数关系 (2)同角关系的应用：、、知一求二 ①. ②. (3)同角关系的应用：商数关系 ①. ②. ③. ④. (4)同角关系的应用：完全平方关系 ①. ②. ③. 3.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限) 正弦 余弦 正切 4.和差公式 两角和 两角差 正弦 余弦 正切 5.二倍角公式 二倍角 公式 正弦 余弦 正切 变形 ①. ②. ③. 6. 辅助角公式(合一公式) . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. 7.常见三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 不存在 8.积化和差公式与和差化积公式（拓展） 积化和差 和差化积 9.三倍角公式（拓展） 三倍角 公式 正弦 余弦 正切 真题速递 1．（2024·全国I卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4．（2023·全国I卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 7．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 实战演练一：任意角的三角函数与同角三角关系 1．（2025·海南海口·模拟预测）已知角终边过点，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽黄山·一模）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C．7 D． 4．（2025·安徽滁州·一模）已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ） A． B． C． D． 5．（2025·辽宁辽阳·二模）已知为第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·一模）设，则（    ） A． B．1 C． D．2 7．（2025·新疆·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽·二模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 10．（2025·四川达州·模拟预测）已知，且，则 . 11．（2025·陕西商洛·三模）已知，则 ， ． 12．（2025·吉林·三模）已知，则 ． 13．（2025·青海海南·一模）已知，则 . 14．（2025·四川成都·二模）已知角的终边过点，则 . 15．（2025·四川巴中·一模）已知，则 ． 16．（2025·新疆·模拟预测）已知，则 . 实战演练二：诱导公式、和差公式、倍角公式、辅助角公式的综合化简 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（2025·北京朝阳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．1 3．（2025·青海西宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D．2 4．（2025·湖南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北廊坊·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025·四川成都·三模）若，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·湖南·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2025·山东·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·四川·模拟预测）已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 10．（2025·云南玉溪·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·陕西咸阳·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 12．（2025·辽宁·一模）已知，则 ． 13．（2025·河北石家庄·一模）已知为第一象限角，，则 . 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，则 ． 15．（2025·湖北·二模）已知，均为锐角，，，则 . 16．（2025·湖北·模拟预测）已知，，则 . 17．（2025·浙江金华·二模）已知，则 . 18．（2025·福建福州·三模）已知，则 . 19．（2025·浙江台州·二模）已知，，则= ． 20．（2025·安徽黄山·二模）已知，都是锐角，，，则 ． 21．（2025·辽宁·二模）已知均为锐角，，，则 ， ． 22．（2025·重庆·模拟预测） . 实战演练三：整体思想求值 1．（2025·黑龙江大庆·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建莆田·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·吉林长春·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东威海·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·重庆·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·广东湛江·一模）已知，则 ． 10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知是第一象限角，且，则 . 11．（2024·四川德阳·模拟预测）若，则 12．（23-24高三上·广东广州·期中）已知，则 . 13．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则 ． 14．（2024·湖南·模拟预测）已知，则等于 . 15．（2024·福建厦门·一模）若，则 ． 16．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知，则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 三角函数：三角恒等变换 高频考点分析 1.三角函数的定义 背景 定义 在直角三角形中的定义 在直角三角形中，，，. 在平面直角坐标系中的定义 设角终边上任意一点（原点除外）的坐标为，它与原点的距离为，则，，． 在单位圆中的定义 设角终边与单位圆相交于点， 则，，. 2.三角同角关系 (1)两个同角关系 平方关系 商数关系 (2)同角关系的应用：、、知一求二 ①. ②. (3)同角关系的应用：商数关系 ①. ②. ③. ④. (4)同角关系的应用：完全平方关系 ①. ②. ③. 3.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限) 正弦 余弦 正切 4.和差公式 两角和 两角差 正弦 余弦 正切 5.二倍角公式 二倍角 公式 正弦 余弦 正切 变形 ①. ②. ③. 6. 辅助角公式(合一公式) . 其中，，. ※使用辅助角公式前必须保证“变量一致”且“次数均为一次”. ※如果出现二次项，可利用倍角公式实现降幂效果.，，. ※如果无法实现变量一致，可利用同角关系化简，进而换元转化为其他函数. 7.常见三角函数值 角度 弧度 正弦值 余弦值 正切值 不存在 8.积化和差公式与和差化积公式（拓展） 积化和差 和差化积 9.三倍角公式（拓展） 三倍角 公式 正弦 余弦 正切 真题速递 1．（2024·全国I卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 3．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 4．（2023·全国I卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 5．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 7．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ． 【答案】 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 实战演练一：任意角的三角函数与同角三角关系 1．（2025·海南海口·模拟预测）已知角终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角终边过点，由三角函数的定义可得， 由二倍角的余弦公式可得. 故选：A. 2．（2025·辽宁·模拟预测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，为第一象限角，， 由得：，，. 故选：D. 3．（2025·安徽黄山·一模）已知角的终边过点，则（   ） A． B． C．7 D． 【答案】B 【详解】由题意，可得， . 故选：B. 4．（2025·安徽滁州·一模）已知角的始边与x轴的非负半轴重合，终边上有一点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，，因此，， 所以，，，， 所以 故选：B. 5．（2025·辽宁辽阳·二模）已知为第一象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 因为为第一象限角，所以． 故选：C 6．（2025·河南·一模）设，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C． 7．（2025·新疆·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，解得，， 所以. 故选：D. 8．（2025·安徽·二模）设，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，所以， 解得或（舍）， 故选：B. 9．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 【答案】 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 10．（2025·四川达州·模拟预测）已知，且，则 . 【答案】 【详解】由已知得， 则，所以. 故答案为：. 11．（2025·陕西商洛·三模）已知，则 ， ． 【答案】 3 【详解】由，解得， 则. 故答案为：3；. 12．（2025·吉林·三模）已知，则 ． 【答案】 【详解】根据题意，，可得. 将其代入中，得到. 进行通分，即.则，所以. 则. 故答案为：. 13．（2025·青海海南·一模）已知，则 . 【答案】 【详解】由题意得， . 故答案为：. 14．（2025·四川成都·二模）已知角的终边过点，则 . 【答案】10 【详解】由角的终边过点，得， 所以. 故答案为：10 15．（2025·四川巴中·一模）已知，则 ． 【答案】/ 【详解】解：因为，所以， 则 故答案为： 16．（2025·新疆·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【详解】由可得， 故， 故答案为： 实战演练二：诱导公式、和差公式、倍角公式、辅助角公式的综合化简 1．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知，且，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，所以， 又，解得：， 因为，所以,所以， 所以. 故选：C. 2．（2025·北京朝阳·一模）已知，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】由，，得， 整理得，所以. 故选：B 3．（2025·青海西宁·二模）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，且， 所以， 又因为， 由，可得， 所以． 故选：A． 4．（2025·湖南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，即， 由，得，故， 则. 故选：B. 5．（2025·河北廊坊·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，① 由， 得，代入①， 解得，所以， 又因为，所以， 所以， 因为， 所有. 故选：A. 6．（2025·四川成都·三模）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将变形为， 即. . 把代入上式， 可得. 已知，所以，即. 因为，可得. 由，所以. 又因为，所以. 故选：C. 7．（2025·湖南·二模）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式， 故选：B. 8．（2025·山东·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为； 又. 所以，. 所以. 故选：B 9．（2025·四川·模拟预测）已知，，则（   ） A． B．7 C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 10．（2025·云南玉溪·二模）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】左边 ， 右边， 即，化简可得， 即，. 故选：B 11．（2025·陕西咸阳·二模）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且，，所以， 所以为锐角，则， 解得. 故选：A. 12．（2025·辽宁·一模）已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由可得， ， ， ， ， . 故答案为：. 13．（2025·河北石家庄·一模）已知为第一象限角，，则 . 【答案】/ 【详解】因为，且为第一象限角，则， 所以. 故答案为： 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，则 ． 【答案】/0.8 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 15．（2025·湖北·二模）已知，均为锐角，，，则 . 【答案】 【详解】因为，均为锐角，所以， 由，得，所以， 由，得，所以， 所以，解得， 所以，故， 故答案为： 16．（2025·湖北·模拟预测）已知，，则 . 【答案】 【详解】因为，而， 所以， 所以. 故答案为：. 17．（2025·浙江金华·二模）已知，则 . 【答案】/ 【详解】因为， 即，所以. 故答案为： 18．（2025·福建福州·三模）已知，则 . 【答案】 【详解】，所以. 故答案为：. 19．（2025·浙江台州·二模）已知，，则= ． 【答案】 【详解】由，平方可得， ， 两式相加得：， 故答案为：. 20．（2025·安徽黄山·二模）已知，都是锐角，，，则 ． 【答案】/ 【详解】由，可得，故， 因，代入解得， 可将看成方程的两根，解得 或， 因，都是锐角，且，由，解得， 而，故，则. 故答案为：. 21．（2025·辽宁·二模）已知均为锐角，，，则 ， ． 【答案】 【详解】因为均为锐角，所以，则， 所以； 由，则， 又， 所以，， 则， 所以. 故答案为：；. 22．（2025·重庆·模拟预测） . 【答案】1 【详解】. 故答案为：1. 实战演练三：整体思想求值 1．（2025·黑龙江大庆·三模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 故选：A. 2．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 所以． 故选：A． 3．（2025·福建莆田·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知为锐角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得. 故选：D 5．（2024·吉林长春·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， . 故选：C. 6．（2024·山东威海·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 故 . 故选：A 7．（2024·重庆·模拟预测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以 . 故选：A 8．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 所以， 所以， 故选：D. 9．（2025·广东湛江·一模）已知，则 ． 【答案】/0.8 【详解】，即． 又，所以， 所以 ． 故答案为：. 10．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知是第一象限角，且，则 . 【答案】 【详解】由题意可得，即， 因为是第一象限角，所以，，， 所以，， 所以， 故答案为： 11．（2024·四川德阳·模拟预测）若，则 【答案】 【详解】， 故， . 故答案为： 12．（23-24高三上·广东广州·期中）已知，则 . 【答案】/ 【详解】， ∴，则，故， ， 故答案为： 13．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【详解】由，得， 即，所以， 所以 . 故答案为：. 14．（2024·湖南·模拟预测）已知，则等于 . 【答案】 【详解】. 故答案为：. 15．（2024·福建厦门·一模）若，则 ． 【答案】/ 【详解】. 故答案为： 16．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）已知，则 . 【答案】/0.2 【详解】由题可得. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$