统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布 讲义-2025届高三数学三轮冲刺高频考点复习

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布 高频考点分析 1.超几何分布 （1） 超几何分布的定义 一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，即 其中，且，，． 如果随机变量的分布列具有上表的形式，则称随机变量服从超几何分布． 注意：为的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中的次品件数，即当时，此时(抽取的样本中的次品件数)的最大值；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即时，此时的最大值． （2）超几何分布的特征值 若随机变量服从超几何分布，则，. 2.二项分布 （1）次独立重复试验 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件 ①每次试验在相同条件下进行； ②各次试验是相互独立的； ③每次试验都只有2种结果，即事件要么发生，要么不发生． （2）二项分布 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则，0，1，2，…，．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率． （3）二项分布的特征值 若随机变量服从二项分布，则，. 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 3.正态分布 （1）正态曲线的定义 函数，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的数学期望，σ是正态分布的标准差)． （2）正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴永不相交； ②曲线是单峰的，关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． （3）正态分布的定义及表示 如果对于任何实数，随机变量满足(即，，正态曲线及轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量服从正态分布，记作． （4）正态分布的三个常用数据 ①； ②； ③. 【注】若，则. 真题速递 1．（2024·新课标I卷·高考真题·多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题·多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 实战演练一：二项分布 1．（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）设随机变量，若，则（    ） A．60 B．56 C．12 D．8 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）若随机变量，则（   ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 3．（2025·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）若随机变量，则（    ） A．3.8 B．4.8 C．8.6 D．9.6 6．（2025·江西九江·一模）新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记表示抽到问题A的教师人数，则（   ） A． B．4 C． D．2 7．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏盐城·期中·多选）在某独立重复实验中，事件A，B相互独立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为，其中．若进行n次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·江苏连云港·期·多选中）某次射击比赛中，记事件：“甲射击一次，命中目标”，，常数；事件：“乙射击一次，命中目标”，，假定甲、乙互不影响，各人每次射击互不影响，比赛时，两人同时射击次，事件，，发生的次数分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·上海·期中）将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是 . 11．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知随机变量X服从二项分布，则 ， . 12．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表抽到的二等品件数，则 ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则 ． 13．（2025·陕西西安·二模）排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为 ． 14．（2025·山东济南·一模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 15．（24-25高三下·河北承德·阶段练习）中小学教师资格考试每半年考一次，2025年上半年的考试于3月8日进行.考试分为笔试和面试两项，只有笔试成绩合格时，才可继续参加面试，笔试成绩两年有效，两项成绩均合格方可获得证书.李华同学报名参加今年上半年的考试，若他不放弃每次考试，直到能拿到教师资格证为止.根据以往模拟情况，李华笔试成绩每次合格的概率均为，面试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (1)求他今年能取得教师资格证书的概率； (2)某培训机构今年共有100人参加培训，若以李华今年取得教师资格证的概率作为每个学员今年成功取得证书的概率.设今年该培训机构能成功取得教师资格证的人数为k的概率为，求取最大值时k的值. 16．（2025·四川广安·二模）2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. (1)从乙学校竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率； (3)现从参与竞赛的学生中随机抽取人，若要使取得最大值（表示人中优秀人数），求的值. 实战演练二：超几何分布 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 2．（23-24高二下·浙江·期中）一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为（    ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 4．（23-24高二下·江苏泰州·期末）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）袋中有红､黄､蓝三种颜色的小球共10个（其中有5个红球），若从中一次取出3个小球，记恰有1只黄球的概率为，则的最大值为 . 6．（23-24高二下·北京延庆·期中）学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则= ． 7．（23-24高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ． 8．（2025·四川达州·模拟预测）年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球（绿球的个数最多），消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是，某消费者抽奖一次. (1)求其获得一等奖的概率； (2)记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望. 实战演练三：正态分布 1．（24-25高二下·浙江宁波·期中）某学校4000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数为（    ） A．200 B．400 C．2800 D．2000 2．（24-25高二下·浙江丽水·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·浙江·期中）设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 5．（2025·四川南充·三模）某市20000名学生参加一次数学测试（满分150分），学生的测试成绩X近似服从正态分布，则测试成绩在内的学生人数约为（    ） 附：（若，则，） A．2717 B．2718 C．6827 D．9545 6．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）已知随机变量，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 7．（24-25高二下·江苏无锡·期中·多选）下列说法正确的是（    ） A．从50个个体中随机抽取一个容量为30的样本，则每个个体被抽到的概率为 B．两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1 C．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，模型的拟合效果越好 D．已知随机变量，且，则 8．（24-25高二下·浙江·期中·多选）已知随机变量服从正态分布且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 9．（2025·甘肃白银·二模·多选）已知一批产品的某项质量指标，且，现从该批产品中随机取4件产品，变量Y表示这4件产品的质量指标的产品件数，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·浙江·期中）某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量（克）分为4级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为（精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为 ． 参考数据：若，则：；；． 11．（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为 ． 12．（24-25高二下·河北邢台·期中）某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是 名. 附：若随机变量服从正态分布，则， 13．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图. (1)若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，. (2)本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 14．（24-25高二下·江西景德镇·期中）健康是人生之基，随着生活水平的提高，人们越来越重视身体健康，全民健身运动在全国范围内广泛开展．每年月日为全民健身日，同学们为了解本地年轻人的每日健身时间（单位：分钟），通过随机抽样调查了位年轻人，得到样本的频率分布直方图如下：    (1)根据频率分布直方图，估计这为年轻人每天健身时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） (2)若年轻人每日健身时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； 附参考数据：若，则，， 15．（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 16．（2025·陕西西安·二模）某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布 高频考点分析 1.超几何分布 （1） 超几何分布的定义 一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，即 其中，且，，． 如果随机变量的分布列具有上表的形式，则称随机变量服从超几何分布． 注意：为的最大取值，当抽取的产品件数不大于总体中的次品件数，即当时，此时(抽取的样本中的次品件数)的最大值；当抽取的产品件数大于总体中次品件数，即时，此时的最大值． （2）超几何分布的特征值 若随机变量服从超几何分布，则，. 2.二项分布 （1）次独立重复试验 一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 注意：独立重复试验的条件 ①每次试验在相同条件下进行； ②各次试验是相互独立的； ③每次试验都只有2种结果，即事件要么发生，要么不发生． （2）二项分布 一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，则，0，1，2，…，．此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率． （3）二项分布的特征值 若随机变量服从二项分布，则，. 注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即时的二项分布，所以二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 3.正态分布 （1）正态曲线的定义 函数，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的数学期望，σ是正态分布的标准差)． （2）正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴永不相交； ②曲线是单峰的，关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． （3）正态分布的定义及表示 如果对于任何实数，随机变量满足(即，，正态曲线及轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量服从正态分布，记作． （4）正态分布的三个常用数据 ①； ②； ③. 【注】若，则. 真题速递 1．（2024·新课标I卷·高考真题·多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】依题可知，，所以， 故，C正确，D错误； 因为，所以， 因为，所以， 而，B正确，A错误， 故选：BC． 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题·多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）. A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为 C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为 D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】ABD 【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，A正确； 对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件， 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积， 它们相互独立，所以所求概率为，B正确； 对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和， 它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误； 对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率， 单次传输发送0，则译码为0的概率，而， 因此，即，D正确. 故选：ABD 实战演练一：二项分布 1．（24-25高三下·山西晋中·阶段练习）设随机变量，若，则（    ） A．60 B．56 C．12 D．8 【答案】A 【详解】由二项分布的性质得， ， 故选：A. 2．（24-25高二下·北京·阶段练习）若随机变量，则（   ） A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6 【答案】D 【详解】因为，所以，， 所以， 故选：D. 3．（2025·河南南阳·一模）袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了次球，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，表示前次中取到次红球，第次取到红球，所以， 故选：B. 4．（24-25高二下·山东泰安·期中）已知随机变量，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意由可得； 由可得，即； 所以， 解得，即A、C、D均错误； 易知，即B正确. 故选：B 5．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）若随机变量，则（    ） A．3.8 B．4.8 C．8.6 D．9.6 【答案】D 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：D 6．（2025·江西九江·一模）新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记表示抽到问题A的教师人数，则（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【详解】解：每名教师抽到问题的概率为， 由题意可知，， 故选：D． 7．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）“四书”是《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》的合称，又称“四子书”，在世界文化、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动，某班有4位同学参赛，每人从《大学》、《中庸》、《论语》、《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同，比赛时有以下两种方案：（1）这四位同学从这4本书中有放回随机抽取1本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数X，（2）这四位同学从这4本书中不放回随机抽取一本选择其中的内容背诵，记抽到自己准备的书的人数为的人数Y，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知方案（1）中这四位同学抽到自己准备的书的概率均为，易知， 由二项分布的数学期望公式与方差公式可知： ，. 由题可知Y的所有可能取值为0，1，2，4， ， ， ， ， ， ， . 故选：D. 8．（24-25高二下·江苏盐城·期中·多选）在某独立重复实验中，事件A，B相互独立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为，其中．若进行n次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题知，则，，， 又相互独立，则，易知， 则， 对于选项A，因为， 当时，，所以选项A错误， 对于选项B，因为，，所以，故选项B正确， 对于选项C，因为，， 所以，故C正确； 对于选项D，因为，， 所以，故选项D错误， 故选：BC. 9．（24-25高二下·江苏连云港·期·多选中）某次射击比赛中，记事件：“甲射击一次，命中目标”，，常数；事件：“乙射击一次，命中目标”，，假定甲、乙互不影响，各人每次射击互不影响，比赛时，两人同时射击次，事件，，发生的次数分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，由题意得事件：“甲射击一次，命中目标”，， 事件：“乙射击一次，命中目标”，， 则，， 由二项分布的期望公式得，， 则，， 即，故A正确， 对于B，由二项分布的方差公式得，， 则，， 则不一定相等，故B错误， 对于C，由题意得假定甲、乙互不影响， 则，相互独立，由独立事件概率公式得， 则，由二项分布的期望公式得， 由二项分布的方差公式得， 由已知得，得到，故C正确， 对于D，由已知得， ，则，故D错误. 故选：AC 10．（24-25高二下·上海·期中）将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是 . 【答案】/ 【详解】因为正面出现次数和反面出现次数不可能相等， 将每一种正面出现次数多的结果的所有硬币翻转，即可得到反面次数多于正面次数的结果， 所以正面次数多和反面次数多各占一半，故所求概率为. 另解：记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为事件，则， 则抛掷5次硬币，正面出现的次数服从二项分布， 则正面向上的次数多于反面向上的次数的概率为： . 故答案为： 11．（24-25高二下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知随机变量X服从二项分布，则 ， . 【答案】 80 64 【详解】随机变量X服从二项分布，则，. 故答案为：80；64 12．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次．X表抽到的二等品件数，则 ；若将抽出的产品送往专门的检测部门检测，且检测费用Y元与二等品件数X满足：，则 ． 【答案】 196 【详解】因为一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，其中X表示抽到的二等品件数， 所以抽到二等品的件数符合二项分布，即， 所以， 因为检测费用Y元与二等品件数X满足：， 所以， 故答案为：，196 13．（2025·陕西西安·二模）排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为 ． 【答案】 【详解】命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进行后续的场次，直至五场全部结束，最后获胜场次数多的队获胜。二者等效（区别仅在于胜负已定后，后续场次是否真正进行）. 此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于的概率，即． 故答案为：． 14．（2025·山东济南·一模）某公司升级了智能客服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为.已知输入的问题表达不清晰的概率为. (1)求智能客服的回答被采纳的概率； (2)在某次测试中输入了3个问题（3个问题相互独立），设表示智能客服的回答被采纳的次数.求的分布列、期望及方差. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，期望为，方差为. 【详解】（1）设“智能客服的回答被采纳”，“输入的问题表达不清晰”， 依题意，，， 因此， 所以智能客服的回答被采纳的概率为. （2）依题意，的所有可能取值为0，1，2，3，， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望；. 15．（24-25高三下·河北承德·阶段练习）中小学教师资格考试每半年考一次，2025年上半年的考试于3月8日进行.考试分为笔试和面试两项，只有笔试成绩合格时，才可继续参加面试，笔试成绩两年有效，两项成绩均合格方可获得证书.李华同学报名参加今年上半年的考试，若他不放弃每次考试，直到能拿到教师资格证为止.根据以往模拟情况，李华笔试成绩每次合格的概率均为，面试成绩每次合格的概率均为，假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (1)求他今年能取得教师资格证书的概率； (2)某培训机构今年共有100人参加培训，若以李华今年取得教师资格证的概率作为每个学员今年成功取得证书的概率.设今年该培训机构能成功取得教师资格证的人数为k的概率为，求取最大值时k的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）设“笔试第次考试合格”为事件，“面试第次考试合格”为事件，， 则今年能拿到证书的事件为， ， ， 所以他今年能取得教师资格证书的概率为. （2）依题意，今年取得教师资格证的人数， 则，， 由，解得， 当时，，当时，， 所以取最大值时. 16．（2025·四川广安·二模）2024年12月，为培养适应新时代要求的创新型人才，教育部办公厅发布了关于加强中小学人工智能教育的通知.为了坚持立德树人，全面贯彻党的教育方针，紧扣新时代新征程教育使命，满足面向未来的创新型人才培养需求，提升数字素养与数字技能，某市教育局为了培养学生的科技创新素养，在甲，乙两所高中学校举办了一次人工智能科普知识竞赛，两个学校的学生人数基本相同.已知甲学校学生成绩的优秀率为0.24（优秀：竞赛成绩，单位：分），现从乙学校随机抽取100名学生的竞赛成绩，制成如图所示的频率分布直方图. (1)从乙学校竞赛分数在中的学生中，采用分层抽样的方法抽取了9人，现从这9人中随机抽取6人，记成绩优秀的学生人数为，求的分布列和数学期望； (2)若从本次参赛的学生中随机抽取1人，以样本的频率估计概率，求此学生竞赛成绩优秀的概率； (3)现从参与竞赛的学生中随机抽取人，若要使取得最大值（表示人中优秀人数），求的值. 【答案】(1)2 (2) (3)或 【详解】（1）由直方图，占6人，占3人， 则成绩优秀的学生人数可取，，，， 所以，， ，， 所以分布列为 0 1 2 3 则期望. （2）记事件A：成绩优秀的学生，事件：甲学校的学生， 由已知条件可知，，， 所以. （3）解法一： 解法二：记随机抽取人中竞赛成绩优秀的人数为，由题意可知，， 所以，令，则， 令，则，所以时，， 令，则，所以时，， 令，则，所以， 所以当或时，最大，即或时，竞赛成绩优秀的人数为8的概率最大. 实战演练二：超几何分布 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出个粽子，其中含个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，下列说法正确的是（    ） A．当时，随机变量服从两点分布 B．随着的增大，减少，增加 C．当时，随机变量服从二项分布 D．随着的增大，增加，减小 【答案】B 【详解】由题意可知，从乙礼盒里随机取出个粽子，含有肉粽个数服从超几何分布，即. 故A，C错误. 其中，其中，且，. 故从甲礼盒取粽子，相当于从含有个肉粽的个粽子中取1粽子，取到肉粽个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以， 随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故B正确，D错误. 故选：B. 2．（23-24高二下·浙江·期中）一批产品共有7件，其中5件正品，2件次品，现从7件产品中一次性抽取3件，设抽取出的3件产品中次品数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】恰好取出一件不合格产品的基本事件数为：， 从7件产品中取出3件产品的基本事件数为：， 故选：B 3．（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为（    ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 【答案】C 【详解】盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个的总数为. A：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 恰好1个是坏的概率为，故A错误； B：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 4个全是好的概率为，故B错误； C：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 恰好2个是坏的概率为，故C正确； D：盒子中有10个灯泡，现从盒子中随机抽取4个， 至多2个是坏的概率为，故D错误. 故选：C 4．（23-24高二下·江苏泰州·期末）袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量为其中白球的个数，随机变量为其中黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为取出4个球的总得分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知均服从超几何分布，且， 由，得， 所以， 因为, , , 所以 , 故选：B 5．（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）袋中有红､黄､蓝三种颜色的小球共10个（其中有5个红球），若从中一次取出3个小球，记恰有1只黄球的概率为，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】设黄色小球有个，则， 则， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以的最大值为. 故答案为：. 6．（23-24高二下·北京延庆·期中）学校要从名男教师和名女教师中随机选出人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则= ． 【答案】 【详解】由题意可得，的取值为， ， ， ， . 故答案为：. 7．（23-24高二下·北京海淀·期末）某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为，则的所有可能取值为 ，数学期望 ． 【答案】 0，1； . 【详解】X的取值可能为0，1． 依题意可知服从超几何分布， 则，， 所以． 故答案为：0，1；. 8．（2025·四川达州·模拟预测）年末促销是商场常用清理库存和资金回笼的一种措施.某商场对消费超过500元的消费者提供一次抽奖活动，抽奖箱中装有10个同种材质且大小相同的红球、黄球和绿球（绿球的个数最多），消费者从抽奖箱中同时抽取2个小球，若2个小球都是红球即获得一等奖，都是黄球即获得二等奖，其余情况，均是不获奖.若从抽奖箱中同时抽取2个小球，其中黄球和绿球各1个的概率是，某消费者抽奖一次. (1)求其获得一等奖的概率； (2)记抽到的绿球个数为，求的分布列及其期望. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，1. 【详解】（1）设10个小球中黄球为个，绿球为个，且， 由题意得，，解得，则红球有2个， 记事件：某消费者抽奖一次获得一等奖，则， 所以该消费者获得一等奖的概率为. （2）由题意，的取值是，则，，， 的分布列为： 0 1 2 期望. 实战演练三：正态分布 1．（24-25高二下·浙江宁波·期中）某学校4000名学生的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在的学生人数约为1600，则估计成绩在100分以上的学生人数为（    ） A．200 B．400 C．2800 D．2000 【答案】B 【详解】由题意可知该正态分布的均值为90，由正态分布的对称性可知， 即成绩在90分及以上的学生人数约为， 因为成绩在的学生人数约为1600， 故估计成绩在100分以上的学生人数为. 故选：B. 2．（24-25高二下·浙江丽水·期中）已知随机变量服从正态分布，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：C 3．（24-25高二下·浙江·期中）设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题可得的正态分布密度曲线的对称轴为直线，的正态分布密度曲线的对称轴为直线. 由题图可得，由于表示标准差，越小图象越“瘦高”，故，所以D正确. 故选：D. 4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态分布的对称轴为， 所以, 故选：B 5．（2025·四川南充·三模）某市20000名学生参加一次数学测试（满分150分），学生的测试成绩X近似服从正态分布，则测试成绩在内的学生人数约为（    ） 附：（若，则，） A．2717 B．2718 C．6827 D．9545 【答案】C 【详解】因为. 所以测试成绩在内的学生人数约为：. 故选：C 6．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）已知随机变量，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】B 【详解】随机变量，且， 则. 故选：B 7．（24-25高二下·江苏无锡·期中·多选）下列说法正确的是（    ） A．从50个个体中随机抽取一个容量为30的样本，则每个个体被抽到的概率为 B．两个变量相关性越强，则相关系数r越接近1 C．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，模型的拟合效果越好 D．已知随机变量，且，则 【答案】ACD 【详解】对于A：每个个体被抽到的概率，故A正确； 对于B：两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近1，故B错误； 对于C：在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄， 说明预测值与实际值越接近，模型的拟合效果越好，故C正确； 对于D：随机变量，说明正态分布密度曲线关于对称，, 所以，故D正确； 故选：ACD 8．（24-25高二下·浙江·期中·多选）已知随机变量服从正态分布且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，因为随机变量服从正态分布所以，则，故A错误； 对于B，由，根据正态分布关于直线对称，可知，故B正确； 对于C，    根据正态分布曲线，显然成立，故C正确； 对于D，由，则，所以，故D正确； 故选：BCD. 9．（2025·甘肃白银·二模·多选）已知一批产品的某项质量指标，且，现从该批产品中随机取4件产品，变量Y表示这4件产品的质量指标的产品件数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】由正态分布的概念知，A项正确； ，C项正确； 易知1件产品的质量指标的概率， ，则，B项不正确； ，D项正确． 故选：ACD. 10．（24-25高二下·浙江·期中）某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量（克）分为4级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果，记每次抽到优等果的概率为（精确到0.1）.若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过3，则的最大值为 ． 参考数据：若，则：；；． 【答案】4 【详解】因为蓝莓果重量服从正态分布，其中，， ， 设第次抽到优等果的概率， 恰好抽取次的概率， 所以， 设 ①，则 ②， 两式相减得： 所以， 由，即， 又，， 所以的最大值为4． 故答案为：4． 11．（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为 ． 【答案】/ 【详解】因为在内取值的概率为，服从正态分布， 所以，且， 所以， 所以， 所以在内取值的概率为， 故答案为：. 12．（24-25高二下·河北邢台·期中）某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布（其中和分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是 名. 附：若随机变量服从正态分布，则， 【答案】1587 【详解】已知本次模拟考试成绩都近似服从正态分布， 由题意可得． ，而 即，解得． 甲市学生在该次考试中成绩为76分，且， 又，即． 学生在甲市本次考试的大致名次为1587名． 故答案为：1587 13．（24-25高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习）某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的位居民的得分（满分分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.    (1)若此次知识问答的得分服从，其中近似为参与本次活动的位居民的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），求的值；参考数据：，，. (2)本次活动，制定了如下奖励方案：以上面频率分布直方图中的频率作为概率，参与本次活动得分低于分的居民获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于分的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有的机会抽中一张元的话费充值卡，有的机会抽中一张元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额的概率分布列，并估计本次活动需要准备的话费充值卡的总金额. 【答案】(1) (2)分布列见解析，元 【详解】（1）依题意，， 所以，则，所以，， 故 . （2）参与活动的每位居民得分低于分的概率为，得分不低于分的概率为 的所有可能取值分别为、、、， ，， ，， 所以的概率分布列如表所示： 所以， 所以本次活动需要准备的话费充值卡的总金额为元. 14．（24-25高二下·江西景德镇·期中）健康是人生之基，随着生活水平的提高，人们越来越重视身体健康，全民健身运动在全国范围内广泛开展．每年月日为全民健身日，同学们为了解本地年轻人的每日健身时间（单位：分钟），通过随机抽样调查了位年轻人，得到样本的频率分布直方图如下：    (1)根据频率分布直方图，估计这为年轻人每天健身时间的平均数（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示） (2)若年轻人每日健身时间近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，求； 附参考数据：若，则，， 【答案】(1)分钟 (2) 【详解】（1）由频率分布直方图可知，这为年轻人每天健身时间的平均数为 （分钟）. （2）由（1）可得，， 所以 . 15．（2025·重庆·二模）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间 内的概率; (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望; (3)在甲、乙两台新型机器生产的这批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的 2 倍， 且甲机器生产的零件的次品率为 0.3， 乙机器生产的零件的次品率为0.2， 现从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】(1) (2)的分布列见解析； (3) 【详解】（1）由题意， 得. （2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 故由题意满足二项分布， 故，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望为 （3）设事件为“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件为“从这批零件中随机抽取一件为次品” 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意，，，， 则， ， 故， 故从这批零件中随机抽取一件， 若检测出这个零件是次品， 求这个零件是甲机器生产的概率为. 16．（2025·陕西西安·二模）某校为了解学生数学学科核心素养发展水平，组织本校2000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．    (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)根据频率分布直方图，求样本的80％分位数（四舍五入精确到整数）； (3)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数（四舍五入精确到整数）． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设样本平均数的估计值为， 则. 所以，样本平均数的估计值为62. （2）由图可知，前三组的频率和为，第四组的频率为， 所以样本的80％分位数为 （3）由（1）可知，样本平均数的估计值， 所以， 则 所以，估计能参加复试的人数为 2 学科网（北京）股份有限公司 $$