辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高二下学期期中考试数学模拟卷B（一元线性回归、独立性检验、数列、导数）

绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年度下学期高二期中考试模拟卷B 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】比较相关程度与正负相关，相关系数的范围是， 当时，数据为负相关，当时，数据为正相关， 越大，相关性越强，图中，故选A。 2．假设有两个分类变量和，它们的可能取值分别为和，其列联表如表，对于以下数据，对同一样本能说明和有关系的可能性最大的一组为（ ）。 A、、、、 B、、、、 C、、、、 D、、、、 总计 总计 【答案】C 【解析】A选项，， B选项，， C选项，， D选项，， 由越大，说明和有关系的可能性越大，故选C。 3．已知函数（），曲线：在点处的切线与直线：垂直，则实数（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】的定义域为，，则切线斜率， ∵曲线：在点处的切线与直线：垂直， ∴，解得，故选A。 4．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作。《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题。现有根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于，且从最下面一层开始，每一层比上一层多根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】设最上面一层放根，一共放（且）层，则最下一层放根， 由等差数列前项和公式得：，∴， ∵，∴为的因数，且为偶数， 把各个选项分别代入，验证，可得满足题意，故选D。 5．已知数列满足：，，设（），若为数列中唯一最小项，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】∵，∴， ∴，又∵，∴，∴， 又当时，，∴是首项为、公差为的等差数列， ∴，∴，∴， 要使为数列的唯一最小项，则，∴，故选D。 6．直线：（）是曲线：与曲线：的公切线，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】的定义域为，，的定义域为，， 设直线在曲线的切点为，能列出三个方程：，化简得， 设直线在曲线的切点为，能列出三个方程：，化简得， 又，∴，∴，即， 解得，∴，故选A。 7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为的常数列，在此数列的第（）项与第项之间插入首项为、公比为的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】设介于第个与第个之间或者为这两个当中的一个， 则从新数列的第个到第个一共有项， 从新数列的第个到第个一共有项， ∴，解得，而，∴， ， 令则， ∴，∴， ∴，故选B。 8．已知函数，直线是曲线：的一条切线，则的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】的定义域为，设切点为，，∴， 曲线在切点处的切线方程为， 整理得，∴， 令，定义域为，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， ∴，则的取值范围为，故选B。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数，则称函数为“型函数”，下列函数中为“型函数”的有（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】CD 【解析】A选项，，由得，∴，不是“型函数”， B选项，，可得函数图象上在这两点处的切线的斜率之和大于，不是“型函数”， C选项，，由得， 可取、，是“型函数”， D选项，，由得，是“型函数”， 故选CD。 10．已知数列满足，，其前项和为，其前项积为，则下列说法正确的是（ ）。 A、数列是递增数列 B、数列的最大值与最小值的和为 C、数列是递增数列 D、数列是递增数列 【答案】BCD 【解析】∵，∴， ∴， 当时，，即， 当时，，即， ∴数列先增后减，A选项错， ∴当时数列取得最大值为， 又当时，，，∴当时数列取得最小值为， ∴数列的最小值与最小值的和为，B选项对， ∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴， ∴数列是递增数列，C选项对， ∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴， ∴数列是递增数列，D选项对， 故选BCD。 11．对于函数，下列说法正确的是（ ）。 A、函数在处取得极大值 B、函数有两个不同的零点 C、 D、若关于的不等式在内恒成立，则 【答案】ACD 【解析】A选项，的定义域为，∴，令，解得， 当时，，∴在内单调递增， 当时，，∴在内单调递减， ∴在时取得极大值也是最大值为，对， B选项，当时，，，，当时，， ∴有且只有唯一一个零点，错， C选项，∵当时，为单调递减函数，∴， ∵，， ∴， ∵，∴，即，对， D选项，∵，∴在内恒成立，∴， 设，定义域为，，令，解得， 当时，，∴在内单调递增， 当时，，∴在内单调递减， ∴在处取得极大值也是最大值为，∴，对， 故选ACD。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．若函数，则 。 【答案】 【解析】的定义域为，，∴，解得， ∴，∴。 13．数列中，对所有都有，则 。 【答案】 【解析】，当时， 检验：当时无意义，。 14．已知函数（），若，则的最大值为 。 【答案】 【解析】，定义域为， ∵恒成立，∴恒成立，∴，∴， 令，定义域为，则，令，解得， 当时，，在内单调递增， 当时，，在内单调递减， ∴在处取得极大值也是最大值，∴，∴的最大值为。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”。为响应总书记的号召，某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动。运动分为徒手运动和器械运动两大类．该社区对参与活动的人进行了调查，其中男性人，女性人，所得统计数据如表所示：（单位：人）。 性别 器械类 徒手类 合计 男性 女性 合计 （1）请将题中表格补充完整，并判断能否有把握认为“是否选择器械类与性别有关”？ （2）为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动。竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手类，规定参与者必需三个项目都参加。据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是，通过徒手类竞赛的概率都是，且各项目是否通过相互独立。用表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量的分布列和数学期望。 （参考数据：，，） 附：。 【解析】（1）补充完整的列联表如下： 3分 性别 器械类 徒手类 合计 男性 女性 合计 ∴， ∴有把握认为“是否选择机械类与性别有关”； 6分 （2）随机变量的所有可能取值为、、、， 7分 、、 、， 11分 ∴的分布列为： 12分 ∴数学期望。 13分 16．（本小题满分分）某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩和物理成绩，绘制成如图散点图： 根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点、，经调查得知，考生由于感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试。为了使考试分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值： ，，，，， 其中、分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，、、…、，与的相关系数。 （1）若不剔除、两名考生的数据，用组数据作回归分析，设此时与的相关系数为，试判断与的大小关系，并说明原因； （2）求关于的线性回归方程（系数精确到），并估计如果考生参加了这次物理考试（已知考生的数学成绩为分），物理成绩是多少？（精确到个位）； （3）从统计概率规律看，本次考试该地区的物理成绩服从正态分布，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值。试求该地区名考生中，物理成绩位于区间的人数的数学期望。 附：①回归方程中，，； ②若，则，； ③。 【解析】（1），理由如下：由题意图，与成正相关关系， 1分 ①异常点、会降低变量间的线性相关程度， ②个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，∴相关系数更小， ③个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，∴相关系数更大， ④个数据点更贴近其回归直线， ⑤个数据点与其回归直线更离散， （以上写出任意几个或其他言之有理即可）； 4分 （2）、， 6分 ，， 8分 ∴， 9分 ∴，∴， 11分 当时，，∴估计考生的物理成绩为分； 12分 （3），，∴， 又，∴， ∵，∴， 即该地区名考生中，物理成绩位于区间的人数的数学期望为。 15分 17．（本小题满分分）已知函数，。 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，对于任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）的定义域为，， 1分 当时，令，解得，当时，，∴在内单调递减， 当时，，∴在内单调递增， 3分 当时，令，解得或， 当或时，，∴在和内单调递增， 当时，，∴在内单调递减， 5分 当时，内恒成立，∴在内单调递增， 6分 当时，令，解得或， 当或时，，∴在和内单调递增， 当时，，∴在内单调递减； 8分 （2）由（1）可知，当时，在内单调递增，∴， 令，解得，∴， 10分 当时，在内单调递减，在内单调递增， ∴， 设，定义域为，， ，当时，恒成立， ∴在内单调递减，∴， ∴在内单调递减，而，∴， 14分 综上所述，实数的取值范围为。 15分 18．（本小题满分分）已知数列的前项和为，且。 （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若存在整数，使得对任意且都有成立，求的最大值； （3）设，证明：。 【解析】（1）当时，，解得， 1分 当时，，即， 2分 两边同时除以，得，又∵， ∴是首项为、公差为的等差数列，∴， 5分 ∴； 6分 （2）由（1）可知，， 7分 ∴， 8分 令， 则 ， 即，∴递增数列， 11分 当时，的最小值为，由题意得， ∴整数的最大值为； 13分 （3）由（1）可知，， 14分 ∴当时，， 15分 设，则， 16分 即。 17分 19．（本小题满分分）已知函数（）、函数（），曲线： 在点处的切线方程为。 （1）求实数的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若对恒成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）的定义域为，，由题意可知，解得； 2分 （2）的定义域为，， 3分 当时，当时，恒成立，在内单调递增， 4分 当时，令，解得， 当时，，∴在内单调递增， 当时，，∴在内单调递减， 6分 当时，令，解得， 当时，，∴在内单调递减， 当时，，∴在内单调递增； 8分 （3）由得，即， 设，定义域为，且， 由题意可知，在上恒成立，，， 设，定义域为，， 10分 当时，， 当时，、，∴， ∴在内单调递增，∴，即， ∴在内单调递增，∴，符合题意，可取， 13分 当时，设，定义域为，， 则在内单调递增，又，当时，， ∴存在唯一一个使得， ∴当时，，即，∴在内单调递减， 即在内单调递减，又，∴当时，， ∴在内单调递减，又，∴当时，， 不符合题意，舍去， 16分 综上所述，实数的取值范围为。 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( 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）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数，则称函数为“型函数”，下列函数中为“型函数”的有（ ）。 A、 B、 C、 D、 10．已知数列满足，，其前项和为，其前项积为，则下列说法正确的是 （ ）。 A、数列是递增数列 B、数列的最大值与最小值的和为 C、数列是递增数列 D、数列是递增数列 11．对于函数，下列说法正确的是（ ）。 A、函数在处取得极大值 B、函数有两个不同的零点 C、 D、若关于的不等式在内恒成立，则 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．若函数，则 。 13．数列中，对所有都有，则 。 14．已知函数（），若，则的最大值为 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”。为响应总书记的号召，某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动。运动分为徒手运动和器械运动两大类．该社区对参与活动的人进行了调查，其中男性人，女性人，所得统计数据如表所示：（单位：人）。 性别 器械类 徒手类 合计 男性 女性 合计 （1）请将题中表格补充完整，并判断能否有把握认为“是否选择器械类与性别有关”？ （2）为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动。竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手类，规定参与者必需三个项目都参加。据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是，通过徒手类竞赛的概率都是，且各项目是否通过相互独立。用表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量的分布列和数学期望。 （参考数据：，，） 附：。 16．（本小题满分分）某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩和物理成绩，绘制成如图散点图： 根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点、，经调查得知，考生由于感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试。为了使考试分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值： ，，，，， 其中、分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，、、…、，与的相关系数。 （1）若不剔除、两名考生的数据，用组数据作回归分析，设此时与的相关系数为，试判断与的大小关系，并说明原因； （2）求关于的线性回归方程（系数精确到），并估计如果考生参加了这次物理考试（已知考生的数学成绩为分），物理成绩是多少？（精确到个位）； （3）从统计概率规律看，本次考试该地区的物理成绩服从正态分布，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值。试求该地区名考生中，物理成绩位于区间的人数的数学期望。 附：①回归方程中，，； ②若，则，； ③。 17．（本小题满分分）已知函数，。 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，对于任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。 18．（本小题满分分）已知数列的前项和为，且。 （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若存在整数，使得对任意且都有 成立，求的最大值； （3）设，证明：。 19．（本小题满分分）已知函数（）、函数（），曲线：在点处的切线方程为。 （1）求实数的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若对恒成立，求实数的取值范围。 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页） 数学试题 第5页（共8页） 数学试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年度下学期高二期中考试模拟卷B 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．假设有两个分类变量和，它们的可能取值分别为和，其列联表如表，对于以下数据，对同一样本能说明和有关系的可能性最大的一组为（ ）。 A、、、、 B、、、、 C、、、、 D、、、、 总计 总计 3．已知函数（），曲线：在点处的切线与直线：垂直，则实数（ ）。 A、 B、 C、 D、 4．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作。《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题。现有根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于，且从最下面一层开始，每一层比上一层多根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．已知数列满足：，，设（），若为数列中唯一最小项，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 6．直线：（）是曲线：与曲线：的公切线，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为的常数列，在此数列的第（）项与第项之间插入首项为、公比为的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．已知函数，直线是曲线：的一条切线，则的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数，则称函数为“型函数”，下列函数中为“型函数”的有（ ）。 A、 B、 C、 D、 10．已知数列满足，，其前项和为，其前项积为，则下列说法正确的是（ ）。 A、数列是递增数列 B、数列的最大值与最小值的和为 C、数列是递增数列 D、数列是递增数列 11．对于函数，下列说法正确的是（ ）。 A、函数在处取得极大值 B、函数有两个不同的零点 C、 D、若关于的不等式在内恒成立，则 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．若函数，则 。 13．数列中，对所有都有，则 。 14．已知函数（），若，则的最大值为 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”。为响应总书记的号召，某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动。运动分为徒手运动和器械运动两大类．该社区对参与活动的人进行了调查，其中男性人，女性人，所得统计数据如表所示：（单位：人）。 性别 器械类 徒手类 合计 男性 女性 合计 （1）请将题中表格补充完整，并判断能否有把握认为“是否选择器械类与性别有关”？ （2）为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动。竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手类，规定参与者必需三个项目都参加。据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是，通过徒手类竞赛的概率都是，且各项目是否通过相互独立。用表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量的分布列和数学期望。 （参考数据：，，） 附：。 16．（本小题满分分）某地区在一次考试后，从全体考生中随机抽取名，获取他们本次考试的数学成绩和物理成绩，绘制成如图散点图： 根据散点图可以看出与之间有线性相关关系，但图中有两个异常点、，经调查得知，考生由于感冒导致物理考试发挥失常，考生因故未能参加物理考试。为了使考试分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值： ，，，，， 其中、分别表示这名同学的数学成绩、物理成绩，、、…、，与的相关系数。 （1）若不剔除、两名考生的数据，用组数据作回归分析，设此时与的相关系数为，试判断与的大小关系，并说明原因； （2）求关于的线性回归方程（系数精确到），并估计如果考生参加了这次物理考试（已知考生的数学成绩为分），物理成绩是多少？（精确到个位）； （3）从统计概率规律看，本次考试该地区的物理成绩服从正态分布，以剔除后的物理成绩作为样本，用样本，用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值。试求该地区名考生中，物理成绩位于区间的人数的数学期望。 附：①回归方程中，，； ②若，则，； ③。 17．（本小题满分分）已知函数，。 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，对于任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。 18．（本小题满分分）已知数列的前项和为，且。 （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若存在整数，使得对任意且都有成立，求的最大值； （3）设，证明：。 19．（本小题满分分）已知函数（）、函数（），曲线： 在点处的切线方程为。 （1）求实数的值； （2）讨论函数的单调性； （3）若对恒成立，求实数的取值范围。 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$