辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高二下学期期中考试数学模拟卷D（一元线性回归、独立性检验、数列、导数）（原卷版）

绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年度下学期高二期中考试模拟卷D 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．某种产品的价格（单位：元）与需求量（单位：）之间的对应数据如下表所示： 数据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论错误的是（ ）。 A、变量与呈负相关 B、回归直线经过点 C、 D、该产品价格为元时，日需求量大约为 【答案】D 【解析】，，∴回归直线经过点，B选项对， 将， 代入得，∴变量与呈负相关，A选项对、C选项对， 当产品价格为元时，代入得，∴日需求量大约为，D选项错， 故选D。 2．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】∵，∴，∴，故选D。 3．已知函数（），过点作曲线：的切线过点，则实数（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】的定义域为，，、， ∴切线方程为， ∵该切线过点，∴，解得，故选C。 4．已知有穷数列是等差数列，公差为，前项和为，。命题：，数列为等差数列；命题：，数列为递增数列，则下列说法正确的是（ ）。 A、命题和命题均为真命题 B、命题和命题均为真命题 C、命题和命题均为真命题 D、命题和命题均为真命题 【答案】A 【解析】当时，，，， 两式相减得：，∴是首项为、公差的的等差数列， ∴命题：“，为等差数列”为真命题， 当时，为递减数列，设的项数为，要使为递增数列，只需， 即，∴，∴命题：“，为递增数列”为真命题， 故选A。 5．某莲藕种植塘每年的固定成本是元，每年最大规模的种植量是斤，每种植一斤藕，成本增加元。如果收入函数是（是莲藕的重量，单位：斤），则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）。 A、斤 B、斤 C、斤 D、斤 【答案】D 【解析】设利润为，（）， 则， 令得或（舍去）， 当时，，当时，； ∴当，即每年种植斤莲藕时，可使利润最大，选故D。 6．已知数列和数列的前项和分别为和，且，，，若对任意的，恒成立，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】当时，，即，又，∴， 当时，、， 两式相减得：， 整理得：，又，∴，∴， ∴是首项为，公差为的等差数列，∴， ∴， ∴， ∴，故选C。 7．足球运动是深受学生喜爱的一项体育运动，为了研究是否喜爱足球运动与学生性别的关系，从某高校男女生中各随机抽取名学生进行调查问卷，得到如下数据（且）： 喜爱 不喜爱 男生 女生 若有以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关，则的最小值为（ ）。 附：，其中。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵有以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关， ∴， 即，∵在且时单调递增， 且、，∴的最小值为，故选C。 8．已知函数（），若只有一个零点，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】令，解得或，∵只有一个零点，∴， 设，可以看成点到的距离的平方， 而到的距离为，的定义域为，， 在点处的切线斜率为，则直线方程为， 直线斜率为，则与线段垂直， 又（）的图象在直线的下方， 综上所述，的最小值为，故选D。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知等比数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）。 A、首项不确定 B、公比 C、 D、 【答案】BCD 【解析】根据题意，等比数列的前项和， 则，则， 则，则， 则，则，∴A选项错，BCD选项对， 故选BCD。 10．若，记为不超过的正整数中与互质（两个正整数除之外，没有其余公因数）的正整数的个数，例如、、、，则下面选项正确的是（ ）。 A、 B、 C、若是质数，则 D、 【答案】BC 【解析】不超过且与互质的正整数有、、、、、，共个，即，A选项错， 不超过且与互质的正整数有、、、、、、、，共个，即，B选项错， 若是素数，与前个正整数均互素，可得，C选项对， 若，则，然而必为偶数， 则比小的数中偶数与不互质，而且为奇数也与不互质， 此时， 当为合数时，还会存在至少个数与不互质，此时， 例如时，，， ∴，， 此时，D选项错， 故选BC。 11．已知函数（），则下列说法正确的是（ ）。 A、存在实数，使得函数的最小值为 B、存在实数，使得函数的最小值为 C、存在实数，使得函数恰有个零点 D、存在实数，使得函数恰有个零点 【答案】AC 【解析】A选项，当时，，此时的最小值为，对， B选项，当时，当时，，，令，解得， 当时，，∴在内单调递减， 当时，，∴在内单调递增， ∴在处取得极小值也是最小值为， 令，即， 当时，，在内单调递减， ∴，与最小值为矛盾， 当时，的对称轴方程为， 当时，即时，， 若，则，与矛盾， 当时，在内单调递减，无最小值， 综上所述，当时，的最小值不为，错， C选项，由B选项可知，当时，当时，单调递减且， 当时，且，∴恰有个零点，对， D选项，当时，（）且仅有， 即（）有且只有个零点， 当时，（）且仅有， 即（）有且只有个零点， 综上所述，当时，（）有且只有个零点， 而在内至多有个零点， ∴时，函数没有个零点，当时，函数有无数个零点，错， 故选AC。 点睛：本题的关键是对系数分类讨论，利用导数研究上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知数列的通项公式为，为的前项和，则最小值时， 。 【答案】或 【解析】令得，即当时，，当时，，当时，， ∴最小值时，或。 13．对于任意实数序列，，定义，已知数列、满足、，若中前项的和恒成立，则整数的最小值为 。 【答案】 【解析】依题意可知 ， ∴，∴整数的最小值为。 14．曲线：与曲线：的公切线的斜率为 。 【答案】 【解析】的定义域为，，的定义域为，， 设公切线在曲线的切点为，则， 设公切线在曲线的切点为，则， 则，即，又， ∴，解得，∴，∴斜率。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）已知函数，。 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数在内的最小值和最大值； （3）若函数在内单调递增，求实数的取值范围。 【解析】（1）当时，，定义域为，， 1分 又、，∴切线方程为，即； 3分 （2）的定义域为，∵，由得，解得， 5分 ∴，令，即，解得或， 7分 极小值 ∴在内的最小值为、最大值为； 10分 （3）由题意及（2）可知，当时，恒成立， 即当时，恒成立， 11分 又当时，是增函数，且最小值为，∴， 即实数的取值范围为。 13分 16．（本小题满分分）某地区的乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧，发展畜牧业。牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业。下图所示为某农户近年种植药材的平均收入（单位：千元）与年份代码的折线图。并计算得到、、、 、、、，其中。 （1）根据折线图判断与哪一个更适宜作为平均收入关于年份代码的回归方程类型？并说明理由； （2）根据（1）的判断结果及数据，建立关于的回归方程，并预测年该农户种植药材的平均收入； （3）结合当地的环境和气候及对种植户的调查统计分析表明：若继续种植现有的药材，农户的收入将接近“瓶颈”。要想继续提高农户的收入，则需要制定新的种植方案。在原有的土地上继续种植原有药材，质量得不到保障，且影响农户经济收入。请先分析原因，再给出合理建议。 附：相关系数，回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：， ，。 【解析】（1）∵， ， 2分 对于模型，相关系数， 3分 对于模型，相关系数， 4分 ∵，∴更适宜作为平均收入关于年份代码的回归方程； 5分 （2）由（1）可知回归方程类型为， 由已知数据及公式可知， 6分 ∴，∴关于的回归方程为， 8分 又年份代码分别对应年份， ∴年对应年份代码为，代入可得千元， ∴预测年该农户种植药材的平均收入为千元； 10分 （3）长期在固定的土地种植固定的药材，土壤的微量元素含量及比例会发生变化， 影响药材的生长，产量、质量方面等出现问题， 长期种植同种药材，品种较为单一，市场也会趋于饱和，影响收入， 12分 ∴建议如下： ①扩大种植面积，调整种植品种，进行土壤元素分析，结合当地环境及农作物的种植， 进行综合研判，进行套种或轮作， ②增加药材品种，聘请专家指导每块土地药材种植的次序及间隔时间等，采用多元化种植方式， 也可根据药材的特性，因地制宜选择种植品种。 15分 以上给出了一种示例，回答合理即可得分。 17．（本小题满分分）已知递增数列的首项为，且。 （1）求、及数列的通项公式； （2）令，求数列的前项积。 【解析】（1）∵为递增数列，，∴恒成立， 1分 当时，，即，解得（舍）或（取）， 2分 当时，，即，解得（舍）或（取）， 3分 又恒成立，∴，∴， 即，∴，∴是首项为、公差为的等差数列， 6分 ∴，∴； 8分 （2）由（1）可知，， 11分 ∴ 。 15分 18．（本小题满分分）已知函数，函数，。 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：。 【解析】（1）当时，，定义域为，， 1分 、，∴切线方程为，即； 3分 （2）当时，等价于， ∵，∴等价于， 5分 当时，，当时，， 则不等式恒成立，此时， 7分 当时，令，定义域为，恒成立， ∴在内单调递增，原不等式等价于，此时， 9分 ∴，恒成立，等价于，恒成立， 10分 令，定义域为，恒成立，∴在内单调递增， ∴，∴，即实数的取值范围为； 12分 （3）由（2）可知，当时，不等式对恒成立， 即对恒成立， 13分 取，得，即， 即，即， 15分 则， ∴原不等式成立。 17分 19．（本小题满分分）若存在常数，使得数列满足，则称数列为“数列”。 （1）判断数列：、、、、是否为“数列”，并说明理由； （2）若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且满足，求实数的值和数列的通项公式； （3）若数列是“数列”，其前项和为，、，证明：。 【解析】（1）、、、、， 根据“数列”的定义可知，∴， ∵成立、成立、， ∴、、、、不是“数列”； 3分 （2）∵是首项为的“数列”，∴、，设等比数列的公比为， 4分 ∵，∴， 两式作差得， 即， 6分 ∵是“数列”，∴， ∴，即， 则，即，解得、， 8分 又、，解得，即； 10分 （3）证明：要证，即证， ∵是“数列”， ∴， 要证，即证， 12分 又∵，、， ∴、、…，∴， 要证：，即证， 即证， 14分 设，定义域为，， 当时，，在内单调递减， ∵，∴，∴，∴， 即、、…、， 16分 ∴，即，得证。 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年度下学期高二期中考试模拟卷D 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．某种产品的价格（单位：元）与需求量（单位：）之间的对应数据如下表所示： 数据表中的数据可得回归直线方程为，则以下结论错误的是（ ）。 A、变量与呈负相关 B、回归直线经过点 C、 D、该产品价格为元时，日需求量大约为 2．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 3．已知函数（），过点作曲线：的切线过点，则实数（ ）。 A、 B、 C、 D、 4．已知有穷数列是等差数列，公差为，前项和为，。命题：，数列为等差数列；命题：，数列为递增数列，则下列说法正确的是（ ）。 A、命题和命题均为真命题 B、命题和命题均为真命题 C、命题和命题均为真命题 D、命题和命题均为真命题 5．某莲藕种植塘每年的固定成本是元，每年最大规模的种植量是斤，每种植一斤藕，成本增加元。如果收入函数是（是莲藕的重量，单位：斤），则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）。 A、斤 B、斤 C、斤 D、斤 6．已知数列和数列的前项和分别为和，且，，，若对任意的，恒成立，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．足球运动是深受学生喜爱的一项体育运动，为了研究是否喜爱足球运动与学生性别的关系，从某高校男女生中各随机抽取名学生进行调查问卷，得到如下数据（且）： 喜爱 不喜爱 男生 女生 若有以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关，则的最小值为（ ）。 附：，其中。 A、 B、 C、 D、 8．已知函数（），若只有一个零点，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知等比数列的前项和，则下列说法正确的是（ ）。 A、首项不确定 B、公比 C、 D、 10．若，记为不超过的正整数中与互质（两个正整数除之外，没有其余公因数）的正整数的个数，例如、、、，则下面选项正确的是（ ）。 A、 B、 C、若是质数，则 D、 11．已知函数（），则下列说法正确的是（ ）。 A、存在实数，使得函数的最小值为 B、存在实数，使得函数的最小值为 C、存在实数，使得函数恰有个零点 D、存在实数，使得函数恰有个零点 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知数列的通项公式为，为的前项和，则最小值时， 。 13．对于任意实数序列，，定义，已知数列、满足、，若中前项的和恒成立，则整数的最小值为 。 14．曲线：与曲线：的公切线的斜率为 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）已知函数，。 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，求函数在内的最小值和最大值； （3）若函数在内单调递增，求实数的取值范围。 16．（本小题满分分）某地区的乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，并在种植药材的土地附近种草放牧，发展畜牧业。牛粪、羊粪等有机肥可以促进药材的生长，发展生态循环农业。下图所示为某农户近年种植药材的平均收入（单位：千元）与年份代码的折线图。并计算得到、、、 、、、，其中。 （1）根据折线图判断与哪一个更适宜作为平均收入关于年份代码的回归方程类型？并说明理由； （2）根据（1）的判断结果及数据，建立关于的回归方程，并预测年该农户种植药材的平均收入； （3）结合当地的环境和气候及对种植户的调查统计分析表明：若继续种植现有的药材，农户的收入将接近“瓶颈”。要想继续提高农户的收入，则需要制定新的种植方案。在原有的土地上继续种植原有药材，质量得不到保障，且影响农户经济收入。请先分析原因，再给出合理建议。 17．（本小题满分分）已知递增数列的首项为，且。 （1）求、及数列的通项公式； （2）令，求数列的前项积。 18．（本小题满分分）已知函数，函数，。 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：。 19．（本小题满分分）若存在常数，使得数列满足，则称数列为“数列”。 （1）判断数列：、、、、是否为“数列”，并说明理由； （2）若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且满足，求实数的值和数列的通项公式； （3）若数列是“数列”，其前项和为，、，证明：。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$