精品解析：2025年吉林省吉林市船营区吉林市第二十三中学中考一模数学试题

吉林市第二十三中学毕业年级阶段检测数学试题 注意事项：数学试卷共8页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一条东西向的笔直马路上，小亮从点O出发（规定向东为正），沿箭头先向东行走，再向西行走，用算式表示两次行走的过程和结果的是（ ） A. B. C. D. 2. 鲁班锁（如图）亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难入木等，它起源于中国占代建筑中首创的榫卯结构．传说是春秋时代鲁国工匠鲁班用 根木条制作一件可拼可拆的智力玩具，如图 是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的俯视图是（　　） A. B. C. D. 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小明用两根小木棍 ， 自制成一个如图所示的“形”测量工具， 与 交于点 ，， ，，现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径 的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形 内接于 ， 为 的直径，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 计算：_______． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为______． 9. 如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是________． 10. 如图1，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时， 与 重合；当电脑打开时，点运动的过程形成.如图2，若，，则的长是_______（结果保留 ）． 11. 如图所示，矩形纸片 ，点为边 上一点，连接．将沿对折，点落在点处；将沿对折，点落在点处．若．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若平分，则．其中一定正确的有_____________（填序号即可）． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 13. 如图，， ，，．求证：． 14. 五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： （1）如图①，在 上画一点E，连结 ，使 ； （2）如图②，在 上画一点F，连结 ，使； （3）如图③，在 上画一点M，连结，使． 16. 某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少? （3）请你利用p与V的表达式解释，为什么超载的车辆容易爆胎． 17. 社会消费品零售总额按消费类型可划分为商品零售和餐饮收入，它是表现国内消费需求最直接的数据，也是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标．如图是我国2019年上半年﹣2023年上半年按消费类型分零售额同比增速和社会消费品零售总额的统计图． ​ 请根据以上信息，解答下列问题： （1）2019年上半年﹣2023年上半年，我国社会消费品零售总额的中位数是 亿元． （2）根据国家统计局数据显示，2023年上半年我国的商品零售额为68643亿元，则2023年上半年我国的餐饮收入为 亿元． （3）设2019年上半年﹣2023年上半年商品零售增长率的方差为，餐饮收入增长率的方差为，则 （填写“＞”或“＜”）． （4）下列说法正确的是 （填序号） ①从2021年起我国上半年的社会消费品零售总额逐年增加． ②因为2020年上半年餐饮收入和商品零售的增长率都小于零，所以2020年上半年的餐饮收入和商品零售额也都小于零． ③2021年上半年﹣2023年上半年餐饮收入和商品零售的增长率逐年减小，所以餐饮收入和商品零售额也逐年减少． 18. 北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度 为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，） 19. 数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧拉力与长度之间有关系式；测得弹簧拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧每根6元，弹簧每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）在图2中，描出对弹簧测得数据的各对与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． （2）求关于的函数表达式，并求出弹簧在弹性限度内的最大拉力． （3）如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 20. 点是正方形 所在平面内一点． （1）如图，若为边上一点，为 延长线上一点，且，判断 与 之间的关系，说明理由； （2）如图 ，若点在边 下方，当时，过点作 的垂线交的延长线于点，猜想线段 ， ，之间的数量关系，并证明； （3）在（）的条件下，连接 ，延长 交 于点 .当，时，求 的面积． 21. 如图，在菱形中，，．动点 从出发沿线段方向以每秒的速度向终点运动．过点 作交边或 于点，在 的左侧作，使，，设点 的运动时间为（秒）． （1）直接写出 的长度；（用含的代数式来表示） （2）若点落在内部，求的取值范围； （3）求与重合图形部分的面积与时间之间的函数解析式． 22. 已知抛物线经过点．点在这个抛物线上，当点不在轴上时，过点作轴于点，作线段 关于坐标原点 成中心对称的线段，设点的横坐标为 ． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）当线段 与线段在同一条直线上时，求线段的长度； （3）当点在轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求 的取值范围； （4）作平行四边形．当边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点为顶点构造三角形的面积是面积的一半，直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第二十三中学毕业年级阶段检测数学试题 注意事项：数学试卷共8页，包括三道大题，共22道小题．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在一条东西向的笔直马路上，小亮从点O出发（规定向东为正），沿箭头先向东行走，再向西行走，用算式表示两次行走的过程和结果的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，利用数形结合思想解答是解题的关键．根据有理数的加法，即可求解． 【详解】解：根题意得：若规定向东为正，则用算式表示两次行走的过程和结果的是． 故选： ． 2. 鲁班锁（如图 ）亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难入木等，它起源于中国占代建筑中首创的榫卯结构．传说是春秋时代鲁国工匠鲁班用 根木条制作一件可拼可拆的智力玩具，如图 是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从不同方向观察几何体是解题的关键． 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：从上面看，可得如图形： 故选：B 3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知“小于向左，大于向右，在表示解集时要用实心圆点表示；要用空心圆点表示”是解答此题的关键．先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示为： 故选：D． 4. 小明用两根小木棍 ，自制成一个如图所示的“形”测量工具， 与交于点 ，， ，，现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，首先根据和都是等腰三角形且，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，根据可求 的长度． 【详解】解：， ， 和都是等腰三角形， ， ， ， ， 又， ， ， 故选：B． 5. 如图，四边形 内接于， 为的直径，连接 ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理；根据圆内接四边形对角互补，直径对直角求解即可． 【详解】解： 四边形 内接于， ， 为的直径， ， ， 故选：． 6. 《九章算术》中有题曰：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为 ，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出图形，结合勾股定理计算即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：画出图形，如图所示： 由勾股定理可得：， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了异分母分式的加减；先通分再相减即可求解． 【详解】解：； 故答案为：． 8. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的根的判别式等于零列关于c的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 9. 如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是________． 【答案】两点确定一条直线 【解析】 【分析】本题考查的是直线的性质，即两点确定一条直线．熟练掌握性质是解题的关键； 根据公理“两点确定一条直线”来解答即可． 【详解】解：因为“两点确定一条直线”，所以跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆． 故答案为：两点确定一条直线． 10. 如图1，将笔记本电脑平放在桌子上，当电脑闭合时， 与 重合；当电脑打开时，点 运动的过程形成.如图2，若，，则的长是_______（结果保留 ）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式计算可得． 【详解】解：的长为：， 故答案为：． 11. 如图所示，矩形纸片 ，点 为边 上一点，连接．将沿对折，点 落在点处；将沿对折，点 落在点处．若．下列结论：①若，则；②；③若，则；④若平分，则．其中一定正确的有_____________（填序号即可）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，角的和差，角平分线的定义，由平角定义可得，即可判断①；由折叠的性质可得，，进而可判断②；由，得，即得，得到，即可判断③；由角平分线的定义得，即得，可得，进而得，得到，即可判断④，综上即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：若，则，故①错误； 由折叠可得，，， ∵， ∴，故②正确； 若，则， ∴， ∴， 解得， ∴，故③正确； 若平分，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上，正确的结论有②③， 故答案为：②③． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，5． 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算—化简求值，先利用平方差公式、去括号法则计算，然后合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 13. 如图，，，，．求证：． 【答案】 证明：在和中， ， ∴． ∴． ∵ ∴，， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，由为公共边，利用可得出，利用全等三角形的对应角相等得到，再利用同角的余角相等得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得出与平行． 【详解】略 14. 五一期间，七年级若干名学生和家长一同去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，求这次参加游玩的家长和学生各多少人？ 【答案】这次参加游玩的家长有5人，学生有4人， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设这次参加游玩的家长有x人，则学生有人，根据门票费一共630元建立方程求解即可． 【详解】解：设这次参加游玩的家长有x人，则学生有人， 由题意得，元， 解得 ， ∴， 答：这次参加游玩的家长有5人，学生有4人． 15. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图： （1）如图①，在 上画一点E，连结 ，使 ； （2）如图②，在 上画一点F，连结，使； （3）如图③，在 上画一点M，连结 ，使． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据网格线的特点作图即可； （2）过点D作 的垂线与 的交点即为所求； （3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质作图即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：过点D作 的垂线，与 相交于点F， ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：取格点G，连接，交 于点M， 由图可得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查作图的应用与设计、直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及对顶角相等，掌握网格的特点及线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 16. 某校举行田径运动会，学校准备了一些气球，某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示． （1）求反比例函数的表达式； （2）当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少? （3）请你利用p与V的表达式解释，为什么超载的车辆容易爆胎． 【答案】（1） （2）气体的体积应不小于 （3）由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）根据反比例函数的增减性解题即可； （3）根据实际情况分析解答即可． 【小问1详解】 解：设函数表达式为， 根据图象，得， 所以，函数的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴p随V的增大而减小． ∴要使气球不会爆炸，． ∴气体的体积应不小于． 【小问3详解】 解：由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎． 17. 社会消费品零售总额按消费类型可划分为商品零售和餐饮收入，它是表现国内消费需求最直接的数据，也是研究国内零售市场变动情况、反映经济景气程度的重要指标．如图是我国2019年上半年﹣2023年上半年按消费类型分零售额同比增速和社会消费品零售总额的统计图． ​ 请根据以上信息，解答下列问题： （1）2019年上半年﹣2023年上半年，我国社会消费品零售总额的中位数是 亿元． （2）根据国家统计局数据显示，2023年上半年我国的商品零售额为68643亿元，则2023年上半年我国的餐饮收入为 亿元． （3）设2019年上半年﹣2023年上半年商品零售增长率的方差为，餐饮收入增长率的方差为，则 （填写“＞”或“＜”）． （4）下列说法正确的是 （填序号） ①从2021年起我国上半年的社会消费品零售总额逐年增加． ②因为2020年上半年餐饮收入和商品零售的增长率都小于零，所以2020年上半年的餐饮收入和商品零售额也都小于零． ③2021年上半年﹣2023年上半年餐饮收入和商品零售的增长率逐年减小，所以餐饮收入和商品零售额也逐年减少． 【答案】（1）69737 （2）8424 （3）＜ （4）① 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与折线图中获取信息，中位数的含义，方差的含义，理解统计图体现的信息是解本题的关键． （1）先把数据按照从小到大排序，再结合中位数的含义可得答案； （2）利用总额减去商品零售额可得答案； （3）根据折线图可得数据的波动幅度可得答案； （4）根据折线图与条形图逐一分析即可． 【小问1详解】 解：将我国社会消费品零售总额按从小到大的顺序排列为52130，66064，69737，74426，77067，则最中间的数据为第3个数据，即中位数是69737亿元， 【小问2详解】 2023年上半年我国的餐饮收入为：（亿元）． 【小问3详解】 由折线统计图可以看出2019年上半年﹣2023年上半年餐饮收入增长率的波动比较大，故方差也比较大． ∴． 【小问4详解】 从条形统计图可以看出从2021年起我国上半年的社会消费品零售总额逐年增加，故①正确． 2020年上半年餐饮收入和商品零售的增长率都小于零，说明2020年上半年的餐饮收入和商品零售额比上年减少，并不是小于0，故②不正确． 2021年上半年﹣2023年上半年餐饮收入和商品零售的增长率逐年减小，说明餐饮收入和商品零售额增长速度减慢，但仍在增加，并不是逐年减少．故③不正确． 故答案为：①． 18. 北庭故城建于唐代，见证了新疆自古以来就是祖国不可分割的一部分，废墟最高处如图所示是故城地标建筑之一，当初是为了防御外敌所建的瞭望角楼．此楼底部距离地平线高度为米，小明在地面A点处测得残楼低N的仰角是，由A往前走30米至点B处，测得的残顶P的仰角是，请求出瞭望角楼的高度（精确到1米）．（，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由正切函数得，可求，由等腰三角形的性质得，即可求解；掌握直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】解：在中， ，，， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 答：角楼的高度为． 19. 数学项目小组为解决由10根弹簧构成且成本不超过40元的弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1 如图1，弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，，弹簧 拉力与长度之间有关系式；测得弹簧 拉力与长度的对应数据如下表： 弹簧长度 10 15 20 25 拉力 5 10 15 20 信息2 在弹性限度内，弹簧A，B伸长后最大长度均为．弹簧 每根6元，弹簧 每根3元． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： （1）在图2中，描出对弹簧 测得数据的各对 与的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上． （2）求关于 的函数表达式，并求出弹簧 在弹性限度内的最大拉力． （3）如何购买A，B两种弹簧，在弹性限度内，使并联后的弹簧拉力计的拉力最大；并求出弹簧拉力计的最大拉力． 【答案】（1） 描点并连线如图所示： 这些点分布在同一直线上 （2），弹簧B在弹性限度内的最大拉力是 （3）购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为 【解析】 【分析】本题考查了画函数图象、一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）先描点、再连线，即可得出函数图象； （2）利用待定系数法计算即可得出答案； （3）设弹簧A为m根，则弹簧B为根，根据最大拉力得到函数解析式，根据增减性解题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，与 之间是一次函数关系， 设关于 的函数表达式为为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 关于x的函数表达式为， 当时，， 弹簧B在弹性限度内的最大拉力是； 【小问3详解】 设购买A弹簧m根，则购买B弹簧根， 根据题意，得， 解得， 当时，， 随m的增大而增大， 且m为非负整数， 当时值最大，最大（根）． 答：购买A弹簧3根、B弹簧7根使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内），弹簧拉力计的最大拉力为． 20. 点 是正方形 所在平面内一点． （1）如图 ，若 为 边上一点， 为延长线上一点，且，判断 与之间的关系，说明理由； （2）如图 ，若点 在边下方，当时，过点 作 的垂线交的延长线于点，猜想线段 ，，之间的数量关系，并证明； （3）在（ ）的条件下，连接 ，延长 交于点 .当，时，求的面积． 【答案】（1） ，，理由： 延长 交于点 ，如图， ∵四边形 是正方形， ∴，， 在和 中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴，； （2） ， 证明：设 ，交于 ， ∵，， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即：； （3）的面积为． 【解析】 【分析】（ ）根据正方形的性质可得，，然后利用“边角边”证明和全等，得出，延长 交于点 ，进而求出，从而证明即可； （ ）设 ，交于 ，设，求得，得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰直角三角形的性质得到； （ ）由（ ）知，，根据相似三角形的性质得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，由（ ）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ （负值舍去）， ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键 21. 如图，在菱形中，，．动点 从 出发沿线段方向以每秒的速度向终点 运动．过点 作交边 或 于点 ，在 的左侧作，使，，设点 的运动时间为（秒）． （1）直接写出 的长度；（用含的代数式来表示） （2）若点 落在内部，求的取值范围； （3）求与重合图形部分的面积与时间之间的函数解析式． 【答案】（1） （2）当时，点F落在的内部； （3） 【解析】 【分析】（1）分两种情形：，，分别利用直角三角形求解即可； （2）如图2中，求出当点F落在 边上时t的值，可得结论； （3）分三种情形：当时，重叠部分是，当时，重叠部分是四边形，当时，重叠部分是，分别求解即可． 【小问1详解】 解：当时，如图， ∵菱形，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴，； 当时，如图， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴； 综上所述，； 【小问2详解】 解：如图，当点F落在 边上时， 在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 观察图象可知，当时，点F落在的内部； 【小问3详解】 解：当时，重叠部分是， ∴， 当时，重叠部分是四边形，如图， ； 当时，重叠部分为，如图， ， 综上所述，． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积，四边形的面积等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 22. 已知抛物线经过点．点 在这个抛物线上，当点 不在轴上时，过点 作轴于点 ，作线段 关于坐标原点 成中心对称的线段，设点 的横坐标为 ． （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）当线段 与线段在同一条直线上时，求线段的长度； （3）当点 在轴左侧时，若线段与此抛物线有且只有一个公共点，求 的取值范围； （4）作平行四边形．当边与此抛物线有两个公共点时，若以这两个公共点和点 为顶点构造三角形的面积是面积的一半，直接写出 的值． 【答案】（1）； （2）或； （3）或； （4）或． 【解析】 【分析】（1）直接把点代入抛物线中，求出 ，再代回即可； （2）由线段 与线段关于原点对称且在同一条直线上可得 和在 轴上，且关于原点对称，将代入表达式中即可求出； （3）用含有 的式子表示点 ，根据与原点对称表示点，根据作图的三种情况求出 的取值范围； （4）由题意可知，若以这两个公共点和点 为顶点构造三角形的面积是面积的一半，则两个交点的距离恰好是这条边的一半，所以点为的中点，即点恰好是抛物线与 轴的交点，则，解出 的值即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线中得： ，解得：， 此抛物线对应的函数解析式是； 【小问2详解】 线段 与线段在同一条直线上， 和在 轴上， 点的坐标为， 将代入中得：， 解得，， 或， 线段的长度为或； 【小问3详解】 由题意可知，，抛物线与轴交点坐标为，顶点坐标为， 点 在轴左侧， ， 如图一，此时线段与抛物线恰有一个公共点，则，解得：（舍去），； 当向下移动到如图二所示位置时，线段与抛物线恰有2个公共点，则，解得：（舍去），； 当经过抛物线顶点时，如图三，此时与抛物线恰有一个公共点，则，解得：（舍去），， 线段与此抛物线有且只有一个公共点时， 的取值范围为或； 【小问4详解】 由题意可知，若以这两个公共点和点 为顶点构造三角形的面积是面积的一半，则两个交点的距离恰好是这条边的一半， 如图四：点为的中点，即点恰好是抛物线与 轴的交点， ， 解得，， 点为的中点， ， 或， 即或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数的性质，正确的求出函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $