精品解析：江苏省常州市2024-2025学年高二下学期4月期中质量调研数学试题

2025年春学期高二期中质量调研 数学试卷 2025，4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 设随机变量服从正态分布，则等于（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3. 已知直线的一个方向向量为，且直线与过和两点的直线垂直，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为. 若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极值点有两个 D. 直线与曲线有两个不同的交点 7. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则（ ） A. 的极大值为1 B. 与有不同的极大值 C. 时， D. 时， 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于随机变量的说法正确的是（ ） A. 若服从正态分布，则 B. 服从两点分布，且，设，那么 C. 若服从超几何分布，则期望 D. 若服从二项分布，则 10. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数有两个极值点，且点和点关于点对称 B. 若关于的方程有一解，则 C. 若在上有极小值，则 D. 若在上有最大值3，则 11. 如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 平面和平面有相同的法向量 C. 异面直线和的距离为 D. 二面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，且，则_____________. 13. 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为______． 14. 已知函数的最小值是，则实数______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若，求； （2）若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 16. 设函数，． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值：（其中e为自然对数的底数）； （2）在（1）的条件下求的极大值； （3）若在上存在减区间，求实数的取值范围． 17. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，为底面圆周上异于一点，且四边形是边长为2的正方形． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 18. 某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 （1）称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； （2）若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 19. 已知函数． （1）若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，其中，问：是否存在实数，使得成立？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春学期高二期中质量调研 数学试卷 2025，4 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【详解】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 2. 设随机变量服从正态分布，则等于（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得. 【详解】因为且，所以， 所以. 故选：C 3. 已知直线的一个方向向量为，且直线与过和两点的直线垂直，则等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据、两点坐标求出，再利用两直线垂直则它们的方向向量垂直，根据向量垂直的性质列出方程，进而求出的值. 【详解】已知，，根据向量坐标运算，可得. 因为直线与过、两点的直线垂直，所以直线的方向向量与垂直. 根据向量垂直的性质，可得. 化简得,解得. 故选：A. 4. 在棱长为1的正方体中，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求出的面积，再由等体积法求点到平面的距离． 【详解】如图，连接， 正方体的棱长为1，是边长为的等边三角形， ， 设点到平面的距离为， 由，得， 可得，则点到平面的距离为． 故选：C． 5. 某同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为. 若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知条件，直接使用全概率公式即可得到结果. 【详解】设分别代表事件“第1球投进”和“第2球投进”，则由已知条件知，，，这得到. 故. 故选：A. 6. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的单调递减区间为 C. 的极值点有两个 D. 直线与曲线有两个不同的交点 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，利用导数的几何意义求解；对于B，求导后，由导数小于零求解即得；对于C，求导后令导数为零即得；对于D，令，分，两种情况利用导数结合零点存在性定理即可判断. 【详解】因为，定义域为， 所以， 对于A，因为,，所以切点为，切线斜率，切线方程为，故A不正确； 对于B，，得且，所以的单调递减区间为和，故B不正确； 对于C，令，得，故的极值点不可能有两个，故C不正确 对于D，令，则. 又， 令，则 所以在上单调递减，在上单调递增, 所以，即在恒成立， 所以在上单调递增， 故在上有唯一零点. 当时，，所以在上单调递减， 而，. 故在上有唯一零点. 综上，有两个零点，即直线与曲线有两个不同的交点.故D正确. 故选：D. 7. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案. 【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 8. 设，则（ ） A. 的极大值为1 B. 与有不同的极大值 C. 时， D. 时， 【答案】D 【解析】 【分析】通过对函数求导，即可判断函数的单调性，进而可判断其极大值，可得A错误；由可得的解析式，求导判断其单调性，进而可得极大值与相同，故B错误；根据函数的单调性，可判断C错误，D正确. 【详解】由，得， 令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以是函数的极大值点，极大值为，故A错误； 由，得，得， 令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以是函数的极大值点，极大值为， 与的极大值相同，故B错误； 当时，函数单调递增， 又时，，所以， 而时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D正确. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于随机变量的说法正确的是（ ） A. 若服从正态分布，则 B. 服从两点分布，且，设，那么 C. 若服从超几何分布，则期望 D. 若服从二项分布，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质和方差的性质即可判断选项A；根据两点分布及随机变量间的对应关系即可判断选项B；根据超几何分布的期望公式即可判断选项C；二项分布的分布列即可判断选项D. 【详解】对于A，若服从正态分布，则，由方差的性质可知：，故选项A错误； 对于B，若服从两点分布，且，所以. 又，所以，故选项B正确； 对于C，若服从超几何分布，则根据超几何分布的期望公式可知：，故选项C正确； 对于D，若服从二项分布，则由二项分布的，故选项D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数有两个极值点，且点和点关于点对称 B. 若关于的方程有一解，则 C. 若在上有极小值，则 D. 若在上有最大值3，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对求导，令，求出极值点，结合中点坐标公式，判断A；根据单调性和函数值画出简图，结合图象判断BCD. 【详解】对于A，，令，则， 且，对应点为，因为， 所以关于点对称，故A正确； 对于B，因为，所以当时，， 所以在上单调递减，当或时，， 所以在上单调递增，且， 画出简图为 结合图象知，有一解则或，故B错误； 对于C，结合图象，为极小值点，所以在上有极小值，则，故C正确； 对于D，令，则或， 结合图象知，在上有最大值3，则，故D正确， 故选：ACD. 11. 如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形是边长为4的正方形，则（ ） A. 异面直线和所成的角为 B. 平面和平面有相同的法向量 C. 异面直线和的距离为 D. 二面角的余弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，运用坐标法计算异面直线所成角、平面法向量及二面角可判断A项、B项、D项；在线段任取一点，在线段任取一点，设，根据空间向量坐标运算可得设，当时，即为异面直线和的距离，从而求得的值，求解，即可得判断C项． 【详解】连接、交于点，连接，， 因为四边形为正方形，则， 又因为八面体的每个面都是正三角形，所以，，三点共线，且面， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 对于A：， 设异面直线与所成角为， 则， 所以，即异面直线与所成角大小为，故A正确； 对于B：， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 因为 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以平面和平面有相同的法向量，故B正确； 对于C：在线段任取一点，在线段任取一点，链接 则可设， 因为， 所以， 则 当时，即为异面直线和的距离， 所以，则， 所以，故异面直线和的距离为，故C正确； 对于D：因为， 设面的一个法向量为， 则，取，则，，则， 所以， 又因为面与所成的二面角的平面角为钝角， 所以二面角的平面角的余弦值为，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，且，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】，,, ， . 故答案为：. 13. 如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，由向量共线定理可求得点坐标， 因为为钝角，而三点不共线，故，由此可解出的取值范围. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 设，，则， 故，所以， 则， 因为为钝角，而三点不共线， 故， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知函数的最小值是，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】求导，令，再求导，从而可确定的单调性，由即可得的单调性，从而确定的最小值点，从而可求实数的值. 【详解】因为，所以， 令，则恒成立， 所以函数在上单调递增，即在上单调递增， 又， 则时，，函数单调递减，时，，函数单调递增， 故函数的最小值是，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，． （1）若，求； （2）若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标运算求出的值，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出； （2）根据三个向量不能构成空间的一个基底可知这三个向量共面，利用向量共面的性质列出方程求解的值. 【小问1详解】 已知，，可得,解得. 所以，则. 根据向量模的计算公式可得. 【小问2详解】 已知，，, 先求出. 因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面. 即存在实数，使得，则. 由此可得方程组.由可得，将其代入中，得到，解得. 把代入，可得. 再把，代入， 可得，解得. 16. 设函数，． （1）若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值：（其中e为自然对数的底数）； （2）在（1）的条件下求的极大值； （3）若在上存在减区间，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，结合两直线垂直斜率之积为来求解的值； （2）在（1）的基础上，通过求导判断函数的单调性，进而求出极大值； （3）根据函数存在减区间，等价于其导数小于零在某区间上有解，从而求出的取值范围. 【小问1详解】 由，可得. 曲线在点处的切线斜率为. 将直线，化为斜截式，其斜率为. 因为曲线在点处的切线与直线垂直，根据两直线垂直斜率之积为，可得. 化简方程，解得. 【小问2详解】 由（1）知，则，. 令，即，因为，所以，解得. 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 所以在处取得极大值，. 【小问3详解】 因为，对求导得. 因为在上存在减区间，所以在上有解， 即在上有解，等价于在上有解，也就是在上有解. 令，对求导得. 令，即，解得或（舍去）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值，. 所以. 17. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，为底面圆周上异于一点，且四边形是边长为2的正方形． （1）求证：平面； （2）若，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 因为为底面圆周上异于一点， 可得：, 又四边形是边长为2的正方形，得， 又平面， 所以平面，又在平面内， 所以，又为平面内两条相交直线， 所以平面， （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得到，即可求证； （2）建系，求得平面法向量代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，过点作垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以， 取的中点，连接，，， 则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以， 所以二面角的正弦值 18. 某区域为了更好地了解某行业一线工作人员工作强度，以便为岗位调优或社会招员提供参考，特从该行业一线工作人员中随机抽取了100名，计100名一线工作人员工作强度指数为，并以此为样本得到了如下图所示的表格： 工作强度指数 人数 10 81 9 名称 无压力工作者 轻压力工作者 重压力工作者 （1）称为在事件发生的条件下事件发生的似然比．现从样本中随机抽取1名工作人员，记事件为“该工作人员为有压力工作者（轻压力工作者和重压力工作者统称为有压力工作者）”，事件为“该工作人员为重压力工作者”，求事件发生的条件下事件发生的似然比； （2）若该区域所有某行业一线工作人员工作强度指数近似服从正态分布，且． ①若落在和落在内的概率相等，求的值； ②若从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数为，求的概率分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）①； ②的分布列为： 0 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）应用条件概率公式计算求解即可. （2）应用，由二项分布分别求出分布列及计算数学期望. 【小问1详解】 由题意得：，，，， 所以，， 所以. 所以事件发生的条件下事件发生的似然比为. 【小问2详解】 ①已知，且，落在和落在内的概率相等， 根据正态分布的对称性，. ②因为，所以从一线工作者中抽1人为轻压力工作者的概率为：. 所以从该区域某行业一线工作人员中随机地抽取3名，设这3名工作人员中轻压力工作者人数，即： 的可能取值为： 且，， ，. 所以的分布列为： 0 1 2 3 且. 19. 已知函数． （1）若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； （2）若，且有两个极值点，其中，问：是否存在实数，使得成立？若存在，请求出实数的取值范围，若不存在，试说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）转化问题为对于恒成立，进而结合基本不等式求解即可； （2）由题意可得，，，进而转化题设为，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 由，， 则， 因为函数在上单调递减， 所以对于恒成立， 则对于恒成立， 则对于恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，则， 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 令，得， 因为有两个极值点，其中，且， 则， 即，则，则， 则 ， 由， 则， 设，， 则， 则函数在上单调递增， 又，且时，， 则，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $