精品解析：广东省湛江市2025届高三下学期普通高考测试（二）数学试题

湛江市2025年普通高考测试（二） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量,满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ） 附：若，则． A. 228个 B. 456个 C. 1587个 D. 3174个 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知锐角三角形的内角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，动点P在直线上的射影为点Q，且．记P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ） A. C关于直线l对称 B. C上存在点，使得 C. 的最小值为 D. 若C与两条坐标轴的正半轴所围成的面积为S，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的离心率为，则_____________． 13. 4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种． 14. 将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则_____________，的前202项和为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍． （1）根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 （2）根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是正方形，平面为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，讨论的单调性． 18. 已知，若正项数列满足，则称为“上界m数列”． （1）若，判断数列是否为“上界1数列”，并说明理由； （2）若数列是“上界m数列”，求m的最小值； （3）若，且．证明：数列是“上界1数列”． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且． （1）求C的标准方程； （2）过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D． （i）求面积的最大值； （ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湛江市2025年普通高考测试（二） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意化简集合，即可求并集. 【详解】由题意可得：， 所以． 故选：A. 2. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，可得，结合导数的几何意义求切线方程. 【详解】由，得， 则， 所以曲线在点处的切线方程为． 故选：B. 3. 已知向量,满足，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算律及坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得． 故选：A. 4. 某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有（ ） 附：若，则． A. 228个 B. 456个 C. 1587个 D. 3174个 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布特殊区间的概率可求出结果. 【详解】由可知， 则， 故其中单果质量超过的草莓约有个． 故选：C. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数、函数的单调性以及函数的零点转化待求不等式，求解即得. 【详解】因为， 所以在上单调递增，且． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，且． 由，可得或，解得或． 即的解集为. 故选：B. 6. 已知抛物线与直线交于，两点，且线段中点的横坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法列方程可得解. 【详解】设，，则， 整理得， 因为线段中点的横坐标为， 所以线段中点的纵坐标为，则， 从而可得， 故选：D. 7. 若函数在上单调递增，则当取得最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根辅助角公式和正弦函数最值求解即可. 【详解】， 其中,且为锐角， 因为在上单调递增，且， 所以，则的最大值为， 此时． 故选：D. 8. 已知正方体的棱长为，以顶点A为球心，为半径的球的球面与正方体的表面的交线总长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据长度关系分析可知球面与表面没有公共点，且与表面，的交线都是圆心角为，半径为2的圆弧，即可得结果. 【详解】因为正方体的棱长为，则表面上的点到点A的最大距离为， 所以以顶点A为球心，为半径的球的球面与这三个表面没有公共点． 如图，若球面与表面的公共点为P， 因为，则， 由，可得，同理可得，则， 可知P的运动轨迹是以D为圆心，2为半径的圆与表面的交线都是圆心角为，半径为2的圆弧， 同理可得球面与表面的交线也都是圆心角为，半径为2的圆弧， 所以交线总长为． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，则下列复数为纯虚数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的运算结合共轭复数的定义运算求解. 【详解】因为， 则，． 为纯虚数的是，，. 故选：BCD． 10. 已知锐角三角形的内角分别为，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角形内角范围，结合三角函数单调性分别判断各选项. 【详解】因为为锐角三角形，所以， 则，从而,A选项正确； 由，得， 则，则，B选项错误； 由，可得， 则当时，，C选项错误； 由，得， 则，从而，D选项正确； 故选：AD. 11. 在平面直角坐标系中，动点P在直线上的射影为点Q，且．记P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（ ） A. C关于直线l对称 B. C上存在点，使得 C. 的最小值为 D. 若C与两条坐标轴的正半轴所围成的面积为S，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，设通过，得到轨迹方程即可判断，对于B，由即可判断，对于C，由可判断，对于D，记C在第一象限内的部分为曲线D，设为D上任意一点，则，得到+，再通过假设，推出得到矛盾，进而可判断. 【详解】设，则．由， 得，即．关于l对称的点为， 也满足方程，故C关于直线l对称，A正确． 显然点在C上，且满足，B正确． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，整理得， 从而，C不正确． 记C在第一象限内的部分为曲线D，设为D上任意一点，则， 由，得，即， 故点B在直线的上方或在的下方（不重合）， 从而． 假设，则由，可得， 则，则，则，这与假设矛盾， 故D在直线的上方，从而，故，D正确． 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知双曲线的离心率为，则_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用双曲线方程中的关系结合离心率，列式计算即可求得的值. 【详解】由双曲线，得，所以 双曲线C的离心率为， 所以，解得 故答案为：. 13. 4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种． 【答案】408 【解析】 【分析】先排医生，分两类，医生甲不站在医生的最左端和医生甲站在医生的最左端，再将2名护士插空，即可求解. 【详解】若医生甲不站在医生的最左端则有种不同的站法， 若医生甲站在医生的最左端，则有种不同的站法，故不同的站法共有种． 故答案为：408. 14. 将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则_____________，的前202项和为_____________． 【答案】 ①. 14 ②. 49609 【解析】 【分析】与的公共项为，去掉它们的公共项后，得到，两个相邻的公共项之间有5项，其和可以构成等差数列，利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】与的公共项为，去掉它们的公共项后， 剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…， 所以， 且每两个相邻的公共项之间有5项，分别求和， ，， ，…， 可以看到这5项的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列． 因为， 所以的前202项和为． 故答案为：14，49609. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为了研究观众对某档节目的喜爱情况与性别的关联性，分别调查了该档节目男、女观众各100人，发现共有70名观众喜爱该档节目，且不喜爱该档节目的女性观众数是喜爱该档节目的男性观众数的2倍． （1）根据题中信息，完成下面列联表； 单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 女 合计 （2）根据（1）中的列联表，依据的独立性检验，能否认为观众对该档节目的喜爱情况与性别有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 30 70 100 女 40 60 100 合计 70 130 200 （2）认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关 【解析】 【分析】（1）利用分类统计，即可得到二阶列联表； （2）利用独立性检验的计算步骤即可求解. 【小问1详解】 设喜爱该档节目的男性观众数为x，则喜爱该档节目的女性观众数为，不喜爱该档节目的女性观众数为， 则，得． 故列联表完成如下． 单位：人 性别 喜爱情况 合计 喜爱 不喜爱 男 30 70 100 女 40 60 100 合计 70 130 200 【小问2详解】零假设为：观众对该档节目的喜爱情况与性别无关． 根据（1）中列联表的数据，计算得到． 根据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为观众对该档节目的喜爱情况与性别无关． 16. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是正方形，平面为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接，记的中点为G，连接． 因为平面，所以． 由是正三角形，四边形是正方形，F为的中点， 易得，则． 因为G是的中点，所以． 又，所以． 因为，平面， 所以平面， 从而． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，记的中点为G，连接，证明，，进而证明线面垂直，得到线线垂直；（2）记的中点为O，连接，以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，过点O且与平行的直线为z轴，求解法向量，得到线面的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 记的中点为O，连接，则． 以O为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，过点O且与平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 不妨令，则， ． 设平面的法向量为，由得 令，得，则． 设直线与平面所成的角为， 则． 故直线与平面所成的角正弦值为. 17. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，讨论的单调性． 【答案】（1）极大值，无极小值； （2） 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间． 【解析】 【分析】（1）利用导函数，根据函数在的单调性即可求出极值； （2）利用导函数，分类讨论在不同取值范围时，根据导数正负得出函数的单调性. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 则． 当时，单调递增；当时，单调递减． 故当时，取得极大值，无极小值． 【小问2详解】 由， 得． 令，得或． 若，则， 当时，单调递增；当时，单调递减． 若，则， 当和时，单调递减；当时，单调递增． 若，则在上恒成立，单调递减． 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，的单调递减区间为，无单调递增区间． 18. 已知，若正项数列满足，则称为“上界m数列”． （1）若，判断数列是否为“上界1数列”，并说明理由； （2）若数列是“上界m数列”，求m的最小值； （3）若，且．证明：数列是“上界1数列”． 【答案】（1）不是“上界1数列”，理由： 由题可知，， 因为，所以， 则，则，从而不是“上界1数列”． （2）2 （3） 因为，所以， ，则，从而． 要证数列是“上界1数列”，需证， 当时，由，得． 当时，由，得，则， 整理得， 则， 则，即． 因为，所以，则， 则，从而， 所以数列是“上界1数列”． 【解析】 【分析】（1）求出，再根据新定义判断即可； （2）根据为“上界m数列”的定义判断即可； （3）由已知可得，则再证明即可，当时成立，当时，由可得，由裂项相消法求和可得，可得，得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为， 又数列是“上界m数列”，所以恒成立． 又， 所以，即m的最小值为2． 【小问3详解】 略 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且． （1）求C的标准方程； （2）过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D． （i）求面积的最大值； （ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）为定值9 【解析】 【分析】（1）根据，得到，又，则，得到椭圆方程； （2）（i）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出点N的坐标，表达出三角形的面积，利用基本不等式求出最值； （ii）设外接圆的方程为．代入，可得，联立直线和外接圆方程，得到两根之和，两根之积，结合（i）可得方程，求出，求出，为定值． 【小问1详解】 由，整理得，则该圆是以为圆心，6为半径的圆． 因为P是圆上一点，线段与C交于点Q，且， 所以，即，解得． 由题可知，则，故C的标准方程为； 【小问2详解】 （i）当点的直线斜率不存在时，重合，此时不存在，不合要求， 当点的直线斜率为0时，重合，此时不存在，不合要求， 直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为． 联立整理得， 则， 则线段的中点N的坐标为． 设的面积为S，则． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即面积的最大值为． （ii）为定值9，理由如下： 设，显然为外接圆圆心， 故可设外接圆的方程为． 因为在外接圆上，所以，故， 故外接圆的方程为． 联立，整理得 ， 则． 因为， 故， 解得． 故，为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $