精品解析：福建省部分优质高中2024～2025学年高一下学期期中质量检测数学试题

2024~2025学年第二学期福建省部分优质高中高一年级期中质量检测 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即得. 【详解】由向量，得. 故选：D 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算化简可得，进而可得复数的模. 【详解】， 则， 故选：C. 3. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，，边长，，然后即可求三角形的周长． 【详解】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 4. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量计算公式，可得答案. 【详解】在上的投影向量. 故选：C. 5. 已知向量，则与向量方向相反单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据单位向量的定义求与向量方向相反的单位向量. 【详解】由题设，与向量方向相反的单位向量是. 故选：D 6. 如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量线性运算直接化简可得解. 【详解】由已知为线段上一点， 设，， 则， 又， 则， 所以， 则， 解得， 故选：D. 7. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为、，它的母线长为，则这个圆台的体积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出圆台的高，结合台体的体积公式可求得该圆台的体积. 【详解】取圆台的轴截面，则四边形为等腰梯形， 过点、在平面内分别作，，垂足分别为、， 如下图所示： 在梯形内，，，，则， 故四边形为矩形，所以，，， 在、中，，，， 所以，，所以，， 所以，， 因此，该圆台的体积为. 故选：D. 8. 在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，，根据题中条件确定点为球心，设球半径为，利用三棱锥的体积求出，最后利用球的体积公式求结论. 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为，，所以， 因此点就是三棱锥的外接球球心， 在平面内过点作，为垂足， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 设球半径为，则， 又，则， 因为，，， 所以， 所以， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球的体积为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的模、向量共线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误. B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确. C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确. D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误. 故选：BC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若非零向量满足，，则 B. C. 若为单位向量，则 D. 向量可以作为平面内的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理判断A、D，根据平面向量线性运算法则判断B，根据数量积的运算律判断C. 【详解】对于A：因为为非零向量，，所以存在非零实数，使得， 又，所以存在实数使得， 所以，所以，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为为单位向量，所以， 所以， ， 所以，故C正确； 对于D：因，所以，即， 所以向量不可以作为平面内的一个基底，故D错误. 故选：AC 11. 如图，在平面四边形中，为等边三角形，，为的中点，将沿折起，点至点的位置，使得，将沿折起，点至点的位置，此时四面体恰好为正四面体，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 为钝角 C. 平面 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用，，可判断A；由题意易得，可判断B；过点作平面于，连接，由题意易得平面，从而可得在平面内，设正面体的棱长为，可证是平行四边形，从而可证平面，可判断D，利用线面垂直可得面面垂直，进而可得平面，可判断D. 【详解】对于A，因为，为的中点，所以， 从而可得为，，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，因为四面体恰好为正四面体，所以，所以， 所以，所以，所以，故B错误； 对于C，过点作平面于，连接， 因为，易得，所以， 因为，是的中点，所以，所以在直线上， 又，，又，平面， 所以平面，所以，所以过有唯一平面， 设正面体的棱长为，则可得，， 在中，由余弦定理可得， 又是的中点，所以， 在中，由余弦定理可得， ， 又易得，又，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，所以平面，故C正确； 对于D，又平面，所以平面平面， 又平面平面，由选项C可知，又平面， 所以平面，又平面，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于_______． 【答案】## 【解析】 【分析】求得的共轭复数，再结合复数乘法运算，以及其结果是实数，即可列出方程，求得结果. 【详解】是实数，则，． 故答案为：. 13. 若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角为钝角的条件，借助数量积公式来确定实数的取值范围. 【详解】因为向量，，与的夹角为钝角， 所以且，即且， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 如图所示，，分别在平面和平面内，在与的交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为______. 【答案】 【解析】 【分析】在平面内过作且，根据二面角定义找到对应平面角，再由已知求角的大小即可. 【详解】如下图，在平面内过作且， 由，易知为矩形，连接， 由，则，又，且都在面内， 所以面，面，则， 由，，则， 由，，易知为二面角的平面角， 又，， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）与的夹角． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义及运算律先求出的值，再计算的值. （2）根据数量积的定义及运算律先算出和的值，再根据夹角公式计算即可. 【小问1详解】 因为，，且与的夹角为， 所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为， ， 所以， 因为， 所以与的夹角为. 16. 如图，在底面是矩形四棱锥中，底面，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据中位线可得∥，进而可得∥，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可得，，结合线面垂直的判定定理分析证明. 【小问1详解】 因为，、分别是、的中点，则∥， 又因为∥，则∥， 且平面，平面，所以∥平面. 【小问2详解】 因为底面，底面，则， 又因为为矩形，则， 且，平面，所以平面. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的值； （2）若为的中点，且，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，结合三角恒等变换得到； （2）根据中点得到，两边平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 则由，得， ， ， ， ； 【小问2详解】 为的中点， ， 又， ，① 由余弦定理得，，② 联立①②，解得， ， 的面积为. 18. 如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，利用勾股定理证明，结合可证线面垂直，进而可证面面垂直； （2）过点作，连接，由（1）可得，可证平面平面，所以即为直线与平面所成角，利用几何法可得正弦值. 【小问1详解】 如图所示，取中点，连接，， 由四边形为菱形，且， 得，， 又， ， ， ，， 又，且，平面， 平面， 平面， 平面平面. 【小问2详解】 如图所示，过点作，垂足，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，，平面， ∴平面. ∵平面, ，. 又，平面，且， 平面. ∵平面， 平面平面， 所以即为直线与平面所成角， 又，， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 19. 在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足. （1）求证：； （2）当平面平面时， ①求点到平面的距离； ②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，，根据线面垂直的判定定理证明平面，据此即可证明； （2）①过点作于，连，，令，在中利用勾股定理求出，据此即可求出点到平面的距离； ②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接，据此即可求解. 【小问1详解】 连接，， ，为的中点，， ，为的中点，， 平面， 又平面，； 【小问2详解】 ①过点作于，连，， 平面平面，， 平面，令， ， ，， 则，，， 平面，， 在中，由，得，， ，故点到平面的距离为； ②记平面与平面的夹角为，作交于点，连接， ，， 是的中位线，， ，， ，， ，， ，所以平面为平面与平面的公共垂面， 故，在中，，， 可求得，又，， 则. 【点睛】关键点点睛：本题（2）①关键在于令，在中利用勾股定理求出. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第二学期福建省部分优质高中高一年级期中质量检测 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟；总分：150分） 友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则（ ） A B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，则与向量方向相反单位向量是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为、，它的母线长为，则这个圆台的体积为 （ ） A. B. C. D. 8. 在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若非零向量满足，，则 B. C. 若单位向量，则 D. 向量可以作为平面内的一个基底 11. 如图，在平面四边形中，为等边三角形，，为的中点，将沿折起，点至点的位置，使得，将沿折起，点至点的位置，此时四面体恰好为正四面体，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 为钝角 C 平面 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于_______． 13. 若向量，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_________ 14. 如图所示，，分别在平面和平面内，在与交线上取线段，，，，，，则二面角的大小为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）与的夹角． 16. 如图，在底面是矩形的四棱锥中，底面，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的值； （2）若为的中点，且，，求的面积. 18. 如图，在斜三棱柱中，侧面是菱形，，在平面中，，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 在三棱锥中，，，，，的中点为，点在线段上，且满足. （1）求证：； （2）当平面平面时， ①求点到平面的距离； ②若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$