拓展8-1 立体几何的夹角、距离问题-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

拓展8-1 立体几何的夹角、距离问题 一、求异面直线的夹角 六、已知二面角求其它 二、已知异面直线的夹角求其他 七、等体积法求点面距离 三、求线面夹角 八、折叠问题中的夹角和距离 四、已知线面夹角求其它 九、夹角的最值范围问题 五、求二面角 一、求异面直线的夹角 方法点拨：异面直线所成的夹角的步骤： ①选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线; ②证明所作的角是异面直线所成的角；③在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之; ④因为异面直线所成角的取值范围是,故所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 【例1】如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（    ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【答案】C 【详解】连接,因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，即或其补角是异面直线与所成的角. 在正方体中，即是等边三角形，所以. 故选：C 【例2】如图为正方体切去一个三棱锥后得到的几何体，若点为底面的中心，则直线与平面的位置关系是 ，与的夹角为 ． 【答案】 平行 【详解】如图，将其补成正方体，设和交于点，连接， 依题意可知，且， 即四边形为平行四边形，则． 因为平面，平面， 所以直线平面． 为与的夹角， ，即为等边三角形， ，故. 故答案为：平行；. 【变式1-1】如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取的中点，连接，由E为CD的中点，得，， 则是异面直线CM与AE所成的角或其补角， 正方形中，，在中，， ，， 于是， 所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为. 故选：D 【变式1-2】已知空间四边形中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为的中点，连接，，又、分别是、的中点， 所以、分别为、的中线， 所以且，且， 所以与所成的角即为与所成的角， 又，所以，所以为直角三角形，且， 所以，所以， 即与所成的角为. 故选：C 【点睛】方法点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 【变式1-3】如图，为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接与交于点，连接． 显然为的中点，所以． 又因为平面平面，所以平面． （2）由（1）可知即为直线与所成角， 在中, , 由余弦定理得． 二、已知异面直线的夹角求其他 【例3】在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得：正方体中，易得， 要使直线与直线所成角的大小为， 只需与直线所成角的大小为， 所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 所以,即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 故线段扫过的面积的大小为. 故选：A. 【例4】正方体的棱长为4，点是棱上一点（不包括端点），若异面直线与所成角的余弦值为，求的长． 【答案】1 【详解】将原正方体的一侧补上另一个正方体变为如图所示的长方体. 在上取点使，连接，则易得， 所以即为异面直线与所成的角(或其补角). 设，则，， ， 又，， 则，所以为锐角， 所以，解得， 所以. 【变式2-1】已知在正四棱台中，．若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为 ． 【答案】 【详解】如图，在正四棱台中，， 所以为异面直线与所成角，又， 所以，且，所以． 连接，过点作交于点，过点作交于点， 则平面且， 所以，则， 即正四棱台的高， 所以棱台的体积． 故答案为： 【变式2-2】如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【答案】5 【详解】取中点，连接，， 又因为，，，分别为，的中点， 所以且，且， 则为异面直线与所成的角（或补角）， 又因为异面直线与所成的角为， 所以， 所以，所以， 故答案为：5 【变式2-3】如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，. (1)若点为的中点，证明：； (2)当时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）设，取中点，连接，， 为等边三角形，为中点， ， 在中，为中点，， 在中，， ， 在中，， . （2）设，取中点，连接，， 取中点，连接，由（1）得，， 在中，为中点， 且， 故异面直线与所成角为与所成的角， 在中，, , 在中，， 故异面直线与所成角的余弦值为. （3）设,， 异面直线与所成角的余弦值为 由（2）可知， ，故， 在中，， ，故. 三、求线面夹角 方法点拨：求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. 【例5】三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B. 【例6】如图，在正方体中． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 【答案】(1)证明见解析； (2)直线与平面所成的角为. 【详解】（1）连接， 由正方体性质可得，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）连接交与点， 因为四边形为正方形，所以， 由已知平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以平面，即平面， 所以为直线与平面所成的角， 设，则，， 在中，，，， 所以，又， 所以. 所以直线与平面所成的角为. 【变式3-1】如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.则DC与平面ABC所成线面角大小为 . 【答案】 【详解】 因为平面平面ABC，且平面平面ABC， 所以，过点作于，且面， 所以平面ABC，则为DC与平面ABC所成的线面角， 过作于，连接， 由面，故，而且都在面内， 所以面，面，则， 在中，， 在中，， 在中，， 所以，即， 解得， 所以，即DC与平面ABC所成线面角大小为. 故答案为： 【变式3-2】如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，. (1)求证：; (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由多面体的定义知，四点共面，四点共面， 因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，且平面平面=，所以. （2）取的中点，连接，则， 由（1）知，所以，又因为，所以四边形是平行四边形， 得到，且，在中，， 又，得，所以， 在中，，，，所以， 所以，即， 又因为四边形是正方形，所以， 又，平面，平面， 所以平面. （3）连接，与相交于点，则点是的中点， 取的中点，连接，，则，， 由（1）知，且，所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以，且， 由（1）知平面，又平面， 所以，又因为，平面，平面， 所以平面，故平面， 又平面，所以，                                          又因为，平面，平面， 所以平面，故是直线与平面所成的角， 在中，，所以直线与平面所成角的正切值为. 【变式3-3】如图，在四棱锥中，四边形是矩形，.    (1)证明：； (2)若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）因为，，平面， 可得平面，且平面，所以. （2）因为，，则， 由（1）可知：平面，可知三棱锥的高为， 则三棱锥的体积，解得， 设到平面的距离为，则， 因为，则，解得， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 四、已知线面夹角求其它 【例7】已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】过C作于H，连结，则，.    在和中，，. 又在中有，即，得. 即C到平面的距离为1. 故选：C. 【例8】在三棱锥中，，，．    (1)求证：； (2)若点在棱上，当直线与平面所形成的角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取的中点，连接，． ∵，为的中点． ∴， ∵，为的中点． ∴，又，平面， ∴平面，而平面， ∴.    （2）因为，，， 所以，所以，又，， 平面，所以平面， 又，所以， 又， 由图可知二面角为钝二面角， 过点作平面交于点（、在两侧），连接、、， 则即为直线与平面所成的角， 又，所以，所以， 又直线与平面所形成的角的正弦值为， 所以，则， 在中由余弦定理可得， 又在中由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以，所以.    【变式4-1】如图，长方体中，，与底面所成的角为，则异面直线与所成角的大小为 ． 【答案】arccos 【详解】如图，连接， 因为平面，所以为与平面所成的角，即， 所以，因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，为异面直线与所成的角， 因为，， 所以，所以. 故答案为： 【变式4-2】如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 .    【答案】/ 【详解】    连接， 因为底面，，底面， 所以，， 又，所以， 又，，，平面， 所以平面， 所以直线与侧面所成的角为，即， 所以， 所以在中，， 该三棱柱的侧面积为. 故答案为：. 【变式4-3】已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．    (1)平面平面，证明：． (2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为平面平面， 所以平面，平面， 又因为平面平面，所以． （2）过点作的垂线，垂足为，则， 因为平面，所以平面， 所以直线与平面的夹角为， 又，设， 则， 所以，所以， 所以M为CD中点，E为PC中点，    因为平面，所以平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以点到平面的距离为， 故 五、求二面角 方法点拨： 1.利用二面角的平面角的定义：在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法； 2.利用垂线法求二面角的平面角的方法:过已知二面角的一个面内一点作另一个面的垂线,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线,连接,则即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目 【例9】如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 【答案】(1)90° (2)45°． 【详解】（1）平面，面， ，， 为二面角的平面角． 四边形是正方形，， 二面角平面角的度数为90°． （2）平面，面， ，． 为二面角的平面角． 四边形为正方形，． 即二面角平面角的度数为45°． 【例10】如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接． 因为是的中点，所以． 分因为，且，所以四边形是正方形， 则． 因为平面，且， 所以平面． （2）解： 作，垂足为，连接. 由（1）可知平面．又平面，所以． 因为平面，且，所以平面． 因为平面，所以，则是二面角的平面角． 记，连接，则是的中点． 因为，且是的中点，所以． 因为平面，且平面，所以． 连接．因为平面，且，所以平面， 则四棱锥为正四棱锥，故． 因为的面积， 即， 所以． 同理可得． 在中，由余弦定理可得， 则，即二面角的正弦值为 【变式5-1】正方体中，二面角的正切值为 . 【答案】 【详解】连接与相交于点，连接，设正方体的棱长为，   ，，为中点， ， 为二面角的平面角， ，，， ， ， ， 二面角的正切值为 故答案为：. 【变式5-2】如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为是一条母线，所以平面，而平面，则， 因为是底面一条直径，C是的中点，所以，即， 又平面且， 所以平面，而平面，则平面平面. （2）设，则，. 取的中点，则，， 作，垂足于，则，即， 进而，所以. 因为分别是的中点，连接， 所以，又，. 由，可知，是二面角的平面角. 所以. 故二面角的余弦值为. 【变式5-3】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个不同的动点.    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)二面角的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)是，，理由见解析 【详解】（1）直线EF就是直线， 根据正方体的性质知， ∵平面，平面， ∴平面； （2）根据正方体的性质得， ∵，平面，∴平面， ∵平面， ∴； （3）平面就是平面，平面就是平面， ∵平面与平面固定， ∴二面角的大小是定值， 设，，    ∵，是的中点，∴， 根据正方体的性质可知，， ∴里二面角的平面角， 在直角中，， ∴. ∴二面角的余弦值为. 六、已知二面角求其它 【例11】如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】由二面角的平面角的定义知,, 由,,得,,, , 所以,即． 故选：A． 【例12】如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若，求二面角； (3)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. （2）如图，取，中点，连接， 因为底面为矩形，侧面是正三角形， 所以，且且都在面， 所以平面，又，所以平面，面， 所以，所以就是二面角的平面角， 由（1）知平面，因为，所以平面， 面，则，在直角三角形中，， 又正三角形，，则，所以， 所以，即二面角为. （3）如图，在平面内，过点作，垂足为，则， 由侧面底面，交线为，面，得底面， 底面，则， 过作，垂足为，连接， ，平面，则平面， 而平面，因此， 则即为二面角的平面角，其大小为， 在中，，则， 由，得四边形为平行四边形，则， 由，得（或其补角）为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为. 【变式6-1】一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上100米后，升高了 米． 【答案】 【详解】如图，CD表示斜坡上的直道，AB表示坡脚水平线， 由题意知CD＝100米，作DH⊥过BC的水平面，垂足为H，线段DH的长度就是所求的高度， 在平面DBC内，过点D作，连接GH， ∵平面BCH，平面BCH， ∴，又，平面DGH， ∴平面DGH，又平面DGH， ∴， ∴为坡面DGC与水平面BCH所成二面角的平面角，则， 依题意，,则, 故（米）， 故答案为： 【变式6-2】如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2）如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 【变式6-3】如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，点D，E分别为棱BC，上的点，且 ，二面角的大小为，求实数的值．    【答案】 【详解】 在平面ABC内，过点作AD的垂线，垂足为，连接，    直三棱柱中，平面，平面，， 又，，平面，平面， 平面，， 则为二面角的平面角，即． 设，则在直角三角形中，，所以， 在直角三角形CHA中，，，所以， 又为锐角，所以且，所以点在线段AD的延长线上． ， ，所以． 七、等体积法求点面距离 方法点拨：一般用等体积法，通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离 【例13】已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】因平面，则为三棱锥的高， 则， 由平面，平面，则， 在直角中，，同理， 则等腰的底边上的高为，则, 设点C到平面的距离为，则， 得 故答案为：. 【例14】如图，线段是圆的直径，点是圆上异于的点，底面是上的动点，且是的中点. (1)若时，记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明； (2)若平面与平面所成的角为，点到平面的距离是，求的值. 【答案】(1)直线平面，证明见解析 (2) 【详解】（1）直线平面. 证明：当时，是的中点，又因为是的中点， 所以，又平面，且平面，所以平面.又平面，且平面平面， 所以. 又因为平面，平面， 所以直线平面. （2）因为是圆的直径，所以. 由勾股定理得，因为平面，平面， 所以.又，平面， 所以平面，而平面，故， 故就是二面角的平面角，所以， 所以为等腰直角三角形，且. 以点为坐标原点，所在直线分别为轴过且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ， 设平面的一个法向量为， 则所以， 令，则，得， 所以， 所以点到平面的距，所以. 【变式7-1】正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为 【答案】/ 【详解】取的中点，连接，则⊥， 过点作⊥平面，垂足为，即为点A到平面的距离， 则点在上，且为等边三角形的中心， 因为正四面体的棱长为1，则， 由勾股定理得，则， 因为，由勾股定理得， 则点A到平面的距离为. 故答案为： 【变式7-2】已知在长方体中，棱，．求： (1)点到平面的距离； (2)到平面的距离． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）如图，过点作于点． 由题意知平面，且平面，． 平面，平面，线段的长即为所求． 在中，， 点到平面的距离为． （2），且平面，平面， 平面．点到平面的距离即为所求， 直线到平面的距离为． 【变式7-3】如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）由O是的交点，又为正方形，则O为的中点，又D是中点， 在中，又面面，故平面. （2）三棱柱中，，且， 易知是等腰直角三角形，点D是棱的中点， 所以， 四边形为正方形，，则， 又，而，且，则， 由在面内，则面，面， 所以，而，在面内， 则面，面，故，所以， 由，则，又， 若到平面的距离为d，则，可得. 八、折叠问题中的夹角和距离 【例15】如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为60°，则折叠后二面角的正切值为（    ）． A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由条件可知，取的中点，连结，， ，， ，， 是二面角的平面角， ，， 是等边三角形，， 故选：C 【例16】在矩形ABCD中，，，沿BD折叠后C点在平面ABD上的射影M恰好落在AD上，如图所示． (1)求证： (2)求CD与平面ABD所成角的余弦值 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）证明：如图，由题得平面, 因为平面，所以. 又, 平面， 所以平面又平面 所以. （2）解：因为平面, 所以就是CD与平面ABD所成角. （1）中已证平面又平面 所以,所以. 所以. 所以. 所以CD与平面ABD所成角的余弦值为. 【变式8-1】（多选）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（    ）    A． B．平面平面 C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为 【答案】ABD 【详解】对于A，因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面，所以，A正确. 对于B，因为，平面，平面， 则平面， 又，平面，平面， 则平面， 又，平面，所以平面平面，B正确. 对于C，因为，，则， 所以多面体不是三棱台，C错误. 对于D，延长，相交于点G， 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，则为直线与平面所成的角. 因为，所以， 解得，，， 则，D正确.    故选：ABD 【变式8-2】如图（1）梯形中，，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面，与和交于O，点P在上，且，R是的中点，过O、P、R三点的平面交于Q．在图（2）中： (1)证明：Q是的中点； (2)M是上一点，已知二面角的正切值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图（1）：因为，，，，且， 所以，，. 图（2）中： 在中，，，所以， 又平面，平面，所以平面， 平面，平面平面，所以， 在中，为中点，所以为中点. （2）如图： 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 作于，则平面，作于，连， 则为二面角的平面角. 设， 因为. 因为为等腰直角三角形，所以. 又. 在直角中，. 即. 【点睛】关键点点睛：问题的关键是构造二面角的平面角.因为平面平面，作于，则平面，再作于，连， 则为二面角的平面角. 【变式8-3】如图1，在平面四边形中，．将沿折叠至处．使平面平面（如图2），分别为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）由题意， 所以是等边三角形， 所以， 从而，即， 又因为为的中点， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）因为分别为的中点，所以，， 由（1）可知平面，所以平面， 即平面，是三棱锥的高， 又分别为的中点， 所以， 所以， 因为，，所以， 又因为为的中点，所以， 所以， 因为平面，平面， 所以，所以， 又因为为的中点，，所以， 所以， 所以， 从而， 设点到平面的距离为，则由， 可得，解得， 即点到平面的距离为. 九、夹角的最值范围问题 【例17】在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连接.设正方体的棱长为， 则在中，为线段的中点，为的中点， 所以为的中位线，所以. 又因为平面，所以平面， 则与平面所成的角为，则. 由，得， 所以要使与平面所成角的正弦值最小，则最小， 可知当与点重合时，最大，此时， 所以. 故选：A    【例18】如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【详解】（1）平面平面，交线为，又，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 因为，，平面， 故⊥平面； （2），，， 由勾股定理得， 平面，平面， 所以， 因为，，由勾股定理得， 过点作⊥于点，则， 故， 过点作⊥，交于点，连接， 故即为二面角的平面角， 由勾股定理得， 又， 由余弦定理得，故， 在Rt中，，即，解得， 故， 在Rt中，， 由余弦定理得， 故， 在中，由余弦定理得， 故二面角的余弦值为； （3）连接，因为，，所以， 又，⊥，由勾股定理得， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为， 则， 要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可， ， 由（1）得平面，故， 设，则，， 故， 在中，由余弦定理得 ， 故， 则， 因为，所以， 故， 当时，取得最小值，最小值为， 故直线与平面所成角的正弦值的最小值为. 【点睛】方法点睛：立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 【变式9-1】如图，在边长为4的正方体中，为的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时， .设点和满足条件的所有点构成的平面图形为，则直线与平面所成角正弦值的取值范围是 . 【答案】 6 【详解】取的中点分别为，连结， 由于，所以四点共面，且四边形为梯形， 连接，在正方体中， ，， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，所以 所以故，又， 又平面，所以平面， 又平面，所以 又平面，所以平面， 因为点在正方体表面上移动，所以点的运动轨迹为梯形， 如图所示：因为正方体的边长为， 所以当点在上时，点为的中点，， 在中，,， 所以，由，设到平面的距离为， 则，所以， 而到平面的边的距离最小值为，最大值为. 设与平面夹角为，则当到平面的边的距离最小值为， 此时线面角的最大值为， 当到平面的边的距离最大值为， 此时线面角的最小值为，即. 所以与平面夹角的正弦值范围为. 故答案为： 【变式9-2】如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是线段的中点，点在平面内的射影为点.    (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，，. ①若，请在图中作出三棱柱过三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)①截面图见解析，面积为；② 【详解】（1）如图所示，连接， 由题意可知面ABC，四边形是菱形， ∵面， ∴， 又∵D是AC中点，是正三角形， ∴， 又面， ∴面， ∵面，∴， 在菱形中，有， 而D，E分别是线段的中点，则，∴， ∵面， ∴面；    （2）①取的中点，取的中点，连接， 则且， 又且，∴且， ∴四边形是平行四边形，∴且， ∵分别为的中点，∴且， ∴， ∴过三点的截面即为四边形，   平面，平面，， 故截面为直角梯形， 又底面是边长为4的等边三角形且， ， ， ∴截面面积为； ②过作交于，连接，则， 平面，平面，， 故二面角的平面角即为， G为棱上一点，且，， ，， ， ， ， 令， ， 由双勾函数的性质可得在上单调递减， ∴，∴ ， 故二面角的取值范围.    【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法： （1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有： ①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质； （2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角. 【变式9-3】正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． (1)求证：： (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)不存在，使得能取得最大值，理由见解析 【详解】（1）由于平面， 故平面， 又平面， 所以 （2）过作于，连接, 由（1）知,平面， 所以平面，平面， 故， 因此即为二面角的平面角， ，则为中点， ， 由等面积法可得,解得， 在中，， 故二面角的正弦值为. （3）设点到平面的距离为， 由于，所以，， 则， 因此， 所以， ， 由等体积法可得,所以， 由于直线PM与平面AMN所成角为，则， ，令，则， 故，当且仅当时取等号，此时，这与矛盾，故不存在，使得能取得最大值， 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展8-1 立体几何的夹角、距离问题 一、求异面直线的夹角 六、已知二面角求其它 二、已知异面直线的夹角求其他 七、等体积法求点面距离 三、求线面夹角 八、折叠问题中的夹角和距离 四、已知线面夹角求其它 九、夹角的最值范围问题 五、求二面角 一、求异面直线的夹角 方法点拨：异面直线所成的夹角的步骤： ①选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线; ②证明所作的角是异面直线所成的角；③在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之; ④因为异面直线所成角的取值范围是,故所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。 【例1】如图，在正方形中，异面直线与所成的角是（    ） A．120° B．90° C．60° D．30° 【例2】如图为正方体切去一个三棱锥后得到的几何体，若点为底面的中心，则直线与平面的位置关系是 ，与的夹角为 ． 【变式1-1】如图，已知四棱锥，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知空间四边形中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与所成角的余弦值． 二、已知异面直线的夹角求其他 【例3】在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 【例4】正方体的棱长为4，点是棱上一点（不包括端点），若异面直线与所成角的余弦值为，求的长． 【变式2-1】已知在正四棱台中，．若异面直线与所成角的余弦值为，则正四棱台的体积为 ． 【变式2-2】如图，在四面体中，，，、分别为、中点，并且异面直线与所成的角为，则的长为 ． 【变式2-3】如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，. (1)若点为的中点，证明：； (2)当时，求异面直线与所成角的余弦值； (3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值. 三、求线面夹角 方法点拨：求直线和平面所成角的步骤:①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;③把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角. 【例5】三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（   ） A． B． C． D． 【例6】如图，在正方体中． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角． 【变式3-1】如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.则DC与平面ABC所成线面角大小为 . 【变式3-2】如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，，，. (1)求证：; (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正切值. 【变式3-3】如图，在四棱锥中，四边形是矩形，.    (1)证明：； (2)若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 四、已知线面夹角求其它 【例7】已知的直角顶点在平面外，与平面所成的角分别为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D．2 【例8】在三棱锥中，，，．    (1)求证：； (2)若点在棱上，当直线与平面所形成的角的正弦值为时，求的值． 【变式4-1】如图，长方体中，，与底面所成的角为，则异面直线与所成角的大小为 ． 【变式4-2】如图所示，在三棱柱中，底面，，，直线与侧面所成的角为，则该三棱柱的侧面积为 .    【变式4-3】已知四棱锥，底面为菱形，平面，，，为上一点．    (1)平面平面，证明：． (2)当直线与平面的夹角为时，求三棱锥的体积． 五、求二面角 方法点拨： 1.利用二面角的平面角的定义：在二面角的棱上取一点(特殊点),过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线,两射线所成的角就是二面角的平面角.一般地,所涉及的二面角的棱是等腰三角形或正三角形的底边或菱形的对角线以及所求二面角的两个面是全等的三角形等常用此法； 2.利用垂线法求二面角的平面角的方法:过已知二面角的一个面内一点作另一个面的垂线,在另一个面内过垂足作二面角的棱的垂线,连接,则即为二面角的平面角或其补角.此种方法通用于求二面角的所有题目 【例9】如图，已知四边形是正方形，平面．求： (1)二面角平面角的度数； (2)二面角平面角的度数． 【例10】如图，在四棱锥中，底面四边形是直角梯形，是的中点，． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的正弦值． 【变式5-1】正方体中，二面角的正切值为 . 【变式5-2】如图，圆柱中，是一条母线，是底面一条直径，C是的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求二面角的余弦值. 【变式5-3】如图，正方体的棱长为1，线段上有两个不同的动点.    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)二面角的大小是否为定值，若是，求出其余弦值，说明理由. 六、已知二面角求其它 【例11】如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（    ） A．4 B． C． D． 【例12】如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，. (1)证明：平面； (2)若，求二面角； (3)若二面角为，求异面直线与所成角的正切值． 【变式6-1】一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成角，沿这条直道向上100米后，升高了 米． 【变式6-2】如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； (2)若，且二面角的正弦值为，求． 【变式6-3】如图，在直三棱柱中，是以BC为斜边的等腰直角三角形，，点D，E分别为棱BC，上的点，且 ，二面角的大小为，求实数的值．    七、等体积法求点面距离 方法点拨：一般用等体积法，通过点面所在的三棱锥，利用体积相等求出对应的点线距离 【例13】已知等边边长为2，平面，且，则点C到平面的距离为 ． 【例14】如图，线段是圆的直径，点是圆上异于的点，底面是上的动点，且是的中点. (1)若时，记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明； (2)若平面与平面所成的角为，点到平面的距离是，求的值. 【变式7-1】正四面体的棱长为1，则点A到平面的距离为 【变式7-2】已知在长方体中，棱，．求： (1)点到平面的距离； (2)到平面的距离． 【变式7-3】如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点D是棱的中点，点O为与交点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 八、折叠问题中的夹角和距离 【例15】如图所示，等边三角形的边长为4，为的中点，沿把折叠到处，使二面角为60°，则折叠后二面角的正切值为（    ）． A． B． C．2 D． 【例16】在矩形ABCD中，，，沿BD折叠后C点在平面ABD上的射影M恰好落在AD上，如图所示． (1)求证： (2)求CD与平面ABD所成角的余弦值 【变式8-1】（多选）如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（    ）    A． B．平面平面 C．多面体为三棱台 D．直线与平面所成的角为 【变式8-2】如图（1）梯形中，，，，，且，将梯形沿BE折叠得到图②，使平面平面，与和交于O，点P在上，且，R是的中点，过O、P、R三点的平面交于Q．在图（2）中： (1)证明：Q是的中点； (2)M是上一点，已知二面角的正切值为，求的值． 【变式8-3】如图1，在平面四边形中，．将沿折叠至处．使平面平面（如图2），分别为的中点． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 九、夹角的最值范围问题 【例17】在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则与平面所成角的正弦值的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例18】如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，． (1)证明：平面； (2)若，求二面角的余弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值的最小值． 【变式9-1】如图，在边长为4的正方体中，为的中点，点在正方体的表面上移动，且满足，当在上时， .设点和满足条件的所有点构成的平面图形为，则直线与平面所成角正弦值的取值范围是 . 【变式9-2】如图，在三棱柱中，底面是边长为4的等边三角形，，分别是线段的中点，点在平面内的射影为点.    (1)求证：平面； (2)设为棱上一点，，. ①若，请在图中作出三棱柱过三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角的取值范围. 【变式9-3】正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． (1)求证：： (2)当时，求二面角的正弦值； (3)设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$