拓展8.2 外接球与内切球问题-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

拓展8-2 外接球与内切球问题 一、长方体及墙角模型 六、面面垂直模型 二、对棱相等及共斜边模型 七、二面角模型 三、柱体模型 八、台体模型 四、线面垂直模型 九、内切球模型 五、高过球心模型 一、长方体及墙角模型 方法点拨：①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 ②墙角模型 模型1：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 模型2：有一侧棱垂直于底面，底面为直角三角形的三棱锥 模型1： 模型2： 1．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为、、，则此球的直径为 3．在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，面，四边形是边长为的正方形．若，求的面积．（   ） A． B． C． D． 5．在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 二、对棱相等及共斜边模型 方法点拨：若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 6．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为 . 7．如图，在四面体中，，，则四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 9．三棱锥中，，，，那么该三棱锥外接球的表面积是 ． 10．在四面体中，，，，则四面体外接球的体积为 ． 三、柱体模型 方法点拨：柱体模型：外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径） 11．已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 12．已知正三棱柱底面边长为，侧棱长为1，则该正三棱柱外接球体积为（    ） A．3π B． C． D． 13．已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 14．某灯笼厂的员工用一条长度为的木条设计了一个正六棱柱型的灯笼框架（木条无剩余），则当正六棱柱的外接球的表面积取最小值时，该正六棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 15．一个圆柱的外接球的体积为，该圆柱的轴截面是一个正方形，则该圆柱的底面面积为 ． 四、线面垂直模型 方法点拨：线面垂直模型：一般可补成柱体模型进行求解 16．已知三棱锥内接于半径的球，平面ABC，，，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 17．三棱锥P−ABC的各顶点都在同一球面上，底面ABC，若，，且，则下列说法正确的是（ ） A．是钝角三角形 B．此球的表面积等于6π C．平面PAC D．三棱锥A−PBC的体积为 18．已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 19．在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 20．在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于 ． 五、高过球心模型 方法点拨：高过球心模型的代表是正锥体模型： 解题步骤：①取底面的外心，则三点共线；②先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高；③在利用勾股定理：，解出. 21．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为 . 23．已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 24．已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 25．已知圆锥SO的底面半径为2，体积为，ABCDE是底面圆O的内接五边形，则五棱锥的外接球的表面积为 . 六、面面垂直模型 方法点拨：若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心 26．在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为 . 27．在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（   ） A．5π B．10π C．28π D．56π 28．在三棱锥中，，，平面平面，若，四点共球，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 29．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 30．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且是正三角形，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为 ． 七、二面角模型 方法点拨：二面角模型：多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 31．（多选）在边长为6的菱形中，，现将沿折起到的位置，使得二面角是锐角，则三棱锥的外接球的表面积可以是（ ） A． B． C． D． 32．已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是 33．两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角的大小为，则的边长为 ． 34．已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为 . 35．已知菱形的边长为，将沿着对角线折起至，连接.若二面角的大小为时，则四面体的外接球的表面积为 . 八、台体模型 方法点拨：球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 36．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 37．已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上､下底面边长分别为，高为3，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 38．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 39．（多选）如图1，一圆形纸片的圆心为O，半径为，以O为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆O上.现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台.若该正六棱台的高为，则下列结论正确的是（    ）    A．正六边形的边长为4 B．该正六棱台的侧面积为 C．该正六棱台的外接球半径为 D．该正六棱台的体积为 40．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为 ． 九、内切球模型 方法点拨：内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法：(为几何体的体积，为多面体的表面积，为内切球的半径) 41．已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 42．已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 43．半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 44．如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 45．已知正三棱锥中，点在线段上，且． (1)求边长； (2)求正三棱锥内切球的半径． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展8-2 外接球与内切球问题 一、长方体及墙角模型 六、面面垂直模型 二、对棱相等及共斜边模型 七、二面角模型 三、柱体模型 八、台体模型 四、线面垂直模型 九、内切球模型 五、高过球心模型 一、长方体及墙角模型 方法点拨：①长（正）方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半，即 ②墙角模型 模型1：三棱锥的三条侧棱两两互相垂直 模型2：有一侧棱垂直于底面，底面为直角三角形的三棱锥 模型1： 模型2： 1．已知正方体的内切球的体积为，则该正方体的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方体的边长为， 则正方体内切球的半径为，内切球的体积等于，解得， 所以正方体的体对角线等于， 所以正方体外接球的半径等于，则外接球的表面积等于， 故选:B. 2．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为、、，则此球的直径为 【答案】. 【详解】长方体的外接球直径为其体对角线长，根据题意可得： 体对角线长为. 故答案为：. 3．在三棱锥中，已知平面，，．若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为平面，，，，所以，即． 把三棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是外接球的直径． 根据长方体体对角线公式 ，则， 球的体积. 故选：C． 4．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，面，四边形是边长为的正方形．若，求的面积．（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因面且四边形是正方形，故将其补成长方体. 如图，球心O为长方体的中心，， 则等腰的高为， 故的面积为. 故选：B. 5．在四面体ABCD中，平面ACD，，，，，该四面体ABCD外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将四面体补形为长方体， 则外接球的直径即为长方体的体对角线长， 即， 因此外接球的半径为，其表面积为 故选：B 二、对棱相等及共斜边模型 方法点拨：若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度） 6．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】如图，补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高为， 则，所以， 所以，所以棱锥外接球的表面积为. 故答案为：. 7．如图，在四面体中，，，则四面体外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，若是中点，又，故， 所以是四面体外接球的球心，且半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：B 8．在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】 【详解】由，，， 中，由余弦定理可得, 所以，则， 在中，由余弦定理可得， 所以，则， 取中点，则在和中，，则三棱锥外接球的球心为，其半径为， 所以三棱锥外接球的表面积为， 故答案为：. 9．三棱锥中，，，，那么该三棱锥外接球的表面积是 ． 【答案】 【详解】由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示： 记该长方体的棱长为，则， 即，所以外接球半径为， ． 故答案为：. 10．在四面体中，，，，则四面体外接球的体积为 ． 【答案】 【详解】如下图所示，取的中点，连接， ∵，，所以，，则， ∵，∴，∴，则， 所以，，则为四面体外接球的一条直径，设该球的半径为，则， 因此，该四面体外接球的体积为． 故答案为． 【点睛】本题考查球体体积的计算，考查勾股定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题． 三、柱体模型 方法点拨：柱体模型：外接球半径公式：（为柱体的高，为底面（外接）圆的半径） 11．已知一个圆柱的底面直径与其外接球半径均为2，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，轴截面为   ， 所以圆柱的侧面积为， 故选：B. 12．已知正三棱柱底面边长为，侧棱长为1，则该正三棱柱外接球体积为（    ） A．3π B． C． D． 【答案】B 【详解】因为正三棱柱的底面边长为， 所以底面所在平面截其外接球所成的圆的半径满足即， 又由正三棱柱的高为1，则球心到圆的距离为， 故外接球半径，∴外接球的体积． 故选：B． 13．已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点为, ,连接 ,取的中点, 由于且三棱柱为直三棱柱， 故为外接球的球心， ,, 故外接球的表面积为, 故选：C 14．某灯笼厂的员工用一条长度为的木条设计了一个正六棱柱型的灯笼框架（木条无剩余），则当正六棱柱的外接球的表面积取最小值时，该正六棱柱的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正六棱柱的底面边长为，侧棱长为， 所有的棱长之和为，即，则， 设正六棱柱的外接球半径为，底面外接圆的半径为，则， 所以， 所以当时，此时，取得最小值，即正六棱柱的外接球的表面积取最小值， 所以正六棱柱的侧面积为. 故选：C. 15．一个圆柱的外接球的体积为，该圆柱的轴截面是一个正方形，则该圆柱的底面面积为 ． 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为，则母线长为，外接球的半径为， 由题有，则，解得， 所以圆柱的底面面积为， 故答案为：. 四、线面垂直模型 方法点拨：线面垂直模型：一般可补成柱体模型进行求解 16．已知三棱锥内接于半径的球，平面ABC，，，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 设球心为，取线段的中点记为. 因为，，， 所以在中，由余弦定理可得，即. 则有，即是以线段为斜边的直角三角形. 所以点是截面ABC的圆心，半径为 则平面ABC. 又因为平面ABC，且三棱锥内接于半径的球， 所以球心在线段的垂直平分线上， 所以， 由，,解得. 所以三棱锥的体积为. 故选：C. 17．三棱锥P−ABC的各顶点都在同一球面上，底面ABC，若，，且，则下列说法正确的是（ ） A．是钝角三角形 B．此球的表面积等于6π C．平面PAC D．三棱锥A−PBC的体积为 【答案】C 【详解】如图， 在底面三角形ABC中，由，，， 利用余弦定理可得：， ∴，即， 由于底面ABC，∴，， ∵，∴平面PAC，故C正确； ∴， 由于，即为锐角， ∴是顶角为锐角的等腰三角形，故A错误； 取D为AB中点，则D为的外心，可得三角形外接圆的半径为1， 设三棱锥的外接球的球心为O，连接OP，则， 即三棱锥的外接球的半径为， ∴三棱锥球的外接球的表面积等于，故B正确； ，故D错误； 故选：C. 18．已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，， 则的外接圆的半径， 因为平面，，设此三棱锥外接球的半径为， 则， 则三棱锥的外接球的表面积为． 故选：B． 19．在三棱锥中，，则三棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，，且平面平面，所以平面． 设的外接圆的半径为，则由正弦定理可得， 即，所以． 设三棱锥的外接球的半径为，则， 即，所以， 所以外接球的体积为． 故选：C． 20．在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于 ． 【答案】# 【详解】 如图：    六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直， 可得是该六棱锥外接球的直径. 底面是边长为的正六边形的对角线长为：，可得， 外接球的半径为. 外接球的体积为． 故答案为： 五、高过球心模型 方法点拨：高过球心模型的代表是正锥体模型： 解题步骤：①取底面的外心，则三点共线；②先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高；③在利用勾股定理：，解出. 21．已知正三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，过棱作球的截面，则所得截面面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作平面，垂足为，取的中点，外接球的球心为，连接， 易得为的中心，则，所以， 设外接球半径为，则，即，解得， 当垂直过的截面时，截面的面积最小，此时截面圆的直径为长， 最小面积为， 当截面过球心时，截面圆的面积最大，最大面积为， 故截面面积的取值范围是. 故选：B. 22．若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为 . 【答案】 【详解】如图所示，设P在底面的投影为，易知正四棱锥的外接球球心在PG上， 由题意球的半径为，， 所以，， 则，故中，边的高为， 所以该正四棱锥的侧面积为 故答案为： 23．已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为2，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，作正四棱锥，连结，，交于点，连结， 则平面，则，， 根据对称性，正四棱锥的外接球球心在高的延长线上，设为E，连接EC， 则球的半径，则， 则在内，由可得， 解得，故正四棱锥外接球的体积为﹒ 故选：B． 24．已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上. 设正三棱锥的高为，外接球的半径为， 由，可得正三角形的面积为， 所以，解得， 球心到底面的距离为，， 由，得，得， 所以外接球的表面积为. 故答案为：.    25．已知圆锥SO的底面半径为2，体积为，ABCDE是底面圆O的内接五边形，则五棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】设圆锥的高为，则由得， 棱锥的外接球与圆锥的外接球相同，设球半径为, 则有，得， 因此，棱锥的外接球的表面积为. 故答案为：. 六、面面垂直模型 方法点拨：若两个平面垂直，则分别找出两垂直多边形的外接圆圆心，然后分别作过圆心的垂直线，交点即球心 26．在三棱锥中，，平面平面，则三棱锥外接球表面积为 . 【答案】/ 【详解】取中点，连接，由，得， 由于平面平面，且交线为，平面，故平面， 又，，故为等腰直角三角形，故， 因此外接球的球心在上，且 设球半径为，则， 解得，故表面积为. 故答案为： 27．在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（   ） A．5π B．10π C．28π D．56π 【答案】D 【详解】如图所示， 连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理：平面， 设等边的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O， 则平面，平面， 所以O为四棱锥外接球的球心，半径为， 在等边中由正弦定理得，解得：， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：D. 28．在三棱锥中，，，平面平面，若，四点共球，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设外接圆的圆心为，半径为，过作直线平面， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面. 设三棱锥外接球的球心为，半径为， 则在直线上，取的中点，连接， 则. 在中，， 由正弦定理得， 所以，得， 所以三棱锥外接球的体积为. 故选：C 29．在体积为的三棱锥中，，，平面平面，， ，若点，，，都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，取的中点，连接，， 因为，，所以， 因此点就是三棱锥的外接球球心， 在平面内过点作，为垂足， 又平面平面，平面平面， 所以平面， 设球半径为，则， 又，则， 因为，，， 所以， 所以， 所以三棱锥的体积， 所以，所以球的体积为． 故选：C． 30．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面底面，且是正三角形，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为 ． 【答案】/ 【详解】设交于点，取的中点，连接， 取的中点，连接，如图， 因为是正三角形，所以， 又因为侧面底面，为交线，平面， 所以平面， 又，所以平面， 又为的外心，所以三棱锥外接球的球心在上， 设外接球球心为，半径为，连接， 因为底面是边长为2，所以,, 在中，则, 即，可得， 所以，解得, 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题确定外接球球心的位置及如何建立关于外接球半径的方程不容易想到，要求有一定空间想象力及思维的灵活性，具有一定难度. 七、二面角模型 方法点拨：二面角模型：多是可以借助外心垂线相交法来计算解决：①等边三角形中心（即外心）做面垂线，必过球心；②直角三角形斜边中点（即外心）做面垂线，必过球心； 注意：外心垂线夹角与二面角相等或者互补. 31．（多选）在边长为6的菱形中，，现将沿折起到的位置，使得二面角是锐角，则三棱锥的外接球的表面积可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】解：如图， 由菱形边长为6，，可知是边长为6的正三角形， 取的中点为，连接，则， 所以是二面角的平面角， 设，外接球球心为， 取分别为靠近的三等分点，连接， 则平面，平面，连接， 因为， 所以在中，，即， 所以， 由，可知，所以， 故，所以. 结合选项可知，ACD符合，B不符合. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法： ①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； ②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径； ③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可； ④坐标法：建立空间直角坐标系，设出外接球球心的坐标，根据球心到各顶点的距离相等建立方程组，求出球心坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得球的半径. 32．已知四面体 的各顶点都在同一球面上，若，二面角 的平面角为 ，则该球的表面积是 【答案】/ 【详解】 如图，取中点，连接， 因，则，且， 又二面角的平面角为 60°，即， 故 是等边三角形， 分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点， 则点为四面体的外接球的球心， 由已知可得， 连接，易得，故得，，则， 在中，， 故该球的表面积是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查三棱锥的外接球的半径求法问题，属于难题. 解题思路在于：先找到二面角的平面角，推得正三角形，分别取 与 的外心，过分别作两平面的垂线，两线相交于点 ，即外接球球心，结合图形即可求得外接球半径. 33．两个有共同底面的正三棱锥与，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角的大小为，则的边长为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：外接球的球心，且平面，即为外接球的直径，， 设平面，可知为等边的中心， 取的中点，连接， 则，可知二面角的平面角为， 设， 则，， 因为，即， 又因为，且， 则，解得， 所以的边长为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：本题只说明两个正三棱锥共底面，没有说明两个正三棱锥全等，不可以利用对称性解题. 34．已知三棱锥，二面角的大小为，当三棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为 . 【答案】 【详解】 要使棱锥体积最大，需保证到面的距离最大， 此时，又都在面上， 故面，且故， 设外接圆半径为， 则由余弦定理， 所以，所以，即， 所以，外接球半径，故其表面积为， 故答案为：. 35．已知菱形的边长为，将沿着对角线折起至，连接.若二面角的大小为时，则四面体的外接球的表面积为 . 【答案】/ 【详解】由菱形，且，得均为正三角形，设它们的中心分别为， 取的中点，连，则，点共线，点共线， 是二面角的平面角，即， 又平面，于是平面，即平面是线段的中垂面， 则四面体外接球的球心平面，分别为的截面小圆圆心， ，，≌， 因此，，四面体的外接球半径为， 则，所以四面体的外接球的表面积. 故答案为： 八、台体模型 方法点拨：球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高． 基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主 36．已知圆台的上、下底面的圆周都在半径为2的球面上，圆台的下底面过球心，上底面半径为1，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，则高为，如下图所示：    则圆台的体积为. 故选：A. 37．已知正四棱台的顶点都在同一球面上，其上､下底面边长分别为，高为3，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】法一：正四棱台的对角面的外接圆为其外接球的大圆（如下图）， 对角面为等腰梯形，其上下底边长分别为2，4，高为3， 由正四棱台的对称性可知，球的球心在梯形上下底的中点连线所在直线上， 设，则，球半径为， 由，可得，解得， 所以所求的球的表面积为， 法二：下底的外接圆不大于球的大圆，故球半径（下底对角线长的一半），表面积排除D； 对角面等腰梯形的对角线长，故球半径，表面积，排除C； 若，则，易求球心到的距离为，球心到的距离为， 无法满足，或，排除A. 故选：B. 38．在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且恰为该圆台外接球的球心，则圆台的侧面积与球的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令外接球的半径为，依题意，，， 过点作，则，所以， 又，所以， 所以圆台的侧面积， 球的表面积， 所以圆台的侧面积与球的表面积之比为. 故选：C 39．（多选）如图1，一圆形纸片的圆心为O，半径为，以O为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆O上.现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台.若该正六棱台的高为，则下列结论正确的是（    ）    A．正六边形的边长为4 B．该正六棱台的侧面积为 C．该正六棱台的外接球半径为 D．该正六棱台的体积为 【答案】ABD 【详解】如图1，设以为底边的等腰三角形的中位线为， 连接，分别交于点，则分别为的中点， 设，则由中位线和正六边形性质得， 所以①， 折叠后形成的正六棱台如图2所示，由正六边形性质，， 设上底面的中心为，连接，则， 连接，则是正六棱台的高，即， 过点作交于点， 则由由正六棱台结构性质可知平面，故， 在中，②. 由①②得，解得， 所以正六棱台的上､下底面的边长分别为和，故A正确； 该正六棱台的侧面高为， 所以正六棱台侧面积为，故B正确； 由以及正六棱台和球的对称性可知正六棱台的外接球球心必在线段上， 连接，则均为外接球的半径，设为，        由勾股定理得 所以， 又因为， 所以，解得， 则，所以，故C错误； 因为正六棱台上底面面积，下底面面积， 所以所求体积，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：求解简单几何体外接球先确定圆心位置，再建立关于外接球半径的直角三角形模型和等量关系即可求解. 40．与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的表面积为 ． 【答案】/ 【详解】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长， ，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心， 点为球与圆台侧面相切的一个切点. 则由题意可得：， . 因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为. 故答案为： 九、内切球模型 方法点拨：内切球球心到多面体各面的距离均相等，故可用等体积法：(为几何体的体积，为多面体的表面积，为内切球的半径) 41．已知高为 4的圆台存在内切球，其下底半径为上底半径的 4 倍，则该圆台的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，圆台的轴截面截其内切球得球的大圆，且该大圆是圆台轴截面等腰梯形的内切圆， 等腰梯形为圆台轴截面，其内切圆与梯形切于点， 其中分别为上、下底面圆心，如图， 设圆台上底半径为，则下底半径为，， 而等腰梯形的高，因此，解得， 所以该圆台的表面积为. 故选：D 42．已知圆台存在内切球（球与圆台上、下底面以及侧面均相切），若圆台的上、下底面积分别为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解法一：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为 所以圆台的母线长为，故， 故球的表面积为. 解法二：作出该圆台的轴截面如下图所示，切点为，依题意， ，，解得，， 因为， ，所以， 即，又，所以， 可得，即， 则球的半径， 故球的表面积为. 故选：B. 43．半径为2的球内切于正三棱柱，则正三棱柱的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为半径为2的球内切于正三棱柱， 所以正三棱柱的高，且该组合体过球心且平行于平面的截面为球的大圆内切于与全等的正三角形，如图. 由正三角形及其内切圆的性质，得， 所以的面积为， 所以正三棱柱的体积为. 故选：A 44．如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为底面底面，所以. 又因为，所以，而， 所以三条互相垂直且共顶点的棱，可以看成正方体中共顶点的长､宽､高， 因此该三棱锥外接球的半径， 设该三棱锥的内切球的半径为， 因为， 所以. 因为， 所以， 由三棱锥的体积公式可得 ， 所以. 故选：C. 45．已知正三棱锥中，点在线段上，且． (1)求边长； (2)求正三棱锥内切球的半径． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（方法1：几何法）取中点为，连接，如图所示，    ∵三棱锥为正三棱锥，∴， 又，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又平面， ∴平面，平面， ∴， ∴正三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴， ∴在△中，由，得， ∴． （方法2：向量法）∵三棱锥为正三棱锥，∴， 设， ∵，∴， ∵，∴， ∵， ∴， ∴，整理得，解得， ∴． （2）由（1）得， 设点为△的重心，则，    ∴， 设正三棱锥内切球的半径为，设为正三棱锥内切球的球心， ∵ ∴， ∴， 解得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$