专题4.2 因式分解的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（北师大版）

专题4.2 因式分解的应用 · 典例分析 【典例1】若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． （1）用配方法分解因式：； （2）当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． （3）求使得是完全平方数的所有整数m的积． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）把变形为即可求解； （2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解； （3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值13． （3）解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数， 所以①，，解得：，； ②，，解得：，； ③，，解得：，； ④，，解得：，． 所以所有m的积为． · 学霸必刷 1．（2024七年级下·全国·专题练习）将因式分解后得，那么n等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【思路点拨】 本题主要考查了因式分解的定义，多项式乘法，先通过平分差公式将因式分解后的结果进行变形，再根据等式的性质即可得出答案． 【解题过程】 解：∵ ， 又∵将因式分解后得， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）无论x、y为任何值时，的值都是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．非负数 【思路点拨】 本题考查了利用完全平方公式分解因式，非负数的应用，将式子写成完全平方式，再判断式子的取值范围即可，解题的关键是将多项式分组，写成非负数的和的形式． 【解题过程】 解： ， ∵，， ∴，即， ∴的值是正数， 故选：A． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【思路点拨】 本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解．由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【解题过程】 解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知m，n为正整数，，且，则n的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 【思路点拨】 本题主要考查了因式分解的应用，将转化为，根据m，n为正整数，得到，，进而求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∵m，n为正整数，， ∴，， 解得，， 故选：A． 5．（24-25八年级上·山东威海·期中）对于任意整数n，都（    ） A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除 C．能被8整除 D．能被5整除 【思路点拨】 本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式得出，即可作出判断． 【解题过程】 解： ， 为任意整数， ，既能被2整除又能被4整除， 又∵、是连续整数， ∴、必有一个是偶数， ∴能被8整除，即能被8整除， 故选：C． 6．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）计算 的结果为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题主要考查了提取公因式法分解因式、因式分解的应用，正确找出公因式是解题关键． 直接利用提取公因式法分解因式即可解答． 【解题过程】 解： =． 故选：D． 7．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数，，满足，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了整式的运算，因式分解等，将代入化简可得，将此代入可得，通过因式分解可得，从而可得，据此进行逐一判断，即可求解；掌握整式之间转化运算是解题的关键． 【解题过程】 解：将代入得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， A.，结论错误，不符合题意； B.，结论错误，不符合题意； C.，结论错误，不符合题意； D.，结论正确，符合题意； 故选：D． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 【思路点拨】 本题主要考查了提取公因式、完全平方式进行因式分解以及非负数的性质等知识点，正确进行因式分解成为解题的关键．先将，通过提取公因式、运用完全平方式、添加项转化为．再根据a、b均为正数以及非负数的性质，得到，进而解出a、b的值，代入求得结果． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ∵a、b均为正数， ∴， ∴，即，解得或（不合题意，舍去）， ∴． 故选：B． 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，，则多项式的值为（   ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了利用因式分解把代数式变形，首先把代数式分组，把每一组配成完全平方式，再利用完全平方公式分解因式，可得：原式，把、、分别代入整理后的代数式中计算求值即可． 【解题过程】 解： ， 当，，时， 原式 故选：D． 10．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，因式分解等知识点，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键．根据完全平方公式、因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可． 【解题过程】 解：①当，， 则， 则， 故①正确，符合题意； ②当， 则， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③， ∵ 则当的值恒为正数时，即可， ∴， 故③正确，符合题意； ④当，且， 则， ∴，， ∵p、q为整数， ∴p、q的值可为或或或或或 ∴或或8或或7或， 故④正确， ∴正确的有①②③④， 故选：A． 11．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 【思路点拨】 本题考查因式分解，将等式右边的式子利用多项式乘以多项式的法则展开，根据恒等式，得到对应项相同，得到，根据最小，得到的绝对值相差最大，且负数大于正数，即可得出结论． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴异号， ∵最小， ∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数， ∵， ∴的最小值为：； 故答案为：． 12．（23-24八年级上·山东东营·期中）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解结果为，那么分解因式正确的结果为 ． 【思路点拨】 本题考查十字相乘法进行因式分解，根据甲、乙看错的情况下得出、的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可，掌握十字相乘法的使用方法是得出答案的关键． 【解题过程】 解：因式分解时， 甲看错了的值，分解的结果是， ， 又乙看错了的值，分解的结果为， ， 原二次三项式为， 因此，， 故答案为：． 13．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，，，则 【思路点拨】 本题主要考查了因式分解的应用，先把所求式子进行因式分解，再利用整体代入法求值即可． 【解题过程】 解：∵ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴原式； 故答案为：． 14．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了多项式的值、因式分解的应用，熟练掌握利用提取公因式法和平方差公式分解因式是解题关键．先根据多项式的值可得，，再将两个等式相减可得，利用因式分解可得，然后根据即可得． 【解题过程】 解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为， ∴①，②， 由①②得：，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：2023． 15．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，则的值是 ． 【思路点拨】 本题考查了因式分解的应用．将左边分解因式得，由，则，据此求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴（舍去）， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知：a，b，c都是正整数，且，．abc的最大值为M，最小值为N，则 ． 【思路点拨】 由已知条件整理出，再利用因式分解法转化为求的正整数解，据此得到或或或，据此解得a的值，最后代入计算即可． 【解题过程】 解：， ， ， ， ， ， ， ，，都是正整数， 或或或， 或或或， 或， 即的最大值为，最小值为，即，， ∴， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是 ． 【思路点拨】 本题考查整式的运算，因式分解的应用．解题关键是利用因式分解把已知和所求整式变形．根据已知条件把已知和所求式子进行整理变形，即可解答． 【解题过程】 解：． ，，， ， 可因式分解，变为， 同理， ， 原式 ， 故为一个平方数， 且，，为整数， ，，至少有一个是偶数，于是为偶数， ， ． 故答案为：2116． 18．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）设，试将分解因式： ． 【思路点拨】 本题主要考查了立方和公式以及平方差公式的综合运用，熟练掌握公式，并灵活地对式子进行构造和化简是解题的关键； 先利用立方和公式将展开，再结合已知条件进行代换和变形，通过化简即可． 【解题过程】 解：， 再次代入 提取公因式得 继续变形： ． 19．（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知：，，，且，则的值为 ． 【思路点拨】 本题考查了因式分解的应用、完全平方公式，先求出，，再求出或，再分情况求解即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【解题过程】 解：，，， 由可得：， 由可得：， 由可得：， ∵， ∴由④⑤⑥可得：，， 由可得： ， ∴， ∴或， 当时，，，代入①可得：， 解得：，此时，， ∴； 当时，，，代入①可得：， 解得：，此时，， ∴； 综上所述，的值为或54， 故答案为：或54． 20．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知整数，，，．满足，． （1）求证：为正数； （2）若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 【思路点拨】 本题主要考查了因式分解的应用、奇数和偶数的识别等知识，熟练掌握完全平方公式的应用是解题关键． （1）把代入，利用完全平方公式分解因式，利用平方的非负性质即可证明． （2）由，，，为整数，为偶数，可得出为偶数，进而可得出为偶数，为偶数，若为奇数，则为奇数，则为奇数，与为偶数矛盾，则不可以为奇数． 【解题过程】 （1）证明：∵， ∴ ∵，则 ∴为正数． （2）不可以，理由如下： ∵，，，为整数，为偶数， ∴为偶数， ∵， ∴为偶数， ∴，同为偶数或者同为奇数， ∴为偶数， 若为奇数，则为奇数， ∴为奇数， ∴为奇数与为偶数矛盾， ∴不可以为奇数． 21．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． （1）请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称； （2）若关于对称，求t的值； （3）若，且M关于对称，求b，c的值． 【思路点拨】 本题考查了因式分解的应用，正确理解题新定义是解题的关键． （1）根据定义直接求解； （2）根据定义得到，求出，再回代，即可求出t的值； （3）由题意得，则得到，由于，c为正整数，再枚举即可． 【解题过程】 （1）解：∵关于x的二次三项式，关于对称， ∴， ∴， ∴可取 ∴， ∴一个关于x的二次三项式可以为：． （2）解：∵关于对称， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵关于对称， ∴关于对称， ∴， ∵，c为正整数， ∴，，，，． 22．（23-24八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” （1）特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； （3）拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是： （1）设，求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3）根据是“和谐数”，求出，则，可设，其中k为正整数，则，故，代入，整理．由k为正整数，得出和为两个连续正奇数，结合“和谐数”的定义，即证明为“和谐数”． 【解题过程】 （1）解：设， 解得， ∴40是“和谐数”； （2）解：“和谐数”能被8整除， 理由： ， ∵k是正整数， ∴能被8整除， ∴能被8整除， ∴“和谐数”能被8整除； （3）解：∵是“和谐数”， ∴， ∴， ∴． ∵是“和谐数”，即是“和谐数”， ∴可设，其中k为正整数， ∴， ∴， ∴ ． ∵k为正整数， ∴和为两个连续正奇数， ∴为“和谐数”． 23．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）代数式的最大值为： ； （2）若与，判断的大小关系，并说明理由； （3）已知：，，求代数式的值． 【思路点拨】 本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）先表示出，然后由完全平方式的非负性可得，由此即可得解； （3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，求出，代入进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：， 当时，由最大值，为， 代数式的最大值为， 故答案为：； （2）解：，， ， ，， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 24．（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； 【思路点拨】 本题考查了数的整除、整式加减的应用、有理数的混合运算、列代数式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，结合能够被整除即可得解； （2）根据题意表示出代数式即可； （3）由（2）可得，由题意可得（为整数），推出，表示出，即可得解； （4）仿照（3）的方式逐项分析即可得解． 【解题过程】 解：（1）∵，能够被整除； ∴455能被7整除； （2）由题意可得：； （3）由（2）可得， ∵能被7整除， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴三位数能被7整除； （4）①， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴， ∴是11的倍数；故①正确； ②， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故②错误； ③， ∵是11的倍数， ∴（为整数）， ∴， ∴，不一定是11的倍数，故③错误； 综上所述，正确的是①． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.2 因式分解的应用 · 典例分析 【典例1】若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． （1）用配方法分解因式：； （2）当x为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值． （3）求使得是完全平方数的所有整数m的积． 【思路点拨】 本题考查了完全平方公式在因式分解中的应用，掌握公式的形式是解题关键． （1）把变形为即可求解； （2）将原式配方为，根据平方非负性即可求解； （3）将原式因式分解变形为，分类讨论求解即可． 【解题过程】 （1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值13． （3）解：设， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以 因为（因为为完全平方数），且m与k都为整数， 所以①，，解得：，； ②，，解得：，； ③，，解得：，； ④，，解得：，． 所以所有m的积为． · 学霸必刷 1．（2024七年级下·全国·专题练习）将因式分解后得，那么n等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）无论x、y为任何值时，的值都是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．非负数 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 4．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知m，n为正整数，，且，则n的值为（   ） A．5 B．4 C．3 D．6 5．（24-25八年级上·山东威海·期中）对于任意整数n，都（    ） A．能被2整除，不能被4整除 B．能被4整除，不能被8整除 C．能被8整除 D．能被5整除 6．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）计算 的结果为（   ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽合肥·三模）已知三个实数，，满足，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）已知正数a，b满足，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．不能确定 9．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）已知，，，则多项式的值为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）对于二次三项式（为常数），以下结论： ①当，且，则； ②当时，则； ③当的值恒为正数时，则； ④当，且，其中p、q为整数，则a的值有6种可能． 其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 11．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ． 12．（23-24八年级上·山东东营·期中）甲乙两人完成因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解结果为，那么分解因式正确的结果为 ． 13．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，，，则 ． 14．（24-25八年级上·江苏南通·期末）已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ． 15．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，则的值是 ． 16．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知：a，b，c都是正整数，且，．abc的最大值为M，最小值为N，则 ． 17．（23-24八年级下·四川成都·期末）已知a，b，c为整数，满足，，则的最小值是 ． 18．（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）设，试将分解因式： ． 19．（24-25八年级上·山东烟台·期末）已知：，，，且，则的值为 ． 20．（24-25九年级上·福建莆田·期中）已知整数，，，．满足，． （1）求证：为正数； （2）若为偶数，判断是否可以为奇数，说明你理由． 21．（24-25八年级上·江苏南通·期末）若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称． （1）请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称； （2）若关于对称，求t的值； （3）若，且M关于对称，求b，c的值． 22．（23-24八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” （1）特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； （2）规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； （3）拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 23．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）代数式的最大值为： ； （2）若与，判断的大小关系，并说明理由； （3）已知：，，求代数式的值． 24．（2025·江苏扬州·一模）我们知道能被3整除的数的规律，设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数就能被3整除． 例如，三位数108，，9可以被3整除，108就能被3整除． 【发现】将三位数去掉末尾数字得到两位数，再用减去的2倍所得的差为．若能被7整除，则三位数就能被7整除． 【验证】如，对于三位数364，，28可以被7整除，364就能被7整除． （1）用上述方法判断455能否被7整除？ 【探究】（2）请用含，，的代数式表示 ； （3）结合（2）论证“发现”中的结论正确． 【迁移】（4）下列结论正确的是 ．（填序号） ①在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数． 第 1 页 共 45 页 学科网（北京）股份有限公司 $$