第4章 因式分解（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（深圳专用，北师大版）

第4章 因式分解（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）多项式12ab2﹣8a2bc的公因式是（　　） A．4ab B．4a2b2 C．2ab D．2abc 【分析】根据公因式的定义进行解答即可． 【详解】解：∵12ab2﹣8a2bc＝4ab•3b﹣4ab•2c， ∴12ab2﹣8a2bc各项的公因式是4ab． 故选：A． 2．（3分）将多项式x2+6x﹣16因式分解，正确的是（　　） A．（x﹣2）（x+8） B．（x+2）（x﹣8） C．（x+4）（x﹣4） D．（x﹣4）2 【分析】直接利用十字相乘法分解因式即可得到答案． 【详解】解：原式＝（x﹣2）（x+8）， 故选：A． 3．（3分）下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．ma+mb＝m（a+b） C．（x+y）2＝x2+2xy+y2 D．ax2+bx+c＝x（ax+b）+c 【分析】因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫作把这个多项式进行因式分解，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1是整式的乘法运算，则A不符合题意； ma+mb＝m（a+b）属于因式分解，则B符合题意； （x+y）2＝x2+2xy+y2是整式的乘法运算，则C不符合题意； ax2+bx+c＝x（ax+b）+c右边不是几个整式积的形式，则D不符合题意； 故选：B． 4．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2+1＝x（x） C．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1） D．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 【分析】根据把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解判断即可． 【详解】解：A，D选项没有写成积的形式，故A，D不符合题意； B选项，不是整式，故B选项不符合题意； C选项，4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1），故C选项符合题意； 故选：C． 5．（3分）已知x﹣5是多项式2x2+8x+a的一个因式，则a可为（　　） A．65 B．﹣65 C．90 D．﹣90 【分析】设多项式的另一个因式为2x+b，则（x﹣5）（2x+b）＝2x2+8x+a，然后先求得b的值，从而可得到a的值． 【详解】解：设多项式的另一个因式为2x+b． 则（x﹣5）（2x+b）＝2x2+（b﹣10）x﹣5b＝2x2+8x+a． 所以b﹣10＝8，解得b＝18． 所以a＝﹣5b＝﹣5×18＝﹣90． 故选：D． 6．（3分）若x+y＝3，则2x2+4xy﹣6+2y2的值为（　　） A．12 B．6 C．3 D．﹣4 【分析】将x+y看作一个整体，对后面的代数式进行变形即可解决问题． 【详解】解：由题知， 2x2+4xy﹣6+2y2＝2（x2+2xy+y2）﹣6＝2（x+y）2﹣6， 因为x+y＝3， 所以原式＝2×32﹣6＝12． 故选：A． 7．（3分）已知xy＝﹣2，x+y＝4，则x2y+xy2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【分析】先提公因式xy因式分解，然后将已知式子整体代入即可求解． 【详解】解：∵xy＝﹣2，x+y＝4， ∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝﹣2×4＝﹣8． 故选：D． 8．（3分）在多项式上添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　） A．x B．﹣x C．x4 D．﹣x4 【分析】根据完全平方和（差）公式的性质即可求解． 【详解】解：A选项，，可以构成完全平方和公式，不符合题意； B选项，，可以构成完全平方差公式，不符合题意； C选项，，可以构成完全平方和公式，不符合题意； D选项，，不可以构成完全平方公式，符合题意． 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）分解因式：x2﹣3x＝　x（x﹣3）　． 【分析】原式提取x即可得到结果． 【详解】解：原式＝x（x﹣3）， 故答案为：x（x﹣3） 10．（3分）因式分解：1﹣16a4＝ 　（1+4a2）（1+2a）（1﹣2a）　． 【分析】连续两次利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：原式＝（1+4a2）（1﹣4a2） ＝（1+2a）（1﹣2a）（1+4a2）， 故答案为：（1+4a2）（1+2a）（1﹣2a）． 11．（3分）分解因式：2x2+12x+18＝　2（x+3）2　． 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解． 【详解】解：2x2+12x+18 ＝2（x2+6x+9） ＝2（x+3）2． 故答案为：2（x+3）2． 12．（3分）因式分解：（x2﹣2x）2﹣（x2﹣2x）﹣6＝　（x﹣3）（x+1）（x2﹣2x+2）　． 【分析】连续利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：（x2﹣2x）2﹣（x2﹣2x）﹣6 ＝（x2﹣2x﹣3）（x2﹣2x+2） ＝（x﹣3）（x+1）（x2﹣2x+2）， 故答案为：（x﹣3）（x+2）（x2﹣2x+2）． 13．（3分）若ab＝﹣2，a+b＝3，则a2b+ab2的值为　﹣6　． 【分析】通过因式分解将a2b+ab2转化为ab（a+b），再整体代入即可． 【详解】解：∵ab＝﹣2，a+b＝3， 原式＝ab（a+b）＝﹣2×3＝﹣6， 故答案为：﹣6． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）分解因式：x2y﹣36y． 【分析】原式提取公因式y后，运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：x2y﹣36y ＝y（x2﹣36） ＝y（x+6）（x﹣6）． 15．（7分）因式分解：（x+3）（x﹣1）+4． 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开合并，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：原式＝x2﹣x+3x﹣3+4 ＝x2+2x+1 ＝（x+1）2． 16．（8分）分解因式： （1）a3﹣4ab2； （2）3ma2﹣18ma+27m． 【分析】（1）先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式3m，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1）a3﹣4ab2 ＝a（a2﹣4b2） ＝a（a+2b）（a﹣2b）； （2）3ma2﹣18ma+27m ＝3m（a2﹣6a+9） ＝3m（a﹣3）2． 17．（8分）下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：A•B＝C（m，n为常数）． （1）求m，n的值； （2）若x为正整数，求证：代数式B2﹣2C总能被5整除． 【分析】（1）把已知条件中的A，B，C代入A•B＝C，利用多项式乘多项式法则展开，从而列出关于m，n的方程组，解方程组即可； （2）根据（1）中m，n，求出B2﹣2C的值，利用提取公因式法分解因式，求出它的最大公约数即可． 【详解】解：（1）∵A＝x﹣1，B＝2x+m，C＝2x2+x+n， ∴A•B＝C， （x﹣1）（2x+m）＝2x2+x+n， 2x2+mx﹣2x﹣m＝2x2+x+n， 2x2+（m﹣2）x﹣m＝2x2+x+n， ∴，由①得：m＝3， 把m＝3代入②得：n＝﹣3， ∴； （2）由m＝3．n＝﹣3，则B＝2x+3，C＝2x2+x﹣3， ∴B2﹣2C ＝（2x+3）2﹣2（2x2+x﹣3） ＝4x2+12x+9﹣4x2﹣2x+6 ＝10x+15 ＝5（2x+3）， ∵x为正整数， ∴2x+3为整数， ∴代数式B2﹣2C总能被5整除． 18．（9分）因式分解： （1）4a4b2﹣36a2； （2）5（x2﹣y2）﹣（y﹣x）2； （3）（a2+4）2﹣16a2； （4）（2x﹣y）2+10y（y﹣2x）+25y2． 【分析】（1）先提取公因式，然后用平方差公式进行因式分解； （2）利用提取公因式法进行因式分解； （3）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解； （4）先用完全平方公式，再提取公因式进行因式分解． 【详解】解：（1）原式＝4a2（a2b2﹣9） ＝4a2（ab+3）（ab﹣3）； （2）原式＝5（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2 ＝（x﹣y）（5x+5y﹣x+y） ＝（x﹣y）（4x+6y） ＝2（x﹣y）（2x+3y）； （3）原式＝（a2+4+4a）（a2+4﹣4a） ＝（a+2）2（a﹣2）2； （4）原式＝（2x﹣y）2﹣10y（2x﹣y）+25y2 ＝（2x﹣y﹣5y）2 ＝（2x﹣6y）2 ＝4（x﹣3y）2． 19．（12分）请运用整式乘法及因式分解的知识解决下列问题： （1）求证：814﹣275﹣97能被45整除； （2）已知多项式4x3+9x2+mx+n能被x2+2x﹣3整除，求m的值． 【分析】（1）利用幂的乘方的逆运算，再各幂转化为底数为3的幂，再提公因式314，最后把整式转化为312×45即可求证； （2）设4x3+9x2+mx+n除以x2+2x﹣3等于4x+t，利用多项式乘以多项式求出（x2+2x﹣3）（4x+t）的积，再根据系数相等求出m、n的值即可求解． 【详解】解：（1）∵814﹣275﹣97 ＝（34）4﹣（33）5﹣（32）7 ＝314×（32﹣3﹣1） ＝314×5 ＝312×9×5 ＝312×45， ∴814﹣275﹣97能被45整除； （2）设4x3+9x2+mx+n除以x2+2x﹣3等于4x+t， ∴（x2+2x﹣3）（4x+t） ＝4x3+（t+8）x2+（2t﹣12）x﹣3t， ∴t+8＝9，2t﹣12＝m，﹣3t＝n， ∴t＝1，m＝﹣10，n＝﹣3， ∴m的值为﹣10． 20．（12分）阅读材料： 因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，可以得到：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决： （1）因式分解：1+6（x﹣y）+9（x﹣y）2； （2）因式分解：（a2﹣4a+1）（a2﹣4a+7）+9； （3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方． 【分析】（1）用换元法设x﹣y＝A，将原式化为1+6A+9A2，再利用完全平方公式得出（1+3A）2，再将A还原即可； （2）设a2﹣4a＝B，则原式＝（B+4）2后，再将B还原后，最后再利用完全平方公式即可； （3）先计算（n+1）（n+2）＝n2+3n+2，再利用完全平方公式即可． 【详解】解：（1）令x﹣y＝A， 1+6（x﹣y）+9（x﹣y）2＝1+6A+9A2 ＝（1+3A）2， 将“A”还原，可以得到： 原式＝（1+3x﹣3y）2； （2）令a2﹣4a＝B， 则（a2﹣4a+1）（a2﹣4a+7）+9 ＝（B+1）（B+7）+9 ＝B2+8B+16 ＝（B+4）2， 将“B”还原，可以得到： 原式＝（a2﹣4a+4）2 ＝（a﹣2）4； （3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1 ＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1 ＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1 ＝（n2+3n+1）2， ∵n为正整数， ∴n2+3n+1正整数． ∴（n+1）（n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2， 即代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4章 因式分解（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：100分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）多项式12ab2﹣8a2bc的公因式是（　　） A．4ab B．4a2b2 C．2ab D．2abc 2．（3分）将多项式x2+6x﹣16因式分解，正确的是（　　） A．（x﹣2）（x+8） B．（x+2）（x﹣8） C．（x+4）（x﹣4） D．（x﹣4）2 3．（3分）下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（　　） A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 B．ma+mb＝m（a+b） C．（x+y）2＝x2+2xy+y2 D．ax2+bx+c＝x（ax+b）+c 4．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．x（x﹣1）＝x2﹣x B．x2+1＝x（x） C．4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1） D．x2﹣4x+1＝x（x﹣4）+1 5．（3分）已知x﹣5是多项式2x2+8x+a的一个因式，则a可为（　　） A．65 B．﹣65 C．90 D．﹣90 6．（3分）若x+y＝3，则2x2+4xy﹣6+2y2的值为（　　） A．12 B．6 C．3 D．﹣4 7．（3分）已知xy＝﹣2，x+y＝4，则x2y+xy2的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 8．（3分）在多项式上添加一个单项式，使得到的多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则添加的单项式不可以是（　　） A．x B．﹣x C．x4 D．﹣x4 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．（3分）分解因式：x2﹣3x＝　 　． 10．（3分）因式分解：1﹣16a4＝ 　 　． 11．（3分）分解因式：2x2+12x+18＝　 　． 12．（3分）因式分解：（x2﹣2x）2﹣（x2﹣2x）﹣6＝　 　． 13．（3分）若ab＝﹣2，a+b＝3，则a2b+ab2的值为　 　． 三．解答题（共7小题，满分61分） 14．（5分）分解因式：x2y﹣36y． 15．（7分）因式分解：（x+3）（x﹣1）+4． 16．（8分）分解因式： （1）a3﹣4ab2； （2）3ma2﹣18ma+27m． 17．（8分）下面有3张卡片，其上分别写有相应的代数式，并且满足：A•B＝C（m，n为常数）． （1）求m，n的值； （2）若x为正整数，求证：代数式B2﹣2C总能被5整除． 18．（9分）因式分解： （1）4a4b2﹣36a2； （2）5（x2﹣y2）﹣（y﹣x）2； （3）（a2+4）2﹣16a2； （4）（2x﹣y）2+10y（y﹣2x）+25y2． 19．（12分）请运用整式乘法及因式分解的知识解决下列问题： （1）求证：814﹣275﹣97能被45整除； （2）已知多项式4x3+9x2+mx+n能被x2+2x﹣3整除，求m的值． 20．（12分）阅读材料： 因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，可以得到：原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决： （1）因式分解：1+6（x﹣y）+9（x﹣y）2； （2）因式分解：（a2﹣4a+1）（a2﹣4a+7）+9； （3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方． / 学科网（北京）股份有限公司 $$