精品解析：黑龙江哈尔滨市香坊区2024-2025学年九年级下学期一模数学试卷

2025年香坊区初中毕业学年数学学科（九年级）调研测试（一） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保证卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. －5的相反数是( ) A. B. C. 5 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】-5的相反数是5． 故选C． 【点睛】本题考查了相反数，熟记相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数是关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项，单项式与单项式的乘法，积的乘方，同底数幂的除法法则逐项分析即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故不正确，不符合题意； B．，故不正确，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，故不正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了合并同类项，单项式与单项式的乘法，积的乘方，同底数幂的除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3. 在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．下面巴黎奥运会部分比赛项目的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 4. 据新华社北京年 月日电，年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达件．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定 的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 5. 如图，该几何体由5个相同的立方体搭成，它的三视图中，面积相等的是（ ） A. 主视图与俯视图 B. 主视图与左视图 C. 俯视图与左视图 D. 三个视图都不相等 【答案】A 【解析】 【分析】作出该几何体的三视图，根据三视图的面积求解即可． 【详解】解：该几何体的三视图为： 可得出主视图与俯视图的面积相等． 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，解答本题的关键在于熟练掌握三视图的概念，并能找出正确的三视图． 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可求解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位得到抛物线， 再向上平移3个单位，得到抛物线， 故选：B． 7. 已知反比例函数，当时．随的增大而增大、则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数为常数，的增减性与 的关系． 根据反比例函数的性质，当反比例函数中时，在每个象限内随的增大而增大，据此列出关于的不等式求解． 【详解】已知反比例函数，当时，随的增大而增大． 得．解得． 故选：B． 8. 如图，在 中，，，以点 为圆心， 长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线 下方交于点，连接 ，则 的长为（ ） A. 8 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，根据题意， 为和的公共弦， 为连心线，根据对称性可得，垂足为点 ，由知为等腰直角三角形，可求出，由垂径定理得． 【详解】解：如图，根据题意得， 为和的公共弦， 为连心线， ∴，垂足为点 ， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 美术课上，老师请同学们用黑色棋子设计有规律的图案，小华这组出色地完成了这个设计，摆出的图案不仅具有艺术美感，还存在数学规律，如图，观察他们的设计，按此规律，则第⑥个图案需要棋子的个数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数与形结合的规律，根据棋子发现规律：多一组图形，则多用5个棋子，即第n个图形中，需要棋子个，代入计算即可． 【详解】解：根据分析可得： （个） 所以，第6个图形中棋子的个数为29个， 故选：B． 10. 在数学活动课上，小雨同学的数学活动报告单部分信息如下表，根据表中信息可知小雨同学所得的结论中正确的个数是（ ） 主题 矩形 纸片折叠后相关结论探究 方案 如图，沿折痕 折叠纸片，使点恰好落在边上的 点，点 的对应点为点 ． 结论 （ ）；（）；（）为等腰三角形；（）若，则 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由矩形的性质和折叠的性质可判断（ ）（），再由平行线的性质和等腰三角形的判定可判断（），设，，由勾股定理和线段和差可判断（）． 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴，， ∴，， 由折叠性质可知，，，，，，故（ ）正确； ∴，，故（）正确； ∴， ∴为等腰三角形，故（）正确； 由， 设，， ∴ ，， ∴， ∴， ∴，故（）正确； 综上可知：（ ）（）（）（）正确，共个， 故选：． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据分母不等于0列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 12. 计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法，熟练掌握二次根式的化简以及合并同类二次根式是解题的关键．先化简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解： 故答案为：． 13. 把多项式因式分解的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 已知扇形半径长为，扇形的弧所对的圆心角度数为，则该扇形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算．直接利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：扇形的面积． 故答案为：． 15. 对于实数m， n定义一种新运算“※”为， 例如，若，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、解一元一次不等式组，由新定义运算得出，结合题意得出，解不等式组即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图， 内接于 ，，直线 与 相切，点 为切点，为半径，若，则等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质和圆周角定理，连接，，根据切线的性质得出，由得，由三角形定理得，由圆周角定理得，由得，可得，由得． 【详解】解：连接，，如图， ∵直线 与 相切， ∴，即, 又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17. 某班级在开学初进行了寒假“诵冰雪，阅好书”活动总结，班级准备了电影《哪吒2》中的角色玩偶作为奖品，老师把5张形状大小相同的奖品兑换卡放在盒子中，其中有3张哪吒玩偶兑换卡、2张敖丙玩偶兑换卡．小华和小颖在此次活动中表现突出获得优先抽取的机会，每人从盒子中随机抽取一张兑换卡，她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，画树状图可得出所有等可能的结果数以及两人抽取到哪吒和敖丙的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：分别用 表示3张哪吒玩偶兑换卡，用表示2张敖丙玩偶兑换卡，画树状图如下： 从树状图可知共有20种等可能的结果数，其中恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的有6种， 所以，她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的概率， 故答案为：． 18. 如图，在 中，分别交 、 于点、 ，交于点 ，，，则的长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，由，，得四边形是平行四边形，，设，由，可得，即可解得答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴, 故答案为：4． 19. 平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于， 两点，点在轴上，若，则的值为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 先求出点，则，又，则求出或，然后分别代入求出的值即可． 【详解】解：∵直线与轴交于 点， ∴当时，， ∴点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上，点， ∴或， ∵点在直线图象上， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 20. 如图，矩形 中，点 为边的中点，连接，点 为 边上一点，连接交于点 ，若，，则线段的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，延长交的延长线于点 ，过点 作于点 ，可证，可得，即得，得到，进而得到，利用勾股定理得，又由余角性质可得，由三角函数得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点 ，过点 作于点 ，则， ∵四边形 是矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∵点 为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中，． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解题的关键． 先根据分式的除法法则和乘法法则进行计算，再根据分式的减法法则算减法，然后由三角函数值求出 的值后代入，即可求出答案． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 22. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 的顶点均在格点上． （1）请在如图所示的网格中，找一点（点在格点上），画出四边形 ，使四边形 是凸四边形且； （2）请在（1）的基础上，画出以 为直角边的等腰直角三角形，且．若在直线上存在动点 ，请直接写出的最小值． 【答案】（1） 解：如图，点D即为所作； （2）解：如图，点E即为所作； 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰直角三角形的判定，平行四边形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）选取格点D，构造即可得； （2）如图，在 右侧取格点E，使，；作点 关于的对称点 ，连接交于点 ，此时的最小值为的长，根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作点 关于的对称点 ，连接交于点 ， ∴， 由“两点之间，线段最短”可知的最小值为的长， 由勾股定理得， 所以，的最小值为． 23. 我区某校学生寒假期间通过“黑龙江志愿服务平台”积极报名参加“志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”、“敬老服务”、“文明宣传”、“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生必须且只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该学校随机抽取部分参加志愿者服务的学生进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的学生共有多少人？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有4000名学生，其中恰好有60%的学生参加志愿者服务，请你估计该校学生参加“文明宣传”项目的大约有多少人？ 【答案】（1）200人 （2） 补全图形如下： ； （3）840人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据“清洁卫生”的人数和所占的百分比求出样本容量； （2）用样本容量减去其他三个项目的人数，可得“敬老服务”的人数，进而补全条形统计图； （3）用参加志愿者服务的人数乘样本中参加“文明宣传”的人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：， 答：本次调查的学生共有200人； 【小问2详解】 解：， 【小问3详解】 解： 答：估计该校学生参加“文明宣传”项目的有840人． 24. 已知 为等边三角形，点， 分别在 ，边上，，与相交于点 ，将线段绕点 顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，过点 作交延长线于点 ，请直接写出图2中所有长度等于 的线段． 【答案】（1） 证明：连接，如图， 由旋转得，，， ∴是等边三角形， ∵ 是等边三角形， .∴.，， 又∵， ∴.， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （2）、、、 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）先证明，推出，，再证明 ，推出，即可证明四边形为平行四边形； （2）延长交 于点 ，连接，，根据 和均为等边三角形，四边形为平行四边形，利用线段的和与差证明得到；证明四边形为平行四边形，推出，再证明四边形是平行四边形，即可得到所有长度等于 的线段． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交 于点 ，连接，，如图， ∵ 和均为等边三角形，且， ∴，即； 由（1）知四边形是平行四边形， ∴，； ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即； ∵，即， ∵，即， ∴四边形为平行四边形， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 综上，与 相等的线段有、、、 25. 在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个雪花形会徽徽章多花35元． （1）求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？ （2）某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？ 【答案】（1）购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元 （2）20个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购买一个“雪花形会徽徽章”需要x元，则一个“滨滨”需要元，根据“购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半”，进行列式，解出，注意验根，即可作答． （2）设购买雪花形会徽徽章m个，根据总费用不超过2700元进行列式，解出，即可作答． 【小问1详解】 解：设购买一个雪花形会徽徽章需元，则一个吉祥物“滨滨”玩偶元． 根据题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解， ， 答：购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元； 【小问2详解】 解：设购买雪花形会徽徽章 个．根据题意得， 解得， 答：最多购买雪花形会徽徽章20个． 26. 如图， 为 直径， 为 的弦，连接，点 为 上一点，连接，，交直径 于点，若． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接 ，延长交于 ，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于，延长交于点，过点 作交 于 ，交于 ，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由可得，进而可得，再由可得，因此有，即可证明． （2）设，由，可知，即有，所以，进而可得，，因此可得四边形为平行四边形，即，连接、，证明，进而即可得出结论． （3）连接、、，延长交于点 ，交 于点 ，连接，，，，由，，可知四边形为平行四边形，因此，再证明四边形为平行四边形，所以，然后证明，得，求得， 再证明，得，设，则，在和中分别勾股得：，求得x的值，结合，，即可求出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， 四边形为平行四边形， ， 连接、， ， ， 又 ， ， ， ． 【小问3详解】 连接、、，延长交于点 ，交 于点 ，连接， ，，， 由（2）可知四边形为平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 在和中分别勾股得：， 整理得：， 解得，， ，， ， ，， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点 ，交轴的正半轴点，交轴的正半轴于点 ，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点 在第二象限的抛物线上，连接，， ，设点 的横坐标为 ，的面积为，求与 的函数解析式（不必写出自变量 的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接 ，点在上，点 在第二象限点 和点 之间的抛物线上，连接 ，，， 交于点 ，，，点 在上，连接交 于点 ，若，，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据，求出，得出，将它代入抛物线解析式中，求出，即可得抛物线解析式为：． （2）根据中，求出，得出的面积，过点 作轴于点轴于点，证明四边形为矩形，得出，表示出的面积，的面积，根据的面积为，得出的面积的面积的面积，即可求解． （3）过点 作轴，过 作于点 ．过点 作轴交轴于点，交 于点 ，证明，得出，根据，得出，设，表示出，，设，根据，得出，根据平行线截线段成比例得出，即可得，，根据，得出，，求出 解析式和解析式，设，则，代入直线，得出，表示出， ，将它代入抛物线解析式中求出 ，得出，过 作于，过作于，得出，设，得出，即可得，求出，，，求出，，过点 作交延长线于点，过点作于，证明，得出，待定系数法求出解析式即可． 【小问1详解】 解：中，令，则， ， ∴， ， ， ， 将它代入抛物线解析式中，得， 解得：， 抛物线解析式为：． 【小问2详解】 解：中，令，则， 解得：， ∴， ∴， 的面积， 过点 作轴于点轴于点，连接， ， ∴四边形为矩形， ∵点 的横坐标为 ， ， ∴， 的面积， 的面积， ∵的面积为， 的面积的面积的面积， 即． 【小问3详解】 解：过点 作轴，过 作于点 ．过点 作轴交轴于点，交 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ∴， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 解析式为， ， 解得：， ∴ 解析式为， 设解析式为， ， 解得：， ∴解析式为， 设，则， 代入直线，则， 解得：， ， ∴， 将它代入抛物线解析式中，得， 解得（舍），， ， 过 作于，过作于， ， ， 设， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 过点 作交延长线于点，过点作于， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ∴， ， ， ， 设解析式为， ， 解得：， ∴解析式为． 【点睛】该题是二次函数综合题，涉及的知识点主要有，二次函数的图象和性质，函数的解析式求解，全等三角形的性质和判定，解直角三角形，矩形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点,构造合适的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年香坊区初中毕业学年数学学科（九年级）调研测试（一） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸上、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、字迹清楚． 5．保证卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. －5的相反数是( ) A. B. C. 5 D. -5 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在2024年巴黎奥运会上，中国体育代表队获得40金、27银和24铜共91枚奖牌，创造了中国参加境外奥运会的最佳战绩．下面巴黎奥运会部分比赛项目的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 据新华社北京年 月日电，年我国知识产权量质齐升，国内发明专利有效量达件．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，该几何体由5个相同的立方体搭成，它的三视图中，面积相等的是（ ） A. 主视图与俯视图 B. 主视图与左视图 C. 俯视图与左视图 D. 三个视图都不相等 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知反比例函数，当时．随 的增大而增大、则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在 中，，，以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在直线下方交于点，连接 ，则 的长为（ ） A. 8 B. C. 5 D. 9. 美术课上，老师请同学们用黑色棋子设计有规律的图案，小华这组出色地完成了这个设计，摆出的图案不仅具有艺术美感，还存在数学规律，如图，观察他们的设计，按此规律，则第⑥个图案需要棋子的个数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 31 10. 在数学活动课上，小雨同学的数学活动报告单部分信息如下表，根据表中信息可知小雨同学所得的结论中正确的个数是（ ） 主题 矩形 纸片折叠后相关结论探究 方案 如图，沿折痕 折叠纸片，使点恰好落在 边上的点，点的对应点为点 ． 结论 （ ）；（ ）；（）为等腰三角形；（）若，则 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 在函数中，自变量 的取值范围是______． 12. 计算_____． 13. 把多项式因式分解的结果是______． 14. 已知扇形半径长为，扇形的弧所对的圆心角度数为，则该扇形的面积为_____． 15. 对于实数m， n定义一种新运算“※”为， 例如，若，则x的取值范围是______． 16. 如图， 内接于 ，，直线 与 相切，点为切点，为半径，若，则等于_____． 17. 某班级在开学初进行了寒假“诵冰雪，阅好书”活动总结，班级准备了电影《哪吒2》中的角色玩偶作为奖品，老师把5张形状大小相同的奖品兑换卡放在盒子中，其中有3张哪吒玩偶兑换卡、2张敖丙玩偶兑换卡．小华和小颖在此次活动中表现突出获得优先抽取的机会，每人从盒子中随机抽取一张兑换卡，她们恰好都抽中哪吒玩偶兑换卡的概率是_____． 18. 如图，在 中，分别交、于点、，交于点 ，，，则的长为_____． 19. 平面直角坐标系中，直线与 轴和轴分别交于，两点，点在 轴上，若，则的值为_____． 20. 如图，矩形 中，点为边的中点，连接，点 为边上一点，连接交于点 ，若，，则线段的长度为______． 三、解答题（其中21、22每题7分，23、24每题8分，25-27每题10分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中，． 22. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 的顶点均在格点上． （1）请在如图所示的网格中，找一点（点在格点上），画出四边形 ，使四边形 是凸四边形且； （2）请在（1）的基础上，画出以为直角边的等腰直角三角形，且．若在直线 上存在动点，请直接写出的最小值． 23. 我区某校学生寒假期间通过“黑龙江志愿服务平台”积极报名参加“志愿者服务”活动，其服务项目有“清洁卫生”、“敬老服务”、“文明宣传”、“交通劝导”，每名参加志愿者服务的学生必须且只参加其中一项．为了解各项目参与情况，该学校随机抽取部分参加志愿者服务的学生进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的学生共有多少人？ （2）请通过计算补全条形统计图； （3）若该校共有4000名学生，其中恰好有60%的学生参加志愿者服务，请你估计该校学生参加“文明宣传”项目的大约有多少人？ 24. 已知 为等边三角形，点，分别在，边上，，与 相交于点 ，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，过点 作交延长线于点 ，请直接写出图2中所有长度等于的线段． 25. 在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个雪花形会徽徽章多花35元． （1）求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？ （2）某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？ 26. 如图，为 直径， 为 的弦，连接，点 为 上一点，连接，，交直径于点，若． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，延长交于，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，过点作于，延长交于点，过点作交 于，交于 ，若，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交 轴的负半轴于点，交 轴的正半轴点，交轴的正半轴于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点在第二象限的抛物线上，连接，，，设点的横坐标为 ，的面积为，求与 的函数解析式（不必写出自变量 的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，点在上，点在第二象限点和点之间的抛物线上，连接 ，， ， 交于点 ，，，点 在上，连接交于点 ，若，，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $