专题13 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题13 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、双内角角平分线 4 类型二、一内角一外角双角平分线 6 类型三、双外角角平分线 11 类型四、高线与角平分线分线 15 压轴能力测评（16题） 17 解题知识必备 1. 双内角角平分线 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 2. 一内角一外角双角平分线 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 3. 双外角角平分线 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。 4. 高线与角平分线分线 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 压轴题型讲练 类型一、双内角角平分线 例：（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，与的平分线交于点P，若，则 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由题意得到，再结合角平分线的定义，得出，最后利用三角形内角和求解即可． 【详解】解：，， ， 与的平分线交于点P， ，， ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，是的角平分线， 相交于点D，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ），理由见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，以及角平分线的定义． （1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义得出．最后根据，即可解答； （2）（ⅰ）先根据三角形的内角和求出．结合角平分线的定义推出平分，则，即可解答； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，，则，由（1）知，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵BE是的平分线， ∴． ∴． （2）解：（ⅰ）在中，． ∵和分别是和的角平分线， ∴平分． ∴． ∴． （ⅱ），理由如下： 由（ⅰ）可知：，， ∴． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 类型二、一内角一外角双角平分线 例：（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，点是的外角内部一点，满足，．若，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．设，，根据，，得，，根据外角的性质列式解答即可． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴①，②， ∵， ∴由①②得 解得． 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 【答案】/64度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】延长，过点作于点，作于点，作于点，根据角平分线的判定可知是的平分线，再利用角平分线的定义可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了角平分线的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练运用角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ∵的外角的平分线与内角平分线交于点， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 【答案】①②③ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查角平分线的性质以及三角形外角性质知识点，本题运用了数形结合的数学思维．解题关键在于对角平分线的性质以及三角形外角性质知识点熟练掌握． 根据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，再结合平角概念得，则运用三角形外角性质得，因为，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点，所以点在的角平分线上；结合三角形外角性质以及角平分线的性质得，根据角平分线线的性质定理，结合即可判断． 【详解】解：为外角的角平分线，平分， ，， 又是的外角， ， 故①正确； ，分别平分，， ∴， 则， ∴， 故②是正确的． 连接，如图所示： ，分别平分，，且三角形的三条角平分线会交于一点， ∴点在的角平分线上， 故③是正确的． ∵， 平分， ∴ 平分， ∴ ∴ 故④是错误的， ∵，分别平分，， ∴点到的距离点到的距离点到的距离， ∴， 故⑤是错误的， 故答案为：①②③． 3．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 类型三、双外角角平分线 例：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线定义、三角形外角的应用等知识点，熟知三角形的外角性质是解答此题的关键． 根据角平分线的定义有、得，根据外角的性质进而完成解答． 【详解】解：平分，平分的外角， ∴、， ， ∴， ∵， ． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在中，与的平分线相交于点． 【问题研究】 （1）①如图1，若，，则_____________． ②猜测与之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作的外角，的平分线相交于点，则与之间的数量关系为_____________． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，相交于点，在中，当与两锐角存在3倍的数量关系时，求的度数． 【答案】（1）①；②猜想，证明见解析；（2）；（3）或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义； （1）①根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算；②根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （2）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （3）根据已知条件求出的度数，然后由（2）求出的，利用三角形内角和求出，再分2种情况讨论，求出的度数． 【详解】解：（1）①解：分别是和的角平分线，，， ， ， ， 故答案为：； ②猜想，证明如下： ∵， ∴ 分别是和的角平分线， ， ， ； （2）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ， 由（1）得， ∴， ； （3）是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 由（2）知， 当， ， ， ； 当， ， 解得：， 综上可知：的度数为或． 类型四、高线与角平分线分线 例：（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）在中，是角平分线，．    (1)如图①，是高，，，求的度数； (2)如图②，点E在上，，垂足为F，试探究与，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据三角形的内角和定理、角平分线的定义可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵在中，是角平分线， ∴， ∴， ∵是高， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 在中，， ∵在中，是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义等，解题的关键是掌握三角形内角和定理，即任意一个三角形的三个内角和为180度． （1）根据三角形内角和定理求出和，再利用角平分线的定义和角的和差关系求解； （2）根据三角形内角和定理先求，再求，然后利用三角形外角的性质求解即可； （3）先根据对顶角相等得出，再利用直角三角形两锐角互余求解． 【详解】（1）解：∵，，， ，， 平分， ， ； （2）解：因为，， 所以． 因为AD平分， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）解：的度数为定值．理由如下： 由（2）可知， 所以， 所以． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）如图，的角平分线、交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，根据三角形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义可得，，从而求出，最后再次利用三角形的内角和等于列式计算即可得解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂线的定义理解、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题． 先根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理计算出，然后由即可计算度数． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴ ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，多边形的内角与外角，熟练掌握四边形内角和是解题的关键．根据题意求出，再根据角平分线的性质求出的度数，故根据的内角和求出的度数． 【详解】解：， ， ， 的角平分线与的外角平分线相交于点P， ， ． 故选B． 4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）直线与直线 垂直相交于O，点A 在射线上运动，点B 在射线 上运动．如图，已知，分别是和的角平分线，点A，B 在运动的过程中，度数为（  ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了垂直的定义、角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的定义是解题关键． 先根据垂直的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义、三角形的内角和定理即可得． 【详解】解：， ， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的角平分线，两条角平分线交于点，得；和的角平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查的是三角形的外角性质，角平分线的定义，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 同理可得，，⋯， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 6．（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，在中，是的角平分线，在射线上，于，，，则 度． 【答案】22 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定义、三角形的外角性质以及垂线，牢记“三角形内角和是”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，由于，可得出，再利用三角形的外角性质，可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 又平分， ． 于， ． 是的外角，是的外角， ， ， ． 故答案为：22． 7．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，、的角平分线交于点P，若，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出、、三者之间的关系式是解题的关键． 延长交于E，根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，然后代入数据计算即可得解． 【详解】解：如图，延长交于E， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， 由三角形的内角和定理得，①， 在中，， 在中，， ∴②， ①-②得，， ∴， ∵，， ∴ 故答案为：． 8．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，和是的外角，和分别是和的角平分线，延长和交于点．设，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、对顶角相等、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线的定义，对顶角的性质，三角形内角和定理，由三角形外角性质可得，，由角平分线定义得，，进而得，，再根据三角形内角和定理可得，即可得到，进而即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得，，， ∵和分别是和的角平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，和的角平分线交于，得和的角平分线交于，得和的角平分线交于，则 ， ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、图形类规律探索 【分析】本题考查了三角形外角性质与角平分线的定义，图形类的规律探索，根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解． 【详解】解：和的平分线交于点， ， ， 同理，， ， 以此类推，可知，， 故答案为：，． 10．（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 【答案】 ； ． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】（）先根据三角形的内角和定理得到的度数，再利用角平分线的定义求出的度数，根据三角形外角的性质求出，再根据直角三角形两锐角互余进行求解即可； （）根据三角形内角和先得到，再根据角平分线的定义得到，再根据内角和定理以及对顶角的性质求出，继而利用直角三角形两锐角互余即可证得结论； 本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义等，准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键． 【详解】（）∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，是的角平分线，D是延长线上一点，过点D作交于点F，已知，，求的度数． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据平行线的性质求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 12．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为40，，求的长． 【答案】(1) (2)8 【知识点】根据三角形中线求面积、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质和三角形面积公式．本题的关键是充分应用三角形的角平分线、高和中线的定义． （1）先利用三角形的外角性质计算出，再利用角平分线定义得到，然后根据高的定义和互余可求出的度数； （2）先根据中线定义得到，然后利用三角形面积公式求的长． 【详解】（1）解： ，，， ， 平分， ， 为高， ， ． （2）解：为中线， ， ， . 13．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义等，解题的关键是掌握三角形内角和定理，即任意一个三角形的三个内角和为180度． （1）根据三角形内角和定理求出和，再利用角平分线的定义和角的和差关系求解； （2）根据三角形内角和定理先求，再求，然后利用三角形外角的性质求解即可； （3）先根据对顶角相等得出，再利用直角三角形两锐角互余求解． 【详解】（1）解：∵，，， ，， 平分， ， ； （2）解：因为，， 所以． 因为AD平分， 所以， 所以， 所以， 所以． （3）解：的度数为定值．理由如下： 由（2）可知， 所以， 所以． 14．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①，②的度数为或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论； 【详解】（1）解：； ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ； （3）解：①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 15．（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出，再推导出，进而可以求解 （3）延长，交于点M，延长、交于点N，可得，进而即可求解 【详解】解：（1）如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点 ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴， ∴； ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N， 如图所示， ∵、平分 ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 三角形中的倒角模型之双角平分线和高线的四种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 4 类型一、双内角角平分线 4 类型二、一内角一外角双角平分线 6 类型三、双外角角平分线 11 类型四、高线与角平分线分线 15 压轴能力测评（16题） 17 解题知识必备 1. 双内角角平分线 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 2. 一内角一外角双角平分线 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 3. 双外角角平分线 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。 4. 高线与角平分线分线 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 压轴题型讲练 类型一、双内角角平分线 例：（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，与的平分线交于点P，若，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，是的角平分线， 相交于点D，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 类型二、一内角一外角双角平分线 例：（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，点是的外角内部一点，满足，．若，则的度数是 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，的内角和外角的角平分线，交于点，且，则 ． 2．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图．在中，，分别平分，，且交于点，为外角的平分线，的延长线交于点，则以下结论：①；②；③点在的角平分线上；④；⑤若点到的距离是2，的周长是12，则的面积是24．一定成立的是 ． 3．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）如图3，相交于点，，、的角平分线交于点，，，则 ． 类型三、双外角角平分线 例：（24-25八年级上·广东广州·期中）如图所示，在中，和的角平分线交于点O，和的角平分线交于点D，和的角平分线交于点E，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）在延时服务课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题．在中，与的平分线相交于点． 【问题研究】 （1）①如图1，若，，则_____________． ②猜测与之间的数量关系，并证明． 【问题延伸】 （2）如图2，作的外角，的平分线相交于点，则与之间的数量关系为_____________． 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，相交于点，在中，当与两锐角存在3倍的数量关系时，求的度数． 类型四、高线与角平分线分线 例：（24-25八年级下·陕西咸阳·开学考试）在中，是角平分线，．    (1)如图①，是高，，，求的度数； (2)如图②，点E在上，，垂足为F，试探究与，的数量关系，并说明理由． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25八年级下·山东青岛·开学考试）如图，的角平分线、交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，，，，则（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点P，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）直线与直线 垂直相交于O，点A 在射线上运动，点B 在射线 上运动．如图，已知，分别是和的角平分线，点A，B 在运动的过程中，度数为（  ） A． B． C． D．无法确定 5．（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，已知的内角，分别作内角与外角的角平分线，两条角平分线交于点，得；和的角平分线交于点，得；……以此类推得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（22-23八年级上·北京西城·期中）如图，在中，是的角平分线，在射线上，于，，，则 度． 7．（23-24七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，、的角平分线交于点P，若，，则 ． 8．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，和是的外角，和分别是和的角平分线，延长和交于点．设，，则与之间的数量关系为 ． 9．（23-24八年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，在中，和的角平分线交于，得和的角平分线交于，得和的角平分线交于，则 ， ． 10．（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，分别是的角平分线和高． （1）若，，则的度数为 ． （2）如图，平分，点是延长线上一点，过点作于点，则与，的数量关系是 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在中，是的角平分线，D是延长线上一点，过点D作交于点F，已知，，求的度数． 12．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小； (2)若的面积为40，，求的长． 13．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，E为上一点，于点F，已知，． (1)如图①，若点E与点A重合，求的度数； (2)如图②，若点E在线段上（不与点A重合），求的度数； (3)如图③，若点E在的延长线上，此时的度数是否为定值？请说明理由． 14．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 15．（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$