专题02 三角形的内角和与外角和（专项训练）数学新教材华东师大版七年级下册

专题02 三角形的内角和与外角和 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与平行线有关的三角形内角和问题 1 题型二、与角平分线有关的三角形内角和问题 4 题型三、三角形折叠中的角度问题 7 题型四、三角形内角和定理的应用 11 题型五、直角三角形两个锐角互余 14 题型六、锐角互余的三角形是直角三角形 16 题型七、三角形外角的定义和性质 20 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，已知，，，则等于_____． 【答案】/40度 【分析】本题考查了垂线的定义、三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 先根据垂线的定义得出，然后在三角形中利用内角和定理求出的度数，最后利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 2．如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在五边形中，，，分别平分和，则的度数为________． 【答案】/90度 【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义求出，最后由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别平分和， ∴， ∴， ∴． 4．如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是充分利用（1）中结论解决问题． （1）利用三角形内角和证明即可； （2）利用先求出，根据平分求出，再根据求出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解决问题的关键． 先由平行线的性质求出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 6．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 题型二、与角平分线有关的三角形内角和问题 7．如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求得的度数，由角平分线和垂直的定义可得和的度数，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 8．如图，已知在中，平分，交边于点D，如果，那么_________． 【答案】80 【分析】根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，再求出结果即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 9．如图，直线，，，平分，则的度数为_____． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，利用平行线的性质求出 的度数，再根据三角形内角和定理即可求解 【详解】解：平分， 设与交于点， ∴． 10．如图，在中，，平分，求的度数． 【答案】 【分析】由角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵，， ∴． 11．已知中，，、的平分线的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出中的度数，再根据角平分线得到的度数，最后在中计算出的度数. 【详解】解：∵ 在中，，三角形内角和为 ∵ 平分，平分 ， ∵ 在中，内角和为 12．如图，在中，、的平分线，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的性质与三角形内角和性质即可求出的值． 【详解】解：由题意可知：， ∵在中，、的平分线是，， ∴， ∴． 故选：B． 题型三、三角形折叠中的角度问题 13．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，则这种数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质和平角的定义可知，再根据三角形内角和定理得，将三个式子结合可得答案． 【详解】解：根据折叠可知， 即． ∵， ∴， 即， ∴． 14．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 【答案】/100度 【分析】利用三角形内角和为180度得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据和求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点处， ∴， ∴． 15．如图，在中，，把沿边上的高所在的直线翻折，点落在边的延长线上的点处，如果，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图形，如图所示，由折叠可得，再由三角形内角和定理可得，从而根据求出答案． 【详解】解：把沿边上的高所在的直线翻折后如图所示， 由折叠可知， 则由三角形内角和定理可得， 又， ∴． 16．如图，将一个长方形纸片按图示折叠，若，则的度数是___________． 【答案】/70度 【分析】利用平行线的性质得到，利用折叠的性质得到，利用对顶角的性质得到，再利用三角形的内角和运算即可． 【详解】解：如图所示进行标注，并延长到点， 由题意可得：， ∴， ∴由折叠可得， ∵，， ∴， 解得：． 17．如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折的性质得出相等角，再根据平角定义表示出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得，，， ∴，， ， ∴ ， ∴． 18．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了轴对称变换，直角三角形两锐角互余，正确的作出图形是解题的关键．因为点恰好在原直角三角形纸片的边上，所以分为当落在边上和边上两种情况分析求解即可． 【详解】解：将纸片沿折叠，点A落在处，将纸片沿折叠，点D落在处， ． 分两种情况讨论∶如图，当点恰好落在边上时， 则． ， ． 如图，当点恰好落在边上时， 根据轴对称的性质知， ， ． ， ． ， ． ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 题型四、三角形内角和定理的应用 19．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中都与地面平行，，，当与平行时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质，三角形内角和求解即可． 【详解】解：都与地面平行， ， ， ， ， ． 20．如图，直线，直线分别与直线，相交于，两点，，交直线于点．若，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】根据垂线的定义得到，利用三角形内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质即可求解. 【详解】解：， ， 在中，， ， ． 21．如图，，直线l平分，，则______． 【答案】/70度 【分析】由平行线的性质得出，由邻补角的定义得出，由角平分线的定义得出，再根据三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵直线l平分， ∴， ∴． 22．科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图，两个平面镜的夹角，一束平行于的光线从点A出发，射向平面镜，经过几次反射后，光线回到点A，则反射的次数为（　　） A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 【答案】D 【分析】设第一次，第二次，第三次反射点分别为D、E、F，根据平行线的性质得到，则可得到，进而可求出，证明，可确定第四次的反射点为点E，则第五次的反射点为点F，且反射光线为射线，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设第一次，第二次，第三次反射点分别为D、E、F， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第四次的反射点为点E， ∴第五次的反射点为点F，且反射光线为射线， ∴反射的次数为五次． 23．如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】记与相交于点M，根据平行线的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，记与相交于点M， ∵， ∴． ∵， ∴． 24．已知在中，，那么_________． 【答案】95 【分析】根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为，结合已知两个内角的度数求解第三个内角的度数即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 题型五、直角三角形两个锐角互余 25．将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为____________． 【答案】/155度 【分析】过作，先求，再由两直线平行，同位角相等得到，结合求解． 【详解】如图，过作， 根据题意可知，， ， ， ， ， ． 26．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若此时光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵集热板与太阳光线垂直， ∴， ∵， ∴． 27．若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______． 【答案】 【详解】解：直角三角形的一个锐角为， 另一个锐角的度数为：． 28．如图，，将一直角三角板的直角顶点放在直线上，点放在直线上．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，然后根据两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】解：∵中，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 29．在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 30．如图，相交于点．求的大小． 【答案】 【分析】利用题目已知角度和三角形内角和，计算和的度数，再用即可求解． 【详解】解：， ， ． 题型六、锐角互余的三角形是直角三角形 31．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据条件结合三角形内角和计算各角度数，判断三角形是否存在角即可求解． 【详解】解：在中，． A、∵，∴，代入内角和得，即，是直角三角形，本选项不符合题意． B、∵，∴，是直角三角形，本选项不符合题意． C、∵，设，，，则，解得，，是直角三角形，本选项不符合题意． D、∵，设，则，∴，解得，最大角，不存在90°角，不是直角三角形，本选项符合题意． 32．满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． B、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． D、∵， ∴是直角三角形． 33．如图，平分，，，，则是____三角形． 【答案】直角 【分析】通过三角形的内角和等于，计算，再利用角平分线的定义得到，根据直角三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：， ∵平分， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 34．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据三角形内角和定理，锐角互余的三角形是直角三角形等知识点，对四个选项逐一分析，再判断是否存在的角． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 故A不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故B不符合题意； ∵， ∴， ∴是直角三角形， 故C不符合题意； ，仅知道一个角为，无法确定是否存在的角（如等边三角形三个角均为）， 不能判定△ABC为直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 35．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形内角和以及直角三角形的判定，用三角形的内角和求得即可． 【详解】证明： ， ， ，， ，， ，， ， 是直角三角形． 36．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 题型七、三角形外角的定义和性质 37．如图，，平分，平分，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_____________个． 【答案】4 【分析】根据角平分线的定义得到，，结合平角的定义可判断①；根据平行线的性质得到，，，结合得到，可判断②；通过角平分线的定义和平行线的性质综合判断出，即可判断③④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，即，故①正确； ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∴，故③正确； 故正确的有①②③④． 38．如图，是的平分线，直线与分别交于点．若，．求的度数． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义求出，再根据三角形外角的性质列式计算即可得解． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴ 39．如图，已知，，，则_______． 【答案】/30度 【分析】延长交于，根据平行线的性质求出，求出，根据三角形外角性质得出，代入求出即可． 【详解】解：延长交于． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 40．如图，在中，是的角平分线，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质即可得出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 是的角平分线， ， ． 41．如图，直线，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求解即可． 【详解】解：如图，． 42．如图，已知，，，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】由平行线的性质，结合三角形外角的性质，即可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 2．如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 3．如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 4．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ）    A．70° B．65° C．60° D．50° 【答案】A 【分析】根据平行得到，再利用外角的性质和对顶角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 6．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角的性质，进行求解即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 7．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出的度数，根据补角的定义求出的度数，根据三角形的内角和即可求出的度数，进而即可求出结果，熟练掌握其性质并能灵活运用一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及三角形的内角和为是解决此题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，三角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键． 作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小，根据轴对称的性质可得出，，从面可求得，，代入即可求解． 【详解】解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 二、填空题 9．在中，，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 10．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，将一角折叠，若，则_______． 【答案】/144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，______度． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题 14．如图，平分，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义知识，能根据三角形的外角性质得出是解此题的关键．根据角平分线定义求出，根据三角形的外角性质得出，即可求出答案． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴． 15．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．   三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，, 求证： 方法一 证明：如图，过点A作    方法二 证明：如图，过点C作    【答案】答案见解析 【分析】方法一：依据平行线的性质，即可得到，，从而可求证三角形的内角和为． 方法二：由平行线的性质得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，从而可求证三角形的内角和为． 【详解】证明： 方法一：过点作，    则，． 两直线平行，内错角相等） ∵点，，在同一条直线上， ∴．（平角的定义） ． 即三角形的内角和为． 方法二： 如图，过点C作    ∵CD//AB， ∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°， ∴∠B+∠ACB+∠A=180°． 即三角形的内角和为． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 16．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）①；②． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵ ∴ ∴； （2）①如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，在直线上取一点，连接， 由①可知， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形的内角和与外角和 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与平行线有关的三角形内角和问题 1 题型二、与角平分线有关的三角形内角和问题 2 题型三、三角形折叠中的角度问题 3 题型四、三角形内角和定理的应用 4 题型五、直角三角形两个锐角互余 5 题型六、锐角互余的三角形是直角三角形 6 题型七、三角形外角的定义和性质 7 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与平行线有关的三角形内角和问题 1．如图，已知，，，则等于_____． 2．如图，直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在五边形中，，，分别平分和，则的度数为________． 4．如图，在中，点D在上，，的平分线交AC于点E，过点E作，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 5．如图，在中，，点D在边上，，若，求的度数． 6．如图，直线，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 题型二、与角平分线有关的三角形内角和问题 7．如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知在中，平分，交边于点D，如果，那么_________． 9．如图，直线，，，平分，则的度数为_____． 10．如图，在中，，平分，求的度数． 11．已知中，，、的平分线的夹角是（     ） A． B． C． D． 12．如图，在中，、的平分线，相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 题型三、三角形折叠中的角度问题 13．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，与之间有一种数量关系始终保持不变，则这种数量关系是（   ） A． B． C． D． 14．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分平分，若，则的度数为_____． 15．如图，在中，，把沿边上的高所在的直线翻折，点落在边的延长线上的点处，如果，则的度数为(    ) A． B． C． D． 16．如图，将一个长方形纸片按图示折叠，若，则的度数是___________． 17．如图，将三角形纸片沿折叠，点A落在点F处，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 18．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，．第一步，在边上找一点D，将纸片沿折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图3．当点恰好落在原直角三角形纸片的边上时，的度数为______． 题型四、三角形内角和定理的应用 19．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图是某品牌共享单车放在水平地面的示意图，其中都与地面平行，，，当与平行时，的度数为（   ） A． B． C． D． 20．如图，直线，直线分别与直线，相交于，两点，，交直线于点．若，则的度数是________． 21．如图，，直线l平分，，则______． 22．科学实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图，两个平面镜的夹角，一束平行于的光线从点A出发，射向平面镜，经过几次反射后，光线回到点A，则反射的次数为（　　） A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 23．如图，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 24．已知在中，，那么_________． 题型五、直角三角形两个锐角互余 25．将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为____________． 26．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若此时光能利用率最高，则集热板与水平面夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 27．若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______． 28．如图，，将一直角三角板的直角顶点放在直线上，点放在直线上．已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．如图，相交于点．求的大小． 题型六、锐角互余的三角形是直角三角形 31．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 32．满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 33．如图，平分，，，，则是____三角形． 34．下列条件中，不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，，垂足为，是线段上一点，交于，．求证：是直角三角形． 36．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 题型七、三角形外角的定义和性质 37．如图，，平分，平分，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有_____________个． 38．如图，是的平分线，直线与分别交于点．若，．求的度数． 39．如图，已知，，，则_______． 40．如图，在中，是的角平分线，，，求和的度数． 41．如图，直线，则（　　） A． B． C． D． 42．如图，已知，，，则的度数是________． 一、单选题 1．将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图，直线，，．若．则等于（　　） A． B． C． D． 4．如图为商场某品牌椅子的侧面图，，与地面平行，，则（    ）    A．70° B．65° C．60° D．50° 5．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 6．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．在中，，，则___________． 10．如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 11．如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是______． 12．如图，将一角折叠，若，则_______． 13．如图，______度． 三、解答题 14．如图，平分，，，求的度数． 15．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．   三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，, 求证： 方法一 证明：如图，过点A作    方法二 证明：如图，过点C作    16．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $