专题12 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型三种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题12 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 3 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 5 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 9 压轴能力测评（15题） 14 解题知识必备 1. 三角形中的倒角模型之“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 2.三角形中的倒角模型之“8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3.三角形中的倒角模型之燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 压轴题型讲练 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 例题：（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，剪去成四边形，则的度数为 ． 【答案】/230度 【知识点】三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题考查了三角形内角和以及多边形内角和，根据在中，，得出，结合四边形内角和是，则，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由四边形内角和是，则， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，从纸片中剪去，得到四边形．如果，那么 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据平角的定义求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3). 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵，∴， ∵，∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下：由（1）可得． ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下：由图2可得，， ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 例题：（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，，∠B=90°， ． 【答案】/30度 【知识点】对顶角相等、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得，由对顶角相等得，再利用三角形内角和定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形内角和为． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵∠B=90°， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西防城港·期末）已知：如图，，分别平分和，，， ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 设与、分别交于点、，由，分别平分和可得，，由三角形外角的性质可得，进而可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，于是得解． 【详解】解：如图，设与、分别交于点、， ，分别平分和， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）“字”的性质及应用： (1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由； (2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个； (3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由． 【答案】(1)理由见解析 (2)见解析 (3)理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】（1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解答； （2）根据题中给出的“字”的概念即可解答； （3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质即可解答． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ． （2）解：图中有个“字”分别是：、、、、． （3）解：平分平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、对顶角相等等知识点，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； (3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义、对顶角相等 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键； （1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，结合（1）的结论可得； （3）运用（1）和（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1， ，， ． （2）解：如图2， 和的平分线相交于点， ，， 由（1）可得：，， ， ． （3）由（1）得：， ， ， 设与的交点为点，则， 两式相减可得：， ， ， ， ， 即． 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 例题：（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，作射线，根据题意得出，代入数据，即可求解． 【详解】解：如图所示，作射线， ∵，， ∴ 即 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图是某零件的平面图，其中，则∠A的度数为 【答案】/40度 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角性质，三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．延长交于E，根据补角的定义得出的度数，由三角形内角和定理得出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：延长交于E， ， ， ， ， 故答案为： 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出、、三者之间的关系式是解题的关键． 延长交于，根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，即可得解． 【详解】如图，延长交于点，设与交于点． 、的平分线交于点， ，． ，， ① ，， ② ①－②，得， ． ，， ． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）解读基础： （1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由； （2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由： 应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题 （3）①如图3，在中，、分别平分和，请直接写出和的关系　　； ②如图4，　　． （4）如图5，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，已知，，求和的度数． 【答案】（1），理由详见解析；（2），理由详见解析：（3）①；②360°；（4）； . 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形外角等于不相邻的两个内角之和即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理及对顶角相等即可得出结论； （3）①根据角平分线的定义及三角形内角和定理即可得出结论； ②连结BE，由（2）的结论及四边形内角和为360°即可得出结论； （4）根据（1）的结论、角平分线的性质以及三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】（1）．理由如下： 如图1，，， ， ； （2）．理由如下： 在中，， 在中，， ， ； （3）①，， 、分别平分和， ， ． 故答案为． ②连结． ∵， ． 故答案为； （4）由（1）知，， ，， ， ， ，， ， ， ， ； ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和；熟练掌握角平分线的性质，进行合理的等量代换是解题的关键． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，在三角形纸片中剪去得到四边形，且，则纸片中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要查了三角形的内角和定理．熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 根据邻补角的性质可得，再根据三角形的内角和定理解答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D 2．（2025·陕西榆林·一模）如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如下图．等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角、三角形内角和的知识，熟练掌握三角形的外角的性质与内角和定理是解题的关键．延长，交于点G，根据三角形外角的性质，得，，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，延长，交于点G， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，E，F是的边，上的点，D是点A上方的一点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据三角形内角和定理得出，，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 故选：A． 二、填空题 5．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，将一个三角形剪去一个角后，，则等于 ． 【答案】/60度 【知识点】三角形内角和定理的应用、多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和，三角形的内角和，根据四边形的内角和为度，求出的度数，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，直线与正五边形两边交于O、Q两点，则的度数为 ． 【答案】/144度 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边的定义，多边形的内角和及正多边的定义得，由四边形的内角和为，即可求解；理解正多边的定义，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：五边形是正五边形， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图， ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质可得，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解； ∵， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 【答案】 【知识点】对顶角相等、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，对顶角的性质，三角形的外角性质等；，设，则，由三角形的内角和定理得，，再由角平分线及三角形的内角和定理得，由三角形的外角性质得，即可求解；能熟练利用三角形的内角和定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， 又， ， 设，则， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）已知：如图，，相交于点．求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据，即可得证． 【详解】证明：∵是的一个外角， ∴， 即． 10．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，分别平分． (1)当，求的度数． (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的外角性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”． （1）延长交于点，延长交于点，设，，利用三角形的外角性质求得，，，，代入数据进一步计算即可求解； （2）同（1）即可求得． 【详解】（1）解：延长交于点，延长交于点，设，， ∵分别平分， ∴，， 由三角形的外角性质得，， ，， ∵， ∴， 解得， ∴； （2）解：，理由如下： 延长交于点，延长交于点，设，， ∵分别平分， ∴，， 由三角形的外角性质得，， ，， ∴， ∴， ∴； 11．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形； 【知识点】三角形的分类、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、多边形内角和问题 【分析】计算：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． 归纳： 由，，，再进一步求解即可． 拓展：①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【详解】解：计算：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳：； 证明：， ． ，， ，， ∴， ∴， ∴； 应用：∵在纸片中剪去，得到四边形． ∴结合归纳可得：， ∵， ∴； 拓展： ①如图，∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ ， ； ②当时， ， ， 为钝角三角形； 当时，， 为直角三角形； 当时， ， ， 由题意可得，， ，都是锐角． 为锐角三角形． 【点睛】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）（8字模型）阅读材料：如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，求的度数．    【答案】97° 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据“对顶三角形”的性质，得出，，则得到，即可求解． 【详解】解：如题图2，和的平分线和相交于点， ，， ，， 得：， 即， ，， ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为． 13．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)详见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）先根据三角形的内角和得，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得和的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【详解】（1）解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴， 同理得， ∴，即， ∴； （3）如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义，解答的关键是熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． （1）根据三角形内角和定理得，，即，即可求得，则容易得到； （2）用题中给出的结论表示出与，再把两式相减即可得出结论； （3）利用题中给出的结论解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在中，， ； 在中， ， 即， 而， ， 即． （2），理由如下： 由题意得，①， ②， 平分，平分， ，， ①②得，， ； （3），理由： ，， ，， ①， ②， ②①得， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求 的度数； ③如图4，求图中五角星五个“角”的和． 【答案】(1)，见解析 (2)①；②；③ 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理和外角的性质是解答此题的关键． （1）作射线，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）①先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； ②先根据第1题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论； ③由（1）中“规形图”结论可知：，结合三角形的内角和即可得解 【详解】（1），理由如下： 过点A、D作射线， ， 即 （2）①， 由（1）可知： ② 平分，平分， ③如图：由（1）中“规形图”结论可知：， 又 即 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾模型三种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 3 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 3 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 5 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 9 压轴能力测评（15题） 14 解题知识必备 1. 三角形中的倒角模型之“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 2.三角形中的倒角模型之“8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3.三角形中的倒角模型之燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 压轴题型讲练 类型一、三角形中的倒角模型之“A”字模型 例题：（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，剪去成四边形，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）如图，从纸片中剪去，得到四边形．如果，那么 ． 2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 类型二、三角形中的倒角模型之“8”字模型 例题：（24-25七年级下·上海青浦·阶段练习）如图，已知直线、相交于点，，，∠B=90°， ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广西防城港·期末）已知：如图，，分别平分和，，， ． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）“字”的性质及应用： (1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由； (2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个； (3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）我们把有一组对顶角的两个三角形组成的图形叫做“8”字图形，如图1，，相交于点，连接，得到“8”字图形． (1)如图1，试说明的理由； (2)如图2，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论探索与、间的关系； (3)如图3，点为延长线上一点，、分别是、的四等分线，且，，的延长线与交于点，请探索与、的关系．（直接写结论） 类型三、三角形中的倒角模型之燕尾模型 例题：（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，，，，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图是某零件的平面图，其中，则∠A的度数为 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期中）解读基础： （1）图1形似燕尾，我们称之为“燕尾形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由； （2）图2形似8字，我们称之为“八字形”，请写出、、、之间的关系，并说明理由： 应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题 （3）①如图3，在中，、分别平分和，请直接写出和的关系　　； ②如图4，　　． （4）如图5，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，已知，，求和的度数． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，在三角形纸片中剪去得到四边形，且，则纸片中的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西榆林·一模）如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如下图．等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，E，F是的边，上的点，D是点A上方的一点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，将一个三角形剪去一个角后，，则等于 ． 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，直线与正五边形两边交于O、Q两点，则的度数为 ． 7．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图， ． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 三、解答题 9．（24-25九年级下·山东济南·开学考试）已知：如图，，相交于点．求证：． 10．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，分别平分． (1)当，求的度数． (2)猜想与之间的数量关系，并说明理由． 11．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）（8字模型）阅读材料：如图1所示，线段与相交于点，称与为“对顶三角形”．根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：．如图2所示，线段与相交于点，与的平分线和相交于点，交于点，交于点，已知，，求的度数．    13．（24-25八年级上·内蒙古包头·期末）已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 14．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）凹四边形因形似“燕尾”，被称为燕尾四边形，请结合所学知识解决下列问题： (1)用图①证明：； (2)在图①中，若平分，平分，与交于E点，运用（1）的结论写出、和之间的关系，并说明理由； (3)如图②，若，，试探索，和三个角之间的关系为______（直接写出结果即可）． 15．（24-25八年级下·宁夏银川·开学考试）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题： (1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由； (2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果； ②如图3，平分，平分，若，求 的度数； ③如图4，求图中五角星五个“角”的和． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$