专题11 多边形内角和与外角和的六种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题11 多边形内角和与外角和的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、多边形内角和问题 2 类型二、多边形对角线的条数问题 3 类型三、多边形截角后的边数问题 4 类型四、多边形截角后的内角和问题 5 类型五、多边形外角和的实际应用 7 类型六、多边形内角和与外角和综合 9 压轴能力测评（15题） 12 解题知识必备 1.多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 2.多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 3.多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 压轴题型讲练 类型一、多边形内角和问题 例题：（2024·辽宁·模拟预测）一个八边形的内角和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和定理，直接套用多边形的内角和进行计算可求八边形的内角和， 【详解】解：内角和：． 故答案为： 【变式训练】 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 【答案】18 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 ， ∴． 故答案为：18． 2．（2024·河北邯郸·一模）已知一个正边形的内角和与外角和的差为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，解一元一次方程，根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键． 【详解】解：由题知，正边形的内角和为，正边形的外角和为， 又∵正边形的内角和与外角和的差为， ∴， 解得：， 故答案为：． 类型二、多边形对角线的条数问题 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）从十边形的一个顶点画这个多边形的对角线，最多可画 条． 【答案】/七 【分析】此题主要考查了多边形对角线，根据边形从一个顶点出发可引出条对角线进行计算即可，解题的关键是熟练掌握计算公式． 【详解】解：从十边形一个顶点画对角线能画（条）， 故答案为：． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）六边形的内角和为 ，外角和为 ，它共有 条对角线． 【答案】 /720度 /360度 9 【分析】 本题主要考查了多边形内角和定理，外角和定理，多边形对角线条数问题，对于n边形，其内角和为，外角和为，对角线条数为，据此求解即可． 【详解】解；六边形的内角和为，外角和为，它有条对角线 故答案为：；；9． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ． 【答案】11 【分析】 本题考查了多边形的对角线的条数与边数的关系，代数式求值，根据多边形的边数与对角线的条数的关系求出a，b的值，代入求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ， 故答案为：11． 类型三、多边形截角后的边数问题 例题：（23-24八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【答案】3或4或5 【分析】一个四边形剪去一个角后，分三种情况求解即可，①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个四边形截去一个角后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形． 故答案为：3或4或5． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的定义，解题关键是列举出所有可能的情况． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 【答案】14或15或16 【分析】分三种情况进行讨论，得出答案即可． 【详解】解：如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形少了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 如图，一个多边形减去一个角后，与原来多边形的边数相同， ∴此时原多边形的边数为15； 如图，一个多边形减去一个角后，比原来多边形多了一条边， ∴此时原多边形的边数为； 综上分析可知，原来的多边形边数为14或15或16． 故答案为：14或15或16． 【点睛】本题主要考查了多边形的边数问题，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 类型四、多边形截角后的内角和问题 例题：（23-24八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）小明将一个五边形用剪刀沿直线剪去一个角，将这个五边形分成两个多边形，那么关于这两个多边形所有的内角的和与原五边形的内角和相比，下列说法中不可能的是（   ） A．减少180° B．不变 C．增加180° D．增加360° 【答案】A 【分析】按照题意画出图形逐一判断即可解题． 【详解】如图，减去一个角，变为一个三角形和一个六边形，内角和增加； 如图，减去一个角，变为一个三角形和一个五边形，内角和增加；    如图，减去一个角，变为一个三角形和一个四边形，内角和，内角和不变；    综上所述内角和不会减少180°， 故选A． 【点睛】本题考查多边形截角后的内角和问题，分情况画图讨论是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江·单元测试）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（　　） A．增加 B．减少 C．不变 D．不变或增加或减少 【答案】D 【分析】根据一个四边形截一刀后得到的多边形的边数即可得出结果． 【详解】解：四边形，截一刀后得到的新多边形可能是四边形，五边形，三角形， 新多边形的内角和将不变或增加或减少． 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形．能够得出一个四边形截一刀后得到的图形有三种情形，是解决本题的关键． 类型五、多边形外角和的实际应用 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，是五边形的外角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角和定理，邻补角的性质，由多边形的外角和定理可得，进而根据邻补角性质即可求出的度数，掌握多边形的外角和等于是解题的关键． 【详解】解：由多边形的外角和定理可得，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形、正方形、正五边形的内角和、三角形的外角和，先求出等边三角形、正方形、正五边形每个内角的度数，再根据三角形的外角和等于列出等式计算即可求解，掌握正多边形的内角和公式和外角和等于是解题的关键． 【详解】解：等边三角形的每个内角为， 正方形的每个内角为， 正五边形的每个内角为， 如图，    ∵的外角和等于， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，七边形中，的延长线相交于点O，若图中的和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的外角和，任意多边形的外角和均为，延长交于点，可得据此即可求解． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ∵任意多边形的外角和均为， 且的和为， ∴ 即： ∴ 故选：D 类型六、多边形内角和与外角和综合 例题：（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【答案】(1) (2)，五边形外角和的度数是 【分析】本题主要考查多边形内角和、外角和及平行线的性质，熟练掌握多边形内角和及平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可进行求解； （2）根据多边形内角和、外角和及平行线的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：五边形中，， ∵，，， ∴ ； 五边形外角和的度数是． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了多边形内角与外角，解题的关键是掌握n边形的内角和公式：（且n为整数）． （1）根据三角形的内角和和邻补角的性质即可得出答案； （2）根据四边形的内角和和邻补角的性质即可得出结论； （3）根据n边形的内角和和邻补角的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵，， ∴ 故答案为：，； （2）证明：∵，， ∴， ∴． （3）解：∵n边形的某一个外角的度数是， ∴与这个外角相邻的内角是， ∵与这个外角不相邻的所有内角的和是， ∴， 整理得：， 故答案为：． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空： （1）　　，　　； （2）______　 ； 【应用】 （3）如图②．求的度数； 【拓展】 （4）如图③，若，则的大小为度．    【答案】（1），；（2）；；（3）；（4） 【分析】本题考查了多边形的外角和以及外角和的求法，熟练掌握三角形外角性质是解答本题的关键． （1）利用三角形外角性质即可求出； （2）根据外角性质，将转化到一个三角形内计算即可； （3）利用三角形外角性质将转化到一个三角形中，再根据三角形内角和即可得到结果； （4）利用外角套外角可得，，根据对顶角相等，即可计算出结果． 【详解】解：（1）∵是三角形的外角， ∴， ∵是三角形的外角， ∴． 故答案为：，． （2）∵，， ∴， 故答案为：；． （3）∵，， ∴； （4）如图，连接并延长，    根据三角形外角性质可得： ， 同理可得：， ∵， ∴， 故答案为：． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）十边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题主要考查多边形的外角和，熟练掌握多边形外角和为是解题的关键；因此此题可根据多边形的外角和进行求解即可． 【详解】解：十边形的外角和是； 故选D． 2．（2025·湖南娄底·二模）若一个正多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的问题，设这个多边形的边数为n，根据“正多边形的外角和是其内角和的”列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 3．（2025·山东济南·一模）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合；根据题意求得正六边形的外角，进而即可求得的度数． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴每一个外角为， ∴的度数为， 故选：C． 4．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，机器人从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多边形外角和的实际应用 【分析】本题考查了多边形外角的定义和性质，理解题意，掌握多边形外角的定义和性质的计算是关键． 多边形的外角和为，每次旋转，由此得到多边形是正十二边形，由此即可求解． 【详解】解：从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，要走12次才能回到出发点； ∴， ∴这个多边形是正十二边形，即走了12次， ∴， 故选：D ． 5．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（   ） A．54 B．60 C．65 D．72 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了规律探究问题．从四边形、五边形、六边形等对角线的条数进行分析，总结规律即可得到n边形的对角线条数． 【详解】解：四边形的对角线条数（条）， 五边形的对角线条数（条）， 六边形的对角线条数（条）， …， ∴n边形的对角线条数（条）， ∴十三边形的对角线条数（条）， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）从八边形的一个顶点出发可以引 条对角线． 【答案】5 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形对角线，根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，即可得出答案． 【详解】解：从八边形一个顶点出发可以引条对角线． 故答案为：5． 7．（24-25八年级上·吉林·期末）如图所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图的六角尺示意图中，的值为 ． 【答案】 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和，根据多边形的内角和公式列出方程即可求解，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 8．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形，则这个多边形的内角和为 ． 【答案】/720度 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查了多边形的内角和问题，熟练掌握边形的内角和为是解题的关键．根据多边形的内角和公式即可求解． 【详解】解：由题意得，多边形为六边形， 这个多边形的内角和为． 故答案为：． 9．（2025·陕西咸阳·一模）正六边形和正五边形的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为 ． 【答案】/48度 【知识点】正多边形的外角问题 【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的外角和是解题的关键； 根据正五边形和正六边形性质得出各外角度数，进而可得答案． 【详解】解：在正六边形和正五边形中， ， ， ， 故答案为：． 10．（2025八年级下·上海·专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 【答案】8或9或10 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形的内角和，解题关键是掌握多边形截去一个角后多边形边数可能增加1，减少1或不变．根据多边形内角和公式求出截去一角后的多边形边数，再根据截去一角后多边形的边数变化情况求解． 【详解】解：设截去一个角后，多边形的边数为， 由题意得， 解得． 因为多边形截去一角后边数可能不变，可能增加1，可能减小1， 原多边形可能为8或9或10. 故答案为：8或9或10. 三、解答题 11．（24-25八年级上·湖北随州·期中）两个正多边形，它们边数之比为，内角和之比为，求这两个多边形的边数． 【答案】这两个正多边形的边数分别为和 【知识点】多边形内角和问题 【分析】本题考查多边形内角和，掌握多边形内角和计算公式是解题的关键． 设两个正多边形，它们的边数分别是、，根据两多边形的内角和之比为列出方程，解得的值，则可以求得这两个多边形的边数． 【详解】解：设两个正多边形的边数分别为、， 则其内角和分别为，． 根据题意列方程得， 解得， ． 故这两个正多边形的边数分别为和． 12．（24-25八年级上·河北邢台·期中）现在有一个正八边形． (1)求其每个外角的度数； (2)把该正八边形剪掉一个角，发现从一个顶点引出的对角线比原来多了一条．求新多边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【知识点】多边形对角线的条数问题、多边形内角和与外角和综合 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，掌握多边形的外角和等于以及内角和公式是解题关键． （1）根据正八边形的外角和为求解即可； （2）根据题意得出新多边形是九边形，再根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】（1）解：正八边形的外角和为， 每个外角； （2）解：八边形剪掉一个角可以得七边形或八边形或九边形，且从一个顶点引出的对角线比原来多一条， 新多边形是九边形， 内角和． 13．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”的度数是______，这个多边形的外角和为______． (2)这个多边形是几边形？ 【答案】(1)， (2)十二边形 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】此题考查了多边形的内角和与外角和的计算， （1）设这个多边形的边数为n，多加的锐角度数为x，则列得，根据n是正整数，，得到； （2）利用减去每个外角的度数，求出每一个内角的度数． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，多加的锐角度数为x，则 ， ∵n是正整数，， ∴， 则这个多边形的外角和为， 故答案为，； （2）解：由（1）得出， ∴这个多边形是十二边形． 14．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． （2）如图所示，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的阴影部分的面积． 【答案】（1）1；（2） 【知识点】多边形内角和与外角和综合 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，外角和定理，扇形面积计算，熟知多边形内角和定理是解题的关键． （1）设这个多边形的边数为n，根据多边形内角和定理和外角和为360度建立方程求解即可； （2）根据多边形内角和定理求出五边形内角和，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解；（1）设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为7； （2）五边形内角和为， ∴五个阴影部分的扇形圆心角度数之和为540度， ∴阴影部分面积为． 15．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在四边形中，与互补，分别平分，与相交于点G． (1)与有怎样的数量关系？说明理由： (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】多边形内角和问题、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义，角平分线定义，平行线性质，弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键． （1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出； （2）根据可得的度数，根据可得的度数，根据平行线的性质可得的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可． 【详解】（1）解：．理由： ∵四边形的内角和为360°，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    【答案】建立模型：证明见解答过程；尝试应用：180；拓展创新：；提升思维： 1080 【知识点】多边形内角和问题、三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题主要考查了多边形内角和，三角形内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握三角形内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 建立模型：延长交于点，由三角形外角性质得，由此即可得出结论； 尝试应用：设与相交于点，由“建立模型”得，则，然后根据三角形的内角和定理即可得出答案； 拓展创新：延长与的延长线相交于点，则，进而得，由“尝试应用”得，则； 提升思维：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出，据此规律即可得出答案． 【详解】建立模型：证明：延长交于点，如图1所示：    由三角形外角性质得：， ； 尝试应用：解：设与相交于点，如图2所示：    由“建立模型”得：， ， ， 在中，， ， 故答案为： 180 ； 拓展创新：解：延长与的延长线相交于点，如图3所示：   ， ， 在中，， ， 由“尝试应用”得：， ； 提升思维：解：由“拓展创新”得：当五角星去掉一个角后多出一个角时，此时所有角的和的度数比五角星的内角和多出， ∴当五角星去掉五个角后多出五个角，此时所有角的和的度数为：． 故答案为： 1080 ． 17．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在学习数学知识的过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．数学活动课上，同学们利用“归纳”策略探究“十二边形内有30个点（任意三点不共线），将这30个点与十二边形的顶点相连可以把十二边形分割成多少个三角形（互相不重叠）”的问题．小明认为可以先从最简单的三角形进行研究，先研究三角形内有1个点、2个点、3个点…的情形（如下图）： 填写数据： 三角形内点的个数 1 2 3 4 5 … 分割成的三角形的个数 3 5 7 a 11 … 再分别研究四边形、五边形、六边形…内有1个点、2个点、3个点…的情形．根据小明的研究思路，解答下列问题： (1)表中 ； (2)发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加 个：当三角形内有n个点时，分割成 个三角形； (3)当三角形内有30个点时，分割成多少个三角形？原三角形被若干个点分割成三角形的个数可以是2024个吗？为什么？ (4)直接写出当四边形内有30个点时，分割成多少个三角形？当十二边形内有30个点时，分割成多少个三角形？ 【答案】(1)9 (2)2， (3)，不可以，见解析 (4)62；70 【知识点】对角线分成的三角形个数问题、其他问题(一元一次方程的应用)、图形类规律探索、列代数式 【分析】本题考查了图形规律，列代数式，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）研究表格数据得，即可作答． （2）研究表格数据得当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加2个：与（1）同理得当三角形内有n个点时，分割成个三角形，即可作答． （3）依题意，列式，则不是正整数，即可作答． （4）模仿题干过程，然后结合三角形以及四边形来研究：得出当点数相同，边形分割成的三角形的个数是三角形分割成的三角形的个数，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，根据表格数据得 ， ， ∴， 故答案为：9； （2）解：发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加2个： 与（1）同理得当三角形内有n个点时，分割成个三角形； 故答案为：2，； （3）解：由（2）得当三角形内有n个点时，分割成个三角形； ∴把代入，得， 原三角形被若干个点分割成三角形的个数不可以是2024个，理由如下： ， 解得，不是正整数， ∴原三角形被若干个点分割成三角形的个数不可以是2024个； （4）解：如图，四边形内部有若干个点，用这些点以及四边形的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重叠）： 四边形内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 则把代入，得（个）， 观察题干的表格数据，用三角形以及四边形来研究： 得出当点数相同，边形分割成的三角形的个数是三角形分割成的三角形的个数 即， 当十二边形内有30个点时，分割成个三角形． 18．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． (1)如图2和如图3，已知四边形为等垂四边形，，． ①在图2中，若，，则的度数为______°； ②在图3中，若，，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由． (2)如图4，在锐角中，，，且，D是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出的大小（用含α的式子表示）． 【答案】(1)①70；②是，理由见解析 (2)或，当时，的大小还可以为 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、多边形内角和问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查新定义等垂四边形，平行线性质，角平分线定义，以及四边形内角和，解题的关键在于正确理解等垂四边形定义及性质． （1）①根据等垂四边形定义和四边形内角和求解，即可解题； ②利用平行线性质和角平分线定义得到，再结合等垂四边形性质得到，最后根据等垂四边形定义证明，即可解题； （2）根据等垂四边形定义，分三种情况，当B，C为顶点的一组对角相等时， 当A，B为顶点的一组对角相等时， 当A，C为顶点的一组对角相等时，结合四边形内角和求解，即可解题． 【详解】（1）解：①，， ， ， ， ， ， 故答案为：． ②四边形是等垂四边形，理由如下： ， ， ，分别平分，， ，， ， 四边形为等垂四边形，， ， 即， ， 四边形是等垂四边形． （2）解：以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形， 且，，且， ， 当B，C为顶点的一组对角相等时， 有， ， 或（不合题意，舍去）； 当A，B为顶点的一组对角相等时， 有，即， 则， 或（不合题意，舍去）； 当A，C为顶点的一组对角相等时， 有， 或（不合题意，舍去）； 综上所述，的大小为或，以及当时，的大小还可以为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 多边形内角和与外角和的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、多边形内角和问题 2 类型二、多边形对角线的条数问题 3 类型三、多边形截角后的边数问题 4 类型四、多边形截角后的内角和问题 5 类型五、多边形外角和的实际应用 7 类型六、多边形内角和与外角和综合 9 压轴能力测评（15题） 12 解题知识必备 1.多边形的概念 1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形． 2．相关概念： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角. 外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 凸多边形 凹多边形 3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图： 特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可； (2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为； (3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形． 2.多边形内角和 n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)． 特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 3.多边形的外角和 多边形的外角和为360°． 特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关； (2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于； (3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数． 压轴题型讲练 类型一、多边形内角和问题 例题：（2024·辽宁·模拟预测）一个八边形的内角和是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·上海·阶段练习）一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形． 2．（2024·河北邯郸·一模）已知一个正边形的内角和与外角和的差为，则 ． 类型二、多边形对角线的条数问题 例题：（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）从十边形的一个顶点画这个多边形的对角线，最多可画 条． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）六边形的内角和为 ，外角和为 ，它共有 条对角线． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ． 类型三、多边形截角后的边数问题 例题：（23-24八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ． 【变式训练】 1．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形． 类型四、多边形截角后的内角和问题 例题：（23-24八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏淮安·阶段练习）小明将一个五边形用剪刀沿直线剪去一个角，将这个五边形分成两个多边形，那么关于这两个多边形所有的内角的和与原五边形的内角和相比，下列说法中不可能的是（   ） A．减少180° B．不变 C．增加180° D．增加360° 2．（23-24八年级下·浙江·单元测试）一个四边形，截一刀后得到的新多边形的内角和将（　　） A．增加 B．减少 C．不变 D．不变或增加或减少 类型五、多边形外角和的实际应用 例题：（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图，是五边形的外角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果，，那么的度数等于（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，七边形中，的延长线相交于点O，若图中的和为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 类型六、多边形内角和与外角和综合 例题：（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）如图，在五边形中， (1)若，请求的度数； (2)试求出及五边形外角和的度数． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·河北保定·期末）某数学兴趣小组在学习了“多边形内角和与外角和”后深入思考，继续探究多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有的数量关系．    (1)如图1，与，之间的数量关系为______．若，，则______． (2)如图2，是四边形ABCD的外角，求证：． (3)若n边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则x，y与n的数量关系是______． 2．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）【题目】如图①：根据图形填空： （1）　　，　　； （2）______　 ； 【应用】 （3）如图②．求的度数； 【拓展】 （4）如图③，若，则的大小为度．    压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）十边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·二模）若一个正多边形的外角和是其内角和的，则这个多边形的边数为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2025·山东济南·一模）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，机器人从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（   ）． A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）连结多边形任意两个不相邻顶点的线段叫多边形的对角线。如图，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，六边形有9条对角线，七边形有14条对角线，……，则十三边形的对角线条数为（   ） A．54 B．60 C．65 D．72 二、填空题 6．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）从八边形的一个顶点出发可以引 条对角线． 7．（24-25八年级上·吉林·期末）如图所示的是一把木工台锯使用的六角尺，它能提供常用的几种测量角度．在图的六角尺示意图中，的值为 ． 8．（2025·山西阳泉·模拟预测）如图1，小亮在公园发现一条由一些不规则的多边形拼接而成的道路．小亮由此抽象出如图2所示的多边形，则这个多边形的内角和为 ． 9．（2025·陕西咸阳·一模）正六边形和正五边形的位置如图所示，其中点E，D，J在同一条直线上，则的度数为 ． 10．（2025八年级下·上海·专题练习）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原多边形的边数是为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·湖北随州·期中）两个正多边形，它们边数之比为，内角和之比为，求这两个多边形的边数． 12．（24-25八年级上·河北邢台·期中）现在有一个正八边形． (1)求其每个外角的度数； (2)把该正八边形剪掉一个角，发现从一个顶点引出的对角线比原来多了一条．求新多边形的内角和． 13．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）阅读小明和小红的对话，解决下列问题． (1)这个“多加的锐角”的度数是______，这个多边形的外角和为______． (2)这个多边形是几边形？ 14．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）（1）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，求这个多边形的边数． （2）如图所示，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的阴影部分的面积． 15．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在四边形中，与互补，分别平分，与相交于点G． (1)与有怎样的数量关系？说明理由： (2)若，求的度数． 16．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：； 【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度； 【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数． 【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．    17．（24-25七年级上·河南郑州·期末）在学习数学知识的过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．数学活动课上，同学们利用“归纳”策略探究“十二边形内有30个点（任意三点不共线），将这30个点与十二边形的顶点相连可以把十二边形分割成多少个三角形（互相不重叠）”的问题．小明认为可以先从最简单的三角形进行研究，先研究三角形内有1个点、2个点、3个点…的情形（如下图）： 填写数据： 三角形内点的个数 1 2 3 4 5 … 分割成的三角形的个数 3 5 7 a 11 … 再分别研究四边形、五边形、六边形…内有1个点、2个点、3个点…的情形．根据小明的研究思路，解答下列问题： (1)表中 ； (2)发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加 个：当三角形内有n个点时，分割成 个三角形； (3)当三角形内有30个点时，分割成多少个三角形？原三角形被若干个点分割成三角形的个数可以是2024个吗？为什么？ (4)直接写出当四边形内有30个点时，分割成多少个三角形？当十二边形内有30个点时，分割成多少个三角形？ 四边形内点的个数 1 2 3 4 … n 分割成的三角形的个数 4 6 8 10 … 18．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． (1)如图2和如图3，已知四边形为等垂四边形，，． ①在图2中，若，，则的度数为______°； ②在图3中，若，，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由． (2)如图4，在锐角中，，，且，D是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出的大小（用含α的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$