专题10 与三角形有关的边与角的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（华东师大版2024）

专题10 与三角形有关的边与角的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、确定第三边的取值范围 2 类型二、利用三边关系去绝对值化简 3 类型三、三角形内角和定理的证明 5 类型四、画三角形的高 9 类型五、根据三角形的中线求长度、面积 10 类型六、利用三角形的角平分线求解 14 类型七、网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 16 类型八、三角形中高线、中线、角平分线综合求解 21 压轴能力测评（20题） 24 解题知识必备 1. 三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 2. 三角形的三线 (1)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； (2)三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； (3)三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 (4)三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 压轴题型讲练 类型一、确定第三边的取值范围 例题：（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则A，B间的距离不可能是（   ） A．50米 B．40米 C．30米 D．20米 3．（23-24八年级上·四川南充·开学考试）已知三角形三边长分别为2，9，，则的取值范围 ． 类型二、利用三边关系去绝对值化简 例题：（24-25八年级上·云南文山·期中）若，，分别为三边，化简：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知a，b，c为三角形的三边，则式子（   ） A． B． C．0 D． 2．（22-23七年级下·重庆·期末）已知的三边分别为a、b、c，化简： ． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）a，b，c为的三边，化简：． 类型三、三角形内角和定理的证明 例题：（24-25八年级上·广西崇左·期末）下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法．请选择一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图，，求证：． 方法一  证明：如图，过点A做． 方法二  证明：如图，过点C做，并延长到D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 3．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）追本溯源 我们知道，三角形三个内角的和等于，利用该定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 推论证明 （1）已知：如图1，是的一个外角． 求证：． 知识应用 （2）如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数． 类型四、画三角形的高 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图中，是哪条边上的高（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 类型五、根据三角形的中线求长度、面积 例题：（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）在中，，，是边上的中线，若的周长为41，那么的周长是（    ） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 3．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图所示，，若，则 ． 4．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 类型六、利用三角形的角平分线求解 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 2．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则 ，若，则 度． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知：在四边形中，，点E为线段延长线上一点，连接交于F，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 类型七、网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图2中的边上画一点E，使； (4)已知，在图2中画出的角平分线． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 2．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的高； (2)在图2中，作出的中线． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形边长都是1，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)请在图中画出边上的高； (2)请在边上找点，并连接，使得的面积与的面积相等； (3)直接写出（2）中的面积． 类型八、三角形中高线、中线、角平分线综合求解 例题：（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）①是的角平分线，则 ②是的中线，则 ③是的高线，则． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，，分别是的高和中线，若，，，． (1)求的长． (2)求与的周长之差． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 3．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列长度的三条线段能够组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，7，12 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，若，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面四个图形中，过的顶点作高，以下作法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·河南南阳·一模）如图，直线，的顶点A，B分别在直线，上．若，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，．则下列结论：①；：平分；．其中结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 6．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）三角形三边长为，则a的取值范围是 ． 7．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，，，为三角形的内角，求： ． 8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在实际生活中，我们经常看到用一根木条固定长方形框架的情形，这种做法的依据是三角形有 ． 9．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，在中，，在边上，，在上取一点，使，则的度数是 ． 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点E在上，点D在上，连接，相交于O，，，若，则 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c是三角形的三边长，化简． 12．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，求的度数． 13．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 15．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，已知，且， (1)求证∶； (2)若是的平分线，且，，求的度数． 16．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 17．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，且． (1)当时，求的度数． (2)当点在（点B，C除外）边上运动时，求证：． 18．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 19．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)当时，的度数为_____； (2)求的度数（用含的式子表示）； (3)若，求的值． 20．（24-25八年级上·广东汕头·期中）【阅读理解】 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． 【数学运用】 （1）如图1，是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”．求、的度数． 【拓展探索】 （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，则________________． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 与三角形有关的边与角的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、确定第三边的取值范围 2 类型二、利用三边关系去绝对值化简 3 类型三、三角形内角和定理的证明 5 类型四、画三角形的高 9 类型五、根据三角形的中线求长度、面积 10 类型六、利用三角形的角平分线求解 14 类型七、网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 16 类型八、三角形中高线、中线、角平分线综合求解 21 压轴能力测评（20题） 24 解题知识必备 1. 三角形基本元素角与边的有关定理 (1)三角形的内角和等于. (2)直接三角形两个锐角互余. (3)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. 2. 三角形的三线 (1)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； (2)三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； (3)三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 (4)三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点顶点与交点之间的线段； 压轴题型讲练 类型一、确定第三边的取值范围 例题：（24-25八年级上·安徽亳州·期末）已知三角形两边的长分别是3和5，则该三角形第三边的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．根据三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，进而即可得到答案．   【详解】解：设该三角形第三边的长是， ∴， ∴， ∴该三角形第三边的长不可能是2． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·浙江金华·期末）一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查三角形三边关系，掌握两边之和大于三边，两边之差小于第三边，属于基础题．根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【详解】解：设第三边为x，则， ∴ 所以第三边长可能是4． 故选：D． 2．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）如图，为了估计池塘岸边A，B的距离，小聪在池塘的一侧选取一点，测得米，米，则A，B间的距离不可能是（   ） A．50米 B．40米 C．30米 D．20米 【答案】A 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系． 根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，计算出的取值范围即可解答． 【详解】解：连接， 根据三角形的三边关系可得，即， ∴A，B间的距离不可能是50米． 故选：A． 3．（23-24八年级上·四川南充·开学考试）已知三角形三边长分别为2，9，，则的取值范围 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】根据三角形存在的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，解答即可． 本题考查了三角形的存在，熟练掌握三角形的存在性条件是解题的关键． 【详解】解：∵三角形三边长分别为2，9，， ∴， 故答案为：． 类型二、利用三边关系去绝对值化简 例题：（24-25八年级上·云南文山·期中）若，，分别为三边，化简：． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、整式的加减运算、化简绝对值 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值以及整式的加减；根据三角形的三边关系结合绝对值的意义，化简即可. 【详解】解：因为三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， 所以， ， ， ∴ . 【变式训练】 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知a，b，c为三角形的三边，则式子（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系和绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，得到，，再根据绝对值的性质进行化简计算． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得到，， ． 故选：D． 2．（22-23七年级下·重庆·期末）已知的三边分别为a、b、c，化简： ． 【答案】 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，根据三角形的三边关系，判断式子的符号，再化简绝对值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴原式 ． 故答案为： 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）a，b，c为的三边，化简：． 【答案】． 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，以及绝对值的意义．由三角形的三边关系以及绝对值的意义进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵a，b，c为的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 类型三、三角形内角和定理的证明 例题：（24-25八年级上·广西崇左·期末）下面是证明三角形内角和定理两种添加辅助线的方法．请选择一种，完成证明． 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于． 已知：如图，，求证：． 方法一  证明：如图，过点A做． 方法二  证明：如图，过点C做，并延长到D． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，以及平行线性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 方法一 ：根据平行线性质得到，，再结合平角定义，即可证明三角形的三个内角的和等于； 方法二：根据平行线性质得到，，再结合平角定义，即可证明三角形的三个内角的和等于． 【详解】证明：方法一：如图，过点A做． 因为， 所以，． 又因为D，A，E在同一条直线上， 所以， 即， 所以三角形的三个内角的和等于． 方法二：如图，过点C做，并延长到D． 因为， 所以，． 又因为B，C，D在同一条直线上， 所以， 即， 所以三角形的三个内角的和等于． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）“三角形的内角和为”是《几何原本》中的第五公设的推论，在探究证明这个定理时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决即可． 【详解】解：A．由，则，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 B．由于D，则，无法证得“三角形内角和是”，符合题意． C．由，得，．由，得，，所以．由，得：，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意 D．由，得，．由，得，故能证明“三角形内角和是”，不符合题意． 故选B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）数学课上老师提出“请对三角形内角和等于进行说理．” 已知：是的三个内角． 对进行说理． 小明给出如下说理过程，请补全过程． 解：过点A作． 【答案】见解析 【知识点】三角形内角和定理的证明、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查三角形内角和定理的证明，由平行线的性质可得，再根据，通过等量代换可得． 【详解】解：过点A作． ， （两直线平行，内错角相等）． （平角定义）， ． 3．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）追本溯源 我们知道，三角形三个内角的和等于，利用该定理我们可以得到推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 推论证明 （1）已知：如图1，是的一个外角． 求证：． 知识应用 （2）如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数． 【答案】（1）见解析（2） 【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查三角形内角和定理、外角的性质、平行线的性质； （1）利用三角形内角和为180度，平角为180度，等量代换即可证明； （2）根据平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质先求出，． 【详解】（1）证明：如图1中，∵，， ∴． （2）如图2中，∵， ∴； ∵， ∴， 类型四、画三角形的高 例题：（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图中，是哪条边上的高（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可得出答案． 【详解】解：过A点作交的延长线与点D， 故是边上的高， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）下列四个图形中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查了三角形高的定义，根据三角形的高是从三角形的一个顶点向对边作垂线，一一判断即可； 【详解】解：A，B，C都不是作对边的垂线，故只有D符合题意； 故选：D 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（    ） A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】C 【知识点】画三角形的高 【分析】本题考查三角线的高，根据三角形的高线的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，是的高，正确，不符合题意； B、，是的高，正确，不符合题意； C、，不是的高，原说法错误，符合题意； D、，则：，故是的高，正确，不符合题意； 故选C． 类型五、根据三角形的中线求长度、面积 例题：（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义．根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东广州·期末）在中，，，是边上的中线，若的周长为41，那么的周长是（    ） A．39 B．41 C．43 D．无法确定 【答案】A 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为41，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解：的周长为41， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，是边的中线，是的中点，连接，，若的面积为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了三角形的面积及三角形的角中线的性质，根据三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系即可解决问题，熟知三角形中线的性质及三角形的面积与底和高之间的关系是解题的关键． 【详解】解：由题知， ∵是边的中线， ， ， 又∵， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图所示，，若，则 ． 【答案】1 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查利用中线求三角形的面积．根据，得点D是的中点，，故． 【详解】解：， ，， ， ， 故答案为：1． 4．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) (3)的周长为30 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义求出的长度即可； （2）根据题意得出，确定， （3）利用三角形的周长公式计算周长即可． 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长2， ∴， 由（1）得， ∴， （3）解： 由（1）（2）得，，， ∴的周长为：． 类型六、利用三角形的角平分线求解 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，是的角平分线，则平分 ， ，且点在边上． 【答案】 【知识点】三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形角平分线的定义，熟练掌握三角形角平分线的定义是解题的关键． 根据三角形角平分线的定义即可直接得出答案． 【详解】解：是的角平分线，则平分，，且点在边上， 故答案为：，，． 2．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，在中，是角平分线，是中线，若，则 ，若，则 度． 【答案】 12 36 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键．根据三角形中线将线段分成相等的两部分，可求出的长，根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∴， 答案：12，36． 3．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，已知：在四边形中，，点E为线段延长线上一点，连接交于F，． (1)求证：； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的性质，角平分线是解题的关键． （1）由，可得，由，可得，由，可得； （2）由，可得，由是的角平分线，可得，由，可得，由，可得，即，求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴的度数为． 类型七、网格中作三角形中的高线、中线、角平分线 例题：（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题（格线的交点称为格点，保留画图过程的痕迹）． (1)图中的面积为______； (2)在图1中画出的高； (3)在图2中的边上画一点E，使； (4)已知，在图2中画出的角平分线． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【知识点】利用网格求三角形面积、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题、画三角形的高 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质， （1）由三角形面积公式可得答案； （2）取格点G，连接并延长交于D，线段即为所求； （3）取格点G，连接交于E，点E即为所求； （4）取格点M、N，连接、、，与交于点F，则即为所求． 解题的关键是掌握全等三角形判定与性质定理和网格的特征． 【详解】（1）解：由图可知，； （2）解：取格点G，连接并延长交于D，线段即为所求，如图： ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：取格点G，连接交于E，点E即为所求，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）解：取格点M、N，连接、、，与交于点F，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C均在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)的面积为______． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)6 【知识点】格点作图题、利用网格求三角形面积、根据三角形中线求面积、画三角形的高 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、三角形的角平分线、中线和高、三角形的面积． （1）根据三角形的高的定义画图即可． （2）根据三角形的中线的定义画图即可． （3）由题意可得，的面积为，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由题意得，的面积为． 故答案为：6． 2．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在的网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点称作格点，的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作出的高； (2)在图2中，作出的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据三角形中线求长度、画三角形的高 【分析】本题主要考查了画三角形的高和中线： （1）如图所示，取格点D，连接，线段即为所求； （2）如图所示，取格点E，连接，线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，线段即为所求． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形边长都是1，的顶点都在小正方形的顶点上． (1)请在图中画出边上的高； (2)请在边上找点，并连接，使得的面积与的面积相等； (3)直接写出（2）中的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】画三角形的高、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题主要考查了作图的应用和设计，三角形的中线和高以及三角形的面积，掌握网格线的特点，三角形的中线是解答本题的关键． （1）根据三角形的高线的定义作图即可； （2）确定边的中点E，连接即可； （3）根据三角形的面积公式求解即可 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：的面积． 类型八、三角形中高线、中线、角平分线综合求解 例题：（23-24八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）①是的角平分线，则 ②是的中线，则 ③是的高线，则． 【答案】①；；；②；；；③； 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】此题考查三角形的角平分线、中线、高问题，能够根据三角形的中线、角平分线和高的概念得到线段、角之间的关系．根据三角形的中线的概念即可完成填空；根据三角形的角平分线的概念即可完成填空；根据三角形的高的概念即可完成填空． 【详解】解：①是的角平分线，则， ②是的中线，则， ③是的高线，则， 故答案为：①；；；②；；；③； 【变式训练】 1．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，，分别是的高和中线，若，，，． (1)求的长． (2)求与的周长之差． 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据三角形中线求长度、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形高、中线的概念，利用面积法求三角形的高； （1）利用面积法即可求得高的长； （2）由中线的意义得，则与的周长之差为，从而可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴； ∴与的周长之差为： ． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图所示，分别是的高，已知． (1)请画出的高和； (2)求的面积； (3)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)30 (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、画三角形的高 【分析】（1）根据三角形的高的定义，分别画出和即可； （2）利用三角形面积公式列式计算，即可求得； （3）根据三角形面积公式得到，即可得到，从而求得． 本题主要考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，即为所求作的高，如图所示： ； （2）解：∵，是的高， ∴． （3）解：∵是的高，且 ∴， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）数学课上，老师给大家展示了三幅图，然后让同学们任选一幅，自给条件，自设问题．有三名同学的作品如下： (1)小香：如图1，已知的高，面积为，求的长度． (2)小涵：如图2，已知D是中点，，，求． (3)小宇：如图3，已知平分，，，求． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形的高、中线、角平分线，掌握与三角形“三线”相关的结论是解题关键． （1）根据即可求解； （2）根据、、、即可求解； （3）根据三角形的内角和定理求出即可求解． 【详解】（1）解：∵， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 压轴能力测评（20题） 一、单选题 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下列长度的三条线段能够组成三角形的是（    ） A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，7，12 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，所以不能够组成三角形，故该选项不符合题意； B、，所以不能够组成三角形，故该选项不符合题意； C、，所以能够组成三角形，故该选项符合题意； D、，所以不能够组成三角形，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，若，则是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】A 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和定理求得、、的度数，由此可以推知是直角三角形．本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和等于是解答本题的关键． 【详解】解：∵在中，，， 则，， 解得， ∴是直角三角形． ∵， ∴是等腰直角三角形． 故选：A． 3．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）下面四个图形中，过的顶点作高，以下作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】画三角形的高 【分析】本题主要考查了三角形高的定义，过三角形的一个顶点作其对边的垂线，顶点与垂足之间的连线段叫做三角形的高，据此求解即可． 【详解】解：由三角形高的定义可知，四个选项中，只有D选项中的作法是作的的高， 故选：D． 4．（2025·河南南阳·一模）如图，直线，的顶点A，B分别在直线，上．若，，则∠C的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据，得出，根据三角形外角的性质，求出结果即可． 【详解】解：如图所示： ∵直线， ∴， ∴． 故选：C． 5．（24-25七年级下·山东德州·阶段练习）如图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，．则下列结论：①；：平分；．其中结论正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】根据平行线判定与性质证明、直角三角形的两个锐角互余 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，垂直定义等，根据平行线的判定即可判断结论①；利用直角三角形的性质和判定可判断结论④；再由直角三角形性质可得：，，可判断结论②；再根据，，可判断结论③． 【详解】解：∵， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故结论④正确； ∵，， ∴，， 故结论②错误； ∵，， ∴与不一定相等， 故结论③错误． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）三角形三边长为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此求解即可． 【详解】解：∵三角形三边长为， ∴，即， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，，，为三角形的内角，求： ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、三角形内角和定理的证明 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在实际生活中，我们经常看到用一根木条固定长方形框架的情形，这种做法的依据是三角形有 ． 【答案】稳定性 【知识点】三角形的稳定性及应用 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形有稳定性进行作答即可． 【详解】解：我们经常看到用一根木条固定长方形框架的情形，这种做法的依据是三角形有稳定性， 故答案为：稳定性 9．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，在中，，在边上，，在上取一点，使，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，设，则，，由是的外角，利用三角形的外角性质，可求出，再利用三角形内角和定理求出的度数即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设，则，， ∵是的外角， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，点E在上，点D在上，连接，相交于O，，，若，则 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了中线求面积，根据三角形的高是相等的，三角形面积的比等于底边的比，则，，，，结合以及三角形面积之间的关系得再连接，运用三角形的高是相等的，三角形面积的比等于底边的比，得，，然后由进行代入数值计算，即可作答． 【详解】解：依题意，设， ∵， ∴， 则， ∵， ∴ ∵， ∴， ， ∵， ∴ ∵ ∴， 连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为： 三、解答题 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）若a，b，c是三角形的三边长，化简． 【答案】 【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形三边关系解答即可． 本题考查了绝对值的化简，三角形三边关系应用，整式的加减，熟练掌握应用是解题的关键． 【详解】解：，b，c，是三角形的三边长， ，． 原式 ． 12．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，是上一点，将沿翻折后得到，边交于点．若中有两个角相等，求的度数． 【答案】或 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，三角形的内角和定理，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由折叠可知：，， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得（不存在）； 当时， ∴， 解得， 即； 当时， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 综上，或． 13．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为21 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得，根据是偶数得； （2）根据是的中线得，根据的周长为13和即可求解． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， 即， 是偶数， ； （2）解：的周长为13， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 的周长． 14．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，是中线，，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键． （1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答； （2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长． 【详解】（1）解：的周长，的周长， ∵是中线， ∴， ∴与的周长差：； （2）解：由图可知：的周长，四边形的周长， 又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，已知，且， (1)求证∶； (2)若是的平分线，且，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质（根据平行线判定与性质证明，根据平行线判定与性质求角度），角平分线的有关计算，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由平角的定义可得，再结合，进而可得，由内错角相等两直线平行可得，由两直线平行内错角相等可得，由同位角相等两直线平行可得，由两直线平行同位角相等可得，于是结论得证； （2）由角平分线的定义可得，由三角形外角的性质可得，由（1）得，由两直线平行内错角相等可得，由两直线平行同位角相等可得，由此即可求出的度数． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是的平分线， ， ，， ， 由（1）得：， ， ， 的度数是． 16．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）如图，平分． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、三角形的外角的性质、三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再结合运用三角形外角的性质即可解答； （2）设，则，易得、，再根据三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， 又∵， ； （2）解：设，则， ∵， ∴， ， 在中，， ，解得：． ． 17．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，点在边上，点在边上，连接，且． (1)当时，求的度数． (2)当点在（点B，C除外）边上运动时，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，三角形内角和定理应用，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． （1）先根据三角形外角的性质得出，由三角形内角和得，进而求出，然后根据即可得出结论； （2）利用（1）的思路与方法解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：设，则， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，在中，，平分，P为线段上的任意一点，交直线于点． (1)若，，求的度数； (2)猜想，，的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）先由三角形内角和定理求出的度数，进而由角平分线的定义求出的度数，则可利用三角形内角和定理求出的度数； （2）同（1）求解过程即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 19．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)当时，的度数为_____； (2)求的度数（用含的式子表示）； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，三角形内角和为是解题的关键． （1）先根据题意得到，再由三角形内角和定理求出，则； （2）同理求出，则由三角形外角的性质得到； （3）先得到，再由三角形内角和定理得到，即可求出． 【详解】（1）解：，， ∴， ∵是中边上的高线， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是中边上的高线， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（24-25八年级上·广东汕头·期中）【阅读理解】 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，为“友爱三角形”． 【数学运用】 （1）如图1，是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”．求、的度数． 【拓展探索】 （2）如图2，在中，，，是边上一点（不与点，重合），连接，若是“友爱三角形”，则________________． 【答案】（1），；（2）或 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）利用“友爱三角形”的定义解答即可；利用分类讨论的方法，根据“友爱三角形”的定义解答即可． 【详解】解：（1）是“友爱三角形”，，且与互为“友爱角”， ， ，解得， ； （2）∵，， ∴, 是“友爱三角形”，D是边上一点（不与点A，B重合）， 且,, 或， 当时，； 当时， ，即， ， 综上所述，的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$