专题12 因式分解的八种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北京版2024）

专题12 因式分解的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知因式分解的结果求参数 2 类型二、综合运用公式法因式分解 4 类型三、综合提公因式和公式法因式分解 7 类型四、运用因式分解求多项式的值 10 类型五、因式分解要彻底分解 11 类型六、十字相乘法因式分解 13 类型七、分组分解法因式分解 16 类型八、因式分解的应用 18 压轴能力测评（15题） 22 解题知识必备 1. 提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 2. 运用公式法因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 压轴题型讲练 类型一、已知因式分解的结果求参数 例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 类型二、综合运用公式法因式分解 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）因式分解 (1) (2) (3) 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 类型三、综合提公因式和公式法因式分解 例题：（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解： (1) (2)． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）因式分解： (1)； (2)； 2．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·全国·周测）把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型四、运用因式分解求多项式的值 例题：（24-25九年级下·北京·开学考试）已知，，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若，，则的值为 ． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，，则 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）若满足，则代数式的值为 ． 类型五、因式分解要彻底分解 例题：（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）因式分解：． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解 (1)； (2)＋8＋16． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）因式分解： (1)； (2)． 类型六、十字相乘法因式分解 例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 类型七、分组分解法因式分解 例题：（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ． 2．（24-25八年级上·重庆合川·期末）分解因式： 3．（2025九年级下·全国·学业考试）分解因式： ． 4．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲: （分成两组） （直接运用公式） = 乙 （分成两组） （提公因式） 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1)； (2) 类型八、因式分解的应用 例题：（24-25八年级上·山东威海·期中）我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京·期中）已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．美我南阳 C．南阳游 D．我爱南阳 3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解： ①； ②． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）将多项式，因式分解时，应提取的公因式是（    ） A．a B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列变形中，从左到右属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 4．（24-25八年级上·河北承德·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 二、填空题 5．（2025·广东江门·一模）因式分解： ． 6．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）已知，则的值是 ． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为，则的值为 ． 8．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）若多项式可分解因式为的形式，则m的值为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 11．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展：若代数式，则的值_____． 12．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 13．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 14．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1) (2)； 15．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ．． (2)已知 ，求的值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求， 的值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 因式分解的八种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、已知因式分解的结果求参数 2 类型二、综合运用公式法因式分解 4 类型三、综合提公因式和公式法因式分解 7 类型四、运用因式分解求多项式的值 10 类型五、因式分解要彻底分解 11 类型六、十字相乘法因式分解 13 类型七、分组分解法因式分解 16 类型八、因式分解的应用 18 压轴能力测评（15题） 22 解题知识必备 1. 提公因式法因式分解 ①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)； 注意:挖掘隐含公因式;有时公因式有显性完全相同类型，也有隐性互为相反数的类型。提取公因数时，最好能一次性提取完. 2. 运用公式法因式分解 运用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)； 运用公式法：a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。 压轴题型讲练 类型一、已知因式分解的结果求参数 例题：（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）若可以分解为，那么的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数、（x+p）（x+q）型多项式乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】解：， ，， ，， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知关于的多项式有一个因式为，则的值 ； 【答案】14 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了已知因式分解的结果，求参数，求出当时，，则当时，，据此求解即可． 【详解】解：当时，， ∵关于的多项式有一个因式为， ∴当时，， ∴， ∴， 故答案为：14． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式是，得 则     解得 ∴另一个因式是的值是 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值； (2)若二次三项式有一个因式是，求a的值． 【答案】(1)另一个因式为，的值为9 (2) 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论； （2）设另一个因式为，根据例题的方法，列出等式并将等式右侧展开，然后利用对应系数法即可求出结论． 【详解】（1）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， 另一个因式为，的值为9； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴。 类型二、综合运用公式法因式分解 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，掌握乘法公式的运用是解题的关键． （1）运用完全平方公式，平方差公式因式分解即可； （2）运用平方差，完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东淄博·期中）因式分解 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式、完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，多项式乘以多项式运算，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提取公因式法分解因式即可得到答案； （2）首先利用平方差公式分解因式，然后利用完全平方公式分解因式即可求解； （3）首先利用多项式乘以多项式运算法则展开，然后利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）因式分解． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用提公因式法求解即可； （2）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （3）先提公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （4）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 3．（24-25八年级上·山东泰安·期中）因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型三、综合提公因式和公式法因式分解 例题：（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式a，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式法进行因式分解，即可作答． （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（24-25七年级下·全国·周测）把下列各式进行因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提取公因式，利用完全平方公式和平方差公式分解因式的方法． （1）提取公因式即可得； （2）先提取公因式，再利用平方差公式即可得； （3）先利用平方差公式，再提取公因式即可得； （4）先提取公因式，利用完全平方公式即可得． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式， ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ． 类型四、运用因式分解求多项式的值 例题：（24-25九年级下·北京·开学考试）已知，，则 ． 【答案】24 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了代数式的求值、因式分解，利用平方差公式分解因式是解题的关键．先利用平方差公式分解因式，再整体代入即可求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：24． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·山东泰安·期末）若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，求代数式值，掌握因式分解的步骤，公式的运用是解题的关键．先提公式，再运用公式法，将待求的代数式用已知的代数表示，代入求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期末）已知，，则 ． 【答案】100 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，掌握因式分解的方法成为解题的关键． 先运用提取公因式和公式法因式分解，然后将、代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 故答案为：100． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）若满足，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式的结构特征解答即可． 【详解】解：因为 所以 故答案为：. 类型五、因式分解要彻底分解 例题：（23-24七年级上·上海浦东新·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式4，再利用平方差公式进行分解，然后利用完全平方公式继续分解即可得答案． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）因式分解：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·河南新乡·期中）因式分解 (1)； (2)＋8＋16． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题考查因式分解的方法， （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式； （2）根据完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解：816 ． 3．（24-25八年级上·山东烟台·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和公式法进行因式分解，注意：因式分解要彻底． （1）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先用完全平方公式分解，再提取公因式即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ． 类型六、十字相乘法因式分解 例题：（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化为，化为，用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 2．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）小亮自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项一次项系数，则．如图所示： 仿照上述解决下列问题： (1)因式分解：； 小亮做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则__________；=_________； （ ）（ ） (2)因式分解：： (3)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a所有可能的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解分解可得； （3）找出所求满足乘积为，相加为的值即可． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则2；3； ∴； （2）解：一次项为：，则常数项为， 则； （3）解：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是： ；；；， 即整数的所有可能的值是：，． 3．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为．（p，q为整数） 因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故一定有，即可将形如的多项式因式分解成（p、q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：_________； 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是_________； 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 类型七、分组分解法因式分解 例题：（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 ． 例2：“三一分组”： 解：原式 ． 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解． 请同学们在阅读材料的启发下解答下列问题： 分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查因式分解，理解题目中的例题的方法是解题的关键． （1）根据“两两分组”中的例题因式分解即可； （2）根据“三一分组”中的例题写出因式分解的结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： ． 【答案】 【知识点】分组分解法、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分别提取公因式，最后组与组之间提取公因式即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 2．（24-25八年级上·重庆合川·期末）分解因式： 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法进行因式分解是解题的关键．利用分组分解法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（2025九年级下·全国·学业考试）分解因式： ． 【答案】 【知识点】分组分解法、十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 本题利用分组分解法，十字相乘法和提公因式法进行因式分解即可． 【详解】原式 ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·重庆渝北·阶段练习）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲: （分成两组） （直接运用公式） = 乙 （分成两组） （提公因式） 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法 【分析】本题主要考查因式分解，灵活运用分组分解法是解答本题的关键． （1）原式先进行分组，再提取公因式，最后运用平方差公式进行因式分解即可； （2）原式先进行分组，再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 类型八、因式分解的应用 例题：（24-25八年级上·山东威海·期中）我们已经学过利用提公因式法和公式法进行分解因式．对于超过三项的多项式，可以利用分组的方法进行分解因式．即先将一个多项式进行适当的分组（或组合），再利用已经学过的方法进行分解因式．如： 分解因式： ． 利用上述方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边满足，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等腰三角形，理由见解析 【知识点】分组分解法、因式分解的应用、构成三角形的条件 【分析】本题考查因式分解—分组分解法及应用，三角形三边关系，对于不能直接因式分解的式子可以用分组法因式分解，因式分解分组时要注意观察式子特点、分好组是关键． （1）依据分组分解法，把分组为，然后用平方差公式和提公因式法分别因式分解，然后再提取公因式即可求解； （2）通过分组分解法把化成，然后利用三角形三边关系得出，则，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：等腰三角形． 由，可得． ， ． ． 是等腰三角形． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·北京·期中）已知、、是的三边，且满足，则的形状是（    ）． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，因式分解的应用，先把已知条件式左边分解因式推出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵、、是的三边， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形， 根据现有条件无法证明是直角三角形和等边三角形， 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南南阳·期中）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：阳、爱、我、南、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．美我南阳 C．南阳游 D．我爱南阳 【答案】D 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：， 故结果呈现的密码信息可能是我爱南阳， 故选：D． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）若，是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则的周长是 ． 【答案】 【知识点】完全平方公式分解因式、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义、非负数的性质及三角形三边关系；根据关系式得出，再根据是腰长和底边长两种情况讨论求解． 【详解】解：∵，即， ∴， ，， ①若是腰长，则三角形的三边长为：、、，不能组成三角形； ②若是底边长，则三角形的三边长为：、、，能组成三角形 周长为． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解： ①； ②． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【答案】(1)； (2)是等腰三角形． 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 压轴能力测评（15题） 一、单选题 1．（24-25九年级下·河北沧州·阶段练习）将多项式，因式分解时，应提取的公因式是（    ） A．a B． C． D． 【答案】A 【知识点】公因式 【分析】此题考查了公因式，根据公因式的定义进行解答即可． 【详解】解：将多项式，因式分解时，应提取的公因式是a． 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列变形中，从左到右属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解的定义：将一个多项式恒等变形为几个因式乘积的形式，结合因式分解定义逐项验证即可得到答案，熟记因式分解定义、整式乘法公式等知识判定是解决问题的关键． 【详解】解：A、，这个变形，从左到右不属于因式分解，不符合题意； B、，这个变形，从左到右是整式乘法，不属于因式分解，不符合题意； C、，这个变形，从左到右属于因式分解，符合题意； D、，这个变形，从左到右不属于因式分解，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D．12 【答案】A 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式，最后利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：A． 4．（24-25八年级上·河北承德·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把因式分解为，据此可得答案． 【详解】解： ； ∵k为任意整数， ∴为整数， ∴一定能被4整除， ∴的值总能被4整除， 故选：A． 二、填空题 5．（2025·广东江门·一模）因式分解： ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，关键是变形；式子变形后提取公因式，再把另一个因式用平方差公式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 6．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）已知，则的值是 ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子中括号内的式子提出公因式得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据长方形的周长和面积，可以得到和的值，然后将所求式子因式分解，即可求得所求式子的值． 【详解】解：，分别是长方形的长和宽，它的周长为，面积为， ，， 即， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）若多项式可分解因式为的形式，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行因式分解，求项的系数中的字母，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．由题意得，按照系数对应，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键． （1）用提出公因式分解因式即可； （2）用提出公因式分解因式即可； （3）先提公因式，再利用平方差公式进行分解，即可求解； （4）先根据平方差公式分解，再利用完全平方公式进行分解，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 10．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可； （3）利用平方差公式进行分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 11．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）阅读材料：把代数式因式分解，可以如下分解： (1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解； (2)拓展：若代数式，则的值_____． 【答案】(1) (2)1或7 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的是利用完全平方公式与平方差公式分解因式，两数之积为0，则至少有1个数为0的含义； （1）把化为，再进一步求解即可； （2）由（1）可得，再根据两数之积为0，则至少有1个数为0，从而可得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得：或； 12．（24-25八年级上·江西上饶·期末）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查分解因式—十字相乘法， （1）根据十字相乘法分解因式即可； （2）根据十字相乘法分解因式即可； 掌握十字相乘法分解因式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：； （2）①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项： ， ③横向写出两因式：． 13．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“”还原，可以得到：原式． 上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】计算多项式乘多项式、完全平方公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法． （）将“”看成整体，令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解； （）令，则原式，再通过完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解：令， ∴原式 ； （2）解：令， ∴ ． 14．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解的过程如下： 甲： （分成两组） （直接运用公式） 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下，解答下列各题： (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】综合运用公式法分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）先利用完全平方公式因式分解，然后利用平方差公式因式分解即可； （2）先利用平方差公式因式分解，然后利用提公因式法因式分解即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 15．（24-25七年级下·广东梅州·阶段练习）阅读材料：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则 ， ．． (2)已知 ，求的值； (3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 ，求， 的值． 【答案】(1)，1 (2) (3), 【知识点】因式分解的应用、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式的配凑、非负数的性质、等腰三角形的性质、三角形的三边关系等．熟悉完全平方公式的形式是解题关键． （1）利用完全平方公式的配凑可得，据此即可求解； （2）利用完全平方公式的配凑可得，据此即可求解； （3）利用完全平方公式的配凑可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴， ∴，， ∴，； 故答案为：，1； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$