专题10 平行线的判定与性质的五种考法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（北京版2024）

专题10 平行线的判定与性质的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 1 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 4 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 14 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 19 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 25 压轴能力测评（10题） 29 解题知识必备 1. 平行线的判定 1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）. 2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行. 3.两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.） 2. 平行线的性质 1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等. 2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等. 3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补. 压轴题型讲练 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 例题：（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线分别与直线相交，，． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，则______． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握其判定方法及平行线的性质得到角的关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等，得到，结合平行线的判定方法进行说明即可； （2）根据平行性的性质，即可求解． 【详解】（1）解：直线与平行； 如图所示 ， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知． 如 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】同旁内角互补两直线平行、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定和性质． （1）根据同旁内角互补两直线平行即可证明结论成立； （2）根据平行线的性质得到，由等量代换得到，即可证明，再根据平行线的性质即可得到的度数． 【详解】（1）解：证明：， ， ． （2）， ． 又， ， ， ． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据，得出，再由平行线的性质得出，进而求出的度数； （2）根据，得出，得，再由，得出，由此可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ 又∵， ∴． 即． （2）证明：∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②或或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，综合较强，正确分情况讨论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，再过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，，，，从而可得，然后根据求解即可得； ②分四种情况：（Ⅰ）当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，（Ⅱ）当点在直线之间，且和均为钝角时，（Ⅲ）当点在直线之间，且和均为锐角时，（Ⅳ）当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，参照（2）①的方法，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． ②∵平分，平分， ∴，． （Ⅰ）如图1，当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅱ）如图2，当点在直线之间，且和均为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅲ）如图3，当点在直线之间，且和均为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅳ）如图4，当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； 综上，的度数为或或． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合）、，分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (4)当点运动到使时，的度数是多少？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)不变，，理由见解析 (4)，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得； （3）先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得； （4）先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴ ， 所以的度数为． （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． （3）解：不变，，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （4）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． 2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点． (1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系． (2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______． (3)若，的平分线交于点Q，且，则______． 【答案】(1)，证明见详解 (2) (3)或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行性的性质，平行公理的推论，角平分线的定义等知识． （1）作，证明，即可得到，，根据等量代换即可证明； （2）作，证明，即可得到，，从而证明； （3）分点P在线段左侧和点P在线段右侧两种情况，分别画出图形，结合（1）、（2）结论，根据角平分线的定义进行角的代换即可求解． 【详解】（1）解：如图①，作，             图① ∵ ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图②，作，              图② ∵ ∴， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （3）解：如图③，当点P在线段左侧时，            图③ 由（2）得，， ∵， ∴， ∵、分别是，的平分线， ∴， ∴由（1）得； 如图④，当点P在线段右侧时，                图④ 由（1）得，， ∵， ∴， ∵、分别是，的平分线， ∴， ∴由（1）得； 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、平行公理的应用 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质探求角的度数及关系，根据图准确作出辅助线是解题关键． （1）过O作，利用平行公理得到，利用平行线的性质得到，，两式相加可得结论； （2）设，利用邻补角定义可得；利用平行线的性质可推导出，进而可得结论； （3）过点F作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】解：（1）如图所示，过O作， ， ， ∴，， ∴， 即； （2）与之间的数量关系为，理由如下： 设， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）设， 过点F作， ， ， ∴，， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 例题：（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当时，为定值，此时定值为． 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可得： ，，， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴，， ∴； ②，定值为，理由如下： 当时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且． (1)______°（用含t的式子表示）； (2)当时，求的度数； (3)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值； 【知识点】实际问题中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、求一个角的补角 【分析】本题主要考查平行线的性质和余补角和， （1）根据题意得，则， （2）过点C作，则，当时，，则，利用角度和差有即可； （3）设A灯转动时间为t秒，则，，根据平行线的性质得，结合垂直得，则有即可． 【详解】（1）解：根据题意得，则， 故答案为：； （2）解：过点C作，如图， 则， 当时， ∴， ∵， ∴； （3）解：设A灯转动时间为t秒，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即的比值是一个定值，这个定值为． 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 例题：（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中．    (1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______； (2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数； (3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查的是平行线的性质，角的和差运算； （1）先求解，，即可得结论； （2）由平行线的性质可得，再结合角的和差运算可得答案； （3）如图，当点在直线的上方时，证明，如图，当点在直线的下方时，证明，再进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，当点在直线的上方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 如图，当点在直线的下方时，    ∵，， ∴， ∵， ∴； 综上：为或. 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 【答案】(1)3秒 (2)当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； (3)15或24或27或33 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是典型的实际操作问题，将两个三角板按照题意进行摆放，旋转，清楚每一时刻各个角的度数是多少和各角之间的关系． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图，，， ， 平分， ， ， 答：此时的值是3秒； （2）解：当旋转至的内部时， 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 当旋转角大于且不大于时，如图， ∵， ∴； 综上，当旋转角大于且不大于时，；当旋转角大于且不大于时，； （3）解：分四种情况： ①当时，如图，， ； ②当时，如图，则， ， ； ③当时，如图，则，此时，， ， ； ④当时，如图，则， ， ； 综上，的值是15秒或24秒或27秒或33秒． 故答案为：15或24或27或33． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，当，且点在直线的上方时，解决下列问题：（友情提示，，）． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，请说明理由； (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况?若存在，请直接写出的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 (3)存在，或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）①根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数；②根据和的度数，求得的度数，再根据求得的度数； （2）根据以及，进行计算即可得出结论； （3）根据且点在直线的上方，分两种情况进行讨论． 【详解】（1）①∵，， ∴， ∴． ②∵，， ∴， ∴． 故答案为：①；②． （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）存在一组边互相平行， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：存在，或． 【点睛】本题主要考查了三角板的角度的计算和平行线的性质与判定，角的和差与分情况讨论是解本题的关键． 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 例题：（23-24七年级下·河南许昌·期末）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为 ． 【答案】12或48或84 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握一元一次方程，注意分类讨论是解题的关键． 分情况讨论： ①，在直线l上方，得； ②在直线l下方，直线l上方，得； ③，都在直线l下方，得； ④，在直线l上方和下方，得，分别解方程即可． 【详解】解：分情况讨论： ①当，在直线l上方时，如图： 当时，则， ， ； ②当在直线l下方，直线l上方时，如图： 当时，则， ， ； ③当，都在直线l下方时，如图： 当时，则， ， ； ④当在直线l上方，直线l下方时，如图： 当时，则， ， （舍去）， 为12或48或84， 故答案为：12或48或84． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）将一副三角板如图放置（其中，且），在保持不动的前提下，绕点A旋转，当时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算；分两种情况：当在点A和之间时，延长交于点F；当在点A上方时，延长交于点F， 利用平行线的性质即可求解． 【详解】当在点A和之间时， 延长交于点F， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 延长交于点F， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； 故答案为：或． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 【答案】3或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，正确计算相应的旋转角度数是解题的关键； 分旋转小于时和大于两种情况，根据平行线的性质表示出数据，列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解设光速灯A旋转时间为t秒，则C旋转的时间为秒， 当旋转小于时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ∵按每秒的速度顺时针旋转，以每秒的速度顺时针旋转， ∴，， ∴， 解得：； 当旋转大于回转时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ，， 解得：； 综上所述：旋转时间为3秒或秒， 故答案为：3或． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由，，根据两直线平行，内错角相等，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 2．（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，且，则图中与相等的角（不包括）有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键． 由可得，再证明可得、，然后再根据可得，然后统计即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． ∴， ∴图中与相等的角共有5个． 故选C． 3．（2025·贵州六盘水·一模）如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意可得，利用平行线的性质可求解的度数． 【详解】解：如图，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·广东肇庆·阶段练习）如图，已知，，于点E，于点G，则下列说法中，错误的是（    ） A． B． C．A，B两点间的距离就是线段的长度 D．点C到直线的距离就是线段的长度 【答案】D 【知识点】两点间的距离、点到直线的距离、同旁内角互补两直线平行、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查平行线的判定和性质，两点间的距离，点到直线的距离，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，，于点E，于点G， ∴，，故选项A，B不符合题意； ∵A，B两点间的距离就是线段的长度，故选项C不符合题意； ∵点C到直线的距离是线段的长度，不是线段的长度，故选项D符合题意； 故选：D． 二、填空题 5．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知一个角是，则它的余角为 ，补角为 ． 【答案】 【知识点】角度的四则运算、求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】本题考查求一个角的余角和补角，根据和为90度的两个角互为余角，和为180度的两个角互为补角，进行求解即可． 【详解】解：，； 故答案为：，． 6．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 【答案】20 【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查垂直的定义，以及平行线判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据垂直的定义得到电池板与水平线夹角，再结合平行线判定求解，即可解题． 【详解】解：太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直， 电池板与水平线夹角为， 电池板与水平线夹角为， 要使， 电池板至少转动， 故答案为：20． 7．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，点A，O，E在同一条直线上，于点O，．有如下4个结论：①；②；③与互为余角；④与互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号有 ． 【答案】①②③④ 【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 根据余角和补角的定义，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：由且、、共线，可知，故①正确； 在点周围作简单的“坐标式”分析（或利用“两组对应线均两两垂直时夹角相等”的性质）可得且，则，故②正确； 继续利用坐标式分析可得：，它们互为余角，故③正确； 同理可得：，它们互为补角，故④正确； 综上，①②③④均成立； 故答案为：①②③④； 8．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 【答案】①②③⑤⑦ 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 若，则：， ∴；故⑦正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤⑦． 三、解答题 9．（24-25七年级下·山西朔州·阶段练习）如图，点在直线上，，，，，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为_____． ②直接写出和的大小关系． 【答案】(1)； (2)①4；②． 【知识点】垂线段最短、点到直线的距离、垂线的定义理解 【分析】本题考查了角的和差，点到直线的距离，垂线段最短，数形结合是解答本题的关键． （1）根据角的和差计算即可； （2）根据点到直线的距离解答即可； （3）根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴点到的距离为． 故答案为：4； ②∵，， ∴， ∴． 10．（河南省信阳市2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）完成下列推理过程． 如图，A，B，C三点在同一直线上，，求证：． 证明：， ______________． _______（_______）． 又， _______=_______． _______． _______=（_______）． 【答案】，；，两直线平行，内错角相等；，；；；两直线平行，同位角相等 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键．根据平行线的判定和性质推理即可得到结论． 【详解】证明：， ， （两直线平行，内错角相等）， 又， ， ， （两直线平行，同位角相等）． 故答案为：，；，两直线平行，内错角相等；，；；；两直线平行，同位角相等． 11．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在四边形中，点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，若，． 求证：． 请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 证明：（________），（已知）． ________=________（等式的基本事实），（________）． （________）．（已知）， （等式的基本事实）． ________________（同旁内角互补，两直线平行）． （________）． 【答案】对顶角相等；，；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；，；两直线平行，内错角相等 【知识点】根据平行线判定与性质证明、同位角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：（对顶角相等），（已知）， （等式的基本事实）． （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）． （等式的基本事实）． （同旁内角互补，两直线平行）． （两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；，；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；，；两直线平行，内错角相等． 12．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：（______）， 又, （_______）， ∥_______（______）， _______（______）， 又， （______）， （______）． 【答案】对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行． 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用性质和判定定理进行推理是解此题的关键．求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】证明：（对顶角相等）， 又, （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行． 13．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在四边形中，，延长至点，使，连接，过点作垂直且交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若，，则与是否平行？请判断并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)与平行，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、同位角相等两直线平行、两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两直线平行内错角相等得到，根据题中条件等量代换得到，即可得证； （2）由垂直定义得到，再由平行线性质得到，结合题中条件得到，从而得到，由平行线的判定即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 平分； （2）解：与平行， 理由如下： ， ，则， ， ， ， ，且， ， ， 由（1）可知， ，即， ． 14．（2025七年级下·贵州·专题练习）如图，在中，，垂足为，点在上，在在上． (1)若，，与平行吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，平分，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质求角的度数 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的性质、角平分线的定义求出角的度数，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 15．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 【答案】(1)100，50 (2)60 (3)的度数为，点到直线的距离为2 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、点到直线的距离 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线，对顶角相等，点到直线的距离，图形结合分析是解题的关键． （1）根据补角的概念可得，，图形结合分析即可求解； （2）根据垂直的性质可得，由此即可求解； （3）根据对顶角相等可得，根据角平分线的性质可得，再根据角平分线的性质定理即可求出点到直线的距离即为线段的长，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，， ， ， 故答案为：100，50． （2）解：， ， ， 故答案为：60． （3）解：，平分， ， ，， 点到直线的距离等于的长，即为2， ∴的度数为，点到直线的距离为2． 16．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）【问题情境】在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．已知在和中，． 【实践操作】操作一：将一副直角三角尺按如图1所示叠放在一起； 操作二：小亮固定其中一块三角尺不变，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从与重合开始，到与在一条直线上时结束． 【问题解决】 (1)①如图1，与大小关系是__________； ②求图1中与的数量关系； (2)如图2，当时，求的大小． 【答案】(1)①相等，② (2) 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质，同角的余角相等、直角三角板的角的度数的知识，熟知平行线的性质是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等可得答案； ②将变形为，即可得到，从而得到与的数量关系是互补； （2）过点O作，可得，，由此即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴（同角的余角相等）． 即与大小关系是相等； ② ， 即． （2）解：当时，过点O作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 17．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【实践活动】如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）与的大小关系是：_____；（填“”“”或“”） （2）若，求的度数； 若是的平分线，求的度数； 【拓展探究】 （3）如图，若，且，若，求的度数． 【答案】（）；（）；； （3）． 【知识点】角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了同角的余角相等，角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据同角的余角相等即可求解； （）由角度和差即可求解； 由角平分线定义得，再通过角度和差即可求解； （）由角度和差即可求解． 【详解】解：（）因为， 所以， 所以， 故答案为：； （）因为， 所以， 所以； 因为是的平分线，， 所以， 所以； （3）因为，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 18．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，求的度数； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，的度数是否发生变化，若不变化，求出其值；若变化，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3)不变，是 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，角平分线，角的和差计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行得到，再由即可求解； （2）过点作，则，则，再由即可求解； （3）过点作，则，那么，，则，由角平分线可得，再相加即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：不变，是，理由： 过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵与的角平分线相交于点H， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 平行线的判定与性质的五种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 1 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 4 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 14 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 19 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 25 压轴能力测评（10题） 29 解题知识必备 1. 平行线的判定 1.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行）. 2.两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. （内错角相等，两直线平行. 3.两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.） 2. 平行线的性质 1. 两条平行被第三条直线所截同位角相等.简单说成两直线平行同位角相等. 2. 两条平行线被第三条直线所截内错角相等.简单说成两直线平行内错角相等. 3. 两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补.简单说成两直线平行同旁内角互补. 压轴题型讲练 类型一、由平行线的判定与性质进行计算 例题：（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，直线分别与直线相交，，． (1)请判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，则______． 【变式训练】 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，已知． 如 (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，A为延长线上一点，连接交于点F，且． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 类型二、由平行线的判定与性质探究角度之间的关系 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江西九江·阶段练习）如图，已知，．点P是射线上一动点（与点A不重合）、，分别平分和，分别交射线于点C，D． (1)求的度数． (2)当点运动到使时，求的度数． (3)当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化．请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． (4)当点运动到使时，的度数是多少？为什么？ 2．（23-24七年级上·吉林长春·期末）如图，，点E、F分别在直线、上，点P是、之间的一个动点． (1)如图①，当点P在线段左侧时，求证：，，之间的数量关系． (2)如图②，当点P在线段右侧时，，，之间的数量关系为______． (3)若，的平分线交于点Q，且，则______． 3．（24-25七年级上·山西临汾·期末）综合与探究 【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展探究两角之间数量关系的数学活动．如图1，这是凹透镜的剖面图，从位于点发出的灯光照射到凹面镜上反射出的光线都是水平线，即． 【探索发现】 （1）如图1，之间的数量关系为______． 【深入探究】 （2）如图2，直线分别为直线上的点，是平面内的任意一点，连接，．都是直线上的点，且，直线，交于点，试猜想与之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，试探究与之间的数量关系． 类型三、由平行线的判定与性质确定角度定值问题 例题：（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·山东济南·期中）如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·贵州遵义·期中）今年春节期间，为了营造节日氛围，各地纷纷上演各种“灯光秀”．“灯光秀”为了强化灯光效果，某地在河的两岸安置了可旋转探照灯．如图1，灯A射线自开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线自开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射．若灯A转动的速度是秒，灯B转动的速度是秒，两灯同时转动，转动时间为t秒，假定这一带两岸河堤是平行的，即，且． (1)______°（用含t的式子表示）； (2)当时，求的度数； (3)如图2，在灯A射线已转过但未到达时．若两灯射出的光束交于点C，过C作交于点D，在转动过程中，的比值是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由． 类型四、由平行线的判定与性质解决三角尺问题 例题：（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中．    (1)如图①，点在直线的上方，若，则______，______； (2)如图②，点在直线的下方，若，求的度数； (3)若保持三角板不动，三角板绕直角顶点顺时针旋转一周，当时，直接写出的度数． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁铁岭·期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． (1)如图2，当为的角平分线时，求此时的值； (2)当旋转至的外部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时等于______（直接写出答案即可）． 2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）三角板是学习数学的重要工具，将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，当，且点在直线的上方时，解决下列问题：（友情提示，，）． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，请说明理由； (3)这两块三角板是否存在一组边互相平行的情况?若存在，请直接写出的度数的所有可能的值；若不存在，请说明理由． 类型五、由平行线的判定与性质解决旋转问题 例题：（23-24七年级下·河南许昌·期末）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为 ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）将一副三角板如图放置（其中，且），在保持不动的前提下，绕点A旋转，当时，的度数为 ． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 压轴能力测评（18题） 一、单选题 1．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·贵州遵义·阶段练习）如图，，且，则图中与相等的角（不包括）有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（2025·贵州六盘水·一模）如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东肇庆·阶段练习）如图，已知，，于点E，于点G，则下列说法中，错误的是（    ） A． B． C．A，B两点间的距离就是线段的长度 D．点C到直线的距离就是线段的长度 二、填空题 5．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知一个角是，则它的余角为 ，补角为 ． 6．（24-25七年级下·河北石家庄·阶段练习）为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 7．（24-25七年级上·湖北随州·期末）如图，点A，O，E在同一条直线上，于点O，．有如下4个结论：①；②；③与互为余角；④与互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号有 ． 8．（24-25七年级下·全国·期中）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦若，则． 三、解答题 9．（24-25七年级下·山西朔州·阶段练习）如图，点在直线上，，，，，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为_____． ②直接写出和的大小关系． 10．（河南省信阳市2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷）完成下列推理过程． 如图，A，B，C三点在同一直线上，，求证：． 证明：， ______________． _______（_______）． 又， _______=_______． _______． _______=（_______）． 11．（24-25七年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，在四边形中，点为延长线上一点，点为延长线上一点，连接，交于点，交于点，若，． 求证：． 请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 证明：（________），（已知）． ________=________（等式的基本事实），（________）． （________）．（已知）， （等式的基本事实）． ________________（同旁内角互补，两直线平行）． （________）． 12．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：（______）， 又, （_______）， ∥_______（______）， _______（______）， 又， （______）， （______）． 13．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）如图，在四边形中，，延长至点，使，连接，过点作垂直且交的延长线于点． (1)求证：平分； (2)若，，则与是否平行？请判断并说明理由． 14．（2025七年级下·贵州·专题练习）如图，在中，，垂足为，点在上，在在上． (1)若，，与平行吗？为什么？ (2)在（1）的条件下，平分，且，求的度数． 15．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 16．（24-25八年级上·广东肇庆·期中）【问题情境】在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量关系．已知在和中，． 【实践操作】操作一：将一副直角三角尺按如图1所示叠放在一起； 操作二：小亮固定其中一块三角尺不变，绕点O顺时针转动另一块三角尺，从与重合开始，到与在一条直线上时结束． 【问题解决】 (1)①如图1，与大小关系是__________； ②求图1中与的数量关系； (2)如图2，当时，求的大小． 17．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）【实践活动】如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放． （1）与的大小关系是：_____；（填“”“”或“”） （2）若，求的度数； 若是的平分线，求的度数； 【拓展探究】 （3）如图，若，且，若，求的度数． 18．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，直线，将一副三角板中的两块直角三角板按如图1放置，，，，，此时点A与点E重合． (1)如图1，直线经过点F，求的度数； (2)如图2，固定的位置不变，将绕点E按顺时针方向旋转度，与相交于点G，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图3，在（2）的条件下，与的角平分线相交于点H，在旋转过程中，的度数是否发生变化，若不变化，求出其值；若变化，用含的式子表示． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$