精品解析：广东省梅州市学艺中学2024-2025学年九年级下学期期中测试数学试卷

梅州市学艺中学2024-2025学年度九年级第二学期中段测试题 数学 （出卷人：钟沐彬 审卷人：王喜凤 张玉敏） 时间：120分钟，满分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数：，0，，，其中最小的是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据某网站统计数据，截至止2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙三名男生进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法比较 5. 如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点，，均在上，，的半径为3，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O、；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若顶点在上，则m的值是（ ） A. 4048 B. 4049 C. 4050 D. 4051 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在英语单词苹果中任意选出一个字母，选出的字母为“p”的概率是______． 12. 若，，则的值为__________． 13. 如图．，相交于点，，请你补充一个条件______，使． 14. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________． 15. 如图，正方形的边长为．将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，的长度是______． 三、解答题（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 17. 图1图2均为5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）观察：如图1，______，______； （2）探究：如图2，仅用无刻度的直尺在上找一点M，连接，使得；小军说：作点B关于的对称点，连接与交于点M…请根据小军的方案在图2中画出点M的位置，并证明是否可行． 18. 为了解学生对《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》这两部影片的评价，某调查小组从该校九年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评级，等级分为一星、二星、三星、四星、五星，其中对应等级的得分依次记为2分、4分、6分、8分、10分．现将学生对电影的评级整理并绘制成统计图． 请你根据提供的信息解答下列问题： （1）求此次电影评级中，电影《唐探1900》评级在三星及以上的人数． （2）将下列表格补充完整： 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 对《哪吒之魔童闹海》 ______ 10 8 《唐探1900》 8 ______ （3）从相关统计量进行分析，你认为该校九年级学生对哪部作品的评价更高？请说明理由． 四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图①是某型号抽油机，俗称磕头机，是一种用于开采石油的机械设备，其核心特点是通过游梁、连杆、曲柄机构带动驴头实现往复运动，利用曲柄重块平衡载荷，驱动抽油杆上下运动以抽取原油．图②是磕头机在某时刻工作的示意图，若是抽油杆，是驴头，是游梁，是支架，支架与游梁的夹角．点在点的北偏东方向测得，，．求抽油杆顶端到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，） 20. 根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材2 考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，且扫把簸箕套装不少于50套 素材3 商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 21. 如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E． （1）求抛物线的表达式． （2）①x轴下方抛物线上是否存在一点F，使面积等于的面积？若存在，请求出点F的坐标． ②若点Q是x轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点Q的坐标． （3）点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且，请求出的最小值． 23. 如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 游戏1 折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示． （1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系． 游戏2 在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示． （2）在（1）的条件下，连接，求的度数． 游戏3 在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接． （3）设，，的面积分别为，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅州市学艺中学2024-2025学年度九年级第二学期中段测试题 数学 （出卷人：钟沐彬 审卷人：王喜凤 张玉敏） 时间：120分钟，满分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数：，0，，，其中最小的是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据实数大小比较的法则解答． 【详解】解：∵， ∴最小的数是， 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键． 2. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断． 【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 3. 根据某网站统计数据，截至止2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：278000000用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 甲、乙、丙三名男生进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义求解即可． 【详解】解：， 这三名同学跳远成绩最稳定的是丙， 故选：C． 5. 如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用平移的性质得到，即可得到的长． 【详解】解：∵沿方向平移至处． ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握合并同类项，同底数幂的除法，完全平方公式，积的乘方法则，是解题的关键． 7. 如图，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对顶角相等可得，再由平行线的性质可求得，，结合已知条件可求得，即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ∵， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 8. 某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出慢车的速度，再利用慢车的速度表示出快车的速度，根据所用时间差为1小时列方程即可． 【详解】解：设慢车的速度是，则快车的速度为， 依题意得， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． 9. 如图，点，，均在上，，的半径为3，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算及圆周角定理，根据圆周角定理求出的度数，再由弧长公式计算即可．熟练掌握并灵活运用弧长的计算公式及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：D． 10. 如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O、；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若顶点在上，则m的值是（ ） A. 4048 B. 4049 C. 4050 D. 4051 【答案】B 【解析】 【分析】本题是坐标规律题，考查了二次函数的应用，旋转的性质，解题关键是得出抛物线顶点坐标的规律．先求出抛物线与轴的交点，再根据旋转的性质，得出，，从而得出顶点坐标的规律：当为奇数时，的顶点坐标为，当为偶数时，的顶点坐标为，即可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，， ，， ， 由旋转的性质可知，， ，， 抛物线与轴的交点坐标分别为，， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为， 同理可得抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为…… 观察发现，当为奇数时，的顶点坐标为，当为偶数时，的顶点坐标为， 当时，的顶点坐标为， ， 故选：B． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在英语单词苹果中任意选出一个字母，选出的字母为“p”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键．根据已知条件找出总的情况数和符合条件的情况数，由概率公式求解即可． 【详解】解：单词中共有5个字母， 其中出现了2次， 故任意选择一个字母恰好是字母的概率为：． 故答案为：． 12. 若，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将代数式根据平方差公式分解为：= ，再分别代入求解． 【详解】∵，， ∴原式． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟记公式是解答本题的关键。 13. 如图．，相交于点，，请你补充一个条件______，使． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三级形的判定方法，进行作答即可． 【详解】解：∵，相交于点，， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：或或． 14. 如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为m，根据，，得到，根据矩形对边相等得到，推出，根据点B，E在同一个反比例函数的图象上，得到，得到，推出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设正方形的边长为m， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握矩形性质，正方形性质，反比例函数性质，k的几何意义． 15. 如图，正方形的边长为．将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，的长度是______． 【答案】1或或5 【解析】 【分析】分三种情况讨论，当为直角顶点时，与重合，可得；当为直角顶点时，过作于，可得结合旋转性质可得，用可判定，得到，可推出，在中用勾股定理即可求得；当为直角顶点时，共线，可得，在即可求得． 【详解】解：（1）当为直角顶点时，与重合，如图： 此时； （2）当为直角顶点时，过作于，如图： 由旋转性质可得， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ③当为直角顶点时，如图： 此时共线， ， 在中， 综上所述：的长为或或． 故答案为：1或或5． 【点睛】本题考查正方形的性质、旋转的性质，三角形全等的判定、勾股定理，分情况讨论是解题关键． 三、解答题（共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】根据实数的混合运算法则进行计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算、二次根式的性质和特殊角的三角函数等知识，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 17. 图1图2均为5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上． （1）观察：如图1，______，______； （2）探究：如图2，仅用无刻度的直尺在上找一点M，连接，使得；小军说：作点B关于的对称点，连接与交于点M…请根据小军的方案在图2中画出点M的位置，并证明是否可行． 【答案】（1）， （2）见解析；证明见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． （1）利用平行线分线段成比例定理求解； （2）根据要求作出图形，利用轴对称变换的性质解决问题即可． 【小问1详解】 解：，，， ， ． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：如图2中，点即为所求． 小军的方案． 理由：点与关于对称， ， ， ， ， ， 又， ； 18. 为了解学生对《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》这两部影片的评价，某调查小组从该校九年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评级，等级分为一星、二星、三星、四星、五星，其中对应等级的得分依次记为2分、4分、6分、8分、10分．现将学生对电影的评级整理并绘制成统计图． 请你根据提供的信息解答下列问题： （1）求此次电影评级中，电影《唐探1900》评级在三星及以上的人数． （2）将下列表格补充完整： 平均数（分） 众数（分） 中位数（分） 对《哪吒之魔童闹海》 ______ 10 8 《唐探1900》 8 ______ （3）从相关统计量进行分析，你认为该校九年级学生对哪部作品的评价更高？请说明理由． 【答案】（1）18人 （2）；8 （3） 解：该校九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价更高． 理由：九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价分的平均数和众数都比《唐探1900》高，对《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》评价分的中位数相同， 该校九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价更高． 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数，平均数和众数，利用平均数，中位数和众数做决策，解题的关键是理解中位数，平均数和众数定义． （1）根据扇形统计图，得出等级在三星以上（包括三星）的人数的百分比，然后求出结果即可； （2）根据平均数计算公式求出即可；根据中位数的定义求出即可； （3）根据平均数、中位数和众数进行判断即可． 【小问1详解】 解：（人） 答：此次电影评级中，电影《唐探1900》评级在三星及以上的人数为人； 【小问2详解】 《哪吒之魔童闹海》平均数（分）， 将《唐探1900》中学生的评价分从小到大进行排序，排在中间位置的2个数为8分， ∴中位数（分）， 故答案为：，； 【小问3详解】 略 四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图①是某型号抽油机，俗称磕头机，是一种用于开采石油的机械设备，其核心特点是通过游梁、连杆、曲柄机构带动驴头实现往复运动，利用曲柄重块平衡载荷，驱动抽油杆上下运动以抽取原油．图②是磕头机在某时刻工作的示意图，若是抽油杆，是驴头，是游梁，是支架，支架与游梁的夹角．点在点的北偏东方向测得，，．求抽油杆顶端到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】抽油杆顶端距地面高度约是9.5米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先证明四边形是矩形，运用米，米，再结合以及线段的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：如图，过作交的延长线于，交的延长线于． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ． ∵ ∴（米） 答：抽油杆顶端距地面高度约是9.5米． 20. 根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元． 素材2 考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，且扫把簸箕套装不少于50套 素材3 商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】任务1：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元；任务2：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解此题的关键． 任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，计算即可得解． 【详解】解：任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元． 根据题意得：， 解得， 答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元． 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， ∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元） 方案一：， 解得， 由题意得， ∴， ∴ 方案二：， 解得， ∴方案二不符题意，舍去． 答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条． 21. 如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，等量代换得到，得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）根据垂径定理得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直径，是弦，且， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 如图在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E． （1）求抛物线的表达式． （2）①x轴下方抛物线上是否存在一点F，使面积等于的面积？若存在，请求出点F的坐标． ②若点Q是x轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点Q的坐标． （3）点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且，请求出的最小值． 【答案】（1） （2）①存在； ②或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）①过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积，利用待定系数法可求出直线的表达式为，再求出直线的表达式为，最后联立方程组求解即可； ②过点作交轴于，连接，则，根据的面积为求出，则，可得直线的表达式为，联立抛物线即可求解； （3）过点作轴，，证明，可得，由三角形的三边关系可得，则当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线过，， ，解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：①存在， 如图，过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积， 设直线的表达式为， ，， ，解得， 直线的表达式为， 设直线的表达式为， 在二次函数中令，得， 解得：， ， 将代入得：，解得， 直线的表达式为， 联立方程组得，解得：或， ； ②如图1，过点作交轴于，连接， ， 的面积为， ，解得， ， ， ，直线的表达式为， 设直线的表达式为， ，解得， 直线的表达式为， 联立与抛物线得， 解得，， 点的坐标为或； 【小问3详解】 解：如图2，过点作轴，，连接，， 轴， ， ，， ， ， ， 当、、三点共线时，的值最小，最小为的长， 直线的表达式为， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质，待定系数法确定函数的解析式，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，掌握二次函数的图象和性质以及一次函数的图象与性质是解题的关键． 23. 如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 游戏1 折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示． （1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系． 游戏2 在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示． （2）在（1）的条件下，连接，求的度数． 游戏3 在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接． （3）设，，的面积分别为，若，，求的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，结合E恰好为的中点可得； （2）在中，，∴，∴ 证明得，，设，则，，由勾股定理得，证明得，在中，利用锐角三角函数求出即可求解． （3）延长交于点H，证明得，证明得，由求出，证明得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】解：（1）根据翻折的性质可知，， ∴，∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴，即 ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴ （2）根据翻折的性质可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴ 在矩形中，， ∴， ∴， ∴ （3）延长交于点H，根据翻折的性质可知， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 又Q是的中点， ∴， ∴ 又， ∴， ∴ ∴ ∵，即， ∴ ∵，，， ∴ ∴，， ∴，， 在和中，， ， 解得或（舍去） ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，难度较大，属中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $