重点专题3.3 离散型随机变量的数字特征(均值与方差)- 【重难点突破】2024-2025学年高二数学·人教A版·热点题型专练

【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 专题3-3 离散型随机变量的数字特征(均值与方差) 总览 题型·解读 【题型1】求离散型随机变量的期望（均值） 【题型2】 期望（均值）的性质 【题型3】由离散型随机变量的均值求参数 【题型4】求离散型随机变量的方差、标准差 【题型5】方差的性质 【题型6】求两点分布的均值与方差 【题型7】方差的期望表示* 【题型8】离散型随机变量的综合问题 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】求离散型随机变量的期望（均值） 基础知识 离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P 则称为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 【例题1】（23-24高二下·福建福州·期中）现有4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列． (1)将余下4个半张随机翻开两张，然后将桌上4个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率； (2)将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用组合知识结合古典概型计算概率即可； （2）利用离散型随机变量的分布列与期望公式计算即可. 【详解】（1）由题意可知总情况有种， 而翻开的四个半张扑克恰有2张相同的可能情况有， 所以这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率为； （2）由题意可知的可能取值有， 则， ， 所以的分布列为： 0 1 2 4 P 则. 【例题2】（23-24高三下·上海·阶段练习）袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色. (1)两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出1个黄球的概率； (2)甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求： ①的值；②随机变量的概率分布和数学期望. 【答案】(1) (2)①；②分布列见解析，的数学期望为 【分析】（1）利用不放回模型，结合古典概型的概率公式即可得解； （2）①分析表示的意义，结合古典概型即可得解；②由条件确定随机变量的所有取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求其期望. 【详解】（1）依题意，所求概率为； （2）①由已知得从袋中不放回的摸球两次的所有取法有种， 事件表示第一次取红球第二次取黄球或第一次取黄球第二次取红球， 故事件包含种取法， 所以； ②，， 则的概率分布为 2 3 4 所以的数学期望为. 【例题3】（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的． (1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率； (2)若甲乙两小组各进行次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【详解】（1）记至少两次试验成功为事件， 则甲小组做了三次实验，至少两次试验成功的概率. （2）由题意的可能取值为，，，，， 所以， ， ， ， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 所以. 【例题4】（23-24高二下·重庆·期中）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线2驾车回家，已知小李在路上遇到了红灯的情况下，求小李在第一个路口就遇到了红灯的概率； (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：）的期望最小，则小李应选择哪条路线?请说明理由． 【答案】(1) (2)小李应选择路线1，理由见解析. 【分析】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件，由题意可得，进而由条件概率公式可求结果； （2）分别求得条路线的情况下的数学期望，设路线累计增加时间的随机变量为，则，可求期望，路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为，进而求得，，进而求得期望，比较可得答案. 【详解】（1）记小李在路上遇到红灯为事件，小李在第一个路口遇到红灯为事件， ，则， 则小李在路上遇到了红灯的情况下，小李在第一个路口就遇到了红灯的概率为； （2）设路线累计增加时间的随机变量为，则，所以， 设路线第个路口遇到红灯为事件，则， 设路线累计增加时间的随机变量为，则的所有可能取值为， 则， ，所以． 因为，所以为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间的期望最小， 小李应选择路线． 【巩固练习1】（23-24高二下·重庆·期中）某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供4种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4，每个学生只能从4种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表： 课程 数学1 数学2 数学3 数学4 合计 选课人数 360 540 540 360 1800 用分层抽样的方法从这1800名学生中插取10人进行分析. (1)选出的10名学生中，选择数学1、数学2、数学3、数学4的各有几人？从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率； (2)从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为，选择数学1的人数为，设随机变量，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】(1)人，人，人，人； (2)分布列见解析， 【分析】（1）按照分层抽样规则求出各组的人数，再由古典概型的概率公式计算可得. （2）依题意的可能取值为，，，，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； 【详解】（1）依题意选择数学的有人，选择数学的有人， 选择数学的有人，选择数学的有人， 从人中选人共有种选法， 有人选择数学的选法共有种，有3人选择数学的选法有种， 所以至少有人选择数学的概率． （2）依题意的可能取值为，，，，，， 所以， ， ， ， ，， 所以的分布列为： 所以. 【巩固练习2】（2024·辽宁·一模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值; (2)以频率估计概率，完成下列问题. (i)若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； (ii)若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 【答案】(1) (2)(i)分布列见解析，；(ii) 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可； （2）(i)依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列与数学期望；(ii)利用条件概率的概率公式计算可得. 【详解】（1）依题意可得，解得； （2）(i)由（1）可得高度在的频率为， 所以， 所以，， ，， ， 所以的分布列为： 所以； (ii)在欧阳花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件， 至多株高度低于为事件， 则， ， 所以. 【巩固练习3】（高二下·福建厦门·期中）甲乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢3局的运动员获胜，并结束比赛，设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，设为结束比赛所需要的局数，随机变量X的数学期望是 . 【答案】 【分析】先分析的所有取值，再求出，，，列出分布列，再利用期望公式求解即可． 【详解】由题意可知的所有取值可能为：3，4，5， 包含甲赢前三局和乙赢前三局两种情况， 则； 包含甲赢前三局中的两局和第四局和乙赢前三局中的两局和第四局两种情况， 则， ， 则的分布列如下： 3 4 5 则 【巩固练习4】（23-24高二下·广东佛山·期末）某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后经过两道工序.当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为，，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，. (1)求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率； (2)若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为，求随机变量的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用对立事件求概率即可； （2）由已知确定随机变量ξ的可能取值，再求其取各值的概率，由此可得其分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，则，，， 设E表示第一次烧制后至少有一件合格， ， 所以 即第一次烧制后至少有一件产品合格的概率为. （2）设甲、乙、丙经第二次烧制后合格为事件，分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件， 则，，， ， ， 所以， ， ， ． 所以的分布列如下： 0 1 2 3 P 于是期望 【巩固练习5】（2024·山东聊城·二模）随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下： 分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. (1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； (2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司的客户人数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)，分布列见解析 【分析】（1）将数据从小到大排列，根据第一四分位数的概念求解即可； （2）先求出两个公司不满意的人数，确定随机变量的取值，然后求出对应的概率，根据数学期望公式求解即可. 【详解】（1）将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94. 因为， 所以抽取的这20位客户评分的第一四分位数为. （2）由已知得分公司中75分以下的有66分，72分； 分公司中75分以下的有62分，70分，73分， 所以上述不满意的客户共5人，其中分公司中2人，分公司中3人. 所以的所有可能取值为1，2，3. ， 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 【题型2】 期望（均值）的性质 基础知识 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 . 特别地，当时，；当时，；当时，. 【例题1】已知随机变量X的分布列表如下表，且随机变量，则Y的期望是（    ） X -1 0 1 m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由随机变量X的分布列求出m，求出，由，得，由此能求出结果． 【详解】由随机变量X的分布列得：，解得， ，， ． 【例题2】已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【分析】根据均值的性质可得，则即为，解方程求得答案. 【详解】因为，所以， 解得或（舍去） 【例题3】（2024·江苏盐城·一模）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动.每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分.已知选手甲正确回答每一道题的概率均为. (1)记X为“甲完成一局‘挑战答题’活动时回答的题数”，求的概率； (2)记Y为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，计算得结论； （2）记Z为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”，利用离散型随机变量的分布列和均值得，再利用均值的性质，计算得结论. 【详解】（1）记为“第个题目回答正确”，为“第个题目回答不正确”. 因为选手甲正确回答每一道题的概率均为，X为“甲完成一局‘挑战答题’活动时回答的题数”， 所以. （2）记Z为“1天中参加‘挑战答题’活动获得的积分”，则Z所有可能的取值为8，10. 因为选手甲正确回答每一道题的概率均为， 所以 ， ， 因此， 而，所以. 【巩固练习1】设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝__. 【答案】 【详解】依题意得，且概率和，解得. 【巩固练习2】（24-25高二下·全国·课后作业）端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 【答案】 【分析】由条件确定的可能取值，再求其取各值的概率，由期望公式求，再根据期望性质求结论. 【详解】依题意，的可能取值是， 则，，， 故， 故． 【巩固练习3】已知随机变量X的分布列如下表所示 x 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 b 0.2 0.1 则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先求出b的值，再利用期望定义求出，再进一步求出. 【详解】由题得， 所以 所以. 【题型3】由离散型随机变量的均值求参数 基础知识 根据分布列的性质以及期望公式即可求出参数 【例题1】若随机变量的分布列如下表，且， 则表中的值为_______. 【答案】 【解析】根据概率之和为求得的值，然后利用随机变量的数学期望值可求出实数的值. 【详解】由于概率之和为，则， ，解得. 【例题2】已知X的分布列为 X ﹣1 0 1 P 且Y＝aX+3，E（Y），则a为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】先求出（﹣1）01．再由Y＝aX+3得． ∴a（）+3，解得a＝2． 【例题3】（高二下·江苏镇江·期末）已知随机变量满足，其中，若，则 ， ． 【答案】 【详解】由， 可得，，， 所以，则， 又，则. 【巩固练习1】设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，若的均值 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【分析】将，2，3，4代入的表达式，利用概率之和为1列方程，利用期望值列出第二个方程，联立方程组，可求解得的值. 【详解】依题意可的的分布列为： 1 2 3 4 依题意得，解得，，故. 【巩固练习2】某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为，考试次数为X，若X的数学期望，则p的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据独立重复实验的概率计算方法求出随机变量X的分布列，根据数学期望的公式即可计算p的范围. 【详解】考试次数的所有可能取值为1，2，3， ，，， ∴， 即，解得或，又，故． 【巩固练习3】已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为： X 0 1 P a b 则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【分析】根据期望的性质可求得，再根据期望公式及概率之和为1，列出方程组，解之即可得解. 【详解】解：因为， 所以，则有，解得. 【题型4】求离散型随机变量的方差、标准差 基础知识 离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称D(X)=+++= 另外 为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X). (2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 【例题1】（高二·辽宁辽阳·期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中 的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出X的取值可能，计算每种可能的概率后结合方差定义计算即可得. 【详解】由题意可知，X的取值可能为，，， 因为， ， ， 所以， 故． 【例题2】（23-24高二下·福建福州·期中）随机变量的分布列如下： 1 2 若，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据分布列概率之和为1以及期望值列方程组，解方程组求得a、b的值，进而求得方差. 【详解】由题意可知，， 所以. 【例题3】（高二·广东广州·期末）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下： 0 1 则的值为 ． 【答案】 【分析】根据给定表格，求出的分布列，再利用方差的定义计算即得. 【详解】依题意，的取值为0，1，且，， 则的期望， 所以的方差. 故答案为： 【例题4】（23-24高二·全国·课堂例题）计算随机变量X的方差，除了应用定义式，还可用公式，你能对该公式进行证明吗？ 【答案】答案见解析 【详解】证明如下： 有时合理运用上式可使某些方差的求解问题变得非常简单． 【巩固练习1】（高二下·山东潍坊·期末）随机变量的分布列是 2 4 P a b 若，则 ． 【答案】 【分析】根据概率之和等于1及求得，然后再利用方差公式即可求得答案. 【详解】解：，即， 又因，所以， 所以. 【巩固练习2】已知随机变量的分布列为 0 1 2 则 ；若，则 ． 【答案】 【分析】由概率和等于1，可求出的值，然后根据，可求出，进而由数学期望的计算公式可求出的值，然后计算即可. 【详解】由题意得，，则. 因为，所以，则，即， 又，解得， 所以． 故答案为：；. 【巩固练习3】（22-23高二下·浙江杭州·期中）甲乙两个盒子中分别装有大小､形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1､2､3.分别从两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上数字之积，X的方差为，则 . 【答案】 【分析】根据离散型随机变量，先列出分布列得出期望，再计算方差，后根据公式得出 【详解】由题意可得X的可能取值为：1、2、3、4、6、9 其分布列为 X 1 2 3 4 6 9 P 所以 【巩固练习4】（23-24高二上·吉林·期末）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现在6名男志愿者和4名女志愿者，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率； (2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列及数学期望、方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求期望和方差. 【详解】（1）记“接受甲种心理暗示的志愿者包含但不包含”为事件， 则. （2）由题意知的所有可能取值为，则 ；；； ；. 所以随机变量的分布列为： 因此，， . 【巩固练习5】（浙江杭州·期末）在一次随机试验中，事件发生的概率为，事件发生的次数为，则期望 ，方差的最大值为 ． 【答案】 【详解】记事件发生的次数为可能的值为 期望 方差 故期望，方差的最大值为 【题型5】方差的性质 基础知识 若离散型随机变量X的方差为，，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且. 【例题1】若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（    ） A． B． C． D． 【分析】利用期望、方差性质求新数据的期望、方差. 【详解】由期望、方差的性质知：， 【例题2】（23-24高二下·河南郑州·期中）若随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质求，根据期望的定义求，再由期望的定义求，结合期望性质求. 【详解】由已知可得，，， 所以， 所以， 所以， 所以 【例题3】离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 . 【答案】 【分析】根据方差的定义求得，然后利用方差性质求解即可. 【详解】由题意及方差定义知，所以. 【巩固练习1】若随机变量的分布列如表，且，则的值为（    ） 0 2 A．9.2 B．5 C．4 D．1 【分析】由概率之和等于1得出，求出方差，并由方差性质求解即可. 【详解】由题意可得：，解得，因为，所以， 解得．所以． 所以． 【巩固练习2】（23-24高二下·安徽合肥·期末）（多选）设离散型随机变量 X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y 满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据分布列的性质求得参数，结合分布列求得，再结合期望和方差的性质，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：因为，解得，故A正确； 对于选项B：可得， ，故B正确； 对于选项CD：因为，则有： ，故C错误； ，故D错误. 【巩固练习3】（23-24高二下·广东广州·期末）（多选）设离散型随机变量的分布列如下表，若离散型随机变量满足. 则下列结论正确的是（   ） 0 1 2 3 0.2 0.1 0.2 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由离散型随机变量X的分布列的性质求出，由此能求出，再由离散型随机变量Y满足，能求出和． 【详解】由离散型随机变量X的分布列的性质得：， 所以，A错误； ，C正确； ∴，B正确； ，D错误. 【题型6】求两点分布的均值与方差 基础知识 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 【例题1】已知随机变量服从两点分布，且，设，那么________． 【答案】 【解析】先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】， 【例题2】（多选）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用两点分布的期望与方差公式求解即可. 【详解】依题意，得，，服从两点分布， 所以，，，， 因为，则，， 所以，，， 所以，，， ，即， 所以ACD错误，B正确. 【巩固练习1】已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ． 【答案】 【解析】先求出，再由随机变量的线性关系的期望性质，即可求解. 【详解】， 故答案为： 【巩固练习2】（高二·广西桂林·期末）一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ． 【答案】 【分析】先求出期望，借助期望求方差. 【详解】由题知，一次射门命中次数为0次或1次， , 因此E(X)=0×0.7+1×0.3=0.3， 【巩固练习3】（多选）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，，再根据，，计算期望和方差. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，所以， ，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D不正确. 【题型7】方差的期望表示* 基础知识 利用数学期望计算方差非常简便，尤其是样本数较多的情形。 【例题1】（高二下·安徽黄山·期末）随机变量的分布列如下表，则 . 0 1 2 0.4 0.2 【答案】20 【分析】由概率和为1求出a，先求出和，进而求出. 【详解】由，所以，， 【例题2（23-24高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 0.6 若，则 ；当 时，最大． 【答案】 0.1/ 0.2/ 【分析】根据给定条件，利用分布列的性质，期望公式计算得值；利用方差与期望的关系建立关于的函数，探讨函数的最大值即可. 【详解】由，得，因此； 依题意，，， 因此， 则当时，取得最大值. 故答案为：0.1；0.2 【例题3】（22-23高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方差的期望表示可得出，设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、，则有，利用基本不等式可求得的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】由题意可得、的分布列如下表所示： 由分布列的性质可得，所以，， 所以，，， 所以，， 设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、，则有， 则， 当且仅当时取等号，所以，， 因为函数在上单调递减， 所以，． 【巩固练习1】（浙江·期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】根据题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率，进而求出和，根据计算即可. 【详解】解：的所有可能取值为0，1，2，3． ； ； ； ． 得， 所以， 所以． 【巩固练习2】（2023高二·安徽）一离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.1 其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为 ． 【答案】0.1 【分析】由题意得再利用期望、方差的性质计算可得答案. 【详解】由题意得，， ， 当时有最大值，此时，解得． 【巩固练习3】（高二下·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ． X 0 1 2 P 【答案】1 【分析】根据所给的分布列，写出关于概率p的不等式组，解出p的范围，写出期望和方差的表示式，根据p的范围，求出最值. 【详解】，， ，， ， 当时，. 【巩固练习4】（23-24高二下·山东临沂·期中）某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）由题意可知，，再根据随机变量表示的意义，利用古典概型概率公式求概率，再写出分布列； （2）根据分布列求期望，再根据公式，求方差. 【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为1，2，3，4. ；； ；. ∴的分布列为 1 2 3 4 （2）的期望：， 又， ∴方差. 【题型8】离散型随机变量的综合问题 【例题1】（高二下·广东广州·期末）（多选）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A的概率为0.8，可获公益基金1千元；猜对歌曲的概率为0.5，可获公益基金2千元；猜对歌曲的概率为0.5，可获公益基金3千元．规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记嘉宾获得的公益基金总额为千元，则（    ） A． B． C． D．获得公益基金的期望值与猜歌顺序无关 【答案】BC 【分析】确定X的取值，求得每个值对应概率，可判断A；继而可求得期望和方差，根据期望和方差的性质可判断B，C；再求出按照的顺序猜时的期望值，比较可判断D. 【详解】由题意，可分别用表示猜对三首歌曲歌名的的事件，则相互独立， 按照的顺序猜，则X的取值可能为， 则，， ，， 则， ， 故，， 由此可知A错误；B正确，C正确； 假设按照的顺序猜，设Y表示此时获得的公益基金总额 则，， ，， 则， 与按照的顺序猜的期望值不同，故D错误 【例题2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. (1)求P； (2)当时，求甲得分X的分布列及数学期望； (3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，利用条件概率可得，求解即可； （2）X可能的取值为0，1，2，计算可求得分布列，进而计算可求数学期望； （3）设甲的积分为，乙的积分为，由已知可得甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，，计算可得，可得结论. 【详解】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”， 则，，，，， ， 则，解得； （2）由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知 ， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望为. （3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为， 则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令 当n为奇数时，， 则 又∵时，随着m的增大而增大， ∴. 【例题3】甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X． (1)求X的分布列； (2)求甲、乙两人最终平局的概率； (3)记甲、乙一共进行了Y轮比赛，求Y的分布列及期望． 【答案】(1)分布列见解析 (2) (3)分布列见解析，期望为 【分析】（1）X的所有可能取值为－1，0，1，求出相应的概率列出分布列即可； （2）因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况：①四轮比赛中甲、乙均得0分；②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分；③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分；再分别求出每一种情况的概率相加即可； （3）Y的所有可能取值为2，3，4，求出对应的概率列出分布列即可. 【详解】（1）依题意， X的所有可能取值为－1，0，1． ， ， ， 所以X的分布列为 X －1 0 1 P 0.3 0.5 0.2 （2）因为甲、乙两人最终平局，所以甲、乙一定进行了四轮比赛分三种情况： ①四轮比赛中甲、乙均得0分，其概率为． ②四轮比赛中有两轮甲、乙均得0分，另两轮，甲、乙各得1分， 其概率为． ③四轮比赛中甲、乙各得2分，且前两轮甲、乙各得1分， 其概率为． 故甲、乙两人最终平局的概率为． （3）Y的所有可能取值为2，3，4． ， ， ， 所以Y的分布列为 Y 2 3 4 P 0.13 0.13 0.74 ． 【例题4】，，，四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方下场，第1局由，对赛，接下来按照，的顺序上场第2局、第3局（来替换负的那个人），每次负的人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后（即排到最后一个），需要再等2局（即下场后的第3局）才能参加下一场练习赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立. (1)求前4局都不下场的概率； (2)用表示前局中获胜的次数，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据前4局A都不下场，由前4局A都获胜求解； （2）由的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求得其概率，列出分布列，再求期望. 【详解】（1）前4局都不下场说明前4局都获胜， 故前局都不下场的概率 （2）依题意的所有可能取值为0，1，2，3，4， 其中，表示第1局输，第4局是上场，且输，则； 表示第1局输，第4局是上场，且赢或第1局赢，且第2局输， 则； 表示第1局赢，且第2局赢，第3局输， 则； 表示第1局赢，且第2局赢，第3局赢，第4局输， 则； 表示第1局赢，且第2局赢，第3局赢，第4局赢， 则 所以的分布列为 0 1 2 3 4 故的数学期望为 【例题5】（23-24高二下·湖北武汉·期末）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验次； 方式二：混合检验，将其中份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为． (1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率； (2)现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①若，求关于的函数关系式； ②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？ 参考数据：，，，，． 【答案】(1) (2)①（且），②答案见解析 【分析】（1）根据题意确定3次检验的事件，利用有序排列，利用样本空间法，即可求解； （2）①根据和的取值，求两个随机变量的期望，利用期望相等，求解； ②根据①的结果，比较和的大小，通过构造函数，利用导数判断单调性，比较大小，从而得到结论. 【详解】（1）设恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件， 事件分为两种情况，一种是前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体，二是前三次均无抗体， 所以， 所以恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为； （2）①由已知得，的所有可能取值为1，，            所以， ， 所以， 若，则， 所以，， 所以，得， 所以P关于k的函数关系式（且）； ②由①知，， 若，则，所以，得， 所以（且）                                 令，则， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，， ， 所以不等式的解是且， 所以且时，，采用方案二混合检验方式好， 且时，，采用方案一逐份检验方式好 【巩固练习1】（23-24高二下·湖南长沙·期中）京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的. (1)甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列. (2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒? 【答案】(1)答案见解析； (2)2个. 【分析】（1）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出的分布列. （2）分别求出三种方案总费用的期望值，比较它们的大小，即可得出答案. 【详解】（1）由题意可知，的取值可能是 则， ， ， 的分布列为 2 3 4 （2）设乙购买个盲盒，集齐一套京剧脸谱娃娃所需总费用为（单位：元）， 则的取值可能是1，2，3. 方案一：购买1个盲盒，直接购买另外两款京剧脸谱娃娃， 则总费用元． 方案二：购买2个盲盒，当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式相同时， 直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为； 当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式不相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃， 总费用元，概率为． 所以购买2个盲盒的总费用的期望值为元． 方案三：购买3个盲盒，当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均相同时， 直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为； 当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃恰有两个款式相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃， 总费用元，概率为； 当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均不相同时，总费用元， 概率为． 所以购买3个盲盒的总费用的期望值为元． 因为方案二购买费用的期望值最小，所以乙应购买2个盲盒． 【巩固练习2】2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中． (1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列・ 【答案】(1)乙； (2)； (3)分布列见解析. 【分析】（1）根据概率乘法公式，结合配方法进行求解即可； （2）根据概率的加法公式和乘法公式进行求解即可； （3）根据概率的乘法公式进行求解即可. 【详解】（1）甲队进入决赛的概率为， 乙队进入决赛的概率为， 丙队进入决赛的概率为，因为， 所以，显然乙队进入决赛的概率最大，所以乙进入决赛的可能性最大； （2）因为甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，所以有， 解得，或，因为，所以； （3）由题意可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为、、， 的可能取值为、、、， ， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 【巩固练习3】四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差． (1)求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数） (2)为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及的值． 参考数据：． 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用平均数的计算公式求得，再利用方差的计算公式进行转化求解即可得解； （2）先根据题意得到的所有可能取值，再利用独立事件的概率公式分别求得各个取值的概率，从而利用数学期望的计算公式即可得解. 【详解】（1）根据题意，得， 因为 ， 同理， 所以 所以总样本的平均数为，方差． （2）依题意可知，的所有可能取值为， 设“第场比赛在甲镇举行，甲镇代表队获胜”为事件， “第场比赛在乙镇举行，甲镇代表队获胜”为事件， 且，则，， 所以， ， ， 则的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望． 【巩固练习4】（23-24高二下·江苏南通·期末）箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止． (1)求2号球为红球的概率（用与表示）； (2)若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求； (3)若箱子中白球、黑球的个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设事件：第号球为红球，利用全概率公式求； （2）根据题意，先得出的可能取值为：，结合题意，求出对应的概率，进而可得出分布列，再由期望的计算公式，即可求出结果； （3）将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，，按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考察再进行全排列，利用概率公式求解答案. 【详解】（1）设事件：第号球为红球， 则 ； （2）根据题意，随机变量的取值为， 从袋中个红球和个其他颜色球中，将红球全部摸出，共有种情况； 则，， ，， ，，， 所以的分布列为： 因此其数学期望为： ； （3）解法一：根据题目本题主要关注的问题是最后一球是什么颜色的球. 问题1：如果最后一球为红球，即红球摸完时，白球、黑求已经全部摸完， 此时的概率为， 同理可得，最后一球为白球的概率为， 最后一球为黑球的概率为， 将箱子中红球、白球、黑球的个数分别为，，， 按照比例转化为，红球1个、白球1个、黑球2个进行考查. 问题2：发现最后一球是红的概率为，最后一球是白球的概率为， 最后一球是黑的概率为，所以问题1与问题2等价. 不妨令红球为a，白球为b，黑球为c，d，则全排列作为概率公式分母，即. 记“红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）”为事件A， 现在对事件A进行分析： 第一类：a在首位时，b，c，d全排列，有种可能； 第二类：a在第二位时，b必须在第三或第四位，c，d全排列，有种可能； 共种可能. 所以. 解法二：考虑最后一个球的颜色情况： ①最后一个球是白球： i)将全部黑球放入白球前面，共1种方法； ii）再将全部红球一个一个放入，确保最后一个红球后面有黑球和白球：有种方法； iii)最后将剩余的()个白球放入：有种方法； 所以情况①共有种. ②最后一个球是黑球： 过程类似于情况①，共有种. 综上所述： 【巩固练习5】抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a，b，记的取值为随机变量X，其中表示不超过的最大整数. (1)求在的条件下，的概率； (2)求X的分布列及其数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用列举法结合条件概率公式即可得解； （2）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【详解】（1）记抛掷骰子的样本点为， 则样本空间为， 则， 记事件“”，记事件“”， 则，且， 又 ， 则， 所以， 即在的条件下，的概率为； （2）所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6. ，，， ，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 6 所以. 1 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二下学期热点题型专练（新高考） 专题3-3 离散型随机变量的数字特征(均值与方差) 总览 题型·解读 【题型1】求离散型随机变量的期望（均值） 【题型2】 期望（均值）的性质 【题型3】由离散型随机变量的均值求参数 【题型4】求离散型随机变量的方差、标准差 【题型5】方差的性质 【题型6】求两点分布的均值与方差 【题型7】方差的期望表示* 【题型8】离散型随机变量的综合问题 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】求离散型随机变量的期望（均值） 基础知识 离散型随机变量的均值 (1)定义 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示： X x1 x2 xn P 则称为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望，它反映了随机变量取值的平均水平. (2)对均值(期望)的理解 求离散型随机变量的期望应注意： ①期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均. ②是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而是不变的，它描述X取值的平均状态. ③均值与随机变量有相同的单位. 【例题1】（23-24高二下·福建福州·期中）现有4张不同数字的扑克，每张撕去一半放在桌上（牌背向上），排成一列． (1)将余下4个半张随机翻开两张，然后将桌上4个半张再随机翻开两张，求这四个半张扑克上的数字恰好有2个相同的概率； (2)将余下来的4个半张随机放在桌上4个半张上面，再分别翻开，记放在一起的两个半张数字相同的个数记为，求的分布列及数学期望． 【例题2】（23-24高三下·上海·阶段练习）袋中有大小形状相同的5个球，其中3个红色，2个黄色. (1)两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出1个黄球的概率； (2)甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，求： ①的值；②随机变量的概率分布和数学期望. 【例题3】（23-24高二下·山东青岛·阶段练习）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的． (1)甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率； (2)若甲乙两小组各进行次试验，设试验成功的总次数为，求的分布列及数学期望． 【例题4】（23-24高二下·重庆·期中）小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立． (1)若小李下班后选择路线2驾车回家，已知小李在路上遇到了红灯的情况下，求小李在第一个路口就遇到了红灯的概率； (2)假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：）的期望最小，则小李应选择哪条路线?请说明理由． 【巩固练习1】（23-24高二下·重庆·期中）某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学学科提供4种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4，每个学生只能从4种数学课程中选择一种学习，该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表： 课程 数学1 数学2 数学3 数学4 合计 选课人数 360 540 540 360 1800 用分层抽样的方法从这1800名学生中插取10人进行分析. (1)选出的10名学生中，选择数学1、数学2、数学3、数学4的各有几人？从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率； (2)从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为，选择数学1的人数为，设随机变量，求随机变量的分布列和数学期望. 【巩固练习2】（2024·辽宁·一模）某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. (1)求的值; (2)以频率估计概率，完成下列问题. (i)若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为，求 的分布列及数学期望； (ii)若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 【巩固练习3】（高二下·福建厦门·期中）甲乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢3局的运动员获胜，并结束比赛，设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为，设为结束比赛所需要的局数，随机变量X的数学期望是 . 【巩固练习4】（23-24高二下·广东佛山·期末）某工厂制造甲、乙、丙三件产品，制造过程必须先后经过两道工序.当第一道工序完成并合格后方可进入第二道工序，两道工序过程相互独立.根据该厂现有的技术水平，经过第一道工序后，甲、乙、丙三件合格的概率依次为，，经过第二道工序后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，. (1)求第一道工序完成后至少有一件产品合格的概率； (2)若前后两道工序均合格的产品为合格产品，记合格产品的个数为，求随机变量的分布列与数学期望. 【巩固练习5】（2024·山东聊城·二模）随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下： 分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. (1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； (2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司的客户人数为，求的分布列和数学期望. 【题型2】 期望（均值）的性质 基础知识 若离散型随机变量X的均值为E(X)，Y=aX+b，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且 . 特别地，当时，；当时，；当时，. 【例题1】已知随机变量X的分布列表如下表，且随机变量，则Y的期望是（    ） X -1 0 1 m A． B． C． D． 【例题2】已知随机变量满足，则（    ） A．或4 B．2 C．3 D．4 【例题3】（2024·江苏盐城·一模）某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动.每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分.已知选手甲正确回答每一道题的概率均为. (1)记X为“甲完成一局‘挑战答题’活动时回答的题数”，求的概率； (2)记Y为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求. 【巩固练习1】设离散型随机变量X可能取的值为1、2、3、4.P(X＝k)＝ak＋b(k＝1、2、3、4)．又X的均值E(X)＝3，则a＋b＝__. 【巩固练习2】（24-25高二下·全国·课后作业）端午节是中国四大传统节日之一，风俗习惯形式多样，内容丰富多彩．某居民小区为了让业主度过愉快的端午节，业委会组织举办了一场现场抽奖游戏，规则如下：袋中共有张质地均匀的卡片，其中张卡片图案是粽子，另外张卡片图案是龙舟，业主从该袋子中不放回地随机抽取张卡片，如果张卡片图案相同，则获得元的购物卡；如果张卡片中有张图案相同，则获得元购物卡；其他情况，则不获得任何奖励．设是业主在一次抽奖活动中获得的购物卡金额，则 ． 【巩固练习3】已知随机变量X的分布列如下表所示 x 1 2 3 4 5 P 0.1 0.2 b 0.2 0.1 则的值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3】由离散型随机变量的均值求参数 基础知识 根据分布列的性质以及期望公式即可求出参数 【例题1】若随机变量的分布列如下表，且， 则表中的值为_______. 【例题2】已知X的分布列为 X ﹣1 0 1 P 且Y＝aX+3，E（Y），则a为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例题3】（高二下·江苏镇江·期末）已知随机变量满足，其中，若，则 ， ． 【巩固练习1】设离散型随机变量可能的取值为1，2，3，4，，若的均值 ，则等于（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】某项上机考试的规则是：每位学员最多可上机考试3次，一旦通过，则停止考试；否则一直到3次上机考试结束为止.某学员一次上机考试通过的概率为，考试次数为X，若X的数学期望，则p的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知随机变量X，Y满足，Y的期望，X的分布列为： X 0 1 P a b 则a，b的值分别为（    ） A． B． C． D． 【题型4】求离散型随机变量的方差、标准差 基础知识 离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 xi xn P p1 p2 pi pn 则称D(X)=+++= 另外 为随机变量X的方差，并称为随机变量X的标准差，记为(X). (2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 【例题1】（高二·辽宁辽阳·期末）小明参加某射击比赛，射中得1分，未射中扣1分，已知他每次能射中 的概率为，记小明射击2次的得分为X，则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二下·福建福州·期中）随机变量的分布列如下： 1 2 若，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【例题3】（高二·广东广州·期末）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下： 0 1 则的值为 ． 【例题4】（23-24高二·全国·课堂例题）计算随机变量X的方差，除了应用定义式，还可用公式，你能对该公式进行证明吗？ 【巩固练习1】（高二下·山东潍坊·期末）随机变量的分布列是 2 4 P a b 若，则 ． 【巩固练习2】已知随机变量的分布列为 0 1 2 则 ；若，则 ． 【巩固练习3】（22-23高二下·浙江杭州·期中）甲乙两个盒子中分别装有大小､形状完全相同的三个小球，且均各自标号为1､2､3.分别从两个盒子中随机取一个球，用X表示两球上数字之积，X的方差为，则 . 【巩固练习4】（23-24高二上·吉林·期末）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现在6名男志愿者和4名女志愿者，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的概率； (2)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求的分布列及数学期望、方差. 【巩固练习5】（浙江杭州·期末）在一次随机试验中，事件发生的概率为，事件发生的次数为，则期望 ，方差的最大值为 ． 【题型5】方差的性质 基础知识 若离散型随机变量X的方差为，，其中a,b为常数，则Y也是一个离散型随机变量，且. 【例题1】若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二下·河南郑州·期中）若随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 0 1 A． B．2 C． D． 【例题3】离散型随机变量的分布列为，，2，3，…，6，其期望为，若，则 . 【巩固练习1】若随机变量的分布列如表，且，则的值为（    ） 0 2 A．9.2 B．5 C．4 D．1 【巩固练习2】（23-24高二下·安徽合肥·期末）（多选）设离散型随机变量 X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y 满足，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习3】（23-24高二下·广东广州·期末）（多选）设离散型随机变量的分布列如下表，若离散型随机变量满足. 则下列结论正确的是（   ） 0 1 2 3 0.2 0.1 0.2 A． B． C． D． 【题型6】求两点分布的均值与方差 基础知识 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p. 【例题1】已知随机变量服从两点分布，且，设，那么________． 【例题2】（多选）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知随机变量服从两点分布，且，设，那么 ． 【巩固练习2】（高二·广西桂林·期末）一位足球运动员在有人防守的情况下，射门命中的概率，用随机变量表示他一次射门的命中次数，则 ． 【巩固练习3】（多选）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型7】方差的期望表示* 基础知识 利用数学期望计算方差非常简便，尤其是样本数较多的情形。 【例题1】（高二下·安徽黄山·期末）随机变量的分布列如下表，则 . 0 1 2 0.4 0.2 【例题2（23-24高二下·北京·期中）已知随机变量的分布列如下： 0 1 2 0.6 若，则 ；当 时，最大． 【例题3】（22-23高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（浙江·期中）将2名科学家和3名航天员从左到右排成一排合影留念，用表示两名科学家之间的航天员人数，则 ， ． 【巩固练习2】（2023高二·安徽）一离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.1 其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为 ． 【巩固练习3】（高二下·吉林长春·期中）若p为非负实数，随机变量X的分布列为下表，则的最大值是 ． X 0 1 2 P 【巩固练习4】（23-24高二下·山东临沂·期中）某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取4道让参赛者回答，已知小李只能答对其中的7道，试求： (1)抽到他能答对题目数的分布列； (2)求的期望和方差. 【题型8】离散型随机变量的综合问题 【例题1】（高二下·广东广州·期末）（多选）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金分别是：猜对歌曲A的概率为0.8，可获公益基金1千元；猜对歌曲的概率为0.5，可获公益基金2千元；猜对歌曲的概率为0.5，可获公益基金3千元．规则如下：按照的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，记嘉宾获得的公益基金总额为千元，则（    ） A． B． C． D．获得公益基金的期望值与猜歌顺序无关 【例题2】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. (1)求P； (2)当时，求甲得分X的分布列及数学期望； (3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 【例题3】甲、乙两人进行投篮比赛，分轮次进行，每轮比赛甲、乙各投篮一次．比赛规定：若甲投中，乙未投中，甲得1分，乙得－1分；若甲未投中，乙投中，甲得－1分，乙得1分；若甲、乙都投中或都未投中，甲、乙均得0分．当甲、乙两人累计得分的差值大于或等于4分时，就停止比赛，分数多的获胜：4轮比赛后，若甲、乙两人累计得分的差值小于4分也停止比赛，分数多的获胜，分数相同则平局、甲、乙两人投篮的命中率分别为0.5和0.6，且互不影响．一轮比赛中甲的得分记为X． (1)求X的分布列； (2)求甲、乙两人最终平局的概率； (3)记甲、乙一共进行了Y轮比赛，求Y的分布列及期望． 【例题4】，，，四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方下场，第1局由，对赛，接下来按照，的顺序上场第2局、第3局（来替换负的那个人），每次负的人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后（即排到最后一个），需要再等2局（即下场后的第3局）才能参加下一场练习赛.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立. (1)求前4局都不下场的概率； (2)用表示前局中获胜的次数，求的分布列和数学期望. 【例题5】（23-24高二下·湖北武汉·期末）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，现有份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，需要检验次； 方式二：混合检验，将其中份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这份血液样本全无抗体，只需检验1次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血液样本再分别化验一次，检验总次数为次．假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为． (1)现有5份不同的血液样本，其中只有2份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率； (2)现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为；采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为． ①若，求关于的函数关系式； ②已知，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？ 参考数据：，，，，． 【巩固练习1】（23-24高二下·湖南长沙·期中）京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的. (1)甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列. (2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒? 【巩固练习2】2023年3月的体坛属于“冰上运动”，速滑世锦赛、短道速滑世锦赛、花滑世锦赛将在荷兰、韩国、日本相继举行．中国队的“冰上飞将”们将在北京冬奥会后再度出击，向奖牌和金牌发起冲击．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2023年3月10日~12日在首尔举行的短道速滑世锦赛5000米短道速滑男子5000米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为p和，其中． (1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大； (2)若甲、乙、丙三队中恰有两对进入决赛的概率为，求p的值； (3)在（2）的条件下，设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列・ 【巩固练习3】四月的武汉被百万株蔷薇花覆盖，形成了全城的花海景观。蔷薇花一般扦插繁殖，园林局为了更好的了解扦插枝条的长度对繁殖状况的影响，选择甲乙两区按比例分层抽样来抽取样本．已知甲区的样本容量，样本平均数，样本方差；乙区的样本容量，样本平均数，样本方差． (1)求由两区样本组成的总样本的平均数及其方差；（结果保留一位小数） (2)为了营造“花在风中笑，人在画中游”的美景，甲乙两区决定在各自最大的蔷薇花海公园进行一次书画比赛，两区各派一支代表队参加，经抽签确定第一场在甲区举行．比赛规则如下：每场比赛分出胜负，没有平局，胜方得1分，负方得0分，下一场在负方举行，先得2分的代表队获胜，比赛结束．当比赛在甲区举行时，甲区代表队获胜的概率为，当比赛在乙区举行时，甲区代表队获胜的概率为．假设每场比赛结果相互独立.甲区代表队的最终得分记为X，求X的分布列及的值． 参考数据：． 【巩固练习4】（23-24高二下·江苏南通·期末）箱子中有大小和质地相同的红球、白球和黑球共个，其中红球的个数为，现从箱子中不放回地随机摸球，每次摸出一个球，并依次编号为1，2，3，……，，直到箱子中的球被摸完为止． (1)求2号球为红球的概率（用与表示）； (2)若，，记随机变量为最后一个红球被摸出时的编号，求； (3)若箱子中白球、黑球的个数分别为，，求红球先于白球和黑球被摸完（红球被全部摸出，白球和黑球都有剩余）的概率． 【巩固练习5】抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得的点数分别为a，b，记的取值为随机变量X，其中表示不超过的最大整数. (1)求在的条件下，的概率； (2)求X的分布列及其数学期望. 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$