期末复习——分式常见题型（2）讲义2024-2025学年苏科版数学八年级下册

期末复习——分式常见题型（2） 【考点一 分式规律型问题】 ( 典型例题 ) 例题1：（2024秋•昆明校级期末）一组按规律排列的式子：，…（ab≠0），那么第n个式子是（　　） A． B．（﹣1）n C．（﹣1）n D． ( 巩固练习 ) 1.（2024秋•娄底校级期末）对于分式，我们把分式叫做P的伴随分式．若分式，分式P2是P1的伴随分式，分式P3是P2的伴随分式，分式P4是P3的伴随分式，…以此类推，则分式P2024等于 　 ． 2.（2024秋•金乡县期末）类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： ＝（） ＝1 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解：x2+3x+2 解：我们可以将3x拆成x和2x 即原式＝x2+2x+x+2 ＝x（x+2）+（x+2） ＝（x+2）（x+1） 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： （1）①已知，…，则依据此规律　 ； ②请你利用拆项法进行因式分解：x2+5x+6＝　 　 ； （2）若a，b满足a2﹣2a+1+|2a﹣b|＝0，求的值； （3）受此启发，解方程． 3.（2024秋•怀化期末）根据规律答题： 小明同学在一次教学活动中发现：方程x2的解为x1＝2，x2；方程x3的解为x1＝3，x2；方程x4的解为x1＝4，x2；…，依此类推： （1）请你依据小明的发现，猜想关于x的方程的解是 　 　 ； （2）根据上述的规律，猜想由关于x的方程x+1a（a≠0）得到x+1＝ 　 　 ； （3）拓展延伸：由（2）可知，在解方程时，可变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程． 4.（2024秋•澄海区期末）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即M﹣N＝MN，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为， 所以是的“关联分式”． （1）请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； （2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则，， ∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； （3）①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：　 ； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【考点二 分式的性质】 ( 典型例题 ) 例题2：（2025春•沙坪坝区校级月考）下列式子中，从左往右变形错误的是（　　） A． B． C． D． ( 巩固练习 ) 1.（2025•浙江模拟）下列等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2.（2024秋•许昌期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 3．（2024秋•龙岩期末）下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•朝阳区校级期末）下列各式中，与分式的值相等的是（　　） A． B． C． D． 【考点三 最简分式与最简公分母】 ( 典型例题 ) 例题3：（2024秋•周村区期末）下列各分式中，最简分式是（　　） A． B． C． D． ( 巩固练习 ) 1．（2024秋•潮阳区期末）下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•兴隆台区期末）下面是张小莉同学的一次小考卷，她的得分应是（　　） 姓名：张小莉 班级：8.1 得分：_____ 判断题（每小题20分，共100分），对的打“√”，错的打“×”． ①代数式都是分式（×） ②当x≠1时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则x＝1（√） ④当c≠0时，（√） ⑤分式是最简分式（√） A．40 B．60 C．80 D．100 3．（2024秋•广阳区期末）下列说法正确的是（　　） A．分式的值为零，则x的值为±1 B．根据分式的基本性质，等式 C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为 D．分式是最简分式 5．（2024秋•栖霞市期末）下列说法正确的是（　　） A．若分式的值为0，则x＝±2 B．是最简分式 C．把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍 D．与的最简公分母是ab（x﹣y）（y﹣x） 【考点四 约分与通分】 ( 典型例题 ) 例题4：关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　） A．约分的结果是 B．分式与的最简公分母是x﹣1 C．约分的结果是1 D．化简﹣的结果是1 ( 巩固练习 ) 1.把分式进行通分时，最简公分母为____ ． 2.把分式，，的分母化为x2-y2后，各分式的分子之和是(  　) A．x2＋y2＋2 B．x2＋y2-x＋y＋2 C．x2＋2xy-y2＋2 D．x2-2xy＋y2＋2 3.（2025春•南京期中）分式和的最简公分母是____． 4.化简下列分式 (1) (2) (3) (4) 5.通分： (1)，，； (2)，； (3)，，． 【考点五 根据分式的正负求范围】 ( 典型例题 ) 例题5：若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． ( 巩固练习 ) 1.若分式的值为正数，则x的取值范围是 ． 2.（2025春•历城区月考）如果分式的值是非负数，那么x的取值范围是 ． 3.在分式中，当x= 时，分式的值为1；当x 的值时，分式值为正数． 4.若分式的值为正数，则满足 【考点六 分式的计算】 ( 典型例题 ) 例题6：若，则A，B的值分别为（ ） A． B． C． D． ( 巩固练习 ) 1.（2024山东青岛一模）化简的结果是 . 2.（2024·河北·中考真题）已知A为整式，若计算的结果为，则（    ） A．x B．y C． D． 3.（2024江西一模）计算的结果为（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 4.（2024·天津·中考真题）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 5.下面是涂涂同学完成的一组分式化简的练习题，每小题20分，他能得的分数是（　　） ①x+1；②3﹣x•2；③11；④；⑤（）•． A．40分 B．60分 C．80分 D．100分 6.（2024·四川乐山·中考真题）先化简，再求值：，其中．小乐同学的计算过程如下： 解：…① …② …③ …④ …⑤ 当时，原式． (1)小乐同学的解答过程中，第______步开始出现了错误； (2)请帮助小乐同学写出正确的解答过程． 【考点七 先化简再求值】 ( 典型例题 ) 例题6：（2024·四川广安·中考真题）先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． ( 巩固练习 ) 1.（2024·甘肃临夏·中考真题）化简：． 2．先化简，再求值：先化简，再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值． 3．（2024四川达州）先化简：，再从，，0，1，2之中选择一个合适的数作为的值代入求值． 4.已知，求的值． 5.（2024·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 6.（2024·西藏·中考真题）先化简，再求值：，请为m选择一个合适的数代入求值． 7.先化简，再求值：，其中． 8.（2024·四川广元·中考真题）先化简，再求值：，其中a，b满足 参考答案 【考点一 分式规律型问题】 ( 典型例题 ) 例题1：【分析】根据分子的变化得出分子变化的规律，根据分母的变化得出分母变化的规律，根据分数符号的变化规律得出分数符号的变化规律，即可得到该组式子的变化规律． 【解答】解：分子为b，其指数为2，5，8，11，…，其规律为3n﹣1， 分母为a，其指数为1，2，3，4，…，其规律为n， 分数符号为﹣，+，﹣，+，…，其规律为（﹣1）n， 所以第n个式子（﹣1）n． 故选：C． 【点评】此题考查了分式的变化规律，先根据分子、分母的变化得出规律，再根据分式符号的变化得出规律是解题的关键． ( 巩固练习 ) 1.【分析】根据伴随分式的定义依次求出每个分式的伴随分式，然后发现每4个为一循环，再让2024÷4，根据结果即可确定． 【解答】解：∵， ∴P2， ∴P3， ∴， ∴， ∴P5＝P1，P6＝P2，......， ∴4个一循环， ∵2024÷4＝506， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的定义，规律型：数字的变化类，掌握分式的定义是关键． 2.【分析】（1）①类比题材即可得解； ②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得a＝1，b＝2，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【解答】解：（1）①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②x2+5x+6＝x2+2x+3x+6＝x（x+2）+3（x+2）＝（x+3）（x+2）， 故答案为：（x+3）（x+2）； （2）∵a，b满足a2﹣2a+1+|2a﹣b|＝0，即（a﹣1）2+|2a﹣b|＝0， ∴a﹣1＝0，2a﹣b＝0， 解得a＝1，b＝2， ∴b﹣a＝1＞0， ； （3）， ， ， ， x2+28＝x2+12x+32， ﹣12x＝4， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点评】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． 3.【分析】（1）根据小明的发现，类比可得； （2）将x+1看作一个整体，类比可得； （3）将原方程变形为，类比可得． 【解答】解：（1）根据题意得，关于x的方程的解是x1＝8，， 故答案为：x1＝8，； （2）根据题意得，由关于x的方程x+1a（a≠0）得到x+1＝a或， 故答案为：a或； （3）， ， ， ， ∴x+1＝9或x+1， ∴x1＝8，． 【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，读懂题目信息，观察出方程的解与方程的关系是解题的关键． 4.【分析】（1）根据新定义，仿照示例，即可判断是否为关联分式； （2）仿照示例，可得到分式的“关联分式”； （3）先求出分式的“关联分式”，再根据其规律，得到方程组，解方程组，即可得到结果． 【解答】解：（1）分式与分式是“关联分式”，理由如下： ∵， ， ∴分式与分式是“关联分式”； （2）的关联分式为N， ， （）N， ， N， 故答案为：； （3）①设分式的“关联分式”为N， ， （）N， N； ②若是的“关联分式”， ∴， ∴， ∴， ∴m，n的值分别是． 【点评】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式运算性质是解题的关键． 【考点二 分式的性质】 ( 典型例题 ) 例题2：【分析】根据分式的基本性质对各选项进行判断即可． 【解答】解：A.，故选项A正确； B.，故选项B错误； C.，故选项C正确； D.，故选项D正确． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． ( 巩固练习 ) 1.【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 【解答】解：当a＝0时，，则A不符合题意， 无法约分，则B不符合题意， 当c≠0时，，则C不符合题意， ，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 2.【分析】根据分式的基本性质解答即可． 【解答】解：． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 3.【分析】结合分式的基本性质可知，，，，不能化简，即可得出答案． 【解答】解：， 故A选项不正确，不符合题意； ， 故B选项不正确，不符合题意； ， 故C选项正确，符合题意； 不能化简， 故D选项不正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 4.【分析】根据分式的基本性质可得答案． 【解答】解：与分式的值相等的是． 故选：D． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 【考点三 最简分式与最简公分母】 ( 典型例题 ) 例题3：【分析】根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外没有其它的公因式，叫最简分式）逐个判断即可． 【解答】解：A.，含有公因式2，不是最简分式，故本选项不符合题意； B.（x+y）＝﹣x﹣y，故本选项不符合题意； C．分式的分子和分母（除1外）没有其它的公因式，是最简分式，故本选项符合题意； D.，不是最简分式，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键． ( 巩固练习 ) 1.【分析】利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【解答】解：A、原式，不符合题意； B、原式，不符合题意； C、原式为最简分式，符合题意； D、原式，不符合题意． 故选：C． 【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 2.【分析】根据分式的定义对①进行判断；根据分式有意义的条件可对②进行判断；根据分式的值为零的条件可对③进行判断；根据分式的基本性质对④进行判断；根据最简分式的定义对⑤进行判断． 【解答】解：①代数式为单项式，是分式，所以①正确； ②当x≠1时，分式有意义，所以②正确 ③若分式的值为0，则x＝1，所以③正确； ④当c≠0时，，所以④正确； ⑤分式，所以⑤错误， 所以她应得80分． 故选：C． 【点评】本题考查了最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．也考查了分式有意义的条件和分式的基本性质． 4.【分析】据分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式的定义，逐一进行判断即可． 【解答】解：A、分式的值为零，则x的值为﹣1，选项错误，不符合题意； B、当x＝0时，没有意义，，选项错误，不符合题意； C、把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为，选项错误，不符合题意； D、分式是最简分式，选项正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查分式的值为0的条件，分式的基本性质，最简分式．熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 5.【分析】A．由分式值为零的条件得x2﹣4＝0且x﹣2≠0，即可判断； B．将分子分母进行因式分解，由最简分式的定义即可判断； C．按要求扩大倍数进行化简，即可判断； D．按最简公分母定义找出最简公分母，即可判断． 【解答】解：A．分式的值为0，则x2﹣4＝0且x﹣2≠0，解得x＝2，结论错误，故不符合题意； B.，结论错误，故不符合题意； C.，结论正确，故符合题意； D．最简公分母是ab（x﹣y），结论错误，故不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件，最简分式的定义，分式的性质，最简公分母，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【考点四 约分与通分】 ( 典型例题 ) 例题4：【答案】D 【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A与C；根据确定最简公分母的方法判断B；根据分式减法法则计算，即可判断D． 【详解】解：A、＝ ，故本选项错误； B、分式与的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误； C、＝ ，故本选项错误； D、﹣＝1，故本选项正确； 故选D． 【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握. ( 巩固练习 ) 1.【答案】12a2b 【分析】由于几个分式的分母分别是3a、2a2、4ab，首先确定3、2、4的最小公倍数，然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母． 【详解】解：分式的分母分别是3a、2、4ab， 最简公分母为12b．故答案为：12b． 【点睛】本题考查了分式通分的最简公分母,熟练掌握最简公分母确定的基本原则是解题的关键． 2.【答案】C 【分析】结合通分的知识将分式，的分母化为x2−y2，进而得到各分式的分子. 【详解】 解:由平方差公式将x2−y2可化简为(x+y)(x-y) 故将的分母化为x2−y2后可得 将的分母化为x2−y2后可得 所以分式的,,的分母化为x2−y2后,各分式的分子之和 x(x+y)+y(x-y)+2展开,得x2+xy+xy−y2+2合并同类项,得x2+2xy−y2+2 故选C 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是将分式的分母都化为(x+y)(x-y)再对分子进行加减运算. 3.【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【解答】解：分式与的分母分别是2a2b、3ab2， 故最简公分母是6a2b2． 故答案为：6a2b2． 【点评】本题考查了最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 4.【分析】（1）将分子和分母的公因式约去即可； （2）先将分子和分母分解因式，然后约分即可； （3）先将分子和分母分解因式，然后约分即可； （4）先将分子和分母分解因式，然后约分即可. （1） 解：= =； （2） 解：= =； （3） 解：＝ =； （4） 解：= =． 【点睛】本题考查了约分，规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 5.【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （3）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以，，； （2）解：最简公分母是， 所以，； （3）解：最简公分母是， 所以，， 【考点五 根据分式的正负求范围】 ( 典型例题 ) 例题5：【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． ( 巩固练习 ) 1.【答案】且 【分析】由分式的值为正数，得到，，即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式的值为正数， ∴，， 解得且， 即x的取值范围是且． 故答案为：且 2.解：由条件可知10-5x＞0， 解得：x＜2， 故答案为：x＜2． 3.解：由题意可知：2x-4=10时，分式的值为1； 解得：x=7； 2x-4＞0时，分式值为正数； 移项得，2x＞4， 系数化1得，x＞2． 4.【答案】/ 【分析】本题考查了分式，解不等式，要使得分数为正数，则分子、分母必须同号，据此作答即可． 【详解】根据题意有：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点六 分式的计算】 ( 典型例题 ) 例题6：【答案】A 【分析】根据分式的加减法法则计算等号左边，再根据等号左右两边分式的分子相同，列出关于A、B的二元一次方程组进行求解即可． 【详解】∵， ， ∴，解得：．故选：A． 【点睛】本题考查了分式的加减，解二元一次方程组，熟练掌握分式加减法法则及二元一次方程组的解法是解题的关键． ( 巩固练习 ) 1.【答案】。 【解析】原式被除式括号中的第一项分子利用平方差公式分解因式，分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律将括号外边的项乘到括号中的每一项，约分后，找出两分母的最简公分母，通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分后得到最简结果： 。 2.【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的通分，平方差公式，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 由题意得，对进行通分化简即可． 【详解】解：∵的结果为， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3.【答案】A 【解析】根据分式的加减运算法则即可求出答案． 原式＝＝＝1． 4.【答案】A 【分析】本题考查分式加减运算，熟练运用分式加减法则是解题的关键；运用同分母的分式加减法则进行计算，对分子提取公因式，然后约分即可． 【详解】解：原式 故选：A 5.【答案】A 【分析】根据分式的乘除和加减法对每个式子进行化简，然后判断即可． 【详解】解：① ，化简正确；② ，化简错误； ③ ，化简错误；④ ，化简正确； ⑤ 化简错误； ∴正确的化简有2个一共得分40分，故选A． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． 6.【答案】(1)③ (2)见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值，异分母的分式减法运算，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）第③步分子相减时，去括号变号不彻底； （2）先通分，再进行分子相减，化为最简分式后，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵第③步分子相减时，去括号变号不彻底， 应为：； （2）解： 当时，原式 4.【答案】3． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，由已知得m2−m=1整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ，由已知m2−m−1=0得：m2−m=1，∴原式=31=3． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．注意整体代入法的运用． 【考点七 先化简再求值】 ( 典型例题 ) 例题6：【答案】，时，原式，时，原式. 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先计算括号内分式的加减运算，再计算分式的除法运算，再结合分式有意义的条件代入计算即可. 【详解】解： 且 ∴当时，原式； 当时，原式. ( 巩固练习 ) 1.【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解题关键．根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ． 2.【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出不等式组的解集，在其取值范围内找出符合条件的x的值代入进行计算即可． 【解答】解：原式• • ， 解不等式组得，﹣2＜x＜4， ∴其整数解为﹣1，0，1，2，3， ∵要使原分式有意义， ∴x可取0，2． ∴当x＝0时，原式＝﹣3； 当x＝2时，原式． 【点评】本题考查的是分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 3.【答案】，当时，原式． 【解析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，接着根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可． ， ∵分式要有意义， ∴， ∴且且， ∴当时，原式． 5.【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 6.【答案】，取，原式． 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴取，原式． 7.【答案】； 【分析】首先根据分式混合运算法则进行化简，然后利用条件变形，整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ∵，∴，∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的法则，熟练运用整体思想是解题关键． 8.【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的化简求值方法是解题的关键．先将分式的分子分母因式分解，然后将除法转化为乘法计算，再计算分式的加减得到，最后将化为，代入即得答案． 【详解】原式 ， ， 原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$