精品解析：黑龙江省绥化市绥棱县第六中学2024-2025学年八年级（五四学制）上学期第四次测试数学试卷

初二学年数学试题 （2024－2025学年度第一学期第四次考试） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下面的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A B. C. D. 3. 下列说法：①1的平方根是；②正数的绝对值是它本身；③算术平方根等于它本身的数只有1；④立方根等于它本身的数有2个；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是关于二元一次方程，那么的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 4或 6. 二元一次方程的所有正整数解有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 与结果相同是（ ）． A. B. C. D. 8. 点P为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，PA＝4cm，PB=5cm，PC=3cm，则点P到直线的距离为（ ） A 4cm B. 5cm C. 小于3cm D. 不大于3cm 9. 已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，点在延长线上，、交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值．其中正确结论的个数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题 11. 如图，若，再增加一个条件，使得，则符合要求的一个条件是______． 12. 在平面直角坐标系中，点在x轴上，则m的值为____． 13. 如图，点在直线上，是两条射线，，射线平分，若，则的度数为______． 14. 已知线段PQ=3，PQ∥x轴，若点P的坐标为(－2，4)，则点Q的坐标为____________． 15. 已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为_____． 16. 命题“同位角相等”的题设是________________，结论是____________________． 17. 已知，，则______ 18. 如图，直角，沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为4．则阴影部分的面积是______． 19. 已知关于、的方程组，下列说法：①消去后可得；②是方程组的解；③当时，；④无论取何值，的值不变．其中正确的是______（只填序号）． 20. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…按此规律排列下去，第10个图形中圆的个数是_____个． 三．解答题 21. 计算： （1）； （2）． 22. 解方程组： （1） （2） 23. 如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出点的坐标； （3）在y轴上是否存在一点P，使得三角形与三角形面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 24. 已知:如图，∠1+ ∠2=180° 以∠A= ∠D.求证:AB//CD.(在每步证明过程后面注明理由) 25. 学校计划向某花卉供应商家定制一批花卉来装扮校园（花盆全部为同一型号），该商家委托某货运公司负责这批花卉的运输工作．该货运公司有甲、乙两种专门运输花卉的货车，已知1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；3辆甲型货车和1辆乙型货车满载一次可运输1900盆花卉． （1）求1辆甲型货车满载一次可运输多少盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输多少盆花卉？ （2）学校计划定制6500盆花卉，该货运公司将同时派出甲型货车m辆、乙型货n辆来运输这批花卉（两种型号的车都要有），一次性运输完毕，并且每辆货车都满载，请问有哪几个运输方案？ 26. 阅读下面文字，解答问题： 大家知道：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上小明的表示方法有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答： （1）的整数部分为 ，小数部分为 ． （2）已知：是的整数部分，是的小数部分，求的值． （3）已知，是有理数，并且满足等式，求的值． 27. 三角形中，D是上一点，交于点E，点F是线段延长线上一点，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段长线上一点，若，平分，求的度数． 28. 如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，且满足 （1）求三角形的三个顶点的坐标； （2）求三角形的面积； （3）若为坐标轴上的一个动点，当三角形与三角形的面积相等时，请直接出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初二学年数学试题 （2024－2025学年度第一学期第四次考试） 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 在下面的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解题的关键．根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，进行判断即可． 【详解】解：观察图形，只有选项D的图形，可以通过平移得到，其它图形不能通过平移得到． 故选：D． 2. 如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定方法，根据同旁内角互补两直线平行确定A正确，根据内错角相等两直线平行确定B和C正确. 【详解】A.根据同旁内角互补，两直线平行判定正确； B.根据内错角相等，两直线平行判定正确； C.根据内错角相等，两直线平行判定正确； D.∠1和∠2是AC和BD被AD所截形成的内错角，故只能判定AC∥BD，因此错误； 故选择D. 【点睛】本题考查平行线的判定，注意根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补可以得到两条被截线平行，这是解决问题的关键. 3. 下列说法：①1的平方根是；②正数的绝对值是它本身；③算术平方根等于它本身的数只有1；④立方根等于它本身的数有2个；⑤如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，则这两个角相等．其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方根，绝对值，立方根，平行线的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：1的平方根是；故①错误； 正数的绝对值是它本身；故②正确； 算术平方根等于它本身的数有；故③错误； 立方根等于它本身的数有，共3个；故④错误； 如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行，分两种情况： （1），的两边相互平行，如图所示 ， ， ， ， ； （2），的两边相互平行，如图所示 ， ， ， ， ， ∴这两个角相等或互补；故⑤错误； 故选A． 4. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上数的大小关系，是解题的关键． 直接利用数轴上a，b的位置进行比较得出答案． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴A、，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，正确； D、，故此选项错误； 故选：C． 5. 若是关于的二元一次方程，那么的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 4或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握定义内容是解题的关键．根据二元一次方程的定义求出即可． 【详解】解：由题意知， ， 解得：， ∴．   故选：B ． 6. 二元一次方程的所有正整数解有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的整数解，正确理解二元一次方程的解得概念是解题的关键． 直接写出二元一次方程的所有正整数解即可． 【详解】解：由二元一次方程可得，正整数解为： 或或或或，共个， 故选：． 7. 与结果相同的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案． 8. 点P为直线外一点，点A、B、C为直线上三点，PA＝4cm，PB=5cm，PC=3cm，则点P到直线的距离为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 小于3cm D. 不大于3cm 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴点P到直线的距离≤PC， 即点P到直线的距离不大于3cm． 故选：D． 9. 已知点P（a，b），ab＞0，a+b＜0，则点P在（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得：a＜0，b＜0，进而即可判断点P所在的象限． 【详解】∵， ∴a，b同号， ∵， ∴a＜0，b＜0， 故P点在第三象限， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，各个象限的点的坐标特征，掌握各个象限的点的坐标特征，是解题的关键． 10. 如图，点在延长线上，、交于，且，，比的余角小，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．则下列结论：①；②平分；③；④的角度为定值．其中正确结论的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①由可得AE∥BD，进而得到，结合即可得到结论；②由得出，结合即可得解；③由平行线的性质和内角和定理判断即可；④根据角平分线的性质求解即可； 【详解】∵， ∴AE∥BD， ∴， ∵， ∴， ∴，结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分，结论②正确； ∵， ∴， ∵比的余角小， ∴， ∵，， ∴，结论③正确； ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，结论④正确； 故正确的结论是①②③④； 故答案选D． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、余角和补角的性质，准确分析计算是解题的关键． 二．填空题 11. 如图，若，再增加一个条件，使得，则符合要求的一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法进行求解即可． 【详解】解：添加：， ∴， ∴； 添加：， ∵， ∴， ∴； 添加：， ∴， ∴； 添加：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在平面直角坐标系中，点在x轴上，则m的值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中的点在x轴的特点纵坐标为0来求解． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了在坐标上点的坐标特征，理解点在坐标轴上的坐标特征是解答关键． 13. 如图，点在直线上，是两条射线，，射线平分，若，则的度数为______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了垂直的定义、角平分线的性质、平角的定义和角的和差关系，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键． 利用垂直的定义和角的和差关系可得，由角平分线的定义可得，然后根据平角的定义解答即可． 【详解】解：， ， ， ， 射线平分， ， ． 故答案为：． 14. 已知线段PQ=3，PQ∥x轴，若点P的坐标为(－2，4)，则点Q的坐标为____________． 【答案】（1，4） 或（-5，4） 【解析】 【分析】根据平行于x轴的点的纵坐标相等求出点Q的纵坐标，再根据PQ的长度分两种情况求出横坐标，然后写出即可． 【详解】解：∵线段PQ∥x轴，点P（-2，4）， ∴点Q的纵坐标为4， ∵PQ=3， ∴点Q在点P的左边时，点Q的横坐标为-2-3=-5， 此时点Q的坐标为（-5，4）， 点Q在点P的右边时，点Q的横坐标为-2+3=1， 此时点Q的坐标为（1，4）． 故答案为：（1，4） 或（-5，4）． 【点睛】本题考查了点的坐标，熟练掌握平行于x轴的点的纵坐标相等是解题的关键． 15. 已知关于x，y的方程组的解满足，则k的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】两个方程相加可得，再整体代入求值即可求k的值． 【详解】， 得， ∵ ∴ 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，利用整体思想是解题的关键． 16. 命题“同位角相等”的题设是________________，结论是____________________． 【答案】 ①. 有两个角是同位角 ②. 这两个角相等 【解析】 【分析】命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知条件，结论是由题设推出的结果. 【详解】把命题改写成“如果……那么……”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论． 将题中命题改为:如果有两个角是同位角,那么这两个角相等. 故答案为:有两个角是同位角;这两个角相等. 【点睛】本题考查命题和定理,关键在于熟练运用命题的变换形式. 17. 已知，，则______ 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义及算术平方根中被开方数小数点的移动规律求解即可． 【详解】解：， ， 故答案为：120． 18. 如图，直角，沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为4．则阴影部分的面积是______． 【答案】20 【解析】 【分析】由平移得，，根据求出，利用得到，利用公式计算可得． 【详解】解：由平移得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案：20 【点睛】此题考查了平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 19. 已知关于、的方程组，下列说法：①消去后可得；②是方程组的解；③当时，；④无论取何值，的值不变．其中正确的是______（只填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】把a看做已知数表示出方程组的解，利用二元一次方程解的定义判断即可． 【详解】解：①消去x后可得：，正确，故选项①符合题意； ②∵，∴，解得， 把，代入，解得， ∴不是方程组的解，故选项②不符合题意； ③当时，， 把，代入，解得， ∴，故选项③符合题意； ④∵，∴， 解得， ∴，与无关，故选项④符合题意； 综上，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组，将a看作常数，利用加减消元求出x，y的值时解本题的关键． 20. 如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆…按此规律排列下去，第10个图形中圆的个数是_____个． 【答案】112 【解析】 【分析】根据图形的排列规律得到：除去上面的2个圆，其余下面圆的个数等于图形的序号与序号数多1数的积，进行解答即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有（个圆， 第2个图形中一共有（个圆， 第3个图形中一共有（个圆， 第4个图形中一共有（个圆； 可得第个图形中圆的个数是（个； 所以第10个图形中圆的个数（个． 故答案为：112． 【点睛】本题考查图形的变换规律；根据图形得出第个图形中圆的个数是是解决本题的关键． 三．解答题 21. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （）根据有理数乘方，绝对值的性质，立方根，算术平方根化简，再算乘方，最后合并即可； （）根据绝对值的性质，立方根，算术平方根化简，再合并即可； 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 22. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握消元法是解题的关键． （1）用代入消元法解方程组； （2）用加减消元法解方程组． 【小问1详解】 解： 由①得：③ 将③代入②，得： 将代入③，得：， ∴方程组解为：． 【小问2详解】 解： ，得：， 化简得： 将代入①，得： ∴方程组的解为：． 23. 如图所示，把三角形向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到三角形． （1）在图中画出三角形； （2）写出点的坐标； （3）在y轴上是否存在一点P，使得三角形与三角形面积相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）见详解 （2）， （3）存在，点P的坐标是或 【解析】 【分析】（1）根据平移的要求分别确定点的位置，即可得到三角形； （2）根据（1）的图形即可得到点的坐标； （3）先求出三角形的面积为，设点P的坐标为，列出方程，求出或，即可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求作的三角形； 【小问2详解】 解：点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：由题意得三角形的面积为， 设点P的坐标为， ∵三角形与三角形面积相等， ∴， ∴即， ∴或， ∴或， ∴点P的坐标是或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中三角形的平移，点的坐标，数轴上点的距离等知识，绝对值方程等知识，综合性较强，熟知平面直角坐标系中点的平移规律，准确根据题意列出绝对值方程并正确求解是解题关键． 24. 已知:如图，∠1+ ∠2=180° 以∠A= ∠D.求证:AB//CD.(在每步证明过程后面注明理由) 【答案】答案见解析． 【解析】 【分析】根据对顶角相等和等式的性质即可得到∠CGD+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行得到AE∥FD，根据两直线平行，同位角相等得到∠A=∠BFD，等量代换得到∠BFD=∠D，再利用内错角相等，两直线平行即可得到结论． 【详解】∵∠1与∠CGD对顶角， ∴∠1=∠CGD（对顶角相等）． ∵∠1+∠2=180°（已知）， ∴∠CGD+∠2=180°（等量代换）， ∴AE∥FD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠A=∠BFD（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠A=∠D（已知）， ∴∠BFD=∠D（等量代换）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，还考查了对顶角相等，等量代换等知识．掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 25. 学校计划向某花卉供应商家定制一批花卉来装扮校园（花盆全部为同一型号），该商家委托某货运公司负责这批花卉的运输工作．该货运公司有甲、乙两种专门运输花卉的货车，已知1辆甲型货车和3辆乙型货车满载一次可运输1700盆花卉；3辆甲型货车和1辆乙型货车满载一次可运输1900盆花卉． （1）求1辆甲型货车满载一次可运输多少盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输多少盆花卉？ （2）学校计划定制6500盆花卉，该货运公司将同时派出甲型货车m辆、乙型货n辆来运输这批花卉（两种型号的车都要有），一次性运输完毕，并且每辆货车都满载，请问有哪几个运输方案？ 【答案】（1）甲型货车每辆可装载500盆花卉，乙型货车每辆可装载400盆花卉 （2）共有三种运输方案：①1辆甲型货车，15辆乙型货车；②5辆甲型货车，10辆乙型货车；③9辆甲型货车，5辆乙型货车 【解析】 【分析】（1）设1辆甲型货车满载一次可运输x盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输y 盆花卉，根据题目中已知的两种数量关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据（1）所求结果，可得，结合m，n为正整数，即可得出各运输方案． 【小问1详解】 解： 设1辆甲型货车满载一次可运输x盆花卉，1辆乙型货车满载一次可运输y盆花卉，依题意得： ， 解得． 答：甲型货车每辆可装载500盆花卉，乙型货车每辆可装载400盆花卉． 【小问2详解】 由题意得：， ∴． ∵m，n为正整数， ∴或或． ∴共有三种运输方案：①1辆甲型货车，15辆乙型货车；②5辆甲型货车，10辆乙型货车；③9辆甲型货车，5辆乙型货车． 【点睛】本题考查了二元一次方程组以及二元一次方程的整数解应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程并求出整数解． 26. 阅读下面文字，解答问题： 大家知道：是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上小明的表示方法有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去整数部分，差就是小数部分．又例如： ，即，的整数部分为2，小数部分为．请解答： （1）的整数部分为 ，小数部分为 ． （2）已知：是的整数部分，是的小数部分，求的值． （3）已知，是有理数，并且满足等式，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算．解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． （1）类比示例通过估算的值进行求解； （2）先估算的值，再求出、的值，最后代入求解； （3）先根据题意求出、的值，再代入求解． 【小问1详解】 解：，即， 的整数部分为，小数部分为， 故答案为：，； 【小问2详解】 ，即， ， ， 的整数部分是，小数部分是， ，， ； 【小问3详解】 ，是有理数，并且满足等式， ，， 解得：，， 当时，， 当时，， 的值为或． 27. 三角形中，D是上一点，交于点E，点F是线段延长线上一点，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，若，，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点G是线段长线上一点，若，平分，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，平角的定义，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． （1）根据平行线的判定与性质即可完成证明； （2）过过点E作，可得，再根据平行线的性质即可得结论； （3）设，则，，然后根据，求出x的值，进而可得结果． 【小问1详解】 证明：， ， 又， ． ； 【小问2详解】 解：如图2，过点E作， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 平分， ， ， 设， 则， ， ，， ， ， 解得， ， ， ． 28. 如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，且满足 （1）求三角形的三个顶点的坐标； （2）求三角形的面积； （3）若为坐标轴上的一个动点，当三角形与三角形的面积相等时，请直接出点的坐标． 【答案】（1）； （2）4 （3）点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据算术平方根、绝对值以及平方的非负性去，求出、、的值，即可得到答案； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，根据求解即可； （3）分三种情况讨论：当点在轴负半轴上时，设，过点作轴于点，根据列方程求解；当点在轴正半轴上时，设，过点作轴于点，根据列方程求解；当点在轴上时，设，根据列方程求解，即可得到点的坐标． 【小问1详解】 解：， ，，， ，，， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ，，，，， ； 【小问3详解】 解：三角形与三角形的面积相等， ， 当点在轴负半轴上时，设，过点作轴于点， 则， ， ， 解得：， 点的坐标为； 当点在轴正半轴上时，设，过点作轴于点， 则， ， ， 解得：， 点的坐标为； 当点在轴上时，设， 则， 解得：或， 点的坐标为或， 综上可知，当三角形与三角形的面积相等时，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$