精品解析：重庆市石柱县第一初级中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

石柱第一初级中学校2024年秋2026届期中检测数学试题 一．选择题（共40分） 1. 下列长度三条线段能组成三角形的是（　　） A. 1，2，3.5 B. 4，5，9 C. 6，8，10 D. 7，11，3 2. 如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（ ） A. 全等性 B. 美观性 C. 不稳定性 D. 稳定性 3. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　） A. ∠BCA=∠F； B. ∠B=∠E； C. BC∥EF； D. ∠A=∠EDF 4. 下列各式计算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 6. 若是完全平方式，则m的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若的积中x的二次项系数为零，则m的值是（　　） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知，，则值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 9. 如图，，的延长线交于点F，交于点G．若，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二．填空题（32分） 11. 计算：=______________． 12. 因式分解：______． 13. 若一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的，则这个正多边形的边数是__________ 14. 计算______． 15. 已知，则以、为边的等腰三角形的底边长为______； 16. 如图，点D、E、G 分别为 边、、上的点，连接、，将沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段．若，，则的度数为__________ 17. 如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为_______ 18. 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是_______，第个“智慧数”是________ 三．解答题（下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形） 19 （1）计算：； （2）解不等式： 20. 如图，点线段上，，，，平分交于． （1）求证：； （2）若，，则的度数为__________． 21. 因式分解： （1） （2） （3） 22. （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）如图中．在图中求作的角平分线． （2）在（1）的条件下．证明：． 23. 先化简，再求值：，其中，满足． 24. 如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．     25. 为创建文明校园环境，某校制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图1所示的板材裁剪而成，其为一个长为，宽为的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图2所示的一个大正方形． （1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积可得到一个等式：________________________； （2）利用(1)中的结论解决以下问题： ①已知则， ； ②已知，求的值． （3）将两个正方形和按图3摆放，边长分别为．且，求图中阴影部分面积的和． 26. 已知中，是角平分线． （1）若的平分线与相交于点． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，点，分别在，上，连接，，且，，试猜想线段，之间的数量关系，并证明你的结论． （2）当时， P、Q两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石柱第一初级中学校2024年秋2026届期中检测数学试题 一．选择题（共40分） 1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A. 1，2，3.5 B. 4，5，9 C. 6，8，10 D. 7，11，3 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边逐个判断即可． 【详解】解：A：，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； B：，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； C：，符合三角形三边关系定理，故本选项正确； D：，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系定理的应用，准确理解该定理是解题关键． 2. 如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（ ） A. 全等性 B. 美观性 C. 不稳定性 D. 稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答． 【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性， 故选：D． 3. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（　　） A. ∠BCA=∠F； B. ∠B=∠E； C. BC∥EF； D. ∠A=∠EDF 【答案】B 【解析】 【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可． 【详解】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； B、在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，可以得出△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确； C、由BC∥EF，得出∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误； D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解决此题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方、完全平方公式、平方差公式，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 5. 如图，一把直尺压住射线，另一把完全一样的直尺压住射线并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线就是的平分线．”他这样做的依据是（ ） A. 角平分线上点到这个角两边的距离相等 B. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 以上均不正确 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分． 【详解】解：如图所示：过点作，， 两把完全相同的长方形直尺的宽度相等， ， 平分（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）， 故选：B． 6. 若是完全平方式，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，根据求解即可得到答案． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 故选：D． 7. 若的积中x的二次项系数为零，则m的值是（　　） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据多项式乘法运算法则去括号，进而由二次项系数为零，得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， 的积中x的二次项系数为零， ， 解得：， 故选：D． 8. 已知，，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则将原式变形得出答案． 【详解】解：， ， 则 ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，逆用法则是解决本题的关键． 9. 如图，，的延长线交于点F，交于点G．若，，，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 先根据全等三角形的性质得到，，再利用三角形外角性质计算出，则根据对顶角相等得到，然后根据三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断③；由全等三角形的性质可得，，进而可判断④． 【详解】解：∵在中，、分别平分、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，，，故②正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴．故③正确； ∵，， ∴，， ∵， ∴，故④不正确； 综上，正确的有①②③，共3个， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，角平分线与三角形内角和定理．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键． 二．填空题（32分） 11. 计算：=______________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据零指数幂和二次根式的性质进行计算即可. 【详解】=1+2=3. 故答案为：3. 【点睛】此题考查零指数幂和二次根式的性质，解题关键在于掌握运算法则. 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 提公因式n，然后利用公式法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的，则这个正多边形的边数是__________ 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查多边形内外角关系，根据正多边形每个内角、外角都相等，结合多边形相邻内外角互补求解即可得到答案； 【详解】解：设正多边形的内角度数为， ∵一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：5． 14 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差计算．根据题意先将式子整理成平方差形式，再进行求解即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 15. 已知，则以、为边的等腰三角形的底边长为______； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，因式分解等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 先对，进行因式分解，在根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得，的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 当三边为，，时，能构成三角形， ∴底边长为； 当三边为，，时，不能构成三角形， 综上可知：等腰三角形的底边长为， 故答案为：． 16. 如图，点D、E、G 分别为 边、、上的点，连接、，将沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段．若，，则的度数为__________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，四边形内角和定理及三角形内角和定理：根据得到，根据折叠得到，，，结合得到，，，结合四边形内角和求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，和的平分线相交于点O，交于D，交于E，，，，则周长为_______ 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键；延长交于，延长交于，先证明，，，结合即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于，延长交于， ， ∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵，， ∴，， 在与中， ∵， ∴ ∴， ， 在与中， ∵， ∴， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：4． 18. 定义：如果一个正整数能表示成两个正整数，的平方差，且，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，就是一个“智慧数”，可以利用进行研究．若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是_______，第个“智慧数”是________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义，平方差公式的应用．根据新定义，利用平方差公式，找到，之间的关系，列举出结果，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时， 由产生的“智慧数”为：8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：15，21，27，33，39，45，51，57，63，69，75，81，， 当时， 由产生的“智慧数”为：24，32，40，48，56，64，72，80，， 当时， 由产生的“智慧数”为：35，45，55，65，75，85，， 当时， 由产生的“智慧数”为：48，60，72，84，， 当时， 由产生的“智慧数”为：63，77，91，， 当时， 由产生的“智慧数”为：80，96，， 综上，将上述产生的“智慧数”从小到大排列如下：8，12，15，16，20，21，24，27，28，32，33，35，36，39，40，44，45，48，51，52，56，57，60，63，64，65，68，69，，∴第3个“智慧数”是，第个“智慧数”是， 故答案：，． 三．解答题（下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形） 19. （1）计算：； （2）解不等式： 【答案】（1）； （2）； 【解析】 【分析】本题考查整式的化简及解不等式： （1）先算积的乘方及单项式乘多项式，再合并同类项即可得到答案； （2）先展开，移项合并同类项系数化为1即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：化简得， ， 移项合并同类项得， ， 系数化为1得， ． 20. 如图，点在线段上，，，，平分交于． （1）求证：； （2）若，，则的度数为__________． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线．解题的关键在于熟练掌握与灵活运用． （1）由，可得，证明即可； （2）由，可得，则，，由平分，即得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∵，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵平分， ∴． 故答案为：． 21. 因式分解： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了公式法以及提公因式法进行分解因式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用平方差公式进行分解因式，即可作答． （2）先提公因式，再运用完全平方公式进行分解因式，即可作答． （3）直接运用十字相乘法进行分解因式，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 22. （1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）如图中．在图中求作的角平分线． （2）在（1）的条件下．证明：． 【答案】（1）图见详解； （2）证明见详解； 【解析】 【分析】本题考查作角平分线及三角形全等的判定与性质： （1）以为圆心，任意长为半径画圆弧交，于两点，再分别以两点为圆心大于两点间距离为半径画圆弧交于一点，连接交点与顶点即可得到答案； （2）根据边角边判定证明即可得到答案； 【小问1详解】 解：以为圆心，任意长为半径画圆弧交，于两点，再分别以两点为圆心大于两点间距离为半径画圆弧交于一点，连接交点与顶点，交于一点D，如图所示即为的角平分线， ； 【小问2详解】 证明：∵是的角平分线， ∴， 在与中， ∵， ∴ ， ∴， ∴． 23. 先化简，再求值：，其中，满足． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，非负性，熟练掌握相关运算法则，正确的化简，是解题的关键：先利用整式的混合运算法则进行化简，再根据非负性求出的值，然后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 24. 如图，在中，平分，E为的中点，．求证：．     【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形：延长至点，使，证明，得到，再证明，即可得出结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接，则：， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 25. 为创建文明校园环境，某校制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图1所示的板材裁剪而成，其为一个长为，宽为的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图2所示的一个大正方形． （1）用两种不同方法表示图②中小正方形（阴影部分）面积可得到一个等式：________________________； （2）利用(1)中的结论解决以下问题： ①已知则， ； ②已知，求的值． （3）将两个正方形和按图3摆放，边长分别为．且，求图中阴影部分面积的和． 【答案】（1） （2）①25②25 （3）8 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）利用面积公式和分割法求面积两种方法表示出面积即可得出结果； （2）①利用（1）中结论进行求解即可；②令，进而得到，利用（1）中结论求出即可； （3）根据，得到，表示出阴影部分的面积，利用完全平方公式进行求值即可． 【小问1详解】 解：由图可知：； 故答案为： 【小问2详解】 ①∵， ∴； ②令， 则：， ∵， ∴， ∴， 即：； 【小问3详解】 由题意，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积之和为： ． 26. 已知中，是角平分线． （1）若的平分线与相交于点． ①如图1，若，求的度数； ②如图2，点，分别在，上，连接，，且，，试猜想线段，之间的数量关系，并证明你的结论． （2）当时， P、Q两动点分别在线段、线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】（1）①；②，证明见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据，得到，结合角平分线得到，再根据三角形内角和定理求解即可得到答案； ②在上截取，根据的平分线与相交于点得到，证明，从而得到，，再证明即可得到证明； （2）根据及角平分线得到垂直平分，过作的垂线即可得到最小距离和点，最后根据三角形内外角关系求解即可得到答案． 小问1详解】 解：①∵， ∴， ∵中是角平分线，的平分线与相交于点， ∴， ∴； ②，理由如下， 在上截取， ∵的平分线与相交于点， ∴， ， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵中是角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵中是角平分线，， ∴垂直平分， ∴，， 过作的垂线分别交、于点P，Q，此时最小即最小， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及到三角形内角和定理的运用、角平分线定义、外角性质求角度、三角形全等的判定与性质等知识点，正确的作辅助线是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$