精品解析：河北省沧州市青县清州镇实验中学2024-2025学年七年级下学期4月月考数学试题

河北省沧州市青县清州镇实验中学七年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题(共12题，共36．0分) 1. 能由图经过平移得到的图形是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，，相交于一点，则的对顶角是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，不相等的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 对于整数n，定义为不大于n的最大整数，例如：，则和的距离为（　　） A. 2 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，AB∥FE，BC=BD，∠B=40°，则∠E大小为(　　) A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 6. 数轴上两点分别表示实数和，则两点间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在长方形中，，，点E是边上一点，且，连接；①；②当时，平分；③周长的最小值为15；④当时，平分．其中正确的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 9. 若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC=2,OA=2OB,若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（ ） A. -2（m+2） B. C. D. 11. 如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①AB⊥AC； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB； ④点A到BC的距离是线段AD的长度； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离； ⑥AD+BD＞AB． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 12. 如图，已知在四边形中，为对角线，，在边上取一点E，连接，若，现有下列五个结论：①；②互余；③平分；④，⑤，其中正确的命题个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题(共4题，共12．0分) 13. 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数，，，，其结果都是整数，所以1，4,9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．若2，8，18三个数是“和谐组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的和是______． 14. 如图，中，，的平分线相交于点，过作，分别交、 于、，若，则的周长等于______ ． 15. 设的整数部分为 a,小数部分为 b.则 = __________________________. 16. 气动升降桌由于高度可调节，给人们学习生活带来许多便捷．如图1所示是桌子的侧平面示意图，，，，，是固定钢架，垂直桌面，是位置可变的定长钢架．是两端固定的伸缩杆，其中，，，，是一个固定角为，当旋转至水平位置时，伸缩杆最短，此时伸缩杆的长度为 _________ ．点的高地高度为，，小南将桌子调整到他觉得最舒服的高度，此时发现，则桌面高度为 __________． 三、解答题(共8题，共72．0分) 17. 如图所示，找出图中的同位角、内错角、同旁内角(仅限于用数字表示)． 18. 某学校准备在升旗台台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示． （1）问地毯至少需要多少米？ （2）若这种地毯批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？ 19. 完成下列证明过程，并在括号内填上依据． 如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，ABCD，求证∠B＝∠C． 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠1＝∠4（① ） ∴∠2＝∠4 ∴CEBF（② ） ∴∠3＝③ （④ ） 又∵ABCD（已知） ∴∠3＝⑤ （⑥ ） ∴∠B＝∠C． 20. 若最简二次根式和是同类二次根式． （1）求、的值； （2）、平方和算术平方根． 21. 化简求值： 已知是整数部分，，求的平方根． 已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 22. 探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （1）表格中x＝ ；y＝ ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知≈3.16，则≈ ； ②已知＝1.8，若＝180，则a＝ ； （3）拓展：已知，若，则b＝ ． 23. 平面内和，存在一个常数，使得，则称为的倍补角，例如，，，则为的2倍补角． （1）是的5倍补角，，则_____； （2）如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是的倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的倍补角，为的倍补角，求（用k表示）． 24. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知： ∴_____； ∴_____，得证． （2）应用勾股定理 ①应用一：在数轴上画出表示无理数的点 如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____； ②应用二：最短路径问题 如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____； ③应用三：解决实际问题． 如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北省沧州市青县清州镇实验中学七年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题(共12题，共36．0分) 1. 能由图经过平移得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移不改变图形的大小、形状和方向，只改变图形的位置判断即可． 【详解】解：A．图形的大小与原图不一致，不是平移得到的图形，不符合题意； B．图形的形状、大小和方向都与原图一致，是平移得到的图形，符合题意； C．图形的方向与原图不一致，不是平移得到的图形，不符合题意； D．图形的大小、方向与原图不一致，不是平移得到的图形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平移图形的识别，掌握平移前后图形的特征是解题关键． 2. 如图，直线，，相交于一点，则的对顶角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对顶角的意义解答． 【详解】解：根据对顶角的意义可知，∠2 的对顶角是∠4， 故选：C． 【点睛】本题考查对顶角的意义，熟练掌握对顶角的意义是解题关键． 3. 下列各组数中，不相等的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，求一个数的立方根，根据有理数的乘方运算法则和立方根定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．和，相等，故A不符合题意； B．和，，故B符合题意； C．和，相等，故C不符合题意； D．和，相等，故D不符合题意． 故选：B． 4. 对于整数n，定义为不大于n的最大整数，例如：，则和的距离为（　　） A. 2 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了无理数的估算和新定义，先估算出的范围，再根据新定义得到，，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 则， 则和的距离为6， 故选：C． 5. 如图，AB∥FE，BC=BD，∠B=40°，则∠E的大小为(　　) A. 110° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】A 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得∠D=∠C=40°，则∠ABE的度数可求出，再根据平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠E的大小． 【详解】解：∵BC=BD，∠B=40°， ∴∠C=∠CDB= =70°， ∴∠ADE=∠CDB=70°， ∵AB∥FE， ∴∠E+∠ADE=180°， ∴∠E=110°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，结合等腰三角形的知识点可得出结果 6. 数轴上两点分别表示实数和，则两点间的距离是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据数轴上两点间的距离公式进行解答即可． 【详解】解：∵两点A，B分别表示实数和， ∴两点间的距离==1， 故选：B． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 7. 如图，，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线，根据平行线的性质，可得，根据三角板可知，进而等量代换结合已知条件即可求解． 【详解】解：如图，过等腰直角三角板的一个顶点作直线 ∵a∥b， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质是解题的关键． 8. 如图，在长方形中，，，点E是边上一点，且，连接；①；②当时，平分；③周长的最小值为15；④当时，平分．其中正确的个数有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，故①正确；求得，根据平行线的性质和等腰三角形的性质即可得到平分，故②正确；如图1，作关于直线的对称点，连接交于，根据勾股定理得到，求得周长的最小值为，故③错误；如图2，过作于，根据勾股定理得到，求得，根据平行线的性质得到，求得，于是得到平分，故④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， 平分故②正确； 如图1，作C关于直线的对称点G，连接交于点G， 则此时周长最小，最小值为 ， 周长最小值为故③错误； 如图2，过E作， 则 平分故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 9. 若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2019×2021-2019×2020 =（2020-1）（2020+1）-（2020-1）×2020 =20202-1-20202+2020 =2019； ∵20222-4×2021 =（2021+1）2-4×2021 =20212+2×2021+1-4×2021 =20212-2×2021+1 =（2021-1）2 =20202， ∴b=2020； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点．变形2019×2021-2019×2020、，利用完全平方公式计算出其值，是解决本题的关键． 10. 如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC=2,OA=2OB,若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（ ） A. -2（m+2） B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由C点表示的数为m可得OC=-m，再根据OA=2OB求出OB的长度即为B点表示的数. 【详解】∵C点所表示的数为m ∴OC=0-m=-m ∴OA=OC+AC=2-m 又∵OA=2OB ∴OB= ∵B点在原点右侧， ∴B点表示的数为 故选D. 【点睛】本题考查数轴与线段计算，根据C点表示的数得到线段长度是解题的关键. 11. 如图所示，∠BAC＝90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①AB⊥AC； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB； ④点A到BC的距离是线段AD的长度； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离； ⑥AD+BD＞AB． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系，可得答案． 【详解】解：由∠BAC＝90°，AD⊥BC， 得AB⊥AC，故①正确； AD与AC不垂直，故②错误； 点C到AB的垂线段是线段AC的长，故③错误； 点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确； 线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确； AD+BD＞AB，故⑥正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离，垂直的定义，三角形三边的关系是解题关键． 12. 如图，已知在四边形中，为对角线，，在边上取一点E，连接，若，现有下列五个结论：①；②互余；③平分；④，⑤，其中正确的命题个数有（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】延长至T点，使得，连接，证明，即有，，，即可判断；⑤作于F，可推出的面积大于的面积，进而得出的面积大于与的面积之和，进一步得出的面积大于与的面积之和． 【详解】解：延长至T点，使得，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∴平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴结合一组对顶角相等，可得，①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∴平分，故③正确； ∵，，，， ∴，故④正确； 作于F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故⑤不正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形判定和性质，角平分线的判定与性质定理，解决问题的关键寻找角之间数量关系．做辅助线，证明，是解答本题的关键． 二、填空题(共4题，共12．0分) 13. 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个正整数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”．例如1，4，9这三个数，，，，其结果都是整数，所以1，4,9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．若2，8，18三个数是“和谐组合”，则其中最小算术平方根与最大算术平方根的和是______． 【答案】16 【解析】 【分析】先求出最小算术平方根与最大算术平方根，然后求和即可． 【详解】∵， ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12， ∴最小算术平方根与最大算术平方根的和是． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了新定义，以及算术平方根，一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 14. 如图，中，，的平分线相交于点，过作，分别交、 于、，若，则的周长等于______ ． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等角对等边，平行线的性质及角平分线的定义，先根据角平分线的定义、平行线的性质以及等角对等边证明，，则的周长，从而得出答案，正确地进行线段的等量代换是解决问题的关键． 【详解】解：∵平分 ， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 同理 ， ∴的周长， 故答案为：． 15. 设的整数部分为 a,小数部分为 b.则 = __________________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据实数的估算求出a,b，再代入即可求解. 【详解】∵1＜＜2， ∴-2＜-＜-1， ∴2＜＜3 ∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-， ∴== 故填：. 【点睛】此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质. 16. 气动升降桌由于高度可调节，给人们学习生活带来许多便捷．如图1所示是桌子的侧平面示意图，，，，，是固定钢架，垂直桌面，是位置可变的定长钢架．是两端固定的伸缩杆，其中，，，，是一个固定角为，当旋转至水平位置时，伸缩杆最短，此时伸缩杆的长度为 _________ ．点的高地高度为，，小南将桌子调整到他觉得最舒服的高度，此时发现，则桌面高度为 __________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当旋转至水平位置时，如图所示（见详解），过点作，作于，在中，得，在中，根据勾股定理即可求解；计算桌面高度，如图所示（见详解），等于点的高地高度为，，的高度之和，通过构成含特殊角的直角三角形，三角形相似即可求解． 【详解】解：当旋转至水平位置时，如图所示， ∵是一个固定角为，是两端固定的伸缩杆，，，， ∴， 如图所示，过点作，作于， ∴， 在中，， ∴， ∴，， 在中，， 故答案为：． 当时，点的高地高度为，，如图所示， 过点作的平行线，过点作于，并延长交于点，过点作于，过点作于，是一个固定角为， ∴， 在中，， 在中，，，， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 如图所示，过点作于，过点作的平行线交于点，过点作的垂线，交于点，交延长线于点， ∴在中，，， ∴，，，， 根据作图可知四边形，且， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴桌面高度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查含特殊角的直角三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的性质，相似三角形的判定和性质，掌握图形的变换，平行线的性质，含特殊角的直角三角形各边的计算方法，等腰三角形中三线合一，相似三角形中对应边成比例是解题的关键． 三、解答题(共8题，共72．0分) 17. 如图所示，找出图中的同位角、内错角、同旁内角(仅限于用数字表示)． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义，把图中符合条件的角都列举出来即可． 【详解】根据题意，由图可知， 同位角:和和 内错角: 和和 同旁内角: 和和 【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，掌握同位角、内错角、同旁内角在图形中的位置是解题的关键． 18. 某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯（含台阶的最上层），升旗台的台阶和地毯的宽都为3米，台阶侧面如图所示． （1）问地毯至少需要多少米？ （2）若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要花费多少元？ 【答案】（1）地毯至少需要11.6米 （2）买地毯需要1044元 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质及有理数四则运算的实际应用． （1）利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米， 即可求解； （2）用地毯的长度乘以宽度3米，得到面积，再用面积乘以30，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为6.8米，2.4米， ∴地毯的长度为（米）， 答：地毯至少需要11.6米； 【小问2详解】 解：地毯的面积为（平方米）， ∴买地毯至少需要（元）， 答：买地毯需要1044元． 19. 完成下列证明过程，并在括号内填上依据． 如图，点E在AB上，点F在CD上，∠1＝∠2，ABCD，求证∠B＝∠C． 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∠1＝∠4（① ） ∴∠2＝∠4 ∴CEBF（② ） ∴∠3＝③ （④ ） 又∵ABCD（已知） ∴∠3＝⑤ （⑥ ） ∴∠B＝∠C． 【答案】①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③∠C；④两直线平行，同位角相等；⑤∠B；⑥两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】结合题意，根据平行线的判定及性质定理分析，即可得到答案． 【详解】解：∵∠1＝∠2（已知）， ∠1＝∠4（①对顶角相等）， ∴∠2＝∠4， ∴CEBF（②同位角相等，两直线平行）， ∴∠3＝③∠C（④两直线平行，同位角相等） 又∵ABCD（已知）, ∴∠3＝⑤∠B（⑥两直线平行，内错角相等）, ∴∠B＝∠C． 故答案为：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③∠C；④两直线平行，同位角相等；⑤∠B；⑥两直线平行，内错角相等． 【点睛】本题主要考查平行线判定和性质定理，掌握“两直线平行，同位角相等”、“两直线平行，内错角相等”、“同位角相等，两直线平行”是解题的关键． 20. 若最简二次根式和是同类二次根式． （1）求、的值； （2）、平方和的算术平方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值； （2）将和的值代入代数式得出答案． 【小问1详解】 解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴，， 解得，． 【小问2详解】 解：当，时． 【点睛】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键． 21. 化简求值： 已知是的整数部分，，求的平方根． 已知：实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】（1）±3；（2）2a+b﹣1. 【解析】 【详解】分析：（1）由于3＜＜4，由此可得的整数部分a的值；由于=3，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求得平方根． （2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简求出即可． 详解：（1）∵3＜＜4，∴a=3． ∵=3，∴b=9，∴==9，∴的平方根是±3； （2）由数轴可得：﹣1＜a＜0＜1＜b，则a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，则+2﹣|a﹣b| =a+1+2（b﹣1）+（a﹣b） =a+1+2b﹣2+a﹣b =2a+b﹣1． 点睛：本题考查了算术平方根与平方根的定义和估算无理数的大小，熟记概念，先判断所给的无理数的近似值是解题的关键． 22. 探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题： a … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 x 1 y 100 … （1）表格中x＝ ；y＝ ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知≈3.16，则≈ ； ②已知＝1.8，若＝180，则a＝ ； （3）拓展：已知，若，则b＝ ． 【答案】（1）0.1，10；（2）31.6，32400；（3）0.012 【解析】 【分析】（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可； （2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案； （3）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案． 【详解】解：（1）x＝0.1，y＝10， 故答案为0.1，10； （2）①∵≈3.16， ∴＝31.6， ②＝1.8， ∴a＝32400， 故答案为：31.6，32400； （4）∵， ∴b＝0012， 故答案：0.012 【点睛】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍． 23. 平面内和，存在一个常数，使得，则称为的倍补角，例如，，，则为的2倍补角． （1）是的5倍补角，，则_____； （2）如图1，在平面内，，点E在左侧，连接、． ①若，是倍补角，求； ②在①的条件下，点F在直线、之间，且在折线右侧，为的倍补角，为的倍补角，求（用k表示）． 【答案】（1） （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、补角的定义，熟练掌握以上知识点，理解新定义是解此题的关键． （1）根据k倍角的定义求解即可； （2）①过点E作，所以，进而求出的度数；②分类讨论，点F在右侧或者左侧，画出图形，利用k倍角定义建立方程从而得出关于k的关系式，即可得解． 【小问1详解】 解：是的5倍补角， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图1，过点E作， ， ， ，， ， 由题意得，， ， ，即； ②，， ， 由①得， ， ， 如图2，若点F在右侧， 则； 如图3，若点F在左侧，连接并延长， 是的外角， ， 同理可得， ； 综上所述，或． 24. 勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． （1）如图1是由4个全等的直角三角形所拼成的大正方形，中间空白部分是边长为c的小正方形，请借助图1来验证勾股定理．证明：由等面积法知： ∴_____； ∴_____，得证． （2）应用勾股定理 ①应用一：在数轴上画出表示无理数的点 如图2，在数轴上找出表示2的点G，过点G作直线l垂直于数轴，在l上取点F，使，以原点O为圆心，为半径作弧，则弧与数轴的交点E表示的数是_____； ②应用二：最短路径问题 如图3，一只蚂蚁从点A沿圆柱侧面爬到相对一侧中点B处，如果圆柱的高为，圆柱的底面半径为，那么最短的路线长是_____； ③应用三：解决实际问题． 如图4，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，即水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，求绳索的长． 【答案】（1）， （2）①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）结合图形可知得到； （2）应用场景1：①根据勾股定理求出，根据实数与数轴解答即可；②首先根据题意画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可；③设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：由等面积法知： ∴， ∴，得证． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：①在中， ∵， ∴， ∴点E表示的数是， 故答案为：； ②连接， ∵圆柱的底面半径为， ∴， 在中，， ， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故答案为：； ③∵，， ∴． 设秋千的绳索长为，根据题意可得， 利用勾股定理可得． 解得：． 答：绳索的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$