精品解析：江苏省盐城市东台市三校联2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024-2025学年第二学期八年级期中三校联考数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 中式纹样体现了中华民族的智慧和审美．下列传统中式纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一年的四个季度中，某种水产品的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水产品每斤利润最大的季度是（ ） A. 第一季度 B. 第二季度 C. 第三季度 D. 第四季度 3. 2019年凉山州有万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ） A. 万名考生 B. 2000名考生 C. 万名考生的数学成绩 D. 2000名考生的数学成绩 4. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CEBD，DEAC，若AC=6cm，则四边形CODE的周长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 如图，在正方形中，点E、F分别在边上，与交于点G，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 6. 四个点，，，在同一平面内，从①；②；③；④；⑤，这五个条件中任选三个，能使四边形是菱形的选法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 8. 如图，四边形是菱形，对角线，交于点，是边的中点，过点作，，点，为垂足，若，，则的长为（　　） A. 7 B. 10 C. D. 5 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 在平行四边形中，若，则______度． 10. 点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是______． 11. 如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在BC上，BE＝1，△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，则FE的长等于____________. 12. 如图，在平行四边形中，，的平分线，分别与相交于点E，F，若，，则的长为________． 13. 若矩形ABCD的周长为26cm，对角线的长是cm，则它的面积是_________． 14. 如图，在正方形中，点在上，，，点在上一动点，连接与，则周长的最小值是_________． 15. 如图，等腰中，，，于点，点E在边上，点在的延长线上，若，，则的长为________． 16. 如图1，四边形是矩形，点位于对角线上，将分别沿翻折，点，点都恰好落在点处． （1）四边形是______．（从“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”中选择一个填写） （2）如图2，若，点是线段上的动点，的最小值是______． 17. 如图，平面直角坐标系中，已知直线，的边在轴正半轴上，点的坐标是，正以每秒个单位长度的速度沿着轴向左平移，经过______秒，直线将分成面积相等的两部分． 18. 如图，在等边三角形中，，P为上一点（与点A、C不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的取值范围是_______． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 下面是课本第54页中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 任务： （1）填空：工人师傅测量对边长度相等，是为了确保它的形状是_______；再测量它的对角线相等，就确保了它是矩形．这里主要依据了矩形的一个判定定理，即_______． （2）请证明（1）中矩形的判断定理．（先画出图形，写出已知、求证，再给出证明） 已知：_______________________ 求证：_______________________ 证明：_______________________ 20. 如图，在矩形中，平分，求的周长？     21. 如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形，并写出点的对应点的坐标． （2）画出将绕原点逆时针方向旋转度后的图形，并写出点的坐标． 22. 某中学对学生进行“综合素质评价”，现随机抽取部分学生的评价结果分为A、B、C、D、E五个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的学生有________人； （2）补全条形统计图；B组对应扇形的圆心角的度数为______； （3）该学校共有3500名学生，估计该校A等级的人数． 23. 点D是等边内一点，连接，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接． （1）若，，求点C到的距离． （2）在（1）的条件下，若，求的长度． 24. 【方法探索】小米遇到了这样的问题： 如图①，两条相等的线段交于点，连接，求证：． 小米的想法如下：通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质转移线段的位置．以下是小米的部分证明过程： 证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．请将解题过程补充完整． 【方法应用】如图②，在梯形中，，延长交于点，在上截取，过点作交于点，则线段的数量关系是_______． 25. 如图，在中，平分，于点，点是的中点． （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，若，，求线段的长． 26. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转角度至位置(点B与点对应，点C与点对应)， （1）根据“旋转角相等”得：_______，的度数为_______． （2）求的周长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于点，，点C是直线上的一个动点，连接． （1）求直线的函数解析式； （2）如图1，若轴，求点C到直线的距离； （3）如图2，点，点D是直线上的动点，试探索点C，D在运动过程中，是否存在以B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期八年级期中三校联考数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题3分，计24分） 1. 中式纹样体现了中华民族的智慧和审美．下列传统中式纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的识别方法是解题的关键．利用轴对称图形和中心对称图形的识别方法分别判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2. 在一年的四个季度中，某种水产品的每斤进价与售价的信息如图所示，则出售该种水产品每斤利润最大的季度是（ ） A. 第一季度 B. 第二季度 C. 第三季度 D. 第四季度 【答案】B 【解析】 【分析】根据图像直接判断即可． 【详解】解：由图像可知：用每个季度每斤的售价减去进价可得每斤的利润，第二季度的售价减去进价的差较大，故出售该种水产品每斤利润最大的季度是第二季度， 故选：B． 【点睛】此题考查了函数图像的理解，正确理解函数图像得到相关信息是解题的关键． 3. 2019年凉山州有万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中样本是（ ） A. 万名考生 B. 2000名考生 C. 万名考生的数学成绩 D. 2000名考生的数学成绩 【答案】D 【解析】 【分析】根据样本的定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，依此即可求解． 【详解】019年凉山州有万名初中毕业生参加升学考试，为了了解这万名考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计，在这个问题中抽取的2000名考生的数学成绩为样本． 故选：D． 【点睛】本题考查了总体、个体、样本和样本容量：我们把所要考查的对象的全体叫做总体；把组成总体的每一个考查对象叫做个体；从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；一个样本包括的个体数量叫做样本容量． 4. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CEBD，DEAC，若AC=6cm，则四边形CODE的周长为（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】由CEBD，DEAC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=3，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案． 【详解】解：∵CEBD，DEAC， ∴四边形CODE是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD=6，OA=OC，OB=OD， ∴OD=OC=AC=3， ∴四边形CODE是菱形， ∴四边形CODE的周长为=4OC=4×3=12． 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质等知识，证得四边形CODE是菱形是解此题的关键． 5. 如图，在正方形中，点E、F分别在边上，与交于点G，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，证明是解题关键，先证明，得到，利用面积法即可求出． 【详解】解：四边形为正方形，， ，， 又， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 故选：D 6. 四个点，，，在同一平面内，从①；②；③；④；⑤，这五个条件中任选三个，能使四边形是菱形的选法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法即可解答. 【详解】第一种：①；②；③；由条件①②判定四边形ABCD为平行四边形，再由条件③判定平行四边形ABCD为菱形； 第二种：②；③；④；由条件②④判定四边形ABCD为平行四边形，再由条件③判定平行四边形ABCD为菱形； 第三种：①；③；⑤；由条件①⑤判定四边形ABCD为平行四边形，再由条件③判定平行四边形ABCD为菱形； 第四种：③；④；⑤；由条件④⑤判定四边形ABCD为平行四边形，再由条件③判定平行四边形ABCD为菱形. 故选D. 【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟知菱形的判定方法是解决问题的关键. 7. 如图，在中，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，E，且点D恰好在边上，直线与交于点F，连接．若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识．由作图可得到，四边形是菱形，则再由含角的直角三角形和勾股定理求出，，即可得到即可得到四边形的面积． 【详解】解：由题意可知，垂直平分，， ∴，四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴四边形的面积为， 故选：B 8. 如图，四边形是菱形，对角线，交于点，是边的中点，过点作，，点，为垂足，若，，则的长为（　　） A. 7 B. 10 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，证出四边形是矩形，得到即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ，，， 四边形为矩形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，计30分） 9. 在平行四边形中，若，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形对角相等即可求解． 【详解】解：在平行四边形中， ． 故答案为：． 10. 点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】（2，﹣1） 【解析】 【详解】点P（﹣2，1）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣1）， 故答案为（2，﹣1）． 【点睛】本题考查了对称点坐标的特点，关于原点对称，是横纵坐标都变成原来的相反数． 11. 如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在BC上，BE＝1，△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，则FE的长等于____________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可得EC=2，CF=4，根据勾股定理可求EF的长． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=3． ∵△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，∴DF=BE=1，∴CF=CD+DF=3+1=4，CE=BC﹣BE=3﹣1=2． 在Rt△EFC中，EF． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． 12. 如图，在平行四边形中，，的平分线，分别与相交于点E，F，若，，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，角平分线，先求得，，则，，进而可求得，再根据即可求解，解题的关键是熟练掌握平行四边形性质． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，，， 和分别是和的平分线， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：4． 13. 若矩形ABCD的周长为26cm，对角线的长是cm，则它的面积是_________． 【答案】20cm²##20平方厘米 【解析】 【分析】设AB=x cm，BC=y cm，则根据矩形的周长和对角线长即可列出关于x、y的关系式，解得xy的值，即可解决问题． 【详解】解：设AB=x cm，BC=y cm， ∵矩形周长为26cm， ∴2x+2y=26， ∴x+y=13， ∵对角线的长是cm， ∴x2+y2=129， ∴（x+y）2-2xy=129， ∴132-2xy=129， ∴xy=20（cm2）， ∴矩形面积为20cm2． 故答案为：20cm2． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理在直角三角形中的运用，完全平方公式，矩形面积的计算，本题中列出关于x、y的关系式并求得xy的值是解题的关键． 14. 如图，在正方形中，点在上，，，点在上一动点，连接与，则周长的最小值是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路线的求解问题，正方形的性质，轴对称图形的性质，熟练掌握作轴对称求最短路线是解题关键． 作点关于线段的对称点，交于点，连接，交于点，连接，利用正方形的性质结合线段垂直平分线的性质可得在边上，利用“两点之间，线段最短”可得最短，通过勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于线段的对称点，交于点，连接，交于点，连接， 点与点关于线段对称， 垂直平分， 四边形是正方形，且正方形是轴对称图形， 在边上， ，， 的周长为， 两点之间，线段最短， 当点、、三点共线时，最短． 在中，， ， 的周长最小值为． 15. 如图，等腰中，，，于点，点E在边上，点在的延长线上，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】过F点作于M，于N，根据角平分线的性质可得．根据“四边形内角和等于”可求得，则，由此可得，再根据ASA证明，则可得，再求得，在中，求出、的长．最后在中根据勾股定理即可求出的长，也就可知的长． 【详解】解：如图，过F点作于M，于N， ∵中，，， ∴平分， 即平分， 且， 又∵四边形中， ， 又， ， ， 即， 又， ， ， 是等边三角形， ， 作于H， 则， ， ， ，， ， 中， ， ， ， ， ．        故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．正确的作出辅助线并且证明出是等边三角形是解题的关键． 16. 如图1，四边形是矩形，点位于对角线上，将分别沿翻折，点，点都恰好落在点处． （1）四边形是______．（从“平行四边形”、“矩形”、“菱形”、“正方形”中选择一个填写） （2）如图2，若，点是线段上的动点，的最小值是______． 【答案】 ①. 菱形 ②. 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定方法即可求证； （2）如图所示，连接，，点在上运动时，根据折叠的性质可得，， 根据点到各顶点矩形最小，可知，当时，的值最小，根据（1）中菱形的性质，可得，运用含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：（1）菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵将分别沿翻折，点，点都恰好落在点处， ∴，， ∴，，，， ∴， ∵点是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵与相互垂直平分，即对角线相互垂直平分， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形； （2）如图所示，连接，， 点在上运动时，根据折叠的性质可得，， ∴， ∴根据点到各顶点矩离最短，可知，当时，的值最小， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作于点，且，， ∴， ∴，， ∴，，即， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠的性质，菱形的判定方法和性质，折叠最短路径的综合，掌握矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质等知识的综合运用是解题的关键． 17. 如图，平面直角坐标系中，已知直线，的边在轴正半轴上，点的坐标是，正以每秒个单位长度的速度沿着轴向左平移，经过______秒，直线将分成面积相等的两部分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，一次函数，平面直角坐标系，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键； 连接、，求出移动之后点的坐标，计算距离，进而求解； 【详解】解：连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分； 四边形是平行四边形， ， ， ， 把代入， 可得：， 解得：， 由移动到位置时，该直线可将的面积平分； 移动距离为：； 正以每秒个单位长度的速度沿着轴向左平移， 时间为秒； 故答案为： 18. 如图，在等边三角形中，，P为上一点（与点A、C不重合），连接，以、为邻边作平行四边形，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得：，，当点P与点C重合时，此时OP有最大值，当时，此时OP有最小值，即可求解． 【详解】如图，设AB与PD交于点O，连接OC， ∵四边形ADBP是平行四边形 ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ∴ 当点P与点C重合时，此时OP有最大值 ∴DP的最大值为 当时，此时OP有最小值 ∵ ∴ ∴DP的最小值为 ∵P为 AC 上一点（与点A、C不重合） ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、垂线段最短等知识点，灵活运用这些性质是解决问题的关键． 三、解答题（共9题，计96分） 19. 下面是课本第54页中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 任务： （1）填空：工人师傅测量对边长度相等，是为了确保它的形状是_______；再测量它的对角线相等，就确保了它是矩形．这里主要依据了矩形的一个判定定理，即_______． （2）请证明（1）中矩形的判断定理．（先画出图形，写出已知、求证，再给出证明） 已知：_______________________ 求证：_______________________ 证明：_______________________ 【答案】（1）平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形 （2） 如图所示： 已知：，，； 求证：四边形是矩形． 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：，，；四边形是矩形；∵，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件和矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形为矩形）解答即可； （2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：工人师傅测量对边长度相等，是为了确保它的形状是平行四边形；再测量它的对角线相等，就确保了它是矩形．这里主要依据了矩形的一个判定定理，即对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查矩形的定义和判定，平行四边形的判定．牢记判定定理及定义是解题的关键． 20. 如图，在矩形中，平分，求的周长？     【答案】 【解析】 【分析】由矩形，可得，由勾股定理得，由平分，可求，则，，，由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线，等角对等边，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，角平分线，等角对等边，勾股定理是解题的关键． 21. 如图方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，三角形ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点的中心对称图形，并写出点的对应点的坐标． （2）画出将绕原点逆时针方向旋转度后的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求， （2） 解：如图所示，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了作旋转图形，中心对称图形，根据旋转的性质找到对应点即可求解； （1）根据中心对称的性质找到的对应点，顺次连接，即可求解，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据旋转的性质找到的对应点，，顺次连接，即可求解，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某中学对学生进行“综合素质评价”，现随机抽取部分学生的评价结果分为A、B、C、D、E五个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的学生有________人； （2）补全条形统计图；B组对应扇形的圆心角的度数为______； （3）该学校共有3500名学生，估计该校A等级的人数． 【答案】（1）100 （2） （3）700人 【解析】 【分析】（1）根据A等级的人数和A等级所占的百分比可以求出总学生数； （2）先求出B等级的人数，然后求出百分比，再乘以，可得到圆心角度数； （3）用A等级的百分比乘人数，即可求出全校A等级的人数． 【小问1详解】 解：（1）， 故抽样学生有100人， 故答案为：100． （2） 【小问2详解】 解：B等级人数：(人)， ， 故答案是． 【小问3详解】 ， 故全校A等级的人数约700人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体的数量，根据统计图获取信息是解题的关键． 23. 点D是等边内一点，连接，，，将绕点C顺时针旋转得到，连接． （1）若，，求点C到的距离． （2）在（1）的条件下，若，求的长度． 【答案】（1）点C到的距离为1； （2）． 【解析】 【分析】（1）由旋转性质得到，，证明是等边三角形得到，过C作延长线于F，则有，根据含30度角的直角三角形的性质可求解； （2）利用旋转性质和勾股定理可求得，，进而可求得，再根据等边三角形的性质得到可求解． 【小问1详解】 解：∵绕点C顺时针旋转得到，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 过C作延长线于F， 则， ∴， 即点C到的距离为1； 【小问2详解】 解：由旋转性质得， 由（1）知， 在中，，， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握旋转的性质和等边三角形的判定与性质是解答的关键． 24. 【方法探索】小米遇到了这样的问题： 如图①，两条相等的线段交于点，连接，求证：． 小米的想法如下：通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质转移线段的位置．以下是小米的部分证明过程： 证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．请将解题过程补充完整． 【方法应用】如图②，在梯形中，，延长交于点，在上截取，过点作交于点，则线段的数量关系是_______． 【答案】 方法探索： 证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 方法应用： 【解析】 【分析】方法探索：先证明四边形是平行四边形，得到，再证明是等边三角形，得到，由三角形三边的关系得到，即； 方法应用：如图所示，过点F作交于H，先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，得到，由，可得． 【详解】解：方法探索：略 方法应用：如图所示，过点F作交于H， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系等等，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键． 25. 如图，在中，平分，于点，点是的中点． （1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：； （2）如图2，若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图1中， 平分，于点， ∴，， 又∵， ∴， ，， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题． （2）如图2中，延长交的延长线于．同理可得，进而可得，，再根据三角形的中位线定理即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2中，延长交的延长线于D． 同理可得：， ∴，， 点为的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理、等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是熟练应用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 26. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转角度至位置(点B与点对应，点C与点对应)， （1）根据“旋转角相等”得：_______，的度数为_______． （2）求的周长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由旋转的性质可得出答案； （2）首先得到是等边三角形，然后利用含角直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转角度至位置， ∴，的度数为； 【小问2详解】 解：由旋转得：， ∴是等边三角形， 在中， ∵， ∴，， ∴周长是． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于点，，点C是直线上的一个动点，连接． （1）求直线的函数解析式； （2）如图1，若轴，求点C到直线的距离； （3）如图2，点，点D是直线上的动点，试探索点C，D在运动过程中，是否存在以B，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C，D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3），或，或， 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）运用等面积法即可求解； （3）分，，为对角线三种情况讨论，利用中点坐标公式分别求解即可． 【小问1详解】 设直线AB的表达式为，则， 解得：， 故AB的表达式为； 【小问2详解】 ∵， 又令， 解得：，则， 所以 ， ∵， ∴， ∴， 即点C到直线AB的距离为； 【小问3详解】 设，， 当是对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：， 故点C、D的坐标分别为，； 当是对角线时， 同理可得：， 解得：， 故点C、D的坐标分别为，， 当是对角线时， 同理可得：， 解得：， 故点C、D的坐标分别为， 综上，点C、D的坐标分别为，或，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $