精品解析：甘肃省民乐县第一中学2024-2025学年高一（5）部下学期期中考试数学试卷

民乐一中2024-2025学年第二学期高一（5）部期中考试 数学试卷 一、单选题 1. 下面关于空间几何体叙述正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 正四棱柱都是长方体 D. 直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 【答案】C 【解析】 【分析】由正棱锥的定义判断A，由棱台的定义判断B，由正四棱柱的定义判断C，由圆锥的定义判断D. 【详解】对于A，底面是正多边形且顶点在底面内的射影为底面中心的棱锥是正棱锥，故A错误； 对于B，将两个相同的棱台的底面重合得到的多面体满足有两个面互相平行，其余各面都是梯形， 但是这样的多面体不是棱台，故B错误； 对于C，因为正四棱柱是底面为正方形的直棱柱，所以正四棱柱都是长方体，故C正确； 对于D，根据圆锥的定义可知D不正确. 故选：C. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先利用，化简，再利用复数的除法运算求，再求出，最后利用复数的加法运算即可. 【详解】因，，则， 则，. 故选：D. 3. 设是两条不同的直线，为平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，利用直线与平面的位置关系判断；对于B，利用直线与平面的位置关系判断；对于C，利用线面垂直的性质定理判断；对于D，利用直线与直线的位置关系判断. 【详解】对于A，若，则或或与相交，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则或与相交或与异面，故D错误. 故选：C. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知利用两角和的正切公式求得，再由二倍角公式及同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】∵，解得， ∴. 故选：A． 5. 如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 . 故选：A 6. 在处理一组数据时，若未计入数值9，计算所得的平均值为9，方差为3．若将数值9纳入分析，则该组数据（ ） A. 平均数等于9，方差等于3 B. 平均数等于9，方差小于3 C. 平均数大于9，方差小于3 D. 平均数小于9，方差大于3 【答案】B 【解析】 【分析】根据几个数的平均数计算公式与方差计算公式求解即可判断每个选项的正误． 【详解】设末计入9时的数据有个，这些数的和为， 那么加入9后，数据总和为，数据个数变为，新的平均数为． 根据方差公式，加入9后，，且分母增大，所以方差变小. 故选：B． 7. 三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作平面于，在平面内过作，，垂足分别为，，连接，，可得为直线与平面所成的角，进而结合题设求角即可. 【详解】过点作平面于，在平面内过作，， 垂足分别为，，连接，， 则为直线与平面所成的角， 由平面，平面，所以，， 又，，，平面，则平面， 因为平面，则， 同理可得，由， 得，又， 因此四边形为正方形，，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 故选：B. 8. 在中，角所对的边分别为，，，且，，则的最小值为（    ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直结合正、余弦定理可得，分析可知点在优弧上运动（不包括端点），结合数量积的几何意义运算求解. 【详解】因为，，且， 则， 利用正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，则， 又因为，可得的外接圆半径为， 可知点在优弧上运动（不包括端点）， 过外接圆圆心作， 当点与点重合时，在方向上的投影最小， 此时 根据数量积的几何意义可知：的最小值为. 故选：D. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若的值为，则 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】结合向量垂直的坐标表示列方程求，判断A，先求，结合向量的模的坐标表示求，判断B，结合共线向量定理，举反例判断C，结合向量垂直关系求，再求，判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：由可得，又，所以， 所以，故B正确； 对于C：当时，，又，所以， 所以与同向，此时与的夹角为，故C错误； 对于D：若，则， 即，即，解得， 当时，，，，，显然， 当时，，，，，此时，故D错误． 故选：AB． 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C. 【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确； 对于B，由余弦定理，可知为锐角， 但是无法判断角A和角B是否为锐角，所以无法判断是否为锐角三角形，故B错误； 对于C，因为，所以，即， 又，所以，所以或， 即或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线DP与直线所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. P为线段的中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等体积转化为求三棱锥可判断A选项；B选项过点作，转化为求直线与直线所成角；将侧面和侧面展开至同一平面可判断C选项；D选项作出截面，求截面面积. 【详解】，平面，平面，则平面， 则点到平面的距离为定值，故 为定值，故A正确； 如图，过点作，则直线DP与直线所成角与直线与直线所成角相等，当点运动至点时，角最大为，点运动至点时，角最小为，故B正确； 如图，将侧面和侧面展开至同一平面，当三点共线时，取最小值，故C错误； 如图，过点三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形， 其中上底，下底，腰为，则梯形高为，所以等腰梯形的面积为，故D错误. 故选：AB. 三、填空题 12. 已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积. 【详解】 如图，直角梯形即为原图形，则， 所以四边形的面积. 故答案为：6. 13. 已知向量，，则的最小值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由平面向量数量积的运算可出，再利用平面向量的模长公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】设，则，可得， 故， 当且仅当时，取最小值. 故答案为：. 14. 在直角梯形中，，，，点是边上中点，若点在线段上运动（含端点），则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，令，，利用数量积的坐标表示即可得出的取值范围. 【详解】以点为坐标原点，分别以为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则、、、，则， 由点是线段上的动点（含端点），可令，， 所以，则， 所以，， 由二次函数性质可得当时取得最小值， 当时取得最大值，可得. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 设复数． （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，且是方程的根，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知，即可得，进而可求； （2）根据复数的除法运算结合纯虚数概念可得，可知是方程的根，利用韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 若复数对应的点在实轴上，则， 可得，即， 所以. 【小问2详解】 因为， 若是纯虚数，则，解得， 若是方程的根，则也是该方程的根， 由韦达定理可得，即，所以. 16. 已知，，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的范围和题设条件，求出和的值，利用和角公式求出的值，即可求得的值； （2）利用二倍角公式求出，的值，根据和角的余弦公式即可求得. 【小问1详解】 因为，所以， 则，， 又因为，， 所以，， 所以 ， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，， 故， ， 所以． 17. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点. （1）求证：平面； （2）若点M为棱的中点，求点C到平面的距离. 【答案】 （1）连接， ∵，是中点，∴，， 又，，∴，所以， 而，所以，∴， ，都包含于平面，∴平面； （2）． 【解析】 【分析】（1）易得，再由勾股定理逆定理证明，即可得线面垂直； （2）由（1）可证明平面，距离即得． 【详解】（1）略 （2）由（1）平面，可得， 又是中点，∴，而，∴，， 所以平面，所以的长就是到平面的距离. ．即到平面的距离为． 【点睛】本题考查证明线面垂直，考查求点到平面的距离．掌握线面垂直的判定定理是解题基础．求点平面的距离可通过平面的作垂线段求解，也可通过体积法求解． 18. 如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； （1）若，试用向量，表示，； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算结合图形关系可得结果； （2）利用向量垂直的性质和数量积的定义可解得，再利用三角形面积公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，是的中点，则， 因为，所以， 则. 所以，. 【小问2详解】 因为，所以. 因为，， 所以， 又因为， 所以，，解得. 所以，，则， 所以. 19. 已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且是偶函数. （1）求的解析式及单调递减区间； （2）在中，角所对的边分别为，已知且，若是的中点，求的最大值. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（1）先由二倍角的正弦，降幂公式，辅助角公式，以及图象平移的性质得到，再由偶函数的性质求出表达式，然后整体代入求解正弦函数的单调递减区间即可； （2）先由正弦函数的最值求出，然后由余弦定理得到，最后再由向量的数量积和模长的计算求出. 【小问1详解】 因为， 所以. 因为是偶函数， 所以. 又，所以， 所以. 因为， 所以的单调递减区间是. 【小问2详解】 因为， 所以，即. 又，所以， 所以，解得. 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以，则的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民乐一中2024-2025学年第二学期高一（5）部期中考试 数学试卷 一、单选题 1. 下面关于空间几何体叙述正确的是（ ） A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C. 正四棱柱都是长方体 D. 直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 设是两条不同的直线，为平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 6. 在处理一组数据时，若未计入数值9，计算所得的平均值为9，方差为3．若将数值9纳入分析，则该组数据（ ） A. 平均数等于9，方差等于3 B. 平均数等于9，方差小于3 C. 平均数大于9，方差小于3 D. 平均数小于9，方差大于3 7. 三棱锥中，若，，，则直线与平面所成角的正弦值是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角所对的边分别为，，，且，，则的最小值为（    ）. A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为 B. 若的值为，则 C. 若，则与的夹角为锐角 D. 若，则 10. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( ). A. 若，则 B. 若，则为锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 直线DP与直线所成角的取值范围为 C. 的最小值为 D. P为线段的中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为 三、填空题 12. 已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是_____． 13. 已知向量，，则的最小值是__________. 14. 在直角梯形中，，，，点是边上中点，若点在线段上运动（含端点），则的取值范围是_______． 四、解答题 15. 设复数． （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，且是方程的根，求实数的值. 16. 已知，，且． （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图，在三棱锥中，，，O为的中点. （1）求证：平面； （2）若点M为棱的中点，求点C到平面的距离. 18. 如图，在中，已知，，，是的中点，是上的点，且，，相交于点.设，； （1）若，试用向量，表示，； （2）若，求的面积. 19. 已知函数，其中，若将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，且是偶函数. （1）求的解析式及单调递减区间； （2）在中，角所对的边分别为，已知且，若是的中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $