精品解析：黑龙江省佳木斯市富锦市第二中学2024-2025学年上学期第一次段考九年级数学试卷

2024-2025学年黑龙江省佳木斯市富锦二中九年级（上）第一次段考数学试卷 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. 2x+1=0 B. y2+x=1 C. x2+1=0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程判断即可． 【详解】解：A. 2x+1=0，是一元一次方程，不符合题意； B. y2+x=1，含两个未知数，不符合题意； C. x2+1=0，是一元二次方程，符合题意； D. ，不是整式方程，不符合题意； 故选C 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 【答案】D 【解析】 【分析】根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解. 【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k）， ∴抛物线的顶点坐标是（1，2）． 故选：D． 3. 方程3x2﹣8x﹣10＝0的二次项系数和一次项系数分别为（　　） A. 3和8 B. 3和﹣8 C. 3和﹣10 D. 3和10 【答案】B 【解析】 【分析】分别确定和x的系数，注意符号不要遗漏. 【详解】解：由题意得，二次项系数是3，一次项系数为-8，故选择B. 【点睛】遗漏系数的符号是本题的易错点. 4. 方程的根是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，由题意推出，或，解方程即可求出的值，熟练掌握因式分解解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：C． 5. 一元二次方程﹣5x+9=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】求出根的判别式△的值再进行判断即可． 【详解】一元二次方程x2−5x＋9＝0中， △＝（−5）2−4×1×9＝−11＜0， 所以原方程无实数根． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 6. 方程配方后变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行配方，然后整理即可. 【详解】, ， ， . 故选A. 【点睛】考查配方法，在配方时要注意常数项的确定方法，若二次项的系数为1，则加上一次项系数的一半的平方，若二次项的系数不为1，提取二次项系数，把系数化为1. 7. 已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线解析式求得对称轴，根据开口方向可知当时，y随x的增大而增大，据此即可解答． 【详解】解：∵图象的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而增大，， ∵，在抛物线上，， ∴． 故选：C． 8. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为（ ） A. 2或-2 B. 2 C. -2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，将代入方程，求解即可． 【详解】解：由题意可知：，即 将代入方程得，解得 ∴ 故选C 【点睛】此题考查了一元二次方程的根与概念，解题的关键是理解一元二次方程根的意义，易错点是容易忽略二次项系数不能为0． 9. 已知抛物线经过点和两点，则b的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线经过点和两点，点和关于对称轴对称即可求解. 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x = 抛物线过和两点,且这两点的纵坐标相同 ∴点和关于直线x =对称， ， 解得：b=2， 故答案选：D 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数的对称轴可表示为直线x=. 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0)．下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是( ) A. ①②④ B. ③④ C. ①③④ D. ①② 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据二次函数的图象开口向下，可得a＜0，由二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，可知c＞0，由对称轴是直线x=，可得，因此可知b=﹣a＞0，即abc＜0．故①正确； 由①中知b=﹣a，可得a+b=0，故②正确； 把（2，0）代入解析式，即4a+2b+c=0．故③错误； 由（-2，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（3，y1），可得y1<y2．故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选A． 二、填空题（共30分，每空3分） 11. 某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为，则可以列出方程为____________________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：2007年的外贸收入=2005年的外贸收入×（1+增长率）2，即可列出方程． 解：∵2005年外贸收入为2.5亿元， ∴2006年的外贸收入为2.5×(1+x)， ∴2007年的外贸收入为2.5×(1+x)×(1+x)=2.5(1+x)2， 又∵2007年外贸收入达到了4亿元， ∴可列方程为2.5(1+x)2=4. 故答案为2.5(1+x)2=4. 12. 如果抛物线y=(2-a)x2的开口方向向上，那么a的取值范围是_______． 【答案】a＜2 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2−a＜0． 【详解】因为抛物线y＝（2−a）x2的开口向上， 所以2−a>0，即a<2， 故答案为：a<2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）开口向下． 13. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用直接开平方法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，． 14. 若一元二次方程(m－1)x²－4x－5＝0没有实数根，则m的取值范围是___________． 【答案】m＜ 【解析】 【分析】根据判别式列不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0， ∴m＜． 故答案为：m＜． 【点睛】本题考查了一元二次方程系数与根的情况，方程没有实数根，判别式小于零，注意二次项系数不为零． 15. 在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得抛物线的解析式是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，最后根据顶点坐标写出抛物线的解析式即可． 【详解】解：∵抛物的顶点坐标为， ∴向上平移2个单位，再向左平移3个单位后的抛物线的顶点坐标为， ∴所得抛物线的解析式为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的了二次函数图象与几何变换，利用顶点坐标的平移确定函数图像的平移以及平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键． 16. 已知m是方程的一个根，则的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程中得：， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 已知一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数之间的关系求解即可，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由根与系数之间的关系得，， ∴， 故答案为：． 18. 已知二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是___． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，直接根据二次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴与x轴的另一个交点为， 由函数图象可知，当或时，函数图象在x轴的下方， ∴当时，自变量x的取值范围是或． 故答案为：或． 19. 若二次函数的图象经过、、、、，则、、的大小关系是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的增减性，二次函数的最值问题，掌握二次函数的相关性质是解题关键．根据题意可得二次函数图象开口向下，对称轴为直线，即距离对称轴越近函数值越大，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象经过、， 二次函数图象开口向下，对称轴为直线， 距离对称轴越近函数值越大， ， 、、三点中，点离对称轴最近，点离对称轴最远， ， 故答案为：． 20. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与坐标轴的交点为和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值y随x值的增大而增大； ④当或时，函数的最小值是0； ⑤当时，函数的最大值是4． 其中正确的结论有______．（填正确的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．由和坐标都满足函数，①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据，求出相应的x的值为或，因此④也是正确的；从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案． 【详解】解：①∵和坐标都满足函数， ∴①是正确的； ②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的； ③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的； ④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据，求出相应的x的值为或，因此④也是正确的； ⑤从图象上看，当或，函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的； 故答案为：①②③④． 三、解答题 21. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可； （3）利用直接开平方法即可求得方程的解； （4）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：，，， ， ， ，； 【小问2详解】 原方程移项得：， ， 或， ； 【小问3详解】 原方程化为：， ， ； 【小问4详解】 因式分解得，， 或， ． 22. 已知抛物线的顶点坐标，且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线过点，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由抛物线顶点为，故可设抛物线的解析式为，又抛物线过，从而可求出的值，进而可以得解； （2）依据题意，由（1），又抛物线过点，，从而求出的值，代入代数式进而得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标， 可设抛物线的解析式为． 又∵抛物线过， ． ． 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）中求得的解析式， 抛物线过点，， ， ． 23. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m为正整数时，求方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）利用的范围确定的正整数值为1，则方程化为，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，又∵为正整数 ∴， ∴方程化为， 解得，． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 24. 雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元. （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 【答案】（1）捐款增长率为10%.（2）第四天该单位能收到13310元捐款. 【解析】 【分析】（1）根据“第一天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）2=第三天收到捐款钱数”，设出未知数，列方程解答即可. （2）第三天收到捐款钱数×（1+每次降价的百分率）=第四天收到捐款钱数，依此列式子解答即可. 【详解】（1）设捐款增长率为x，根据题意列方程得： ， 解得x1=0.1，x2=－1.9（不合题意，舍去）. 答：捐款增长率为10%. （2）12100×（1+10%）=13310元. 答：第四天该单位能收到13310元捐款. 25. 某超市销售一种国产品牌台灯，平均每天可售出200盏，每盏台灯的利润为30元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据调查，每盏台灯每降价1元，平均每天会多售出20盏． （1）若要实现每天销售获利6720元，同时又让消费者得到实惠，则每盏台灯降价多少元？ （2）每盏台灯降价多少元时，商场获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）18元 （2）每盏台灯降价10元时商场获利润最大，最大利润是8000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数，解决本题的关键是读懂题意并列出正确的方程即可． （1）设每盏台灯应降价x元，依据题意列出一元二次方程方程得并进行求解即可得到解答； （2）设商场获利润为W元，列出二次函数将其化为顶点式即可得到解答． 【小问1详解】 解：设每盏台灯应降价x元，依据题意列方程得： ， 解得：． ∵让消费者得到实惠， ∴， 答：要实现每天销售获利6720元，则每盏台灯应降价18元． 【小问2详解】 解：设商场获利润为W元，则 ， ∵， ∴当时，W取得最大值8000元， 答：每盏台灯降价10元时商场获利润最大，最大利润是8000元． 26. 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长为x米． （1）要使鸡场面积200平方米，且长和宽都为整数，鸡场的长应为多少米？ （2）鸡场的面积能否达到210平方米，如果能直接写出此时x的值，如果不能请说明理由． 【答案】（1）鸡场的长应为20米； （2） 鸡场的面积不能达到210平方米，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无实数根， ∴鸡场的面积不能达到210平方米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设鸡场的长为x米，则宽为米，根据鸡场面积200平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据鸡场面积210平方米，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设鸡场的长为x米，则宽为米， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去； 答：鸡场的长应为20米； 【小问2详解】 略 27. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点． （1）求A点、B点坐标； （2）求直线的解析式； （3）点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为； （2）直线的解析式为； （3）存在点P，使的面积最大，最大面积是16． 【解析】 【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线，利用二次函数的性质即可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征，即可求出A点、B点的坐标； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，由点B、C的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式; （3）假设存在，设点P的坐标为，过点P作轴，交直线于点D，则点D的坐标为，利用三角形的面积公式即可得出的面积关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，，解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入得：，解得， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：假设存在，设点P的坐标为，过点P作轴，交直线于点D，则点D的坐标为，如图， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积是16． ∵， ∴存在点P，使的面积最大，最大面积是16． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，灵活运用所学知识是关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年黑龙江省佳木斯市富锦二中九年级（上）第一次段考数学试卷 一、选择题（共30分，每题3分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（　　） A. 2x+1=0 B. y2+x=1 C. x2+1=0 D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. （﹣1，2） B. （﹣1，﹣2） C. （1，﹣2） D. （1，2） 3. 方程3x2﹣8x﹣10＝0的二次项系数和一次项系数分别为（　　） A. 3和8 B. 3和﹣8 C. 3和﹣10 D. 3和10 4. 方程的根是(　　) A. B. C. D. 5. 一元二次方程﹣5x+9=0的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 6. 方程配方后变形为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，两点在抛物线上，如果，那么下列结论一定成立的是（ ）． A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a值为（ ） A. 2或-2 B. 2 C. -2 D. 9. 已知抛物线经过点和两点，则b的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0)．下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是( ) A. ①②④ B. ③④ C. ①③④ D. ①② 二、填空题（共30分，每空3分） 11. 某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为，则可以列出方程为____________________. 12. 如果抛物线y=(2-a)x2的开口方向向上，那么a的取值范围是_______． 13. 方程的解是______． 14. 若一元二次方程(m－1)x²－4x－5＝0没有实数根，则m的取值范围是___________． 15. 在平面直角坐标系中，把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得抛物线的解析式是_________． 16. 已知m是方程的一个根，则的值为___． 17. 已知一元二次方程的一个根是，则另一个根是______． 18. 已知二次函数的图象如图所示，当时，自变量x的取值范围是___． 19. 若二次函数的图象经过、、、、，则、、的大小关系是___． 20. 我们定义一种新函数：形如（，且）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出下列五个结论： ①图象与坐标轴的交点为和； ②图象具有对称性，对称轴是直线； ③当或时，函数值y随x值的增大而增大； ④当或时，函数的最小值是0； ⑤当时，函数的最大值是4． 其中正确的结论有______．（填正确的序号） 三、解答题 21. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 22. 已知抛物线的顶点坐标，且与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线过点，，求的值． 23. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m为正整数时，求方程的根． 24. 雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元. （1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率； （2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？ 25. 某超市销售一种国产品牌台灯，平均每天可售出200盏，每盏台灯的利润为30元．为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据调查，每盏台灯每降价1元，平均每天会多售出20盏． （1）若要实现每天销售获利6720元，同时又让消费者得到实惠，则每盏台灯降价多少元？ （2）每盏台灯降价多少元时，商场获利润最大？最大利润是多少元？ 26. 如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50米长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长为x米． （1）要使鸡场面积200平方米，且长和宽都为整数，鸡场的长应为多少米？ （2）鸡场的面积能否达到210平方米，如果能直接写出此时x的值，如果不能请说明理由． 27. 如图，已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A、B两点（B点在A点的右侧），与y轴交于C点． （1）求A点、B点坐标； （2）求直线的解析式； （3）点P是直线上方的抛物线上的一动点（不与B、C重合），是否存在点P，使的面积最大．若存在，请求出的最大面积，若不存在，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $