精品解析：2025年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级中考一模数学试题

2024-2025学年度下学期九年级数学调研测试（一） 一．选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各数中是正数的为( ) A. 3 B. C. D. 0 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 4. 如图所示的几何体是由五个小正方体搭建而成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，反比例函数的图象在第二象限的一支如图所示，点在此图象上，过点作轴的垂线，点为垂足，连接，若的面积为4，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 7. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，画直线交于点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 一元二次方程a2x2+2(a+1)x+1=0有实数根，则a的取值范围是（ ） A. a≤- B. a≥- C. a≥-且a≠0 D. a≤且a≠0 10. 市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（ ） A. 元 B. 45元 C. 元 D. 48元 二．填空题（每小题3分，共计30分） 11. 我国最大的领海南海总面积有3500 000平方公里，将数3500 000用科学记数法表示应为_____． 12. 函数：中，自变量x的取值范围是_____． 13. 把多项式分解因式的结果是______． 14. 计算的结果是_____． 15. 不等式组的解集是_____． 16. 一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星……，第12个图案有_____个五角星． 17. 如图，将长度为的线段绕点逆时针旋转至，则的长为_____． 18. 在中，，的面积为9，则的度数为_____度． 19. 袋中装有编号为，，的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号后，放入袋中搅匀，再从袋中随机取出一球，两次所取球的编号相同的概率为_______． 20. 如图，点在正方形的边上，连接，的平分线交于点，连接，为的角平分线，连接，过点作的垂线，点为垂足．则下列结论：①；②；③平分；④若，，则．其中正确的结论的序号是_____． 三．解答题（60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，均在小正方形的顶点上，在网格上确定点，使，． （1）在网格内画出； （2）在网格内确定点，点在小正方形的顶点上，请你连接，，使，并直接写出的正切值为_____． 23. 高远中学为了解学生对生物知识的掌握情况，从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格和不及格四个级别进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的条形统计图，抽调的学生成绩为及格的占抽调学生总人数的30%． （1）求被抽取的学生有多少名？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若“高远”中学共有2400名学生，请你估计该校有多少人的成绩为优秀？ 24. 四边形是平行四边形，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有与互补的角． 25. 某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和显示器，若购进电脑机箱5台和显示器4台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和显示器5台，共需要资金7900元． （1）求每台电脑机箱和显示器的进价各是多少元？ （2）该经销商计划购进这两种电脑机箱和显示器共50台，用于购买这两种电脑机箱和显示器的资金不超过36000元．求最多能购进多少台显示器？ 26. 的弦，交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，为的直径，连接交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的面积． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点A，交轴正半轴于点，交轴于点，，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为第二象限抛物线上一点，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，点为的中点，连接，，，，，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期九年级数学调研测试（一） 一．选择题（每小题3分，共计30分） 1. 下列各数中是正数的为( ) A. 3 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据正数大于0，负数小于0即可选出答案： 3是正数，是负数，0既不是正数，也不是负数．故选A． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，熟练掌握幂的运算法则及合并同类项法则是解题的关键．根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法法则，积的乘方运算法则，即可判断答案． 【详解】解：A、因为，所以选项A错误，不符合题意； B、因为，所以选项B错误，不符合题意； C、因为，所以选项C错误，不符合题意； D、因为，所以选项D正确，符合题意． 故选：D． 3. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 菱形 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可． 本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵等边三角形是轴对称图形， ∴不符合题意； ∵平行四边形不是轴对称图形， ∴符合题意； ∵矩形是轴对称图形， ∴不符合题意； ∵菱形是轴对称图形，， ∴不符合题意； 故选：B． 4. 如图所示的几何体是由五个小正方体搭建而成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图的定义去判断即可． 本题考查了几何体的俯视图，熟练掌握俯视图的定义是解题的关键． 【详解】解：该几何体的俯视图是 故选：B． 5. 抛物线先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：． 故选：C． 6. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，反比例函数的图象在第二象限的一支如图所示，点在此图象上，过点作轴的垂线，点为垂足，连接，若的面积为4，则的值为（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由的面积为4，根据反比例函数的性质，得，结合函数图象在二、四象限，确定k值即可． 【详解】解：由的面积为4， 根据反比例函数的性质，得， 由函数图象在二、四象限， 得． 故选：C． 7. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，画直线交于点，连接，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得为的垂直平分线，再根据等边对等角可得，结合，可得，代入数值求解即可． 【详解】解：根据题意可得为的垂直平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，先根据点B平移得到得出坐标变化的特点，再根据这个特点得出答案即可． 【详解】解：点平移得到点，横坐标减4，纵坐标减1， 所以点的对应点的坐标是，即． 故选：B． 9. 一元二次方程a2x2+2(a+1)x+1=0有实数根，则a的取值范围是（ ） A. a≤- B. a≥- C. a≥-且a≠0 D. a≤且a≠0 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：因为一元二次方程a2x2+2（a+1）x+1=0有实数根， 所以有，即，解得a≥-，且a≠0， 故选C． 10. 市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（ ） A. 元 B. 45元 C. 元 D. 48元 【答案】C 【解析】 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共计30分） 11. 我国最大的领海南海总面积有3500 000平方公里，将数3500 000用科学记数法表示应为_____． 【答案】 【解析】 【详解】将3500000用科学记数法表示为：3.5×106． 故答案为3.5×106． 12. 函数：中，自变量x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须，即． 故答案为：． 13. 把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 14. 计算的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简以及合并同类项，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 首先将化简成最简二次根式，然后再合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15. 不等式组的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，计算即可． 本题考查的是解一元一次不等式组， 熟练掌握解题步骤是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式,②，得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 16. 一组有规律的图案如图所示，第1个图案有4个五角星，第2个图案有7个五角星，第3个图案有10个五角星……，第12个图案有_____个五角星． 【答案】37 【解析】 【分析】本题主要考查了图形类的规律问题， 根据第1个图案有4个五角星，第2个图案有个五角星，第3个图案有个五角星，第4个图案有个五角星，可得数字变化的规律再根据规律解答即可. 【详解】解：第1个图案有4个五角星； 第2个图案有个五角星； 第3个图案有个五角星； 第4个图案有个五角星， 第12个图案有个五角星. 故答案为：37. 17. 如图，将长度为的线段绕点逆时针旋转至，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质以及弧长公式，熟练掌握弧长公式是解答本题的关键． 根据旋转的性质以及弧长公式解答即可． 【详解】解：由旋转的性质得， ， 故答案为：． 18. 在中，，的面积为9，则的度数为_____度． 【答案】75或15##15或75 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，解直角三角形，掌握等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，并分情况讨论是解题的关键． 分两种情况：是锐角三角形和是钝角三角形，分别利用面积求出腰上的高，利用三角函数进行求解即可． 【详解】解：若是锐角三角形，过点C作于点D，如图， ，， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴， ， ， 若是钝角三角形，过点B作于点D，如图， ，， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴， ， ， ． 故答案为：75或15． 19. 袋中装有编号为，，的三个质地均匀、大小相同的球，从中随机取出一球记下编号后，放入袋中搅匀，再从袋中随机取出一球，两次所取球的编号相同的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】列表表示出所有的可能，根据表格得出概率． 【详解】根据题意，列表如下： 根据表格可知，共有9种可能，其中两次编号相同的有3种，故概率为： 故答案为： 【点睛】本题考查求解概率，求概率，通常有3种方法：列表法、树状图法和穷举法． 20. 如图，点在正方形的边上，连接，的平分线交于点，连接，为的角平分线，连接，过点作的垂线，点为垂足．则下列结论：①；②；③平分；④若，，则．其中正确的结论的序号是_____． 【答案】① 【解析】 【分析】作于，根据角平分线的性质可判断①；将绕点按顺时针方向旋转至，连接，用反证法得出时，成立，可判断②；作于，若平分，则，进而可证明只有重合时结论成立，可判断③；设，则，，，可得，，，根据，建立方程求解，进而可求得，即可判断④，问题得解． 【详解】解：①作于， 四边形为正方形， ，即， 平分， ， ，故①正确； ②正方形中，， ，， ， 将绕点按顺时针方向旋转至，连接， ， ， ， ， ，，， ， 共线， ， 若， ， ， ， 即， ， ， ， 即时，成立，故②不正确； ③作于， ， 若平分，则， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 重合时结论成立，故③不正确； ④， 设，则，，， ，， ， ， 由①知，， ， ， 即， 解得，（舍）， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ，故④不正确； 故答案为：①． 【点睛】本题主要是正方形的一个综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，涉及的知识点多，综合性强，难度较大．灵活运用这些知识解题是关键． 三．解答题（60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据分式的加减法计算括号内的，再根据分式的乘除法计算，然后代入数值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 22. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点，均在小正方形的顶点上，在网格上确定点，使，． （1）在网格内画出； （2）在网格内确定点，点在小正方形的顶点上，请你连接，，使，并直接写出的正切值为_____． 【答案】（1） 画图如下：即为所求． （2）即为所求， 【解析】 【分析】（1）根据题意，，得到，故将点B向右平移4，再向上平移2即可得到点C，连接各点即可得到； （2）由，故将点A向右平移3，再向下平移3即可得到点D，连接各点即可得到，再根据正切的定义求得的正切值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，得到，故将点B向右平移4，再向上平移2即可得到点C，连接各点即可得到，则即为所求． 【小问2详解】 解：由，故将点A向右平移3，再向下平移3即可得到点D，连接各点即可得到，则即为所求， 故． 【点睛】本题考查了基本作图，等腰直角三角形的性质，平移的应用，勾股定理的应用，正切函数的应用，熟练掌握作图，平移是解题的关键． 23. 高远中学为了解学生对生物知识的掌握情况，从中随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按优秀、良好、及格和不及格四个级别进行了统计，并绘制了如图所示的不完整的条形统计图，抽调的学生成绩为及格的占抽调学生总人数的30%． （1）求被抽取的学生有多少名？ （2）通过计算补全条形统计图； （3）若“高远”中学共有2400名学生，请你估计该校有多少人的成绩为优秀？ 【答案】（1）100名 （2） 补全统计图如下： （3）480名 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图的应用，样本估计总体的思想， 先根据抽取学生的及格人数和所占百分比求出抽取学生的总人数即可解答（1）；再求出良好的学生人数，然后补全统计图；最后用总人数乘以抽取学生的优秀率可得答案． 【小问1详解】 解：30%． 所以被抽取的学生有100名； 【小问2详解】 解：（人）． 成绩为良好的学生有40人， 图略； 【小问3详解】 解：（人）． 所以该学校有480人的成绩为优秀． 24. 四边形是平行四边形，点在上，，点在上，连接，过点作的平行线交于点． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点在上，，连接，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中所有与互补的角． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． （2），，和 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，结合已知即可证明； （2）根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 故互补的角有，，和． 25. 某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和显示器，若购进电脑机箱5台和显示器4台，共需要资金7000元；若购进电脑机箱2台和显示器5台，共需要资金7900元． （1）求每台电脑机箱和显示器的进价各是多少元？ （2）该经销商计划购进这两种电脑机箱和显示器共50台，用于购买这两种电脑机箱和显示器的资金不超过36000元．求最多能购进多少台显示器？ 【答案】（1）每台电脑机箱的进价为200元，每台显示器的进价是1500元 （2）20台 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用， 根据等量关系列出方程组是解题的关键． （1）根据题意得出等量关系列出方程组，即可求出电脑机箱和液晶显示器的单价； （2）根据题意列不等式计算即可求解． 【小问1详解】 解：设每台电脑机箱的进价为元，每台显示器的进价是元， 根据题意得：， 解方程组得：， 答：每台电脑机箱的进价为200元，每台显示器的进价是1500元． 【小问2详解】 解：设购进台显示器， 根据题意得：， 解不等式得：， 答：最多能购进20台显示器． 26. 的弦，交于点，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，为的直径，连接交于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：连接 ， 是与的公共部分， ， ， ． （2） 连接， 为的直径 ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆中弧，弦的关系，等腰三角形的判定证明即可； （2）连接，根据为的直径，得到，继而得到，，结合，证明即可； （3）连接交于点，连接正确证得，正确得到设，，正确得出，正确得出的面积为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接交于点， 连接， ∵ ，， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，且， ∴，， ∴， 解得或， ∴舍去或， ∵， ∴， ∴， ∴舍去， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的弦，弧的关系，三角函数的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角函数的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴负半轴于点A，交轴正半轴于点，交轴于点，，． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点为第二象限抛物线上一点，连接，，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，点为的中点，连接，，，，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何结合等． （1）先求出点AB的坐标，再代入关系式可得答案； （2）过点分别作轴，轴的垂线，点，为垂足，连接，再求出，设点的横坐标为，表示出，，然后根据可得答案； （3）作轴，点为垂足，取的中点，连接，继而得到，再过点作的平行线交于点，交的延长线于点，作轴，点为垂足，再设，，，连接，过点作轴，点为垂足，再利用解三角形应用即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：点A在轴负半轴，， ， 点在轴正半轴，， ， 抛物线经过，， ， 解方程组得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点分别作轴，轴的垂线，点，为垂足，连接， 当时，，， ． 点在抛物线上，点的横坐标为， 当时，． 点在第二象限， ，， ∴， ， ， ， 与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：作轴，点为垂足，取的中点，连接， ∵点为中点，，，， ∴， ∴为中点， ∴， ∴， ∴，，， ∴，平分， 过点作的平行线交于点，交的延长线于点，作轴，点为垂足， 设，，， 连接，过点作轴，点为垂足， ∴，，， 连接，，， ， ， ∴，解得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $