精品解析：辽宁省阜新市第四中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试题

2024－2025学年度（上）第四中学质量检测（月清三） 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数，常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是无限不循环的数．据此逐个判断即可． 【详解】解：A.是无理数，符合题意； B.是有理数，不符合题意； C.是有理数，不符合题意； D.是有理数，不符合题意； 故选：A． 2. 下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 9，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．据此逐个判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴A能组成直角三角形，不符合题意； B、∵， ∴B不能组成直角三角形，符合题意； C、∵， ∴C能组成直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴D能组成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3. 在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（　　） A. （4，1） B. （﹣1，4） C. （﹣4，﹣1） D. （﹣1，﹣4） 【答案】A 【解析】 【详解】【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号即可得出答案． 【详解】∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称， ∴点A的坐标是：（4，1）， 故选A． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，正确把握横纵坐标的关系是解题关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了二次根式的加减乘除运算，根据合并同类二次根式法则，二次根式的运算法则依次分析即可． 【详解】解：A．，故本选项计算正确，符合题意； B．，故本选项计算错误，不符合题意； C．，故本选项计算错误，不符合题意； D．，故本选项计算错误，不符合题意． 故选：A． 5. 已知是方程的一个解，则a为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 把与的值代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：． 故选：A． 6. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解决此题的关键．根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定，由此可解． 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，， ∴成绩最稳定的同学是丁， 故选：D． 7. 根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ） 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 A. B. C. 只有3个正整数满足 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格中数据以及算术平方根的概念逐项分析即可． 【详解】A. 由表格可知，， 故A不符合题意； B. 由表格可知， 故B不符合题意； C. 由表格可知，， 只有3个正整数满足，分别是 故C符合题意； D. 由表格可知， 故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根和无理数的估算，求不等式组解集的整数解，理解算术平方根的概念是解题的关键． 8. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．解题的关键是勾股定理的灵活运用． 先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是长方形， ， ， ∵以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于表示的数为， ， ， ∴点表示的数为， 故选：D． 9. 如图，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两一次函数的交点的横纵坐标即为两一次函数解析式联立得到的二元一次方程组的解，据此求解即可． 【详解】解：在中，当时，， ∴ ∵一次函数和的图象相交于点， ∴关于的方程组的解为， 故选：A． 10. 如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质和判定、勾股定理，平行线的判定（垂直于同一直线的两直线平行）等知识点．通过延长线构造全等三角形，将转化为，结合勾股定理求线段长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 12. 已知点，都在直线上，则，的关系是________（填“>”“<”或“＝”）． 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及增减性判定函数值大小知识，由直线确定函数中值随着的增大而减小，再由点的横坐标大小即可判断答案，熟练掌握一次函数增减性确定函数值大小的方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵直线中，， ∴函数中值随着的增大而减小， ∵点都在直线上，且， ， 故答案为：>． 13. 已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答． 【详解】解：点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3， 点的横坐标是， 纵坐标是2， 点的坐标为． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键． 14. 如图，在一个长4米，宽2米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为40厘米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、平面展开—最短路径问题，由题意可得，将木块展开，相当于是个正方形的宽，求出展开后的长为米，宽为2米，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：由题意可得，将木块展开，相当于是个正方形的宽，如图所示： ， ∴展开后的长为米，宽为2米， ∴最短路径为米， ∴一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程米， 故答案为：． 15. 如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为原点，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；…，按此作法进行下去，点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合勾股定理，求出点的坐标并找到规律是解题的关键． 根据的坐标和函数解析式，求得的长度，再由此可求得的坐标，依次类推，即可求出点探究规律利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点， ， 在中，， ， ∴点的坐标为， 同理，可得出：点的坐标为，点的坐标为， 由此可知的坐标为， 的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（本题包括8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）先化简二次根式，然后先算乘法，再算加减； （2）先计算除法，然后化简二次根式，然后算乘法，最后算加减法． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）利用加减消法即可得解； （2）先对第二个方程进行整理和变形，然后再利用加减消元法即可． 【小问1详解】 解：， 由得：， 由得：，解得， 将代入①中得：，解得， 综上所述，方程组的解为． 【小问2详解】 解： 由得：③， 由得：，解得， 将代入②中得：，解得， 综上所述，方程组的解为． 18. 2022年8月末，重庆缙云山发生特大山火，所谓“一方有难，八方支援”，社会各界人士纷纷站出来为灾区捐款捐物．某校学生会向全校1900名学生发起了捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中m的值是________； （2）本次调查获取的部分学生捐款金额的平均数是________元，众数是________元，中位数是________元； （3）根据上面调查得到的数据，估算该校本次活动捐款总额为多少元？ 【答案】（1）32 （2）16，10，15 （3）30400元 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图综合，用样本估计总体，平均数，中位数，众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）用1减去其他捐款金额的占比即可求出m的值； （2）根据的平均数、众数和中位数的定义求解即可； （3）用样本平均数乘以全校人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴； 故答案为：32； 【小问2详解】 ∵（元）， ∴本次调查获取的部分学生捐款金额的平均数是16元； ∵在这组样本数据中，10元出现次数最多，为16次， ∴这组数据的众数为10元； ∵， ∴将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于最中间的两个数都是15， ∴这组数据的中位数为：（元）． 故答案为：16，10，15； 【小问3详解】 解：（元）． ∴可估算该校本次活动捐款总额为30400元． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． （1）作出关于y轴对称的； （2）直接写出点的坐标________； （3）若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，直接写出点的坐标________． （4）边上的高为________． 【答案】（1） 即为所求作的三角形，如图所示： （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质得到点、、，顺次连线即可得到； （2）根据坐标系中位置直接得到； （3）根据轴对称的性质得到，由，得到，求出a，即可得到点的坐标； （4）用等积法求出边上的高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵是内部一点，点P关于y轴对称点为， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 【小问4详解】 解：， ， 设边上的高为h，则： ． 【点睛】此题考查了轴对称作图，轴对称的性质，确定直角坐标系中点的坐标，解一元一次方程，正确掌握轴对称的性质是解题的关键． 20. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】 解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出,然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】略 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，解题关键是正确运用逆定理． 21. 某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如下图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）张强返回时的速度是______米/分； （2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家? （3）请求出张强出发多长时间与妈妈相距米． 【答案】（1） （2）分钟 （3）分钟、分钟、分钟 【解析】 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键． （1）由两点的坐标即可求解； （2）求出点的坐标即可求解； （3）求出直线的解析式、直线的解析式、直线的解析式，分三种情况讨论即可求解． 【小问1详解】 解：由图象可知： 张强返回时的速度是：（米/分）， 故答案为： 【小问2详解】 解：∵（米），（米）， ∴ ∴妈妈原来的速度为：（米/分）， 妈妈按原来的速度回家需要：（分钟）， ∵（分钟）， ∴妈妈比按原速返回提前分钟到家； 【小问3详解】 解：如图所示： 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 直线的解析式为：， ， 解得： ， 解得： ， 解得： 综上所述：张强出发分钟、分钟、分钟与妈妈相距米 22. 清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360元，购进8件A商品和6件B商品共需270元． （1）请你算出A，B两种商品每件的进价； （2）店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品件，B商品件． ①求与之间的关系式： ②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与之间的关系式和该店所获利润的最大值． 【答案】（1）每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元； （2）①(，且为5的正整数倍)；②W与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)；该店所获利润的最大值为1900元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组，利用一次函数的性质求最值是解题的关键； （1）设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元，根据题中等量关系可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再结合，均为正整数，即可得出的取值范围； 根据各数量之间的关系，找出与之间的关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 设每件A商品的进价是元，每件B商品的进价是元， 根据题意，得， 解方程组，得． 答：每件A商品的进价是15元，每件B商品的进价是25元． 【小问2详解】 （2）根据题意，得， ， ， ， ， 又，为正整数， ， 与之间的关系式为(，且为5的正整数倍) ． 根据题意，得 ， ， ， 随的增大而减小， 又， 当时，取得最大值，最大值为， 答：与之间的关系式为(，且为5的正整数倍)，该店所获利润的最大值为1900元． 23. 【探索发现】 如图1，在等腰直角三角形中，，若点C在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限，如图2． ①直接填写：　　，　　； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，若，点C的坐标为．设点P，Q分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标． 【答案】（1）①2，3；②点E的坐标为； （2）解：当k变化时，的面积是定值，理由如下： 过点N作轴于点M， ∵ ∴ ∴， ∴k变化时，的面积是定值，且定值为． （3）点Q的坐标为或（4，）． 【解析】 【分析】（1）①已知，代入可直接写出解析式，分别令，，即可求解； ②过点作轴垂线，运用全等三角形的性质证明边长相等，即可求得点坐标． （2）过点N作轴垂线，运用全等三角形的性质表示出点坐标，再用三角形边长表示出三角形面积，即可判断． （3）分两种情况，当点在点左边时过点作轴于，过点作于，证明．由全等三角形的性质证明边长相等，表示出点Q的坐标；当点在点右边时，同理用全等三角形的性质证明边长相等，可得点的坐标，将点Q的坐标代入直线解析式，即可求解． 【详解】解：（1）①∵，则直线， 令时，y＝3， 令时，， ∴， 即， 故答案为：2，3． ②过点作于点D， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴（全等三角形的对应边相等） ∴ ∴点E的坐标为． （2）略 （3）①当点在点左边时，过点P作轴于S，过点Q作于T， 设，，， （等角的余角相等） ∵ ∴， ∴， ∴点， 将点Q的坐标代入 解得． ∴点Q的坐标为； ②当点在点右边时，同理过点P作轴于S，过点Q作于T， 可证 ∴，， ∴， 则点Q的坐标为， 将点Q的坐标代入 解得， ∴点Q的坐标为． 综上，点Q的坐标为或． 【点评】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、动点求面积问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．熟练掌握一次函数的图象及性质，构造全等三角形及利用全等三角形的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度（上）第四中学质量检测（月清三） 八年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不能组成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 4，5，6 C. 3，4，5 D. 9，12，15 3. 在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（　　） A. （4，1） B. （﹣1，4） C. （﹣4，﹣1） D. （﹣1，﹣4） 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的一个解，则a为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下，，，，则成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 根据表中的信息判断，下列语句正确的是（ ） 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 A. B. C. 只有3个正整数满足 D. 8. 如图，在长方形中，在数轴上．若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数和的图象相交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，与均为直角三角形，且，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 的平方根是____． 12. 已知点，都在直线上，则，的关系是________（填“>”“<”或“＝”）． 13. 已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴的距离为2，到轴的距离为3，则点的坐标为__． 14. 如图，在一个长4米，宽2米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和草地宽平行且棱长大于，木块从正面看是边长为40厘米的正方形，一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是________米． 15. 如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为原点，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；…，按此作法进行下去，点的坐标为________． 三、解答题（本题包括8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程组： （1） （2） 18. 2022年8月末，重庆缙云山发生特大山火，所谓“一方有难，八方支援”，社会各界人士纷纷站出来为灾区捐款捐物．某校学生会向全校1900名学生发起了捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图．请根据相关信息，解答下列问题： （1）图1中m的值是________； （2）本次调查获取的部分学生捐款金额的平均数是________元，众数是________元，中位数是________元； （3）根据上面调查得到的数据，估算该校本次活动捐款总额为多少元？ 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示（每个小正方形的边长为1）． （1）作出关于y轴对称的； （2）直接写出点的坐标________； （3）若是内部一点，点P关于y轴对称点为，且，直接写出点的坐标________． （4）边上的高为________． 20. 图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得dm，dm，dm，其中与之间由一个固定为90°的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 21. 某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如下图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）张强返回时的速度是______米/分； （2）妈妈比按原速返回提前多少分钟到家? （3）请求出张强出发多长时间与妈妈相距米． 22. 清华附中合肥学校C22级学生在暑期职业探究课程中，有学生选择了到某商店体验当“小店长”的一天，进货时与厂家沟通了解到，购进4件A商品和12件B商品共需360元，购进8件A商品和6件B商品共需270元． （1）请你算出A，B两种商品每件的进价； （2）店里计划将5000元全部用于购进A，B这两种商品，设购进A商品件，B商品件． ①求与之间的关系式： ②店里进货时，厂家要求A商品的购进数量不少于100件，已知A商品每件售价为20元，B商品每件售价为35元，设店里全部售出这两种商品可获利W元，请你算出W与之间的关系式和该店所获利润的最大值． 23. 【探索发现】 如图1，在等腰直角三角形中，，若点C在直线上，且，，则．我们称这种全等模型为“k型全等”． 【迁移应用】 设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）若，且是以B为直角顶点的等腰直角三角形，点E在第一象限，如图2． ①直接填写：　　，　　； ②求点E的坐标． （2）如图3，若，过点B在y轴左侧作，且，连结，当k变化时，的面积是否为定值？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，若，点C的坐标为．设点P，Q分别是直线和直线上的动点，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $