精品解析：重庆市第九十五初级中学校2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试卷

重庆九十五中2024-2025学年下期2026届（八年级）半期检测数学试题 （全卷共三个大题满分150分用时120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键； 多项式的因式分解是将多项式变形为几个整式的乘积形式，由此解答即可． 【详解】A．右边不是整式积的形式，故此选项不符合题意； B．，右边括号内不是整式，是分式，不符合因式分解的定义，故本选项不合题意； C．是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； D．是因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握这两个概念． 利用轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A.该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B.该选项图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项符合题意； C.该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D.该选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质．解题的关键是掌握不等式的性质． 利用不等式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.，，故该选项错误，不符合题意； B. ，，，故该选项错误，不符合题意； C. ，当时，，故该选项错误，不符合题意； D. ，，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点先向左平移3个单位，再向上平移5个单位后得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 根据平移的性质进行求解即可． 【详解】解：根据平移性质，向左平移横坐标减去平移的长度，向上平移纵坐标加上平移的长度， ∴平移后的坐标为， 故选：C． 5. 若一个直角三角形的两直角边的长为3和4，则第三边的长为（ ） A. 或 B. 5 C. D. 5或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，当直角三角形的两直角边分别为3和4时,利用勾股定理计算即可． 【详解】解：当直角三角形的两直角边分别为3和4时，则第三边长为， 故选：B． 6. 已知，，则的值为（ ） A. 57 B. 120 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子因式分解得到，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选D． 7. 如图，将含角的绕直角顶点C顺时针旋转，点B落在边上的点处，点A落在边延长线上的点处，则的度数为( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质得：，，根据等边对等角得出，根据可求出答案． 【详解】解：根据旋转的性质得：，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，得出和是解题的关键． 8. 如图，中，平分，，于，，则的长为（ ） A. 8 B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理， 角平分线的性质，三线合一定理，过点D作于E，则由角平分线的性质可得，由三线合一定理得到，利用勾股定理求出，则． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选：C． 9. 某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设购买不倒翁x件，则购买折扇件，根据购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件得到，根据购买这两种商品的总费用少于560元得到，据此可得答案． 【详解】解：设购买不倒翁x件，则购买折扇件， 由题意得，， 故选：A． 10. 已知，，m为负整数．下列说法： ①始终大于； ②若，则随的增大而增大； ③若满足条件的整数有且只有4个，则的值为．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先表示出，，从而得出，再结合为正整数，进一步可判断①②，同理可得，结合满足的整数n有且只有4个得出，解不等式组即可判断③． 【详解】解：∵，， ∴， ∵m为负整数， ∴的最大值是， ∴， ∴，故①符合题意； ∵，而， ∴随的增大而减小；故②说法错误； ∵， ， 为负整数， ， 满足的整数n有且只有4个， 整数的值为，，，， ， ， ，故③说法错误； 综上所述：正确的有1个 故选：B． 【点睛】本题考查多项式乘法、整式的大小比较、一次函数性质以及绝对值不等式相关知识．解题关键是通过多项式乘法展开式子，再利用整式运算、函数性质及绝对值性质进行分析判断． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，将沿方向平移得到，则的长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据将沿方向平移得到，即可得出的长． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴ 故答案为：5 12. 已知等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形三边关系，分是腰长和底边长两种情况讨论，再利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形周长的定义列式计算即可．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：①当腰长时，三边分别为、、， 此时该三角形的周长为：， ②是底边长时，三边分别为、、， ∵， 此时不能构成三角形； 综上所述，这个等腰三角形的周长为． 故答案为：． 13. 如图，一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查对一次函数的图象，一次函数与一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能观察图象得到正确结论是解此题的关键． 根据一次函数的图象看出：一次函数（k，b是常数，）的图象与轴的交点是，得到当时，，即可得到答案． 【详解】解：一次函数（k，b是常数，）的图象与轴的交点是， 当时，，即． 故答案为：． 14. 如图，在中，，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用垂直平分线的性质得FA=FB，则∠B=∠BAF，NA=NC，则∠C=∠NAC，再利用三角形的内角和计算即可． 【详解】如图，令∠BAF=∠1，∠CAN=∠2 ∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线， ∴FA=FB，则∠B=∠1， NA=NC，则∠C=∠2， ∵, 即 而 即 ∴ 解得： 故答案： 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，图中涉及两条垂直平分线，要根据其特点，转化为关于等腰三角形的知识解答． 15. 如果关于的不等式组无解，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 把当作已知条件，根据不等式组无解求出的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵该不等式组无解，根据求不等式组的口诀“大大小小无法找”，可得 解得，， 故答案为：． 16. 对于一个四位正整数，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字之和等于9，十位数字与个位数字之和等于5，则称为“九五数”．则最大的“九五数”是___________；若将“九五数”的千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换得到一个新的四位数，则称为“九五数”的“九五新佳数”，记，设“九五数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整除，则满足条件的“九五数”的最小值是___________． 【答案】 ①. 8141 ②. 1823 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的整数性质、数的表示以及整除的性质等知识，解题关键是根据“九五数”及“九五新佳数”的定义准确表示出数m、和，并结合整除条件通过合理取值来确定满足要求的数． 根据“九五数”定义，要使数最大，千位数字应尽量大，结合千位与百位数字和为9、十位与个位数字和为5，确定各数位数字得到最大数；设“九五数”m各数位数字，根据定义表m、，进而得出，计算，根据能被整除设等式，化简， 要使最小，尽量小，从开始试，结合的取值范围，找到符合整除条件的、，进而确定、，得到的最小值． 【详解】∵九五数”是四位正整数，各个数位上的数字均不为，且千位数字与百位数字之和等于，十位数字与个位数字之和等于． ∴要使“九五数”最大，则千位数字要尽可能大． ∵千位数字与百位数字之和为且数字不为， ∴千位数字最大为，此时百位数字为不符合要求， ∴千位数字取，百位数字为； ∵十位数字与个位数字之和为，要使数大， ∴十位数字取，个位数字为． 所以最大的“九五数”是8141． 由题意得，，且，，，，，为的“九五新佳数”，则． ∵： ． ∴． ∵，，将其代入得：． ． ∵能被整除， 设（为整数），则， 化简得． 要使“九五数”最小，千位数字要尽可能小． 当时：则，． 因为，从开始试： 当时，，，不是整数，不符合． 当时，，，，符合． 此时，，，． ∴“九五数”的最小值是1823． 故答案为：8141，1823． 三、解答题（共8小题，其中17小题16分，其余各小题10分，共86分） 17 因式分解或解不等式组： （1）； （2）． （3）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2） （3），见详解 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用提公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先运用提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （3）先解出每个不等式的解集，再取它们公共部分的解集，然后把它的解集在数轴上表示出来，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： 由得； 由得； ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示出来，如图所示： 18. 在学习了等腰三角形的相关知识后，小丽同学进行了更深入的研究，她发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，可利用证三角形全等得此结论根据她的想法与思路，完成以下作图与填空． （1）如图，在等腰中，是的角平分线．用尺规作的角平分线分别交、于点、（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴________， ∵平分，平分， ∴_____，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴_____， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离______． 【答案】（1）见详解 （2）；；；ASA；相等 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）以点为圆心作弧，分别交于点，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧并交于点，作射线并分别交、于点、，即可获得答案； （2）首先根据等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，进而可得，再利用“”证明，由全等三角形的性质可得，并由此得出结论． 【小问1详解】 解：用尺规作的角平分线分别交、于点、，如下图所示； 【小问2详解】 已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离相等． 故答案为：；；；ASA；相等． 19. 如图，在中，平分，于D，于C，且，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，通过证明是解题的关键． （1）只需证即可； （2）先证，再根据证即可． 【小问1详解】 证明：平分， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由知，，且， ， ， ， ， ． 20. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为______； （2）请画出绕原点逆时针旋转得到的． （3）若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为_______． 【答案】（1）图见解析；， （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画出三角形，算出对应点的坐标即可解答； （2）根据旋转的定义画出图形即可； （3）根据旋转中心的特点，是对应点连线的垂直平分线的交点，画出即可； 【小问1详解】 解：根据平移的性质和题意可知，向右平移4个单位得到，如图， ∴B点平移后对应点的坐标为； 故答案为： 【小问2详解】 解：如图所示； 【小问3详解】 解：根据旋转中心的特点，借助网格画出，如图所示， ∴旋转中心的坐标， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平移的性质，图形与坐标，旋转图形和旋转中心的定义，垂直平分线的定义等知识点，解决此题的关键是能找到旋转中心． 21. 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分组分解法是解题的关键． （1）先把第一项和第二项提公因式，把第三项和第四项提公因式，然后再运用一次提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先运用完全平方公式把第一项，第二项和第三项进行因式分解，再将看作整体，最后再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）直线与轴交于点，若点是直线上一动点，且满足，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，求所围成图形的面积问题，一次函数和一元一次不等式的关系等知识点，解题的关键是熟练掌握待定系数法和函数图象的性质． （1）利用直线的解析式求出点，利用待定系数法将，代入求解即可得出直线的解析式； （2）利用点的坐标求出底边的长度，假设出点的坐标，利用三角形的面积公式列出方程，进行求解即可得到点的坐标； （3）结合函数图象判断不等式的解集即可，同区间内在下方的函数值比较小，在上方的函数值比较大． 【小问1详解】 解：∵将代入得， 解得， ∴ 将，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线与轴交于点，直线与轴交于点， ∴，， ∴, 假设点的坐标为， ∴， 解得，或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：根据函数图象可得， 在点和点之间的图象，满足的图象在的图象的下方，且点是直线与的交点，交点坐标为0，即， ∴当时，， 即不等式的解集为． 23. 我校八年级即将举行足球比赛，现购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知种品牌足球的单价比品牌足球的单价高元． （1）求两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，种品牌的足球单价优惠元，种品牌的足球单价打折．如果此次学校购买两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】（1）品牌足球的单价是元，则种品牌足球的单价是元； （2）方案一、购买种品牌的足球个，购买种品牌足球个， 方案二、购买种品牌的足球个，购买种品牌足球个， 方案三、购买种品牌的足球个，购买种品牌足球个， 方案四、购买种品牌的足球个，购买种品牌足球个； 为了节约资金，学校应选择方案一． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用． 设品牌足球的单价是元，则种品牌足球的单价是元，根据购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，列出关于的一元一次方程求解即可； 设购买种品牌足球个，则购买种品牌足球个，根据学校购买两种品牌足球的总费用不超过元，列出关于的一元一次不等式，解不等式求出的取值范围，又因为购买种品牌的足球不少于个，根据的取值范围，确定购买方案；设购买足球需要的资金为元，可得：，根据一次函数的性质可知种足球购买的数量越少，越省钱，所以应选择方案一． 【小问1详解】 解：设品牌足球的单价是元，则种品牌足球的单价是元， 根据题意可得：， 解得：， 则， 答：品牌足球的单价是元，则种品牌足球的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买种品牌足球个，则购买种品牌足球个， 根据题意可得：， 解不等式得：， 又购买种品牌的足球不少于个， ， 整数y的值为22，23，24，25， 共有四种购买方案， 方案一、购买种品牌的足球个，则购买种品牌足球个， 方案二、购买种品牌的足球个，则购买种品牌足球个， 方案三、购买种品牌的足球个，则购买种品牌足球个， 方案四、购买种品牌的足球个，则购买种品牌足球个， 设购买足球需要的资金为元， 则有， 整理得：， ， 随着的增大而增大， 种足球购买的数量越少，越省钱， 为了节约资金，学校应选择方案一． 24. 如图，在中，，，点是平面内一点，连接，，且． （1）如图1，若点在内部，，求的长； （2）如图2，若点在内部，将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线与交于点，证明：； （3）如图3，若点在边上，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和定理求出，则，根据含的直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求解即可； （2）连接，过C作交的延长线于M，则，证明，得出，，导角可求出，，则，然后证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）过Q作于G，连接，根据等腰直角三角形的性质可求出，证明，得出，，则，根据等边对等角求出，则可判断点Q在直线上运动，故当时，取最小值，此时，则，设，根据勾股定理依次求出，，，，，则，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 小问2详解】 证明：连接，过C作交的延长线于M， 则， ∵旋转． ∴，， 又， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过Q作于G，连接 ∵，D在上，， ∴， 又， ∴， ∵旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴点Q在直线上运动， 当时，取最小值， 此时， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆九十五中2024-2025学年下期2026届（八年级）半期检测数学试题 （全卷共三个大题满分150分用时120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点先向左平移3个单位，再向上平移5个单位后得到的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个直角三角形的两直角边的长为3和4，则第三边的长为（ ） A. 或 B. 5 C. D. 5或 6. 已知，，则的值为（ ） A 57 B. 120 C. D. 7. 如图，将含角的绕直角顶点C顺时针旋转，点B落在边上的点处，点A落在边延长线上的点处，则的度数为( ) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° 8. 如图，中，平分，，于，，则长为（ ） A. 8 B. 10 C. D. 9. 某景点摊位要购进不倒翁和折扇两种纪念品，不倒翁的单价为20元，折扇的单价为10元．已知购买折扇的件数比购买不倒翁的件数的2倍少3件，如果购买不倒翁、折扇两种商品的总数量不少于35件，且购买这两种商品的总费用少于560元，设购买不倒翁x件，依题意可列不等式组得（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，m为负整数．下列说法： ①始终大于； ②若，则随的增大而增大； ③若满足条件的整数有且只有4个，则的值为．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，将沿方向平移得到，则的长为___________． 12. 已知等腰三角形两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为______． 13. 如图，一次函数图象如图所示，则不等式的解集为_______ 14. 如图，在中，，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，则_______. 15. 如果关于的不等式组无解，则的取值范围是___________． 16. 对于一个四位正整数，千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若它的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与百位数字之和等于9，十位数字与个位数字之和等于5，则称为“九五数”．则最大的“九五数”是___________；若将“九五数”的千位数字与十位数字互换，百位数字与个位数字互换得到一个新的四位数，则称为“九五数”的“九五新佳数”，记，设“九五数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，若能被6整除，则满足条件的“九五数”的最小值是___________． 三、解答题（共8小题，其中17小题16分，其余各小题10分，共86分） 17. 因式分解或解不等式组： （1）； （2）． （3）解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 18. 在学习了等腰三角形的相关知识后，小丽同学进行了更深入的研究，她发现等腰三角形两底角的角平分线的交点到两底角角平分线与腰的交点的距离相等，可利用证三角形全等得此结论根据她的想法与思路，完成以下作图与填空． （1）如图，在等腰中，是的角平分线．用尺规作的角平分线分别交、于点、（不写作法，保留作图痕迹）． （2）已知是等腰三角形，平分交于点，平分交于点，且、交于点．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴________， ∵平分，平分， ∴_____，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴_____， ∴． 再进一步研究发现，等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离也满足该特点．即等腰三角形两底角的外角角平分线所在直线的交点到外角平分线所在直线与两腰所在直线的交点的距离______． 19. 如图，在中，平分，于D，于C，且，． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为______； （2）请画出绕原点逆时针旋转得到的． （3）若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为_______． 21. 阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为．这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题： （1）分解因式：； （2）分解因式：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式； （2）直线与轴交于点，若点是直线上一动点，且满足，求点的坐标； （3）直接写出不等式的解集． 23. 我校八年级即将举行足球比赛，现购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知种品牌足球的单价比品牌足球的单价高元． （1）求两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，种品牌的足球单价优惠元，种品牌的足球单价打折．如果此次学校购买两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 24. 如图，在中，，，点平面内一点，连接，，且． （1）如图1，若点在内部，，求长； （2）如图2，若点在内部，将线段绕点逆时针旋转得到线段，直线与交于点，证明：； （3）如图3，若点在边上，点是直线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $