9.1.2余弦定理 同步练习-2024-2025学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

9.1.2余弦定理 一、选择题 1．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A． C． 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝3，c＝2，cos A＝，则a＝(　　) A．5 B． C．4 D．3 3．在△ABC中，已知b2＝ac，且c＝2a，则cos B等于(　　) A． C． 4．在△ABC中，sin2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为(　　) A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 5．(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a＝2，c＝2，cos A＝，且b<c，则(　　) A．b＝2 B．b＝2 C．B＝60° D．B＝30° 二、填空题 6．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝________． 7．在△ABC中，cos A＝－，a＝c，则＝________． 8．已知在△ABC中，A＝，AB＝3，BC＝7，则△ABC的面积S＝________． 三、解答题 9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝2c cos C－b cos A． (1)求C的值； (2)若c＝4，a＋b＝2，求△ABC的面积． 10．在△ABC中，已知AB＝3，BC＝，AC＝4，则边AC上的高为(　　) A． C． D．3 11．设2a＋1，a，2a－1为钝角三角形的三边，那么a的取值范围是(　　) A．(0，8) B．(2，＋∞) C．(2，8) D．(8，＋∞) 12．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＝，a2＋b2－c2＝ab sin C，a cos B＋b sin A＝c，则下列结论正确的是(　　) A．tan C＝2 B．A＝ C．b＝ D．△ABC的面积为6 13．在△ABC中，D为边BC上一点(不含端点)，AB＝AD＝4，AC＝5，BC＝6，若＝m＋n，则m＝________． 14．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1． (1)求sin ∠ABC； (2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积． 15．(2024·天津卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知cos B＝，b＝5，＝． (1)求a的值； (2)求sin A的值； (3)求cos (B－2A)的值． 1．B　[因为a＞b＞c，所以C为最小角，由余弦定理得 cos C＝，所以C＝．] 2．D　[由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝9＋4－2×3×2×＝9，解得a＝3．故选D．] 3．B　[因为b2＝ac，c＝2a，所以b2＝2a2，b＝a． 所以cos B＝．] 4．B　[因为sin2， 所以cos A＝，整理得a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．] 5．AD　[由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝0⇒(b－2)(b－4)＝0，由b<c，得b＝2．又a＝2，cos A＝，所以B＝A＝30°．故选AD．] 6．　[由题意，得a＋b＝5，ab＝2．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝．] 7．1　[由余弦定理可得cos A＝，整理得b2＋bc－2c2＝0，即－2＝0，解得＝1(负值舍去)．] 8．　[设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理的变式得，cos A＝，所以，整理得b2＋3b－40＝0，解得b1＝5，b2＝－8(舍去)， 所以S△ABC＝bc sin A＝．] 9．解：(1)因为a cos B＋bcos A＝2c cos C， 由正弦定理得，sin A cos B＋sin B cos A＝2sin C cos C， 又sin A cos B＋sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin C， 所以sin C＝2sin C cos C， 又C∈(0，π)，所以sin C≠0，故cos C＝， 所以C＝． (2)由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝(a＋b)2－3ab＝28－3ab＝16，所以ab＝4， 所以S△ABC＝ab sin C＝． 10．B　[如图，在△ABC中，BD为AC边上的高，且AB＝3，BC＝，AC＝4．因为cos A＝， 所以sin A＝． 故BD＝AB·sin A＝3×．] 11．C　[由题意，得2a＋1为最长边，所对的角为钝角，设为α， cos α＝<0， ∵2a(2a－1)>0，∴a2－8a<0， 解得0<a<8， 又a＋2a－1>2a＋1，∴a>2， 则a的取值范围为(2，8)．故选C．] 12．ABD　[A选项，由余弦定理得cos C＝，故tan C＝＝2，A正确； B选项，a cos B＋b sin A＝c， 由正弦定理得sin A cos B＋sin B sin A＝sin C， 因为sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B， 所以sin A cos B＋sin B sin A ＝sin A cos B＋cos A sin B， 即sin B sin A＝cos A sin B，因为B∈(0，π)， 所以sin B≠0，故sin A＝cos A， 又A∈(0，π)，故A＝，B正确； C选项，由A选项可知，cos C＝，又sin2C＋cos2C＝1， 故sin2C＝1，因为C∈(0，π)，所以sinC>0， 解得sin C＝，故cos C＝， sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝， 由正弦定理得，即， 解得b＝3，C错误； D选项，△ABC的面积为ab sin C＝＝6，D正确．故选ABD．] 13．　[因为D为边BC上一点(不包含端点)，即B，C，D三点共线，且， 可得m＋n＝1，则＋(1－m)，且0<m<1，0<n<1． 在△ABC中，因为AB＝AD＝4，AC＝5，BC＝6， 所以cos ∠BAC＝， 又2＝16m2＋25(1－m)2＋2m(1－m)， 所以16＝16m2＋25(1－m)2＋2m(1－m)×4×5×， 整理得4m2－5m＋1＝0，解得m＝或m＝1(舍去)，所以m＝．] 14．解：(1)由余弦定理可得 BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC ＝4＋1－2×2×1×cos 120°＝7，则BC＝， cos ∠ABC＝， 所以sin ∠ABC＝． (2)由三角形面积公式可得 ＝4， 则S△ACD＝S△ABC＝． 15．解：(1)设a＝2t，c＝3t，t>0，则根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即25＝4t2＋9t2－2×2t×3t×，解得t＝2(－2舍去)． 则a＝4． (2)由余弦定理的变式得cos A＝， 因为A∈(0，π)，则sin A＝． (3)因为cos B＝>0，且B∈(0，π)， 所以B∈，所以sin B＝， 因为a<b，则A<B， 所以cos A＝， 则sin 2A＝2sin A cos A＝2×， cos 2A＝2cos2A－1＝2×， 所以cos(B－2A)＝cos B cos 2A＋sin B sin 2A＝． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$