精品解析：吉林省长春市朝阳2025年毕业年级第一次模拟练习数学试题

2025年毕业年级第一次模拟练习（数学） 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在、、、这四个数中，最小的数为（ ） A. B. C. D. 2. 一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，、为的半径，过点作于点，交于点，连结，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，，若测得，则塔高是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（ ） A. B. 连结，根据可判定 C. D. 的最小值是的长 8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：_______． 10. 分式和的最简公分母为________． 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，若将直线向上平移（）个单位所得的直线经过点，则的值为______． 12. 在平面直角坐标系中，若抛物线与直线（为正整数）有两个交点，则的值可以是________．（写出一个即可） 13. 图①是小区围墙上的镂空花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其示意图（阴影部分为镂空花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点、分别为、上靠近点的三等分点，则这个镂空花窗的面积为________．（结果保留） 14. 如图，在矩形中，，．点在对角线上，过点作，分别交边、于点、，连结、． 给出下面四个结论：①；②的长为；③四边形的面积为；④当四边形为轴对称图形时，．上述结论中，正确结论的序号有_____． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 2025年春节期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市分别为长春、上海和珠海，为了民主起见，妈妈把旅行社推荐的城市长春、上海和珠海名字分别写在卡片A、B、C上，卡片除正面书写的城市名字不同外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽一张卡片后放回，然后妈妈又从中抽取一张卡片．用列表或树状图的方法，求小明和妈妈抽中的卡片中有“长春”的概率． 17. 为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．求排球的单价． 18. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 实验序号 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【问题解决】 （1）_________，_________，_________； （2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是_________同学； （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个四边形，使其面积依次为13、10和9，所画四边形均为轴对称图形，点、在格点上．只用无刻度的直尺按要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． 20. 如图，在中，，是中线，点是的中点，连结并延长至点，使，连结、． （1）求证：四边形为矩形． （2）若，则与四边形的周长比为_______． 21. 小明和父亲每天早晨在友谊公园匀速慢跑，他们从地出发，慢跑到目的地地．小明比父亲早出发1min，结果父亲比小明先到达地．两人各自距地的路程（m）与小明慢跑的时间（min）之间的函数图象如图所示． （1）______，______． （2）求父亲慢跑过程中与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． （3）当小明和父亲在途中相遇后相距20m时，直接写出小明慢跑的时间． 22. 【特例感知】（1）如图①，在中，，，点、分别是边、的中点，连结、，点、、分别为、、的中点，连结、、，线段与的数量关系是_________，线段与的位置关系是__________． 【探究问题】（2）如图②，将图①中的绕点逆时针方向旋转到图②的位置，连结、，其它条件不变，判断中与的关系，并说明理由． 【解决问题】小明思考后，得出如下结论：，．并给出如下不完整的证明过程： 延长图②中的交于点． 由旋转，得． 在图①中，点、分别是边、的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． 在中，，． ∴． 同理． ∴． ∴，． ∵， ∴，即． ∴． ∵、是、中点， ∴是是中位线． ∴，且． 证明过程缺失 ∴，． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】（3）如图③，将图①中的绕点逆时针方向旋转到图③的位置，使点在边上，其它条件不变．若，则的周长为_______． 【拓展延伸】（4）将图①中的绕点在平面内自由旋转，连结、，其它条件不变．若，直接写出面积的最大值． 23. 如图，在中，，，．点在边上（点不与点重合），点在射线上，且，连结，以为对角线作菱形，使，且点在右侧． （1）当点与点重合时，求的长． （2）当点在边上时，求的长． （3）连结，当与的边平行时，求的长． （4）作直线交边于点，当为直角三角形时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点、是该抛物线上的点（点不与点重合），其横坐标分别为、，过点作直线轴交该抛物线于点（点不与点重合），直线与轴交于点，以、为邻边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）当点与点重合时，求线段的长． （3）当该抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，求的取值范围． （4）设的边与该抛物线的交点为点，点不与的顶点重合，作直线．当的面积被直线分成1∶2两部分时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年毕业年级第一次模拟练习（数学） 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在、、、这四个数中，最小的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，根据实数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可，熟练掌握相关方法是解题关键． 【详解】解：∵， ∴四个数中，最小的数为， 故选：． 2. 一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何体的表面展开图，熟练掌握常见几何体的表面展开图是解题的关键． 根据三棱柱的表面展开图，即可得到答案． 【详解】解：的表面展开图为， 故选：C． 3. 如图是某幼儿园附近道路对汽车的限速标志，表示汽车在该路段行驶的速度不得超过．用表示汽车的速度，v与30应满足的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的概念，用不等号将两个整式连结起来所成的式子，在一个式子中的数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式，即用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式，根据题意可知汽车的速度v不超过，即汽车的速度v小于等于，然后用符号表示即可． 【详解】解：根据题意v与30应满足的不等关系为， 故选：A． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方等知识点．根据同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，、为的半径，过点作于点，交于点，连结，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理．由圆周角定理求得，再利用余角的性质求解即可． 【详解】解：∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 6. 如图所示的电视塔是某城市的标志性建筑物，在水平地面上的点A，C处分别测得电视塔塔顶B的仰角均为α度，且点A，C，D在同一直线上，，若测得，则塔高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据等腰三角形的性质得D为的中点，利用锐角三角函数即可解决问题． 【详解】解：由题意可知：， ∴点D为的中点， ∵米， ∴米， ∴（米）． 故选：C． 7. 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（ ） A. B. 连结，根据可判定 C. D. 的最小值是的长 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，，可得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项． 【详解】解：连接，， 由作图过程可得，， ∵， ∴， ∴根据可判定， 故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意； 由作图过程可知，射线为的平分线， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 由题意知，当时，取得最小值， ∵为的平分线，， ∴此时， 即的最小值是的长， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，是等腰直角三角形，其直角顶点在轴正半轴上，点、点在函数（，）的图象上，延长交轴于点．若点的横坐标为，则的值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作轴于点，轴于点，可证明，得到，设，得到，设直线的函数解析式为，求出直线的函数解析式为，得到，，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解∶如图，作轴于点，轴于点， ， ， ， ， ， ， ， 点、点在函数（，）的图象上， 设， ， ， ，， ， ， ， 设直线的函数解析式为， 将代入得 解得， 直线的函数解析式为， ， ， ， ， 解得或， 经检验或是原方程的解， 当时轴，点在轴上，不符合题意，舍去， ， ， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 计算：_______． 【答案】4 【解析】 【分析】直接利用二次根式除法运算法则化简求出答案． 【详解】解：原式=． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算，正确化简二次根式是解题关键． 10. 分式和的最简公分母为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1， ∴分式与的最简公分母为． 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，若将直线向上平移（）个单位所得的直线经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 先根据平移规律求出直线向上平移个单位所得的直线，再把点代入，即可求出的值． 【详解】解：∵直线向上平移个单位， ∴平移后的直线为， ∵所得的直线经过点， ∴，解得：， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，若抛物线与直线（为正整数）有两个交点，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根的判别式．令，将其整理，并根据抛物线与直线有两个交点，可知，再求解即可． 【详解】解：令， 即， 抛物线与直线（为正整数）有两个交点， ， ， 则的值可以是1． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 图①是小区围墙上的镂空花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其示意图（阴影部分为镂空花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点、分别为、上靠近点的三等分点，则这个镂空花窗的面积为________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积；根据花窗的面积为求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点、分别为、上靠近点的三等分点， ， ， ∴花窗的面积为， 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，．点在对角线上，过点作，分别交边、于点、，连结、． 给出下面四个结论：①；②的长为；③四边形的面积为；④当四边形为轴对称图形时，．上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】作于点，利用勾股定理求得，证明，求得；；四边形的面积；当四边形为轴对称图形时，四边形为菱形，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：作于点， ∵在矩形中，，， ∴，，， 四边形和都是矩形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，，故②不正确； ，故①正确； ∵，，， ∴四边形的面积为，故③正确； 当四边形为轴对称图形时，四边形为菱形， ∴， 设则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得，∴，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，11 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及二次根式的乘法．先根据混合运算顺序和运算法则化简原式，再代入求解即可． 【详解】解： ， 因为，， 所以原式． 16. 2025年春节期间，全国各地的文旅市场异常火热，小明一家也外出旅行了，东方旅行社当时推荐了三个旅游城市分别为长春、上海和珠海，为了民主起见，妈妈把旅行社推荐的城市长春、上海和珠海名字分别写在卡片A、B、C上，卡片除正面书写的城市名字不同外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机抽一张卡片后放回，然后妈妈又从中抽取一张卡片．用列表或树状图的方法，求小明和妈妈抽中的卡片中有“长春”的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率．根据题意，画出树状图，可得共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上有“长春”的结果数为5，再由概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，画树状图为 共有9种等可能的结果数，其中小明和妈妈抽中的卡片中有“长春”的结果数为5， 所以概率． 17. 为了丰富校园文体活动，某学校准备一次性购买若干个足球和排球．已知用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，足球的单价比排球的单价多15元．求排球的单价． 【答案】排球的单价是65元． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用．设足球的单价是x元，则排球的单价是元，根据数量、总价、单价的关系，结合用160元购买足球的数量与用130元购买排球的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之并经检验即可． 【详解】解：设足球的单价是x元，则排球的单价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：排球的单价是65元． 18. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动． 【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 实验序号 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【实践探究】分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 荔枝树叶的长宽比 【问题解决】 （1）_________，_________，_________； （2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是_________同学； （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 【答案】（1），， （2）B （3） 这片树叶更可能来自荔枝，理由如下： ∵一片长，宽的树叶，长宽比接近， ∴这片树叶更可能来自荔枝． 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差， （1）根据算术平均数、中位数和众数的定义解答即可； （2）根据题目给出的数据判断即可； （3）根据树叶的长宽比判断即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 把片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、， 故； 片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是，故； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：∵， ∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理； ∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是， ∴B同学说法合理． 故答案为：B； 【小问3详解】 略 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，线段的端点在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个四边形，使其面积依次为13、10和9，所画四边形均为轴对称图形，点、在格点上．只用无刻度的直尺按要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． 【答案】四边形如图①、图②、图③所示： 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，正方形的性质，勾股定理，轴对称图形． 在图①中作一个边长为的正方形即可； 在图②中作一个对角线长分别为4和5的筝形即可； 在图③中作一个底边长分别为1和5，高为3的等腰梯形即可． 【详解】略 20. 如图，在中，，是中线，点是的中点，连结并延长至点，使，连结、． （1）求证：四边形为矩形． （2）若，则与四边形的周长比为_______． 【答案】（1） 证明：点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，是中线， ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到四边形是平行四边形，根据等腰三角形的性质得到，得到，即可证明结论； （2）根据题意得到，，得到与四边形的周长比为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ，， ， ， ， ．， ， ， ， ， 的周长， 四边形的周长， 与四边形的周长比为， 故答案为：． 21. 小明和父亲每天早晨在友谊公园匀速慢跑，他们从地出发，慢跑到目的地地．小明比父亲早出发1min，结果父亲比小明先到达地．两人各自距地的路程（m）与小明慢跑的时间（min）之间的函数图象如图所示． （1）______，______． （2）求父亲慢跑过程中与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）． （3）当小明和父亲在途中相遇后相距20m时，直接写出小明慢跑的时间． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，熟练掌握相关整式点是解题的关键． （1）设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为，得到，求出，继而得到； （2）设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为，将代入得，解得，得到； （3）根据题意得，解得，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设小明慢跑过程中与之间的函数关系式为 由函数图象得， 解得， 小明慢跑过程中与之间的函数关系式为， 当时， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为， 将代入得， 解得， 父亲慢跑过程中与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：根据题意得， 解得， 小明慢跑的时间为． 22. 【特例感知】（1）如图①，在中，，，点、分别是边、的中点，连结、，点、、分别为、、的中点，连结、、，线段与的数量关系是_________，线段与的位置关系是__________． 【探究问题】（2）如图②，将图①中的绕点逆时针方向旋转到图②的位置，连结、，其它条件不变，判断中与的关系，并说明理由． 【解决问题】小明思考后，得出如下结论：，．并给出如下不完整的证明过程： 延长图②中的交于点． 由旋转，得． 在图①中，点、分别是边、的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． 在中，，． ∴． 同理． ∴． ∴，． ∵， ∴，即． ∴． ∵、是、中点， ∴是是中位线． ∴，且． 证明过程缺失 ∴，． 请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】（3）如图③，将图①中的绕点逆时针方向旋转到图③的位置，使点在边上，其它条件不变．若，则的周长为_______． 【拓展延伸】（4）将图①中的绕点在平面内自由旋转，连结、，其它条件不变．若，直接写出面积的最大值． 【答案】（1），； （2）延长图②中的交于点． 由旋转，得． 在图①中，点、分别是边、的中点， ∴是的中位线． ∴． ∴． 在中，，． ∴． 同理． ∴． ∴，． ∵， ∴，即． ∴． ∵、是、中点， ∴是是中位线． ∴，且． ∵点，是，的中点， ∴，． ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴，； （3）；（4） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中位线得出，，进而判断出，再利用平行线的性质求解； （2）先判断出，得出，同（1）的方法来求解； （3）同理，根据三角形中位线定理求解即可； （4）先判断出最大时，的面积最大，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：（1）∵在中，，， ∴，， ∵点、分别是边、的中点， ∴，，， ∵点，是，的中点， ∴，． ∵点，是，的中点， ∴，． ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，； （2）略 （3）∵， ∴，， 由题意得，，， ∵点是的中点，也是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点、、分别为、、的中点， 同理可得，，，， ∴的周长为， 故答案为：； （4）解：由（2）知，，， ∴最大时，面积最大， ∴点在的延长线上， ∴， ∴，， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23. 如图，在中，，，．点在边上（点不与点重合），点在射线上，且，连结，以为对角线作菱形，使，且点在右侧． （1）当点与点重合时，求的长． （2）当点在边上时，求的长． （3）连结，当与的边平行时，求的长． （4）作直线交边于点，当为直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）的长为5； （2）的长为； （3）的长为或； （4）的长或． 【解析】 【分析】（1）当点与点重合时，的长即的长，利用勾股定理求解即可； （2）设，由题意，推出，，得到，根据，列式计算即可求解； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可； （4）分点在点右侧和点在点左侧，两种情况进行讨论求解，作于点，推出，求得，推出，求得，，根据或由，列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，的长即的长， 在中，，，， ∴， 即的长为5； 【小问2详解】 解：当点在边上时，设，如图， ∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵菱形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴的长为； 【小问3详解】 解：当时，如图，设， ∵菱形， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得， ∴的长为； 当时，如图，则：， 设，则：， ∵， ∴， ∴设， 综上：设或 【小问4详解】 解：设， 直线交边于点，当为直角三角形时，只存在一种情况， 当点在点右侧时：作于点，如图， ∵菱形， ∴上线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴的长． 当点在点左侧时，如图， 同理：，， 则：由，得：， 解得：， ∴的长， 综上：的长为或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，其对称轴为直线．点、是该抛物线上的点（点不与点重合），其横坐标分别为、，过点作直线轴交该抛物线于点（点不与点重合），直线与轴交于点，以、为邻边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）当点与点重合时，求线段的长． （3）当该抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，求的取值范围． （4）设的边与该抛物线的交点为点，点不与的顶点重合，作直线．当的面积被直线分成1∶2两部分时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小；当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大； （4）或 【解析】 【分析】（1）由对称轴为直线，求得，由其图象经过点，求得，据此即可求解； （2）由题意得，求得点的坐标为，再求得点的坐标为，利用两点之间的距离公式求解即可； （3）分五种情况讨论，画出图形，根据该抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小，或者随的增大而增大时，求出的取值范围即可； （4）当点和点重合时，．分三种情况讨论：①当在延长线上，即；②当点在之间，即；③当在延长线上，即 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵其图象经过点， ∴，解得， ∴抛物线对应的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当点与点重合时，，当时，， ∴点的坐标为， ∵， ∴， 当时，， ∴点的坐标为， ∴； 【小问3详解】 解：由得顶点坐标为， 如图，当点与顶点重合时，此时， 当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小； 如图，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小也存在随的增大而增大，此情况不符合题意； 如图，当点与点重合时，点与点也重合，此时，即； 当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大； 综上，当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小；当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大； 【小问4详解】 ①当在延长线上，即时， ，， ， ， ， ， ， （舍去） ②当点在之间，即时，点与点重合，且，的面积被直线分成1∶2两部分， ， ， ， ， ， ③当在延长线上，即时，， ， ， ， （舍去），， 综上或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，待定系数法确定函数关系式，两点间距离公式，数形结合与分类讨论思想．解题的关键是理解坐标运算和几何关系的转化，平行四边形的位置和内部点的纵坐标变化趋势的规律． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $