精品解析：天津市滨海新区大港油田第一中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年第一学期期中阶段性练习 九年级数学 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A不符合题意； B．不是中心对称图形，故B不符合题意； C．不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，再在等式两边加上4，即可得到答案． 【详解】解：， 移项得， 配方得，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 3. 将抛物线向右平移1个单位，新的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位，则函数解析式变为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 4. 抛物线的对称轴的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像的对称轴公式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴对称轴的方程为：， 故选A． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的对称轴，掌握对称轴公式是解题的关键． 5. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此， ∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5， ∴6＞5，即：d＜r． ∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C． 6. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的增长率问题成为解题的关键． 根据原售价降低率降低后的售价得出两次降价后的价格列出一元二次方程即可解答． 【详解】解：依题意可得：． 故选C． 7. 如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°，则∠BOD的大小是（ ） A. 50° B. 100° C. 110° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质可求出∠BAD=50°，再根据圆周角定理可求出∠BOD=100°． 【详解】∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD=130°， ∴∠BAD=180°-∠BCD=50°， ∴∠BOD=2∠BAD=100°． 故选B． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质和圆周角定理．熟练掌握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键． 8. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，2），将线段AB 绕点A 顺时针旋转180°，则点B 的对应点B′ 的坐标是（ ） A. （2，0） B. （2，-1） C. （2，-2） D. （-2，2） 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标为，根据点与点关于点对称求解即可得． 【详解】解：设点的坐标为， 由题意可知，点与点关于点对称， ， ， 解得， 即点的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了点坐标与中心对称，正确判断出点与点关于点对称是解题关键． 9. 如图，⊙O内切于△ABC，若∠AOC＝110°，则∠B的度数为（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意为的内心，则，又，根据三角形内角和定理即可求得的度数 【详解】解：∵⊙O内切于△ABC，∠AOC＝110°， ∴， 故选A 【点睛】本题考查了三角形的内心，掌握三角形的内心是三角形三条角平分线的交点是解题的关键． 10. 如图，三角形绕点B顺时针旋转，旋转角等于，得到三角形，那么下列说法错误的是（ ）． A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，，，即可对选项进行判断． 【详解】解：∵三角形绕点B顺时针旋转，旋转角等于， ∴的对应边为，的对应边为， ∴，，， ∴平分， 通过已知条件不能得出， 所以A，B，D选项正确，C选项不正确． 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 11. 如图，在⊙O中，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，由垂径定理可得，再利用圆周角定理即可得到答案． 【详解】如下图，连接 ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积，构造二次函数求最值．根据题意，列出方程，构造二次函数计算即可． 【详解】解：∵，则，依题意，得： ， ∵ ∴， 解得，故①错误； 当时， 即， 解得：，， 当时，不在范围中，舍去， 当时，成立．故②错误； ， ∴当时，S有最大值为．故③正确， 故选：B． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 关于x的一元二次方程的一个根是，则c的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义把代入中得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意把代入一元二次方程得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 14. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象开口向下，可得二次项系数小于0，据此即可求解． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ∴ 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 15. 如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度为，水面宽为，则输水管的半径为______． 【答案】10 【解析】 【分析】由垂径定理可知，设，则，根据勾股定理计算即可； 【详解】由图可知：， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：． ∴该输水管的半径为． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用和勾股定理，准确计算是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，点坐标为，连接，将绕点逆时针旋转后，得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，则， ∵将绕点逆时针旋转， ∴，， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴ ∵, ∴， ∴, ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键． 17. 已知：如图，为的直径，是的切线，A、C为切点，．则的度数为_____． 【答案】56° 【解析】 【分析】由圆的切线的性质，得，结合得．由切线长定理得到，得是等腰三角形，从而可得． 【详解】∵是的切线，为的直径， ∴，即． ∵， ∴． 又∵切于点A、C， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题着重考查了圆切线的性质定理、切线长定理，解题的关键是熟练掌握切线的性质定理和切线长定理． 18. 如图，已知点，若在所给的网格中存在一点，使得与垂直且相等． （1）直接写出点的坐标________； （2）将线段绕某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则这个旋转中心的坐标为________． 【答案】 ①. ②. 或##或 【解析】 【分析】本题主要考查作图-旋转变换，掌握旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据点D的位置直接写出坐标即可； （2）对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【详解】解：（1）如图可知：． 故答案为：． （2）如图：旋转中心或． 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 20. 已知二次函数与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求三点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）， （2）的面积为3． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，掌握二次函数的有关性质是解题的关键． （1）将代入二次函数解析求解一元二次方程再结合题意即可求得点A、B的坐标； 将代入二次函数解析，即可求得C点坐标； （2）由三点的坐标可得的长，然后根据三角形的面积公式可得的面积为，最后代入数据求解即可． 【小问1详解】 解：将代入可得： ，解得：， ∵点A在点B的左侧， ∴． 将代入可得：， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 答：的面积为3． 21. 已知内接于为的直径，弦与相交于点． （1）如图①，若平分，连接，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）利用圆周角定理得到，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （2）如图，连接，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，于是得到结论． 【小问1详解】 解：∵为的直径， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）若，垂足为交于点F；求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由是的直径得到，进一步得到，再根据已知条件，且即可证明进而求解； （2）证明，再由，得到，进而得到，得到，进而得到为等腰三角形． 【详解】（1）证明：连接， ， ， 为圆的直径， ， ， 又， ， ， 又点在圆上， 是的切线； （2）证明：， ， ， ， ， 又， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键． 23. 某商品现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期要多卖出10件．已知商品的进价为每件50元． （1）若每件降价x元，单件商品的利润为______元；每星期的销售量为______件（用含x的式子表示）； （2）若每周可获利y元，求y与x的函数关系式； （3）售价为多少才能使利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）， （2） （3）售价为元时，最大利润为元， 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出代数式即可求解； （2）设每周所获利润为y，根据一周利润等于每件的利润×销售量得到与的关系式； （3）把（2）中解析式配成抛物线的顶点式，利用抛物线的最值问题即可得到答案． 【小问1详解】 解：若每件降价x元，单件商品的利润为（元）， 每星期的销售量为件。 故答案为：，； 【小问2详解】 解： 即 【小问3详解】 ∵ ∴当时，最大利润为元， 即售价为元时，最大利润为元， 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． （1）如图1，当时，求点D的坐标； （2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为； （2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为； （3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，， 由等腰三角形性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：过点作轴于，如图所示： ∵点，点， ∴，， ∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形， ∴，，， Rt中，，， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 过点作轴于，，于，如图所示： 则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 连接，作轴于，如图所示： 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题． 25. 如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； （3）设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 【答案】（1） （2）存在，，的周长为 （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）连接，交直线于点，则此时的周长最小，求得直线的解析式为，得出，勾股定理求得即可求解； （3）过点作轴，交于点，设，则，由面积为，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：将点，代入， 解得： ∴此抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，交直线于点， ∵关于直线对称， ∴， 的周长为，此时的周长最小， ∵，令，得， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长的最小值为：； 【小问3详解】 解：如图，过点作轴，交于点，设，则， ∴的面积为 ， 当时，的面积最大 当时， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合，面积问题，线段问题，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中阶段性练习 九年级数学 一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图案中，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移1个单位，新的函数解析式为（　　） A. B. C. D. 4. 抛物线的对称轴的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 6. 某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元，设平均每月降低的百分率为，根据题意列出的方程是（ ） A B. C. D. 7. 如图所示，四边形ABCD为⊙O内接四边形，∠BCD=130°，则∠BOD的大小是（ ） A. 50° B. 100° C. 110° D. 120° 8. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，2），将线段AB 绕点A 顺时针旋转180°，则点B 的对应点B′ 的坐标是（ ） A. （2，0） B. （2，-1） C. （2，-2） D. （-2，2） 9. 如图，⊙O内切于△ABC，若∠AOC＝110°，则∠B的度数为（ ） A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 10. 如图，三角形绕点B顺时针旋转，旋转角等于，得到三角形，那么下列说法错误是（ ）． A. 平分 B. C. D. 11. 如图，在⊙O中，，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 12. 如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为，面积为，其中． 有下列结论： ①x的取值范围为； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 关于x一元二次方程的一个根是，则c的值为_______． 14. 已知二次函数的图象开口向下，则的取值范围是______． 15. 如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度为，水面宽为，则输水管的半径为______． 16. 在平面直角坐标系中，点坐标为，连接，将绕点逆时针旋转后，得到，则点的坐标为______． 17. 已知：如图，为的直径，是的切线，A、C为切点，．则的度数为_____． 18. 如图，已知点，若在所给的网格中存在一点，使得与垂直且相等． （1）直接写出点的坐标________； （2）将线段绕某一点旋转一定角度，使其与线段重合，则这个旋转中心的坐标为________． 三、解答题：（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 19. 解下列方程： （1）； （2）． 20. 已知二次函数与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求三点的坐标； （2）求的面积． 21. 已知内接于为的直径，弦与相交于点． （1）如图①，若平分，连接，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的大小． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，． （1）求证：是的切线； （2）若，垂足为交于点F；求证：是等腰三角形． 23. 某商品现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件，市场调查反映：如调整价格，每降价1元，每星期要多卖出10件．已知商品的进价为每件50元． （1）若每件降价x元，单件商品的利润为______元；每星期的销售量为______件（用含x的式子表示）； （2）若每周可获利y元，求y与x的函数关系式； （3）售价为多少才能使利润最大？并求出最大利润． 24. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为． （1）如图1，当时，求点D的坐标； （2）如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标； （3）当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标． 25. 如图，抛物线的图象与轴交于两点，与轴交于点，顶点为． （1）求此抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标并计算的周长；若不存在，请说明理由； （3）设点在第四象限，且在抛物线上，当的面积最大，求此时点的坐标．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $