精品解析：四川省成都市邛崃市2024-2025学年九年级下学期4月适应性训练（模拟）数学试题

初2022级适应性训练 数 学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 是幻方量化旗下公司深度求索（）研发的推理型．拥有卓越的性能，在数学、代码和推理任务上可与媲美．其采用的大规模强化学习技术，仅需少量标注数据即可显著提升模型性能．此外，构建了智能训练场，通过动态生成题目和实时验证解题过程等方式，提升模型推理能力．2025年1月20日，模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日，的下载量已接近万．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 学校组织各班开展“减少近视，守护光明”主题班会活动，九年级一班班长小颖随即组织本班42名同学进行视力检查，小颖根据视力检查数据制作了如下统计表，则九年级一班同学视力检查数据的众数和中位数分别是（ ） 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 47 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 人数 2 3 4 6 5 8 5 4 3 2 A. 4.8，4.8 B. 4.8，4.7 C. 4.8，4.75 D. 4.8，4.6 5. 如图，将两张相同的矩形纸片互相重叠得到四边形，连接，测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 的最小值为 C. 对应的函数值为 D. 当时，则 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知，则______． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 11. 如图，四边形是平行四边形，为对角线，于点，，，则的值为______． 12. 《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右．小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同．”设每头牛、每只羊的价格各为金，金，根据题意列出方程组为______． 13. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和点；作直线分别交线段，于点，．若，，则的值为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式组： 15. 2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》．《纲要》指出：促进学生健康成长、全面发展．深入实施素质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教育短板．落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．某校为落实文件精神，随即调整完善学生体育训练计划，保证学生每天在校综合体育活动时间不低于2小时．学校通过增加体育课程和各类比赛等不断丰富体育项目，让学生健康快乐成长．为了解同学们对比赛项目喜爱情况，体育组老师对部分同学进行了项目喜好情况调查（每位同学只能选一种），特制定如下统计表和统计图． 比赛项目 人数 篮球比赛 60 足球比赛 50 排球比赛 乒乓球比赛 羽毛球比赛 25 空竹比赛 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有______人，表中______，______； （2）在扇形统计图中，求“”“”比赛项目对应的圆心角度数； （3）若学校共有1600名学生，请你根据调查结果，估计选择“”比赛项目的学生人数． 16. 寒假中，小张和家人到某景点旅游．小张是摄影爱好者，他操控无人机对景点的建筑物进行拍摄游览．某景点的游览阶梯与水平地面的夹角为度，无人机位于点处，测得阶梯同侧建筑物，的俯角分别为和（点，在直线上，，），若无人机离建筑物，的竖直距离分别为和，求点与点的水平距离．（参考数据：，，，，，） 17. 如图，在中，，以边为直径的与交于点，点为弧的中点，直线，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数图象分别交于点和点． （1）求直线的表达式； （2）如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积； （3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象交于点，点的横坐标为，则______． 21. 如图，四边形是平行四边形，点为边上的中点，点为对角线上一点，且，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为______． 22. 如图，在中，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折得到，与交于点，当时，则______ 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象与轴分别交于点和点，过顶点的直线轴于点，点为线段上一点，点在线段上，且，当取最小值时，则______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念品的售价为每件元（为整数且），每天的销售量为件． （1）求出与的函数关系式； （2）该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点坐标； （3）抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 在中，，，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至线段，直线与直线交于点． （1）如图1，当平分时，连接，求证：； （2）如图2，当点与点重合时，连接，求的值； （3）过点作于点，连接，当最小时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 初2022级适应性训练 数 学 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的运算，绝对值的几何意义，利用数轴上数的位置判断大小，然后分别进行判断即可． 【详解】解：由实数a、b在数轴上的对应点的位置可知：， ∴， 则A、B、D错误，C正确， 故选：C． 2. 是幻方量化旗下公司深度求索（）研发的推理型．拥有卓越的性能，在数学、代码和推理任务上可与媲美．其采用的大规模强化学习技术，仅需少量标注数据即可显著提升模型性能．此外，构建了智能训练场，通过动态生成题目和实时验证解题过程等方式，提升模型推理能力．2025年1月20日，模型正式发布，据不完全统计，截至2月5日，的下载量已接近万．将万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示，掌握其表示形式，确定的值是关键． 科学记数法的表示形式为，确定n值的方法：当原数的绝对值大于等于10时，把原数变为a时，小数点向左移动位数即为n的值，当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：万， 故选：C ． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方和完全平方公式，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．根据单项式乘单项式法则，合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断，即可得出答案． 【详解】解：A、，故A选项计算错误，不合题意； B、，故B选项计算错误，不合题意； C、与不是同类项，不能合并，故C选项计算错误，不符合题意； D、，故D选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 学校组织各班开展“减少近视，守护光明”主题班会活动，九年级一班班长小颖随即组织本班42名同学进行视力检查，小颖根据视力检查数据制作了如下统计表，则九年级一班同学视力检查数据的众数和中位数分别是（ ） 视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 人数 2 3 4 6 5 8 5 4 3 2 A. 4.8，4.8 B. 4.8，4.7 C. 4.8，4.75 D. 4.8，4.6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数的计算，掌握中位数，众数的计算方法是关键． 众数：出现次数最多的数，可以没有，可以有一个或多个；中位数：一组依次从小到大排序的数字中，中间的数即为中位数，当一组数字的个数为奇数时，中间的数即为中位数，当一组数字的个数是偶数时，中间两个数的平均数即为中位数，由此即可求解． 【详解】解：表格中出现次数最多的是4.8， ∴众数是4.8， 本班有42个同学， ∴中位数是第21，22两位同学的平均数，即， 故选：A ． 5. 如图，将两张相同矩形纸片互相重叠得到四边形，连接，测得，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形 性质和判定，等边对等角和三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点C作，过点A作，根据题意证明出，得到，然后利用等边对等角和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．先求出点到直线的距离为1，可得其对称点到直线的距离也为1，随后求得点的横坐标，再根据点P与其对称点的纵坐标相等，即得答案． 【详解】解：点到直线的距离为， 点关于直线的对称点到直线的距离为1， 点的横坐标为， 对称点的坐标为． 故选：D． 7. 如图，在中，弦，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，圆周角定理，由平行线的性质得到，再根据圆周角定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 8. 二次函数的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 的最小值为 C. 对应的函数值为 D. 当时，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解图示，掌握二次函数图象的性质是关键． 根据二次函数与坐标轴的交点，对称轴直线的计算判定A选项；运用待定系数法得到解析式，将一般式化为顶点式可判定B选项；根据自变量值求函数值可判定C选项；根据最值的计算可判定D选项；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴的两个交点为， ∴对称轴直线为，故A选项正确，不符合题意； 根据题意，二次函数经过， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴的最小值为，故B选项正确，不符合题意； 当时，，故C选项正确，不符合题意； 当时，，当时，，当时，， ∴当时，则，故D选项错误，符合题意； 故选：D ． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，根据算术平方根的含义可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，经检验符合题意； 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据有两个不相等的实数根，直接得到，即可求解本题，掌握 一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 如图，四边形是平行四边形，为对角线，于点，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质及，得出，再判定，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 故答案为：． 12. 《九章算术》是中国古代的数学专著，成书于公元一世纪左右．小红阅读《九章算术》中有趣的方程问题后，随即对某个题目进行改编，修改后的题目为：“今有5头牛、7只羊，值钱920金；将牛与羊互换其中一只（头），值金相同．”设每头牛、每只羊的价格各为金，金，根据题意列出方程组为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据今有5头牛、7只羊，值钱920金，设每头牛、每只羊的价格各为金，金，得，根据将牛与羊互换其中一只（头），值金相同，得，即，由此即可求解． 【详解】解：今有5头牛、7只羊，值钱920金，设每头牛、每只羊的价格各为金，金， ∴， 将牛与羊互换其中一只（头），值金相同， ∴，即， ∴方程组为， 故答案为： ． 13. 如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和点；作直线分别交线段，于点，．若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中垂线的性质，勾股定理，连接，根据作图得到垂直平分，得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可． 【详解】解：连接， 根据作图得：垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和二次根式的运算，解不等式组： （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，绝对值，再计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 15. 2025年1月，中共中央、国务院印发《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》．《纲要》指出：促进学生健康成长、全面发展．深入实施素质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加快补齐体育、美育、劳动教育短板．落实健康第一教育理念，实施学生体质强健计划．某校为落实文件精神，随即调整完善学生体育训练计划，保证学生每天在校综合体育活动时间不低于2小时．学校通过增加体育课程和各类比赛等不断丰富体育项目，让学生健康快乐成长．为了解同学们对比赛项目的喜爱情况，体育组老师对部分同学进行了项目喜好情况调查（每位同学只能选一种），特制定如下统计表和统计图． 比赛项目 人数 篮球比赛 60 足球比赛 50 排球比赛 乒乓球比赛 羽毛球比赛 25 空竹比赛 根据图表信息，解答下列问题： （1）本次调查的学生共有______人，表中______，______； （2）在扇形统计图中，求“”“”比赛项目对应的圆心角度数； （3）若学校共有1600名学生，请你根据调查结果，估计选择“”比赛项目的学生人数． 【答案】（1），， （2）“”“”比赛项目对应的圆心角度数分别为和； （3）估计选择“”比赛项目的学生人数为 【解析】 【分析】本题考查了频数统计表，扇形统计图，样本估计总体的思想，熟练掌握统计图的意义是解题的关键． （1）根据样本容量频数所占百分数，用喜欢足球的人数所占百分比计算即可，用样本容量乘以排球、乒乓球人数所展百分比即可求解． （2）根据扇形统计图的意义计算即可． （3）运用样本估计总体的思想计算即可． 【小问1详解】 解：（人）， （人）， （人）； 【小问2详解】 解：A：，E：； 【小问3详解】 解：（人）， （人） 答：估计选择“”比赛项目的学生人数为． 16. 寒假中，小张和家人到某景点旅游．小张是摄影爱好者，他操控无人机对景点的建筑物进行拍摄游览．某景点的游览阶梯与水平地面的夹角为度，无人机位于点处，测得阶梯同侧建筑物，的俯角分别为和（点，在直线上，，），若无人机离建筑物，的竖直距离分别为和，求点与点的水平距离．（参考数据：，，，，，） 【答案】点D与点E的水平距离为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，作分别垂直于点P，Q，解直角三角形分别求出，，即可解答． 【详解】解：作分别垂直于点P，Q， ，， ， ， ， ， ， 点D与点E的水平距离为． 17. 如图，在中，，以边为直径的与交于点，点为弧的中点，直线，分别交，于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理，可得，易证，，即可证明结论； （2）连接，由（1）得：，，易证，，根据，求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）得：，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，解答本题的关键是熟练掌握基本定理的综合运用． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与反比例函数的图象分别交于点和点． （1）求直线的表达式； （2）如图2，直线经过点与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点将线段分成，两条线段，且，连接，求的面积； （3）在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）先求出的值，再利用待定系数法即可求解； （2）联立方程组得求出点B的坐标，过点C作轴于点M，过点B作轴于点N，利用平行线成比例求出，再求出，求出直线的函数表达式，得到点B，点G的坐标，即可求解； （3）取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，，分点E在y轴上，设点E的坐标为，点E在x轴上，设点E的坐标为，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：将代入， ， 即， 将代入， ， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：直线与反比例函数交于点A，B， 联立方程组得 解得， ， 过点C作轴于点M，过点B作轴于点N， ， ， ， 在中，当时，， ， 设直线的函数表达式为， 直线的函数表达式为， 直线与x轴交于点D， ， 直线与x轴交于点G， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，取的中点M，以点M为圆心，为半径作交坐标轴于点E，连接，， 为的直径， ， 是的中点， ， 当点E在y轴上时，设点E的坐标为， ， ， ，， 当点E在x轴上时，设点E的坐标为， ， ， ，， 综上所述，点E的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例的综合题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形的性质，平行线成比例，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解及代数式求值．根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再将变形为，最后整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∵ ． 故答案为：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线的图象交于点，点的横坐标为，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，理解图示，掌握交点的含义是关键． 根据题意得，，由此即可求解． 【详解】解：直线与直线图象交于点，点的横坐标为， ∴， ∴， 故答案为： ． 21. 如图，四边形是平行四边形，点为边上的中点，点为对角线上一点，且，现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，概率的计算，掌握相似三角形的判定和性质是关键． 如图所示，连接交于点，过点作于点，过点作于点，则，根据中点的性质得到，设，则，，，，由，结合概率的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点，过点作于点，过点作于点，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在中，点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率为， 故答案为： ． 22. 如图，在中，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折得到，与交于点，当时，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由，，得，由翻折可得，设，则，则，求得，设，则，由，则，解得，则，由勾股定理求出，过点作于点，则， 证明，得到，即，解得，由勾股定理求出，进而求出，再由勾股定理求出，即可求解．掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由翻折可得：， ∵， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 在中，， 如图，过点作于点，则， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴分别交于点和点，过顶点的直线轴于点，点为线段上一点，点在线段上，且，当取最小值时，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式求得，，进而可得，，则，可知，分别取，的中点，，连接，则，，是的中位线，得，，过点作，且，则，证明，得，可知，当在上时取等号，此时，过点作，解直角三角形得，可得，则，可知此时，即可求解． 【详解】解：∵， 当时，即，可得，， ∴，， 则，， ∴，则， 分别取，的中点，，连接，则，，是的中位线， ∴， ∵， ∴， 过点作，且，则， ∴，， ∴， ∴， ∴，当在上时取等号， 即：当取最小值时，在上， 此时，过点作，则，， 又∵， ∴，则， 可得，则 ∴此时， 即：当取最小值时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解直角三角形等知识点，添加辅助线构造全等三角形，得到是解决问题的关键． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 春节期间，由“饺子”编剧并执导的奇幻动画电影《哪吒之魔童闹海》一上映就获得观众好评．某商家抓住商机，随即销售一种成本为每件20元的特色哪吒纪念品．经销售发现：当售价为每件30元时，每天可售出100件；售价每上涨2元，日销量就会减少4件；售价每下降1元，日销量就会增加5件．设该纪念品的售价为每件元（为整数且），每天的销售量为件． （1）求出与的函数关系式； （2）该纪念品售价定为多少元时，商家每天获得的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当定价为50元时，商家每天获得的最大利润为1800元． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）分情况列出一次函数关系式即可； （2）根据题意，求出每种情况的最大利润，再比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：当时，每天的销量为， 当时，日销量为， ∴； 【小问2详解】 解：设商家获得的利润为w元， 当时，则， 对称轴为， ，且x为整数，此时w随x的增大而增大， 故当时，则最大利润， 当时，则， 对称轴为， ，且x为整数，此时w随x的增大而增大， 当时，则最大利润， 综上所述：当定价为50元时，商家每天获得的利润最大，最大利润为1800元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，抛物线：经过，两点，与轴交于点，连接，且． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图2，点为抛物线上一点，且位于第三象限，于点，若，求点的坐标； （3）抛物线与抛物线：关于原点对称，抛物线与轴正半轴交于点，作交直线于点，在抛物线上是否存在点，使得∠，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或； （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，，再根据，求出，利用待定系数法即可求解； （2）取的中点，在的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称，得到，根据，求出，证明四边形是矩形，求出直线，联立，求解即可； （3）抛物线与抛物线关于原点对称，求出的函数表达式为，分点H位于第一象限，点H位于第三象限两种情讨论即可． 小问1详解】 解：直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ，， ， ， ， ， 经过点A，B，C， 解得 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：， ， ，， 取的中点，在的延长线上取点G，使点G与点F关于点B对称， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ， 设直线且过点， ， ， 或； 【小问3详解】 解：抛物线与抛物线关于原点对称， 的函数表达式为， 点F的坐标为， ， 点G坐标为， 在x轴上取一点P，使得，此时， 设， ， ， ， ， 当点H位于第一象限时，过点B作交的延长线于点Q，作轴于点M，作轴于点N， 设点Q的坐标为， ，，，， ∵ ∴ ∵ ∴， ， ， ， ，， ， ， 直线与交于点H， （舍去）， 点H的坐标为， 当点H位于第三象限时，点与点Q关于点B对称，此时， ， ， （舍去）， 点H的坐标为， 综上所述，点H的坐标为或． 【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质，解直角三角形．注意掌握分类讨论思想与方程思想的应用． 26. 在中，，，点为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转至线段，直线与直线交于点． （1）如图1，当平分时，连接，求证：； （2）如图2，当点与点重合时，连接，求的值； （3）过点作于点，连接，当最小时，求的面积． 【答案】（1）证明过程见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据题意是等边三角形，由旋转的性质得到， ，，，，由此即可求证； （2）根据题意可得，，，，，，，，，，由此即可求解； （3）作于点G，可证，，，，，当最小时，此时，作于点H，，，可得，，，由此即可求解． 【小问1详解】 证明：，， 是等边三角形， ， 平分， ， ，， ， ，， ，，， ，， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， ，， ，， ，， ，，， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：作于点G， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 当最小时，此时，作于点H， ，， ，， ， ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$