精品解析：重庆市忠县马灌初级中学校2024—2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024年秋九年级数学第二次定时作业题卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题4分，共40分．每题有且只有一个正确答案，将正确答案在答题卡上涂黑） 1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义求解. 【详解】解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意. 故选C. 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，未知数最高次数为2，且为整式方程）逐一分析选项即可． 【详解】解：A、方程含分母，属于分式方程，不符合整式方程的要求，故该选项不符合题意； B、方程含根号，属于无理方程，不符合整式方程的要求，故该选项不符合题意； C、 ，整理方程得，方程为一元二次方程，故该选项符合题意； D、，方程中未知数最高次数为3，属于三次方程，故该选项不符合题意． 故选：C． 3. 在半径为3的圆中，的圆心角所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用弧长公式计算即可． 【详解】解：弧长=， 故选：B． 【点睛】本题考查弧长公式，解题的关键记住弧长l=，属于中考常考题型． 4. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把常数项-2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数2的一半的平方． 【详解】解：由原方程，得 x2+2x=2， x2+2x+1=2+1， （x+1）2=3． 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数． 5. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到．若，且的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 根据旋转的旋转，可知，，由三角形内角和定理，求得的度数，最后计算，即可解题． 【详解】将绕点A逆时针旋转一定角度，得到， ， ， ． 故选：D． 6. 如图，圆O的弦的长度为 ， 点A， B， C为圆周上三点， 若， 则圆O 半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，以及勾股定理．熟练掌握定理是解题的关键．先利用圆周角定理求出所对应的圆心角的角度，再利用勾股定理求出半径的长度． 【详解】解：， ， ， ， 在中， ， 解得：或（舍） 故选：A． 7. 已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得对称轴和在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∵点，在抛物线上，且， ∴， 故选：B． 8. 如图，将一些长度完全相同的木棒拼成一组有规律的图案，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（ ） A. 2024 B. 6072 C. 6075 D. 6078 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了规律探究．解题的关键在于推导出一般性规律．根据题意可以推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒，问题随之得解． 【详解】解：由题意知，第1个图案，用9根小棒，而； 第2个图案，用12根小棒，而； 第3个图案，用15根小棒，而； 推导出一般性规律为：第n个图案，用根小棒； ∵第2024个图案中木棒的根数为：； 故选：D． 9. 如图，是的直径，点为圆上一点，，是弧的中点，与交于点，若是的中点，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于，由垂径定理及推论得，，可证，再证，根据性质得，则，设，则，，由勾股定理即可求解． 【详解】解：连接交于，如图， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，负值舍去， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，中位线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理及推论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10. 若定义一种新运算：，例如：，，下列说法：①；②若，则；③的解为；④函数与轴交于和．其中正确的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据新运算，判断各项即可． 【详解】解：， ，故①正确； ，， ， ，故②正确： 当时，，，即，解得， 当时，，，即，解得， 故③错误； ， 令，即，该方程无解， 该函数与轴没有交点， 故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义下的运算，解一元二次方程，解题的关键在于弄清新运算的运算法则，注意分情况讨论． 二、填空题（每题4分，共32分．） 11. ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解； ， 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，为原点坐标，点的坐标是，绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，全等三角形的性质与判定，过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，可证明，根据全等三角形的性质和点A的坐标可得，则． 【详解】解：如图所示，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为C、D， ∵点的坐标是， ∴， 由旋转的性质可得 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________． 【答案】 【解析】 【分析】根据变化前数量变化后数量，即可列出方程． 【详解】第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为． 第二个月新建了个充电桩， 第三个月新建了个充电桩， 第三个月新建了500个充电桩， 于是有， 故答案为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为，则有，其中表示变化前数量，表示变化后数量，表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长． 14. 已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是______． 【答案】10或12 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，构成三角形的条件，三角形周长计算，先根据三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求出第三边的长的取值范围，再解方程求出第三边的长，最后根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵三角形两边的长分别是4和3， ∴第三边的长， 解方程得或， ∴第三边的长为3或5， ∴该三角形的周长为或， 故答案为：10或12． 15. 如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是________． 【答案】，或 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质； 分情况讨论：当是顶角时；当是底角，是顶角时；当、都是底角时；分别利用等腰三角形的两个底角相等结合三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：当是顶角时，， ∴； 当是底角，是顶角时， ∴； 当、都是底角时， ∴； 综上，的度数可能是，或， 故答案为：，或． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，交x轴的另一个交点为A，过该抛物线的顶点B分别作x轴、y轴的垂线，交x轴、y轴于点C、D，则图中阴影部分图形的面积和为______ 【答案】6 【解析】 【分析】找到对称轴直线x=2，在根据对称求出A（4,0），代入求出k的值，顶点坐标即可解题. 【详解】由题可知函数的对称轴为直线x=2， ∵原点和点A关于对称轴对称， ∴A（4,0），将A代入二次函数解析式得k=3 ∴顶点坐标（2,3） 根据对称可知图中阴影部分的面积和=S矩形OCBD=6 【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，根据对称表示出点A的坐标是解题关键. 17. 若关于x的分式方程有整数解，且二次函数的图象与x轴有交点，则所有的满足条件的整数a的值之和是___________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与的交点，分式方程的解法以及一元二次方程根的判别式． 先根据分式方程有整数解求出的整数值，再根据二次函数与轴有交点求出的范围，求出的整数值，进而求和． 【详解】解：在分式方程两边同乘以得：， ， 由题意得：，且，为整数， 的值为：1，3，8，，5，0，4， 二次函数， ，且△， 解得：且， 的值为：1，，0，3， 所有整数的和为：0， 故答案为：0． 18. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 【答案】 ①. 6200 ②. 9313 【解析】 【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解． 【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200； 根据题意，，，，，则， ∴， ∴， 若M最大，只需千位数字a取最大，即， ∴， ∵能被10整除， ∴， ∴满足条件的M的最大值为9313， 故答案为：6200，9313． 【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 三、解答题（19题8分，20-26每题10分，共78分） 19. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）直接利用因式分解法解方程即可； （2）先把方程右边的完全平方式移到左边，再利用平方差公式对方程左边分解因式，进而解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， 解得，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 20. 如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：∵=， ∴∠ACD＝∠DBA， 又∠CAB＝∠DBA， ∴∠CAB＝∠ACD， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论； （2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连结OC，OD． ∵∠ACD＝30°， ∴∠ACD＝∠CAB＝30°， ∴∠AOD＝∠COB＝60°, ∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°． ∵， ∴S△DOC=S△DBC， ∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD， ∵AB＝4， ∴OA＝2， ∴S扇形COD=． ∴S阴影=． 【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键． 21. 某校组织八、九年级学生参加学习“学习强国”知识竞赛，并随机抽取八年级和九年级各10名同学的比赛成绩进行整理和分析，数据如下． 【收集数据】 八年级10名同学的比赛成绩统计如下． 68 73 75 75 77 78 83 86 92 93 九年级10名同学的比赛成绩统计如下． 72 74 75 76 80 80 82 84 85 92 【整理数据】将两组数据按如下分数段整理，如表所示． 成绩 人数 年级 八年级 1 5 2 九年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示． 年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差 八年级 80 75 61.4 九年级 80 80 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：__________，__________，__________． （2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算八年级这组数据的方差时，公式中的__________． （3）八年级小杨同学和九年级小强同学的成绩都为80分，则哪位同学的成绩在本年级排名中更靠前？请说明理由． 【答案】（1）2；77.5；80 （2）10 （3） 八年级小杨同学的成绩在本年级排名中更靠前． 理由：因为八年级10名同学的成绩的中位数为分，小于80分，九年级10名同绩的中位数为80分， 所以八年级小杨同学的成绩在本年级排名中更靠前． 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、中位数、众数、算术平均数、方差，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键． （1）根据九年级10名同学测试成绩求出的值，根据平均数和中位数的概念分别求出、的值； （2）先根据方差的定义可得出答案； （3）根据两个年级的平均数，众数、中位数以及方差解答即可． 【小问1详解】 由题意得，， 中位数， 九年级10名同学的成绩中80分的最多，所以众数． 故答案为：2；77.5；80； 【小问2详解】 在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算八年级这组数据的方差时，公式中的． 故答案为：10； 【小问3详解】 略 22. 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元． （1）求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元； （2）当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元 （2）当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元 【解析】 【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解； （2）设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，列出关于的函数关系式，求出函数的最值即可． 【小问1详解】 解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元， 根据题意得，， 解得， 故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元； 【小问2详解】 解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元， 根据题意得， ， ∵， ∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元． 【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键． 23. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港、乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港． （1）求，两港之间的距离（结果保留根号）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 【答案】（1），两港之间的距离海里； （2）甲货轮先到达港． 【解析】 【分析】（）过作于点，由题意可知：，，求出的长，进而求出的长即可求解； （）甲行驶路程为：，乙行驶路程为：，解直角三角形分别求出的长即可得到结论； 本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过作于点， ∴， 由题意可知：，， ∴， ∴海里， 海里， ∴海里， ∴海里， ∴，两港之间的距离海里； 【小问2详解】 解： 由（）得：，，海里，海里， ∴海里； 由题意得：，，， ∴， ∴海里，海里， ∴甲行驶路程为：海里， 乙行驶路程为：海里， ∵，且甲、乙速度相同， ∴甲货轮先到达港． 24. 如图，中，，，．点从点出发沿折线方向运动，到达点后停止，过点作直线的垂线交于点．设线段长为，线段的长为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1） （2） 解： ， 函数图象如图所示，函数的性质为：当，随增大而增大； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，解直角三角形，一次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质求出，然后分类讨论即可； （2）结合（1）即可在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，进而可以写出该函数的性质； （3）结合图象，即可得当时的取值范围． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 如图，过点作， ， ， ， 过点作交于点， ， ， 当点在上运动时，的取值范围是， ， ， ， 当点在上运动时，的取值范围是， ， ， ， ， ， ， 综上所述，关于的函数表达式： ； 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时的取值范围． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、 B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式： （2）设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求△BPC面积的最大值： （3）若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，(，)或(，) 【解析】 【分析】（1）直接把点A、B、C的坐标代入求得a，b，c即可； （2）设点P的坐标为(，)，过点P作轴交直线于点， 设直线的解析式为，并求得直线的解析式为，设出点的坐标为(，)，表述出的长，最后利用即可求解； （3）先把抛物线的解析式化为顶点式求得对称轴直线，然后根据题意设出点设点P的坐标为(，)，点N的坐标为(，)，分两种情况进行求解：(Ⅰ)当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线；(Ⅱ)当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线；分别利用中点坐标公式即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ，解得 ， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设点M的坐标为(，)，过点P作轴，交直线于点， 设直线的解析式为，过点B（－3，0），C（0，3）两点， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为， ∴点的坐标为(，)， ∴， ∴ ∵， ∴有最大值，此时，的最大值为； 【小问3详解】 解：∵抛物线的函数表达式为， ∴抛物线的对称轴直线为， 设点M的坐标为(，)，点N的坐标为(，)， (Ⅰ)当线段为平行四边形的边时，则与为平行四边形的对角线，如图所示， 由对角线互相平分可得， ，解得 ， ∴此时点N的坐标为(，)； (Ⅱ)当线段为平行四边形的对角线时，则与为平行四边形的对角线，如图所示， 由对角线互相平分可得， ，解得 ， ∴此时点N的坐标为(，)； 综上可得，存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形，此时点N的坐标为(，)或(，)． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，三角形面积的求法等，难点在于（2），注意分类讨论，不要漏解． 26. 在ABC中，，点D是边AB上一动点，连接CD． （1）如图1，若，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE．若，求AD的长； （2）如图2，过点C作于F，当点D在线段BF上时，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE，过点E作交AB干点G．求证：； （3）如图3，若，，将线段CD绕着D逆时针旋转120°得到ED，连接CE．请直接写出的最小值． 【答案】（1）； （2）证明：过点E作于H， ∵，， ∴∠EHD=∠FDC=90°， ∵∠EDF+∠CDF=90°，∠FCD+∠CDF=90°， ∴∠EDF=∠FCD， 在△DEH和△CDF中， ∴， ∴EH=DF， ∵， ∴∠EGH=∠A=45°， ∵∠EHD=90°， ∴∠GEH=90°-45°=45°， ∴EH=GH， ∵EH=DF， ∴GH=DF， ∴GH-DH=DF-DH，即GD=HF， ∵∠A=45°，∠AFC=90°， ∴∠ACF=90°-45°=45°， ∴AF=CF， ∵GH=GD+DH=GD+CF，AH=AF+HF=CF+HF， ∴GH=AH， ∴GH=AG， ∵GH=DF， ∴DF=AG，即； （3）． 【解析】 【分析】（1）过点C作于F，求得∠ACF=45°，∠FCD==60°，根据勾股定理求出，由得CF=CD=，在Rt△CDF中，由勾股定理得求得，由∠ACF=∠A =45°可得AF=CF=，即可求得AD的长； （2）过点E作于H，证明，得到EH=DF，由，得∠EGH=∠A=45°，△EGH是等腰直角三角形，EH=GH，结合EH=DF，易得GD=HF，易证AF=CF，根据等量代换可得GH=AH，故GH=AG，因为GH=DF，即可证明； （3）过点C作CF⊥AB于点F，以点B为顶点在AB上方作∠ABG=30°，过点D作DM⊥BM于点M，过点C作CN⊥BG于点N，点D是AB上的动点，运动到某一时间有∠ADC=30°，此时设AF的长为x，则CF=x，CD=2x，BD=CD=2x，DF=x，有AB=BD+DF+AF=2x+x+x=3+3，解得：x=，求出AF，CF，BF和的长，由分析可得最小时，即CD+DM最小，当C、D、M三点共线时CD+DM最小，即图中的CN，易证△CBN为等腰直角三角形，根据勾股定理即可求得CN的长，即为的最小值． 【小问1详解】 解：过点C作于F， ∵，∠A=45°， ∴∠ACF=90°-45°=45°，∠FCD=90°-30°=60°， 在Rt△CDE中， 由勾股定理得，， ∵CD=DE，CE=12， ∴， 解得：， ∵ ∴CF=CD=， 在Rt△CDF中， 由勾股定理得，， 即 解得：， ∵∠ACF=∠A =45°，∠AFC=90°， ∴AF=CF=， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过点C作CF⊥AB于点F，以点B为顶点在AB上方作∠ABG=30°， 过点D作DM⊥BM于点M，过点C作CN⊥BG于点N， 点D是AB上的动点，运动到某一时间有∠ADC=30°， 此时，∠BCD=∠ADC-∠ABC=15°， ∵∠ABC=15°， ∴∠ABC=∠BCD =15°，BD=CD， ∵CF⊥AB，∠A =45°， ∴∠FCA =45°，AF=CF， 设AF的长为x，则CF=x， ∵∠ADC=30°， ∴CD=2CF=2x， ∴BD=CD=2x 在Rt△DFC中，由勾股定理得，DF=x， AB=BD+DF+AF=2x+x+x=3+3， 即3x+x=3+3， x（+1）=3（+1）， 解得：x=， ∴AF=FC=，BF=AB-AF=3+2， 在Rt△BFC中，， ∵∠ABM=30°，DM⊥BG， ∴DM=BD， ∵DE是由CD旋转得到， ∴DE=CD， 即为CD+BD=CD+DM， 最小时，即CD+DM最小， 当C、D、M三点共线时CD+DM最小，即图中的CN， ∠CBN=∠CBA+∠ABN=15°+30°=45°， ∵CN⊥BG， ∴∠CNB=90°，∠BCN=45°， ∴△CBN为等腰直角三角形， ∴CN=BN， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查平行线的性质，旋转图形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，灵活运用知识证明全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋九年级数学第二次定时作业题卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题4分，共40分．每题有且只有一个正确答案，将正确答案在答题卡上涂黑） 1. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在半径为3的圆中，的圆心角所对的弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点A逆时针旋转一定角度，得到．若，且的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，圆O的弦的长度为 ， 点A， B， C为圆周上三点， 若， 则圆O 半径为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 已知点，在抛物线上，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将一些长度完全相同的木棒拼成一组有规律的图案，其中第1个图案中有9根木棒，第2个图案中有12根木棒，第3个图案中有15根木棒，……，则第2024个图案中木棒的根数为（ ） A. 2024 B. 6072 C. 6075 D. 6078 9. 如图，是的直径，点为圆上一点，，是弧的中点，与交于点，若是的中点，则的长为（ ） A. 9 B. 8 C. 10 D. 11 10. 若定义一种新运算：，例如：，，下列说法：①；②若，则；③的解为；④函数与轴交于和．其中正确的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每题4分，共32分．） 11. ______． 12. 在平面直角坐标系中，为原点坐标，点的坐标是，绕点逆时针旋转后得到线段，则点的坐标是______． 13. 为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，请列出方程________． 14. 已知三角形两边的长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的周长是______． 15. 如图，B是射线上动点，，若为等腰三角形，则的度数可能是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，交x轴的另一个交点为A，过该抛物线的顶点B分别作x轴、y轴的垂线，交x轴、y轴于点C、D，则图中阴影部分图形的面积和为______ 17. 若关于x的分式方程有整数解，且二次函数的图象与x轴有交点，则所有的满足条件的整数a的值之和是___________． 18. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 三、解答题（19题8分，20-26每题10分，共78分） 19. 解方程： （1） （2） 20. 如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结． （1）求证：． （2）若，，求阴影部分的面积． 21. 某校组织八、九年级学生参加学习“学习强国”知识竞赛，并随机抽取八年级和九年级各10名同学的比赛成绩进行整理和分析，数据如下． 【收集数据】 八年级10名同学的比赛成绩统计如下． 68 73 75 75 77 78 83 86 92 93 九年级10名同学的比赛成绩统计如下． 72 74 75 76 80 80 82 84 85 92 【整理数据】将两组数据按如下分数段整理，如表所示． 成绩 人数 年级 八年级 1 5 2 九年级 0 4 5 1 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示． 年级 统计量 平均数 中位数 众数 方差 八年级 80 75 61.4 九年级 80 80 33 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：__________，__________，__________． （2）在计算这两组数据的方差时用的公式是，其中在计算八年级这组数据的方差时，公式中的__________． （3）八年级小杨同学和九年级小强同学的成绩都为80分，则哪位同学的成绩在本年级排名中更靠前？请说明理由． 22. 端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元． （1）求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元； （2）当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，甲、乙两艘货轮同时从港出发，分别向，两港运送物资，最后到达港正东方向的港装运新的物资．甲货轮沿港的东南方向航行海里后到达港，再沿北偏东方向航行一定距离到达港、乙货轮沿港的北偏东方向航行一定距离到达港，再沿南偏东方向航行一定距离到达港． （1）求，两港之间的距离（结果保留根号）； （2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠、两港的时间相同），哪艘货轮先到达港？请通过计算说明． 24. 如图，中，，，．点从点出发沿折线方向运动，到达点后停止，过点作直线的垂线交于点．设线段长为，线段的长为． （1）请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的取值范围． 25. 如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、 B（－3，0）两点，与y轴交于C（0，3）． （1）求抛物线的函数表达式： （2）设P为抛物线上一动点，点P在直线BC上方时，求△BPC面积的最大值： （3）若M为抛物线上动点，点N在抛物线对称轴上，是否存在点M、N使点A、C、M、N为平行四边形？如果存在，直接写出点N的坐标：如果不存在，请说明理由． 26. 在ABC中，，点D是边AB上一动点，连接CD． （1）如图1，若，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE．若，求AD的长； （2）如图2，过点C作于F，当点D在线段BF上时，将线段CD绕着D逆时针旋转90°得到ED，连接CE，过点E作交AB干点G．求证：； （3）如图3，若，，将线段CD绕着D逆时针旋转120°得到ED，连接CE．请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $