精品解析：吉林省白城市通榆县通榆县育才学校2024-2025学年八年级下学期4月月考数学试题

2024—2025学年度第二学期阶段性教学质量检测八年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2. 答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 要使二次根式有意义，x必须满足（ ） A. x≤2 B. x≥2 C. x＜2 D. x＞2 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 5. 在算式的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ） A. 加号 B. 减号 C. 乘号 D. 除号 6. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（　 　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：______． 8. 计算：﹣＝_______． 9. 化简：_____． 10. 已知是整数，则正整数的最小值是______. 11. 对于实数，，定义运算“”如下：，若，，则______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 计算：． 14 计算：． 15. 若，，，求代数式的值． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和两个小正方形，求留下部分的面积． 18 小明同学计算时，出现了错误，解答过程如下． 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） （1）小明同学的解答过程是从第______步开始出现错误的，这一步错误的原因是_____． （2）请写出此题正确的解答过程． 19. 物体高空落地时的危险系数极高.根据统计，从楼抛下的物品可以对人体构成致命威胁．例如，空易拉罐从楼抛下可以致人死亡，因此，从建筑物中抛掷物品是严格禁止的，这种行为不仅不文明，而且可能触犯法律．据研究，从高空抛物到落地所需的时间（单位：）和高度（单位：）近似的满足公式（不考虑风速的影响）． （1）当时，____； （2）从高空抛物到落地所需的时间是多少？（结果保留根号） （3）从高空抛物到落地所需的时间为______s． 20. 如图，面积为48cm2的正方形四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1cm, 1.732） 21. 在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变.以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小明在家自学数学时，遇到一道这样的题： 例：已知，求的值． 解：，即， ， ，， ， 原式． 请你仔细阅读和分析例题，解决下列问题. （1）_____； （2）化简：； （3）已知，求的值． 22. 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式． （1）已知在中，，，，且a，b，c满足． ①______，______，______． ②请你从两个公式中选择一个合适公式，求出的面积． （2）如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期阶段性教学质量检测八年级数学试题 本试卷包括三道大题，共22道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2. 答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 要使二次根式有意义，x必须满足（ ） A. x≤2 B. x≥2 C. x＜2 D. x＞2 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据二次根式的意义可知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0， 因此可得x-2≥0， 解这个不等式可得x≥2． 故选B 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，被开方数不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 3. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算、算术平方根等知识点，掌握二次根式加减运算法则成为解题的关键． 直接根据二次根式的加减运算法则和算术平方根逐项判断即可． 【详解】解：A． 和不是同类二次根式，不能进行加减运算，错误，不符合题意； B． ，错误，不符合题意； C． 和不是同类二次根式，不能进行加减运算，不符合题意； D． ，正确，符合题意． 故选D． 4. 估计的值应在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的估算、不等式的基本性质，根据可知，根据不等式的基本性质一可得 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 5. 在算式的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ） A. 加号 B. 减号 C. 乘号 D. 除号 【答案】D 【解析】 【分析】分别填上运算符号计算后比较大小． 【详解】当填入加号时：，当填入减号时：； 当填入乘号时：；当填入除号时：． ∵，∴这个运算符号是除号． 故选D． 6. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（　 　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出a、b，b、c的关系，即可得解． 【详解】解：根据题意得，a2-2ab+b2=0，b-c=0， 解得a=b，b=c， 所以，a=b=c， 所以，△ABC的形状是等边三角形． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，首先根据把化简，得到：，再根据绝对值的定义去绝对值即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8 计算：﹣＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】先化简，再合并同类二次根式． 【详解】解：﹣ ＝4﹣3 ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 9. 化简：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，把二次根式的分子、分母同时乘以，可得：原式，然后再约去分子、分母的公因数即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 已知是整数，则正整数的最小值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6． 【详解】∵，且是整数， ∴2是整数，即6n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为6． 故答案为6． 【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答． 11. 对于实数，，定义运算“”如下：，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算、完全平方公式，首先根据新定义运算的规则，把运算转化为一般的运算，根据完全平方公式把算式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】15 【解析】 【分析】先化简二次根式，再根据二次根式的乘除法法则即可得． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题关键． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】用括号内每一项分别除以，把结果相减即可． 详解】解：原式= =． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算．多项二次根式除以单项二次根式，可先转化为单项二次根式除以单项二次根式，再分别计算，将结果相加、减．注意：最终的结果要化简为最简二次根式 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式，首先把二次根式化为最简二次根式，把括号部分用平方差公式展开，可得：原式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 15. 若，，，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，把，，代入二次根式计算即可求解，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行化简，再代数计算即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 17. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下部分的面积． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，进而可得大正方形的边长，再利用大正方形的面积减去两个小正方形的面积列式计算即可求得答案． 【详解】解：∵两个小正方形的面积分别为和， ∴这两个小正方形的边长分别为cm和cm， ∴大正方形边长是， ∴留下部分（即阴影部分）的面积是 ， 答：留下部分的面积为． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． 18. 小明同学计算时，出现了错误，解答过程如下． 解：原式（第一步） （第二步） ．（第三步） （1）小明同学的解答过程是从第______步开始出现错误的，这一步错误的原因是_____． （2）请写出此题正确的解答过程． 【答案】（1）一，没有将带分数化为假分数再化简 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、完全平方公式，解决本题的关键是根据二次根式的运算法则进行计算即可． 小明同学在计算第一步时，应先把被开方数化为假分数，然后再进行计算； 首先利用完全平方公式把展开，把的被开方数化为假分数，可得：原式，再根据二次根式的计算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：小明同学的解答过程从第一步开始出现错误， 这一步的错误原因是没有把代分数化为假分数再化简， 故答案为：一，没有把代分数化为假分数再化简； 【小问2详解】 解： ． 19. 物体高空落地时的危险系数极高.根据统计，从楼抛下的物品可以对人体构成致命威胁．例如，空易拉罐从楼抛下可以致人死亡，因此，从建筑物中抛掷物品是严格禁止的，这种行为不仅不文明，而且可能触犯法律．据研究，从高空抛物到落地所需的时间（单位：）和高度（单位：）近似的满足公式（不考虑风速的影响）． （1）当时，____； （2）从高空抛物到落地所需的时间是多少？（结果保留根号） （3）从高空抛物到落地所需的时间为______s． 【答案】（1）； （2）从高空抛物到落地所需的时间为； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的化简、求代数式的值，解决本题的关键是把的值代入公式中进行计算即可． 把代入中，计算即可； 把代入中，计算即可； 把代入中，计算即可． 【小问1详解】 解：当时， 可得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时， 可得：； 【小问3详解】 解当时， 可得：， 故答案为：． 20. 如图，面积为48cm2的正方形四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？（精确到0.1cm, 1.732） 【答案】长方体的底面边长约为3.5cm，高约为1.7cm． 【解析】 【分析】已知大正方形的面积和小正方形的面积，可用二次根式表示两个正方形的边长，从而可求这个长方体的底边长和高． 【详解】设大正方形的边长为xcm，小正方形的边长为ycm， 则：x2=48，y2=3 ∴x＝4，y＝ ∴这个长方体的底面边长为：x−2y＝4−2＝2≈3.5 高为：y＝≈1.7 答：这个长方体的底面边长约为3.5cm，高约为1.7cm． 【点睛】已知正方形的面积，可用二次根式表示正方形的边长，再根据边长进行有关运算． 21. 在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变.以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小明在家自学数学时，遇到一道这样的题： 例：已知，求的值． 解：，即， ， ，， ， 原式． 请你仔细阅读和分析例题，解决下列问题. （1）_____； （2）化简：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）的值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、平方差公式，解决本题的关键是读懂材料中例题的解题思路，仿照例题中的解题思路计算即可． 根据分数的基本性质，把分式的分子、分母同时乘以，再把分母用平方差公式展开即可； 仿照的计算方法，把各分数分别展开，得到：原式，然后再合并同类二次根式即可； 首先仿照把化简，可得：，再利用完全平方公式把代数式整理可得：，然后把的值代入计算即可． 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， ， 当时， 原式 ． 22. 我国南宋时期数学家秦九韶（约1202—约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式（其中a，b，c表示三角形的三边长），此公式与古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年）提出的海伦公式（其中a，b，c表示三角形的三边长，）如出一辙，所以秦九韶公式与海伦公式实质上是同一个公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式． （1）已知在中，，，，且a，b，c满足． ①______，______，______． ②请你从两个公式中选择一个合适的公式，求出的面积． （2）如图，在中，，，，请你用海伦-秦九韶公式求的面积． 【答案】（1）①，，3；②的面积为 （2）的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查平方，绝对值，算术平方根的非负性，秦九韶公式与海伦公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①根据平方，绝对值，算术平方根的非负性得到答案即可； ②选择海伦公式进行计算即可； （2）根据题目给出的公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：①， ， 故答案为：，，3； ②； 【小问2详解】 解： ； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$