精品解析：广东省汕头市潮阳区棉城中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

潮阳区棉城中学2024-2025第二学期高一年级数学 期中考试题 （满分150分） 命题：洪仲维 审核：郭华 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 设，则在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 4. 已知f （x）是定义在R上的偶函数，且当时， ，则当时， （ ） A. B. C. D. 5. 四边形中，，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图是函数的图象，那么（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知虚数满足，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第三象限 10. 已知向量，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，则（ ） A. B. 在区间上只有1个零点 C. 的最小正周期为 D. 为图象的一条对称轴 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则___________. 13. 已知的内角所对的边分别是，若，，则角为__________. 14. 已知中，为上一点，且，垂足为，则______． 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）若与向量垂直，求实数的值； （2）若向量，且与向量平行，求实数的值． 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知函数． 求函数的单调减区间； 将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域． 18. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 19. 如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数的图象的一部分，后一段DBC是函数(，，，)的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F． （1）求函数()的解析式； （2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 潮阳区棉城中学2024-2025第二学期高一年级数学 期中考试题 （满分150分） 命题：洪仲维 审核：郭华 一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的概念逐一判断 【详解】对于，若，但两向量方向不确定，则不成立，故选项错误； 对于，向量无法比较大小，故选项错误； 对于，若，则两向量反向，因此，故选项正确； 对于，若，则，故选项错误. 故选：C 2. 设，则在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由共轭复数，及复数几何意义可得答案. 【详解】因，则，其在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A 3. 已知为单位向量，，向量，的夹角为，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量定义计算即可. 【详解】为单位向量，则 ， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 4. 已知f （x）是定义在R上的偶函数，且当时， ，则当时， （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，得到，所以，化简即得解. 【详解】设，得到，所以， 因为函数是偶函数， 所以. 所以时， . 故选：A 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 5. 四边形中，，，则下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为基底，根据平面向量的线性运算可得答案，判断选项. 【详解】由， 则, 则，故A错误； 由，所以， 则 ，故B正确； ，故C错误； ，故D错误. 故选：B. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，利用同角的平方关系，转化为齐次式问题进行求解. 【详解】因为，所以， 因为， 分子分母同时除以得：， 代入计算得：. 故选：D. 7. 如图是函数的图象，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由、在函数的图象结合五点作图法可得答案. 【详解】因为在函数的图象上，所以，， 所以，此时，， 又点在函数的图象上，所以， 由五点作图得该点是“五点”中的第五个点，所以， . 故选：C. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而结合余弦定理可得，进而结合面积公式即可求解. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 即， 即， 即， 因为，则， 所以，即， 所以， 又， 则，即， 又， 所以的面积为. 故选：A. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知虚数满足，则（ ） A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第三象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共轭复数概念写出，进而判断各项的正误. 【详解】由，得， 所以的实部为的虚部为， 在复平面内对应的点在第三象限， 故选：ACD 10. 已知向量，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用平面向量的坐标运算可求出、的值，可得出向量、的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BCD选项. 【详解】因为向量，，， 所以，，解得，则，， 对于A选项，， 因为，则与不共线，A错； 对于B选项，，则， 故，B对； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，，故，D对. 故选：BCD. 11. 已知函数，，则（ ） A. B. 在区间上只有1个零点 C. 的最小正周期为 D. 为图象的一条对称轴 【答案】AC 【解析】 【分析】将 的解析式化为，然后逐一判断即可. 【详解】 所以，故A正确 令可得，满足的有，故B错误 的最小正周期为，故C正确 当时，，所以不是图象的一条对称轴，故D错误 故选：AC 第II卷（非选择题） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦的和差角公式得，，进而得 【详解】解：因为，所以. 因为，所以， 所以，， 所以. 故答案为： 13. 已知的内角所对的边分别是，若，，则角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理，结合已知条件，整理化简，即可求得. 【详解】，由余弦定理得，，整理得，即； 又，由正弦定理得，，． 又，，又， 是等边三角形，． 故答案为： 14. 已知中，为上一点，且，垂足为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出的坐标，即可求出结果. 【详解】如图，以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系， 因为，，所以，则， 又，过作于，易知，所以, 得到，设， 则，所以，     故答案为：. 四､解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量． （1）若与向量垂直，求实数的值； （2）若向量，且与向量平行，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示可求出结果； （2）根据向量平行的坐标表示可求出结果. 【小问1详解】 ，， 因为与向量垂直，所以， 所以，解得. 【小问2详解】 ， 因为与向量平行，所以，解得. 16. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由已知可求出，再利用二倍角的正切公式即可求解. （2）利用诱导公式以及二倍角的余弦公式将式子化为，再利用同角三角函数的基本关系化为，由（1）即可求解. 【详解】（1）由，知，∴， ∴. （2）由（1），知， ∴ ∴. 【点睛】本题考查了二倍角的正切、余弦公式以及同角三角函数的基本关系，属于基础题. 17. 已知函数． 求函数的单调减区间； 将函数的图象向左平移个单位，再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的值域． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】 利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数的递减区间；利用函数的图象变换规律，求得的解析式，由可得结合正弦函数的单调性，求得的值域． 【详解】函数， 当时,解得：， 因此，函数的单调减区间为． 将函数的图象向左平移个单位，可得的图象， 再将所得的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象， ，， 的值域为． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，函数的图象变换规律，正弦函数的值域，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间. 18. 在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【小问1详解】 因为，即，而，代入得，解得：． 【小问2详解】 由（1）可求出，而，所以，又，所以． 【小问3详解】 因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 19. 如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数的图象的一部分，后一段DBC是函数(，，，)的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F． （1）求函数()的解析式； （2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知条件可求以及最小正周期，利用最小正周期公式求，然后通过代点求出即可； （2）结合（1）中结论求出D点坐标，进而求出曲线OD的方程，结合已知条件求出点坐标即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，， 不妨设最小正周期为， 由图像知，，即，则， ∵点在的图象上， ∴，，即，． ∵，∴， 故，． 【小问2详解】 在中，令，则，故点坐标为， 将代入，解得，， 从而曲线OD的方程为：， 当时，则，故点坐标为， ∴矩形PMFE的面积为， 即儿童乐园的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $