3.2.2 不等式的基本性质3 课件-2024-2025学年湘教版数学七年级下册

第三章一元一次不等式(组) 3.2.2不等式基本性质3 湘教版 七年级数学下册 1.教学目标 1. 掌握并能熟练应用不等式的基本性质进行不等式的变形; 2. 理解不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别与联系 . 3.通过类比等式性质,探索不等式的性质,体会“类比”的数学思想 。 2.新知导入 不等式基本性质1 不等式的两边都加上或减去同一个数(或同一个整式),不等号的方向不变. 即,如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c. 不等式基本性质2 不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 即,如果a>b, c >0,那么ac>bc, . 3.新知探究 不等式基本性质2 不等式的两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变. 即,如果a>b, c >0,那么ac>bc, . 思考:不等式两边乘的那个数可以用负数吗?可以用0吗? 4.新知讲解 先用“>”或“<”填空: 4 3,-4 -3 2(≈1.414), 再观察结果,由此可猜测出什么结论? 显然 4>3,-4<-3. 由于 ≈1.414,-≈-0.707, 所以<2,->-1. 由此猜测:若 a,b,c 都是实数, 且 a<b,c<0,则 ac>bc, . 猜测是否正确?证一证! 4.新知讲解 已知 a<b,于是 a-b<0. 又 c<0,于是 (a-b)c>0, 从而有 ac-bc>0, 因此 ac>bc. 若a,b,c都是实数,且a<b,c<0,则ac>bc,. 又 <0,同理可得 a >b ,即 . 对于实数 a,b,c,若 a>b,c<0,类似地,可以得到 ac<bc, . 4.新知讲解 不等式基本性质3 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 即,如果a>b, c<0,那么ac<bc, . 由此可得,不等式还有如下性质: 4.新知讲解 不等式的基本性质和等式的基本性质有什么相同点和不同点? 类别 相同点 不同点 不等式 等式 (1)两边都加或减同一个数(或同一个整式),不等式和等式仍然成立; (2)两边都乘(或除以)同一个正数,不等式和等式仍然成立。 两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向要改变。 两边都乘(或除以)同一个负数,等式仍然成立。 4.新知讲解 例4 (1)已知a<b,则 _ ; (2)已知a>b,则 _ . 用“>”或“<”填空: > < 解:(1)因为a<b,两边都除以 -3,由不等式基本性质3, 得 (2)因为a>b,两边都乘 ,由不等式基本性质3, 得 4.新知讲解 例5 (1)10x<3x-7; 解:根据不等式的性质1,得 10x-3x<3x-7-3x 7x<-7 把下列不等式化为x<a或x>a的形式: 合并同类项,得 两边都除以7根据不等式的性质2,得 x<-1 为什么不等式两边要减去3x? 4.新知讲解 两边都除以-3,根据不等式的基本性质3,得x >- . (2)两边都乘21,根据不等式的基本性质2,得x+5) 21 +1 21< 21,即-3(x+5)+21<7. 运用乘法对加法的分配律,得-3x-15+21<7, 合并同类项,得-3x+6<7. 根据不等式的基本性质1,得-3x+6-6<7-6, 合并同类项,得-3x<1. 为什么要乘21? 4.新知讲解 解未知数为 x 的不等式 化为 x>a 或 x<a (a 为常数)的形式 目标 方法:不等式的基本性质1~3 思路: 把下列不等式化为x<a或x>a的形式: 4.新知讲解 对于不等式10x<3x-7,运用不等式的基本性质1,两边都减去3x,得7x<-7. 这种变形可看作是把不等式右边的项3x改变符号后移到左边. 10x < 3x -7 10x -3x < -7 不等式性质1 两边都减去3x 不等式右边的项3x改变符号后移到左边 4.新知讲解 对于不等式-3x+6<7,运用不等式的基本性质1,两边都减去6,得-3x<1. 这种变形可看作是把不等式左边的项改变符号后移到右边. 不等式性质1 两边都减去6 不等式左边的项6改变符号后移到右边 特别提醒: (1) 通常情况下是把含有未知数的项移到不等号的左边,常数项移到不等号的右边。 (2) 移项与不等号的方向无关。 像这样,把不等式一边的某一项改变符号后移到另一边的变形称为移项. 在例2中,将原不等式的两边都乘各个分母的最小公倍数,从而把分母去掉,这种变形叫作去分母. 有时还需运用乘法对加法的分配律,把不等式中的括号去掉,这种变形叫作去括号. 4.新知讲解 4.新知讲解 2.两边同乘的数不能是 0 ,若两边同乘0,则不等式变为等式 0=0; 两边同除以的数也不能是0,因为 0 作为除数无意义 注意: 1.运用不等式性质时,一定要先弄清两边同乘(或除以)的是一个正数还是负数,以此确定不等号方向是改变还是不变; 5.课堂练习 1.已知3< ,用“>”或“<”填空: > > < > 【教材P64 练习第1题】 5.课堂练习 2.把下列不等式化为x<a或x>a的形式: (1) 5x+8>-2 解:根据不等式的性质1,得 5x+8-8>-2-8 5x >-10 合并同类项,得 两边都除以5根据不等式的性质2,得 x>-2 (2) 2x < x+6 解:根据不等式的性质1,得 2x-x<x+6-x x<6 合并同类项,得 【教材P64 练习第2题】 5.课堂练习 (4) 3(x+4)<x+2 解:根据不等式的性质1,得 3x+12-12-x<x+2-12-x 2x<-10 合并同类项,得 两边都除以2根据不等式的性质2,得 x<-5 (3) x +1< 解:根据不等式的性质1,得 x+1-1< -1 x< 合并同类项,得 两边都除以-4根据不等式的性质3,得 x> 5.课堂练习 即 a - c > 0 a > c 3.设 a , b , c 都是实数,如果 a > b 且 b > c ,那么 a > c .不等式的这一性质称为传递性,试写出理由. 解:因为 a > b , b>c 所以 a - b > 0 , b - c >0 所以 a - c =( a - b )+( b – c)>0 6.课堂小结 不等式基本性质3 不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变. 即,如果a>b, c<0,那么ac<bc, . 把不等式一边的某一项改变符号后移动到另一边的变形称为移项. 1.从课后习题中选取; 2.完成同步课时的习题. 课后练习 $$