精品解析：2025年甘肃省武威市凉州区武威十六中教研联片中考一模数学试题

2024-2025学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 从三个数中，任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．若，且中最小值为，则x的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解法及整式的运算是解题的关键．根据题中所给新定义运算及一元二次方程的解法可进行求解． 【详解】若， 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，解得：，； ∴综上所述：若，且中最小值为，则，； 故选：B． 2. 当时，二次函数有最小值，记作，随着的变化，的最大值为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值，掌握非负数的性质是解题的关键． 先求出顶点坐标，再根据非负数的性质求解． 【详解】解：∵， ∴当时，取最小值， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取最大值8， 故选：A． 3. 如图，在中，，绕点旋转至的位置，点、分别为、的中点，若，则的最大值和最小值分别为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据题意画出图形，当点分别在的延长线与线段上，分别求得最大值与最小值，即可求解．分类讨论是解题的关键． 【详解】解：在中，为的中点， ， ． ． 为的中点， ． 当旋转到如图1的的位置时，的值最大为：． 当旋转到如图2的的位置时，的值最小为：． 综上所述：最大值为，最小值为． 故选：B． 4. 如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键；根据已知及切线的判定等对各个结论进行分析，从而得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴为的切线，①正确； ②由图可知不一定； ∵为的切线， ∴． ∵， 又∵， ∴， ∴，③正确． 故选：B． 5. 下列事件发生的概率中，不是0.25的是（ ）． A. 抛两枚质地均匀的硬币，都是“反面朝上”的概率 B. 抛两枚质地均匀的硬币，朝上的币面不同的概率 C. 从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，出现红桃的概率 D. 选择题的四个答案中只有一个是正确的，任选一个选对的概率 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用树状图法球概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． A、画树状图，共有4种等可能的结果，其中都是“反面朝上”的结果有1种，再由概率公式求解即可； B、由A可知，共有4种等可能的结果，其中朝上的币面不同的结果有2种，再由概率公式求解即可； C、直接由概率公式求解即可； D、直接由概率公式求解即可． 【详解】解：A、画树状图如下： 共有4种等可能的结果，其中都是“反面朝上”的结果有1种， ∴都是“反面朝上”的概率是，故选项A不符合题意； B、由A可知，共有4种等可能的结果，其中朝上的币面不同的结果有2种， ∴朝上的币面不同的概率是，故选项B符合题意； C、从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，出现红桃的概率是，故选项C不符合题意； D、选择题的四个答案中只有一个是正确的，任选一个选对的概率是，故选项D不符合题意； 故选：B． 6. 反比例函数（，）的图象如图所示，点是图象上一点，轴且与轴交于点，点是轴上任意一点，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 连接，由轴，则，然后由反比例函数的几何意义得出，从而求解． 【详解】解：连接， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 7. 如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．由等边三角形的性质结合条件可证明，由相似三角形的性质可求得． 【详解】解：等边三角形的边长为7， ，， ， ， 又，且， ， ， ，即， ， 故选：D． 8. 如图，在中，，两个边长为1的正方形，的顶点D，E，F，I，J均在的边上，当时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．根据题意得到，将两个三角形的面积求出即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 9. 如图所示的几何图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟练掌握主视图的定义：从正面看得到的视图是主视图是解题的关键．根据主视图是从正面看到的图形判定则可． 【详解】解：从正面看，从左起第一列有个小正方形，第二列有个小正方形，第三列有个小正方形，第四列有个小正方形，如图： 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，利用证明判断①，根据全等的性质，得出，再结合等边对等角 ，则，故四边形是平行四边形，判断②；条件不足，无法得到点是的中点；判断③；延长交轴于一点，过点作轴，先证明四边形是矩形，根据值的几何意义，得到的面积，进而求出四边形的面积，判断④，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形；故②正确； ∴， 延长交轴于一点，过点作轴，如图所示： ∵， ∴， ∵轴，，， ∴四边形是矩形， 同理，四边形是矩形， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴矩形的面积是4， ∴， ∵， ∴， 即， ∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点A． ∴；故④正确； 条件不足，无法得到点是的中点；故③错误； 故选C． 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 设，是方程的两个根，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、解一元二次方程、根的判别式等知识点，掌握一元二次方程的相关知识成为解题的关键． 先根据根与系数的关系求得，然后整体代入得到一元二次方程求解，最后运用根的判别式判断即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∵， ∴，即，解得：或， 当时，原方程可化为：，，则方程有两个不相等的实数根，符合题意； 当时，原方程可化为：，，则方程没有实数根，不符合题意． 综上，． 故答案为：． 12. 已知二次函数，当时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质可知，，，，，，所以，，由三角形内角和可得，，所以，再由三角形内角和定理可知，． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，为的直径，C为半圆上的一动点，以为边向外作等边（点D在直线的上方），连接．若的半径为2，则线段的最大值为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，点到圆的距离，以为边作等边三角形，连接，证明，可得点D在以点E为圆心，半径为2的圆上运动，即可解答，正确做出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 点D在以点E为圆心，半径为2的圆上运动， 当O，E，D三点共线时，OD最大，最大值为． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的坐标为，的面积为6，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例图像上点的性质，涉及两点之间距离、平行四边形的性质和平行四边形面积公式，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键．过点作于点，结合题意可得，通过平行四边形的面积可得，因为点A的坐标为，进而得出点的坐标，代入反比例图像即可得解． 【详解】解：过点作于点， 则， 的面积为6， ，即， ， ， 点A的坐标为， 点的坐标为即， 把代入反比例函数的图象， 可得，， ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，点为中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，取中点，连接，设（），求得，证明，得到，即，解出，再利用勾股定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：取中点，连接，如图： ∵，点是中点， ∴， 设（）， ∵，， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∵点是中点， ∴， 在中，点分别是中点， ∴是的中位线， ，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在正方形中，点分别在边上．连接，若，则的正切值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，运用勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于点，可证明得到，则是的中线，得到，，在中由正切值的计算方法即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 如图所示，连接，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴， ∴， 在中，， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理定理，全等三角形的判定和性质，正弦、正切值的计算，掌握正切值的计算方法是关键． 18. 一个圆锥的主视图是边长为6的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据视图的意义得到圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为6，底面圆的半径为3， 所以这个圆锥的侧面积． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出绕原点顺时针旋转后的，并写出点的坐标． （2）在图中画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求作，点的坐标； （2） 解：如图，即为所求作，点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查了作图——旋转、中心对称，坐标与图形，掌握旋转的性质是解题关键． （1）根据旋转的性质作图，再根据图形写出坐标即可； （2）根据中心对称的性质作图，再根据图形写出坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 计算： （1） （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，解不等式组，熟练掌握立方根定义，特殊角的三角函数值，求出不等式组中每个不等式的解集是解题的关键． （1）根据立方根定义，特殊角的三角函数值，绝对值意义进行计算即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 21. 某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 【答案】该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式5，进行计算，即可作答． 【详解】设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去） 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为． 22. 如图，在中，，，是的中点，为边上一点且满足．将线段绕点顺时针旋转得到，连接．求证：． 【答案】 证明：∵将线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的内角和，旋转的性质，先根据旋转的性质得，，再根据平角求出，进而可得，，再由中点的性质得，再利用证明即可． 【详解】略 23. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴  ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，然后证明，由，得到，即可证明； （2）先证明，则可求，则，可证明为等边三角形，则，可求，那么，则半径，再由弧长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点是轴上一点，过点作轴的垂线分别交反比例函数的图像和一次函数图像于点． （1）求的值； （2）若，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，函数解析式求点的坐标等知识，解题的关键是熟练掌握点的坐标和函数解析式的关系． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用函数表达式求出点的坐标，利用点的特殊位置关系求线段长度． 【小问1详解】 解：将代入， 解得，， 将代入，得， 解得，． 【小问2详解】 解：由（1）知，反比例函数解析式为，一次函数的解析式为， 轴于， 轴， ， 点的纵坐标都为1，将代入，得， 将代入，得， ， ． 25. 如图，是斜边上的中线，点位于边上，且． （1）求证：． （2）若，， 求． 【答案】（1） 证明： 是斜边上的中线， ， ， 在 中，． 又即， ， ． （2）3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而得到，根据已知条件和三角形外角定义求得，再两个角对应相等的两个三角形相似求解； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而求出的长度，再利用相似三角形的对应边成比例来求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是斜边上的中线， ， ， ， 即， 解得或 (舍去)， ． 26. 如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度：的斜坡步行到达点时拍到树顶点，仰角为，求这棵木棉树的高度（结果精确到）（参考数据：） 【答案】20米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算可得米，米，最后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，，米， 斜坡的坡度， ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， 解得：， 米，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米）， 这棵木棉树的高度约为20米， 27. 抛物线与轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且． （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图1，点为第二象限抛物线上一点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，直线与抛物线交于两点，点坐标为，连接，分别与抛物线交于M，N两点，连接，求证：直线过定点． 【答案】（1） （2）的最大值为， （3） 证明：设，，， ， 由，可得直线； 由，可得直线； 由，可得直线； 由，可得直线； ∵直线， ∴直线过定点， 把点代入直线，可得，即①， ∵直线过点， ∴，即②， ∵直线过点， ∴，即③， 由②得， 由③得， 代入①，得， 整理，得， ∴， ∴直线 ， ∴当时，， ∴直线过定点． 【解析】 【分析】（1）对于函数，令，则，得到，根据，得到，，把点A，B的坐标代入抛物线，求出a，b的值，即可解答． （2）过点D作轴交于点G，设（），待定系数法求得直线的解析式为，则，， 根据，得到，从而根据二次函数的性质即可解答； （3）设，，，，得到直线，直线，直线，直线；根据直线过定点，得到①，根据直线过点，得到②，根据直线过点，得到③，由②得，由③得，代入①，得，即，因此直线，即当时，，得证直线过定点． 【小问1详解】 解：对于函数，令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：过点D作轴交于点G， 设， 设过点，的直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ， ∵轴， ∴， ∴， ∴在中， ， ∴当，有最大值，为，此时． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形等，综合运用相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期九年级一模数学试卷 一、选择题（共30分，每小题3分） 1. 从三个数中，任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，称为一次操作．若，且中最小值为，则x的值为( ) A. B. C. D. 2. 当时，二次函数有最小值，记作，随着的变化，的最大值为（　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 3. 如图，在中，，绕点旋转至的位置，点、分别为、的中点，若，则的最大值和最小值分别为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 5. 下列事件发生的概率中，不是0.25的是（ ）． A. 抛两枚质地均匀的硬币，都是“反面朝上”的概率 B. 抛两枚质地均匀的硬币，朝上的币面不同的概率 C. 从一副去掉大小王的扑克牌中任抽一张，出现红桃的概率 D. 选择题的四个答案中只有一个是正确的，任选一个选对的概率 6. 反比例函数（，）的图象如图所示，点是图象上一点，轴且与轴交于点，点是轴上任意一点，若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，两个边长为1的正方形，的顶点D，E，F，I，J均在的边上，当时，的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示的几何图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限，为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合图象判断下列结论：①；②四边形是平行四边形；③点是的中点；④的值是2．其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共24分，每小题3分） 11. 设，是方程的两个根，且，则__________． 12. 已知二次函数，当时，的取值范围是________． 13. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转，使点B的对应点D恰好落在边上，得到，则的度数为______． 14. 如图，为的直径，C为半圆上的一动点，以为边向外作等边（点D在直线的上方），连接．若的半径为2，则线段的最大值为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴负半轴上，顶点在反比例函数的图象上，若点的坐标为，的面积为6，则的值为___________． 16. 如图，在中，，点为中点，连接，点为延长线上一点，连接．若，则的长为___________． 17. 如图，在正方形中，点分别在边上．连接，若，则的正切值为______． 18. 一个圆锥的主视图是边长为6的等边三角形，则该圆锥侧面展开图的面积是______． 三、解答题（共66分） 19. 平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出绕原点顺时针旋转后的，并写出点的坐标． （2）在图中画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标． 20. 计算： （1） （2）解不等式组： 21. 某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元．求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． 22. 如图，在中，，，是的中点，为边上一点且满足．将线段绕点顺时针旋转得到，连接．求证：． 23. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点是轴上一点，过点作轴的垂线分别交反比例函数的图像和一次函数图像于点． （1）求的值； （2）若，求的长． 25. 如图，是斜边上的中线，点位于边上，且． （1）求证：． （2）若，， 求． 26. 如图，小乐和小静一起从点出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行到达点时拍到树顶点，仰角为；小静沿着坡度：的斜坡步行到达点时拍到树顶点，仰角为，求这棵木棉树的高度（结果精确到）（参考数据：） 27. 抛物线与轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，且． （1）直接写出抛物线解析式； （2）如图1，点为第二象限抛物线上一点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，直线与抛物线交于两点，点坐标为，连接，分别与抛物线交于M，N两点，连接，求证：直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $